cap09-01

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Versión 2004 
 
 
 
CCAAPPIITTUULLOO 99 
 
TTRREENNEESS DDEE EENNGGRRAANNAAJJEESS,, RREEDDUUCCTTOORREESS 
PPLLAANNEETTAARRIIOOSS YY DDIIFFEERREENNCCIIAALLEESS 
 
División 1 
 
Engranajes. Descripción General 
Técnicas constructivas. Cinemática 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan 
Versión 2004 
1. Engranajes 
 
Generalidades y Nociones Históricas 
Los engranajes y las transmisiones de engranajes están presentes en muchas de las máquinas 
que se pueden hallar tanto en el mundo industrial como en el doméstico. Los engranajes 
promueven el movimiento de las ruedas y hélices de los medios de transporte, ya sea por 
tierra, mar o aire. 
Sin embargo, la tecnología asociada a los engranajes no es, en absoluto, una cuestión 
novedosa. Antes bien, para buscar su origen debemos de remontarnos, por lo menos hasta a la 
Grecia de la antigüedad. Así, hasta hace no mucho, se decía que la primera referencia a los 
engranajes correspondía a Aristóteles, o a los discípulos de su escuela, y aparecía en el libro 
"Problemas Mecánicos de Aristóteles" (280 a.C.). Tal apreciación, sin embargo, es incorrecta 
ya que lo que contiene dicho libro es una referencia a un mecanismo constituido por ruedas de 
fricción. Para una referencia más acertada deberíamos trasladarnos hacia el año 250 a.C., 
cuando Arquímedes desarrolló un mecanismo de tornillo sin fin - engranaje, en sus diseños de 
máquinas de guerra. 
Por otro lado, el mecanismo de engranajes más antiguo que se conserva es el mecanismo de 
Antikythera (Figura 9.1) -descubierto en 1900 en la isla griega de ese nombre en un barco 
hundido-. El mecanismo, datado alrededor del año 87 D.C., resultó además ser 
extremadamente complejo (incluía trenes de engranajes epicicloidales) y podría tratarse de 
una especie de calendario solar y lunar. Con anterioridad a este descubrimiento, se había 
venido considerando como la primera aplicación conocida de engranajes diferenciales 
epicicloidales al llamado "carro que apunta hacia el Sur" (120-250 D.C.): un ingenioso 
mecanismo de origen chino (Figura 9.2) que mantenía el brazo de una figura humana 
apuntando siempre hacia el Sur (considerando, eso sí, que en las ruedas del carro no existía 
deslizamiento). Por otro lado en el Figura 9.3 se muestra un par de engranajes helicoidales 
tallados en madera y hallados en una tumba real en la ciudad china de Shensi, los cuales 
fueron datados en la época contemporánea a Jesucristo, específicamente 50 DC. Tales 
engranajes tienen 24 dientes con un diámetro de 15 mm y un ancho de 10 mm (ver la 
Referencia [6]) 
Posteriormente, la tecnología de los engranajes apenas sufrió avances hasta llegar a los siglos 
XI-XIII con el florecimiento de la cultura del Islam y sus trabajos en astronomía. Poco tiempo 
después esta tecnología se utilizó en Europa para el desarrollo de sofisticados relojes, en 
muchos casos destinados a catedrales, abadías y especialmente a monasterios de 
congregaciones religiosas; únicos lugares donde se generaba conocimiento antes de la 
creación de las universidades europeas. 
Un siglo más tarde, entre el siglo XV y XVII se desarrollan las primeras teorías de engrane y 
las matemáticas de los perfiles de los dientes de los engranajes, especialmente los perfiles 
cicloides debidos a Desargues y los perfiles de evolvente debidos La Hire. Luego con la 
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revolución industrial la ciencia y tecnología de los engranajes alcanza su máximo esplendor. 
A partir de este momento, la aparición de nuevos inventos conlleva el desarrollo de nuevas 
aplicaciones para los engranajes, y con la llegada del automóvil -por ejemplo- la preocupación 
por una mayor precisión y suavidad en su funcionamiento se hace prioritaria. 
 
Figura 9.1. Mecanismo de Antikytheras (Tomado de Referencia [6]) 
 
 
Figura 9.2. Mecanismo que apunta al sur (modelo del museo Smithsoniano) 
 
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Figura 9.3. Engranaje helicoidal tallado en madera, hallado en una tumba de Shensi, China (Referencia [6]) 
 
Actualmente, los métodos de desarrollo de mecanismos constituidos por engranajes han 
avanzado considerablemente, por ejemplo, las aplicaciones aeronáuticas en las que se utilizan 
engranajes de materiales ligeros, sometidos a condiciones de gran velocidad y que a su vez 
deben soportar cargas importantes. Por otro lado el avance conjunto de la interrelación de 
técnicas experimentales y computacionales complejas (Métodos de Elementos Finitos, por 
citar un caso), hace posible la evaluación detallada de casi todo tipo de fenómeno asociado a 
los engranajes. 
 
Funcionamiento 
Los engranajes tienen la función de transmitir una rotación entre dos ejes con una relación de 
velocidades angulares constante. Así, se habla de "Par de Engranajes, Ruedas Dentadas o 
Engrane" para referirse al acoplamiento que se utiliza para transmitir potencia mecánica entre 
dos ejes mediante contacto directo entre dos cuerpos sólidos unidos rígidamente a cada uno de 
los ejes. 
Se denomina "Relación de Transmisión" al cociente entre la velocidad angular de salida ω2 
(velocidad de la rueda conducida) y la de entrada ω1 (velocidad de la rueda conductora): 
i=ω2/ω1. Dicha relación puede tener signo positivo -si los ejes giran en el mismo sentido- o 
signo negativo -si los giros son de sentido contrario-. Del mismo modo, si la relación de 
transmisión es mayor que 1 (i>1) se supondrá el empleo de un mecanismo multiplicador, y si 
es menor que 1 (i<1) -que suele resultar lo más habitual- supondrá el empleo de un 
mecanismo reductor, o simplemente de un reductor. 
Es claro que la obtención de una relación de transmisión constante entre dos ejes, no es algo 
privativo de los engranajes, ya que lo mismo puede obtenerse con correas o cadenas o ruedas 
de fricción, o hasta levas entre los más conocidos. Sin embargo dichos dispositivos poseen 
ciertas limitaciones principalmente en el orden de la carga o potencia que pueden movilizar. 
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Los engranajes, por otro lado, poseen varias ventajas competitivas que los hacen óptimos para 
tal tipo de tarea (transmitir movimiento rotatorio entre dos ejes con una relación de 
transmisión constante), tales como su relativa sencillez de fabricación, su capacidad para 
transmitir grandes potencias, la gran variedad de opciones constructivas, etc. 
 
Clasificación 
Los engranajes pueden clasificarse de diferentes maneras, a saber: 
 
1) Según la distribución espacial de los ejes de rotación 
2) Según la forma de dentado 
3) Según la curva generatriz de diente 
 
Una forma común de clasificar a los engranajes es a partir de la 1), es decir según la 
distribución espacial de los ejes de rotación, también denominados axoides. En la Figura 9.4 
se puede apreciar un esquema muy general de distribución de axoides de rotación y sus 
respectivas direcciones. Dadas las direcciones X1 y X2 se puede trazar el vector opuesto a ω1, 
o sea –ω1 de manera que el sistema quede trabado con un movimiento resultante ω2-ω1, cuyo 
eje instantáneo de rotación y deslizamiento dará el tipo de movimiento entre los dos ejes. 
 
Figura 9.4. Distribución de los ejes de rotación y sus direcciones 
 
Así pues, según que los ejes sean paralelos o se corten o se crucen corresponderán a las 
siguientes subclases de engranajes Cilíndricos, Cónicos o Hiperbólicos, respectivamente. 
 
Engranajes Cilíndricos: 
- De Dientes Rectos Exteriores (Ver Figura 9.5.a) 
- De Dientes Rectos Interiores (Ver Figura 9.5.b) 
- De Dientes Helicoidales Exteriores (Ver Figura 9.5.c) 
- De Dientes Helicoidales Interiores (Ver Figura 9.5.d) 
- De Dientes Rectos con cremallera (Ver Figura 9.5.e) 
Engranajes Cónicos 
- De dientes Rectos (Ver Figura9.5.f) 
- De dientes Helicoidales (Ver Figura 9.5.g) 
Engranajes Hiperbólicos 
- Sin Fin-Corona (Ver Figura 9.5.h) 
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- Hipoidales (Ver Figura 9.5.i) 
- De dientes helicoidales y ejes cruzados (Ver Figura 9.5.j) 
Engranajes No circulares 
- Ruedas dentadas para fines específicos similares a los de las levas o los de ciertos 
mecanismos (Ver Figura 9.5.k) 
 
(a) (b) (c) 
 
(d) (e) (f) 
 
(g) (h) (i) 
 
 
(j) (k) 
Figura 9.5. Ejemplos de engranajes. 
 
En la Figura 9.6 se muestra una caja de velocidades, con aplicaciones de diversos tipos de 
pares de ruedas dentadas como las expuestas en la Figura 9.5. Esta caja de velocidades, 
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muestra a su vez lo económicamente funcional y atractivo de utilizar varias etapas diferentes 
para incrementar la velocidad, en vez de utilizar un solo par de engranajes para cumplir el 
mismo cometido. Las características más fáciles de ver son: 
a) Aspecto compacto y sólido del cuerpo: dado que los ejes son más bien cortos y 
simplemente apoyados y los engranajes se ubican muy cercanos a los cojinetes para 
evitar deflexiones excesivas. 
b) Robusteza en aumento desde la entrada de par motor a la salida del par motor 
 
 
Figura 9.6. Ejemplos de aplicaciones de engranajes: caja de Velocidades: Reductora. 
 
Con el objeto de mostrar las características operativas más importantes de los engranajes, 
desde los principios de funcionamiento hasta consideraciones de seguridad y control se 
emplearán preferentemente configuraciones de engranajes de dientes rectas por poseer mayor 
simplicidad constructiva. El conocimiento de este tipo de engranaje es fundamental para 
comprender el funcionamiento de los pares de engranajes con mayor complejidad geométrica, 
lo cual incluye a los engranajes cilíndricos de dientes helicoidales, que son más preferidos que 
los de dientes rectos por ser operativamente más efectivos, compactos y permiten mayores 
velocidades. Aun así, los lineamientos generales del funcionamiento de los engranajes de 
rientes rectos son plenamente útiles en diferentes escalas de potencia y tamaño, como lo 
atestiguan los dos ejemplos de la Figura 9.7. En la Figura 9.7.a se puede observar un 
dispositivo micromecánico donde la rueda dentada genera los movimientos para los 
actuadores longitudinales. En la Figura 9.7.b se muestra una aplicación de engranajes 
planetarios para la transmisión de grandes potencias en un puente rotativo. En definitiva, sea 
en escala micro o macro, la mecánica de los engranajes se rige por las mismas expresiones 
analíticas. 
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(a) (b) 
Figura 9.7. Escalas de aplicación de engranajes. (a) micromecánica (b) macromecánica (Referencia [7]) 
 
 
La Ley de Engrane, acción conjugada y obtención de perfiles conjugados 
Los dientes de los engranajes para transmitir el movimiento de rotación, actúan conectados de 
modo semejante a las levas, siguiendo un patrón o pista de rodadura definido. Cuando los 
perfiles de los dientes (o levas) se diseñan para mantener una relación de velocidades 
angulares constante, se dice que poseen "Acción Conjugada". En consecuencia los perfiles 
de dientes de engranajes que ostenten acción conjugada, se denominarán “perfiles 
conjugados”. 
En términos generales, cuando una superficie hipotética empuja a otra (Figura 9.8), el punto 
de contacto "c" es aquél donde las superficies son tangentes entre sí. En estas circunstancias 
las fuerzas de acción-reacción están dirigidas en todo momento a lo largo de la normal común 
"ab" a ambas superficies. Tal recta se denomina "Línea de Acción" y cortará a la línea de 
centros "O1O2" en un punto P llamado "Punto Primitivo". En los mecanismos de contacto 
directo, en los cuales se produce contacto entre superficies que deslizan y/o ruedan, la 
relación de velocidades angulares es inversamente proporcional a la relación de segmentos 
que determina el "punto primitivo" sobre la línea de centros (la demostración se apoya en el 
teorema de Aronhold-Kennedy), o sea: 
PO
PO
r
ri
2
1
2
1
1
2 ===
ω
ω (9.1) 
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O1P y O2P se denominan "Radios Primitivos" y a las circunferencias trazadas desde O1 y O2 
con esos radios "Circunferencias Primitivas". En consecuencia, para que la relación de 
transmisión se mantenga constante, el punto P deberá permanecer fijo: la línea de acción, para 
cada punto de contacto, deberá pasar siempre por P. 
 
Figura 9.8. Esquema para la ley de engrane 
 
La ley de engrane basada en el análisis de la expresión (9.1) se puede enunciar como sigue: 
"La relación de transmisión entre dos perfiles se mantendrá constante, siempre y cuando la 
normal a los perfiles en el punto de contacto pase en todo instante por un punto fijo de la 
línea de centros." 
Como se ha mencionado anteriormente los perfiles que verifican la ley de engrane constante, 
son denominados perfiles conjugados. Si se tiene un perfil cualquiera η1 que gira alrededor de 
O1, siempre se puede calcular un perfil η2 que girando alrededor de O2 y en contacto con η1 
dé lugar a una relación de transmisión constante i = cte. es decir, tal que η2 sea el perfil 
conjugado de η1 según se puede apreciar en la Figura 9.9. 
Si se conocen los puntos O1 y O2 junto con la relación de transmisión i, se puede hallar el 
punto primitivo P, el cual se ubica sobre la línea de centros (y por tanto tangente a las 
circunferencias primitivas de radios r1 y r2). resolviendo el siguiente sistema de dos 
ecuaciones con dos incógnitas: 
PO
PO
r
ri
DPOPOrr
2
1
2
1
1
2
2121
===
=+=+
ω
ω (9.2) 
El lugar geométrico de los puntos que coinciden en cada instante con el punto de contacto 
entre ambos perfiles o superficies se le denomina "Línea de Engrane". El ángulo α que 
forma la normal a los perfiles en el punto de contacto con la perpendicular a la línea de 
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centros se denomina "Ángulo de Presión". El ángulo α determina, por tanto, la dirección en 
la que tiene lugar la transmisión de potencia entre ambos perfiles. Si este ángulo varía, la 
dirección de transmisión de potencia varía y esto es algo que, desde el punto de vista 
dinámico, puede resultar muy perjudicial. Lo ideal sería poder obtener una "línea de engrane" 
que fuese una línea recta (con lo que el ángulo de presión se mantendría constante). 
η 
1 
Figur
 
Las superficies o perfiles conju
 
a) Si η2 es el perfil conju
conjugado de η2. 
b) Si η2 es el perfil conju
son el mismo perfil. 
c) Si se fija un perfil conj
sobre una circunferenci
del perfil η1 según se a
perfil η1 en todas esas p
d) La recta normal a dos p
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r
η 
 
r2
a 9.9. Cinemática de los perfiles conju
gados gozan de las siguientes p
gado de η1, se verifica la inve
gado de η1 y η3 es el perfil con
ugado η1 a una circunferencia ru
a base de radio r2 se obtendrá un
precia en la Figura 9.10, de man
osiciones dará el perfil conjuga
erfiles conjugados pasa siempre
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1
gados 
ropiedade
rsa, es de
jugado de
leta de ra
a serie d
era que la
do. 
 por el pu
Tulio Piova
2
 
s 
cir que η1 es el perfil 
 η2, entonces η3 y η1 
dio r1 y se hace rodar 
e posiciones sucesivas 
 curva envolvente del 
nto primitivo P. 
n 
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Figura 9.10. Envolvente de un perfil conjugado. 
 
La esencia en la mecánica y cinemática de los perfiles conjugados, no es estrictamente 
privativa de los perfiles de dientes de engranajes, dado que aquella se presenta en muchas 
otras aplicaciones no necesariamente emparentadas con los engranajes. Entre otras 
aplicaciones importantes de lassuperficies conjugadas se encuentran, los impulsores de 
bombas de lóbulo (ver Figura 9.11.a), o la bomba de espiral (ver Figura 9.11.b). 
 
 
(a) (b) 
Figura 9.11. Otras superficies conjugadas. (a) bomba de lóbulos (b) Bomba de espiral 
 
 
El perfil de envolvente 
Una de las cosas que interesa en los engranajes es encontrar perfiles conjugados que, por una 
parte, satisfagan la ley general de engrane y, por otra, sean fáciles de construir. Un perfil que 
cumple estas condiciones es el de evolvente tal como se muestra en la Figura 9.12. Este tipo 
de perfil es el que se emplea en la mayor parte de los engranes. 
El perfil de envolvente o una curva de envolvente se puede definir de la siguiente manera. 
- La Evolvente es una curva tal que el lugar geométrico de los centros de curvatura 
de todos sus puntos forma una circunferencia. 
 
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(a) (b) 
Figura 9.12. (a) Perfil de envolvente (b) Generación para un diente de engranaje 
 
La obtención del perfil envolvente sigue un patrón bastante claro si se observa la Figura 
9.12.b. Así pues la curva de envolvente se obtiene a partir del punto A0, desarrollando sobre 
las tangentes sucesivas A1B1, A2B2, A3B3, A4B4, etc., las longitudes de arco de A1A0, A2A0, 
A3A0, A4A0, etc. con lo cual se obtienen los segmentos A1C1, A2C2, A3C3, A4C4, etc. uniendo 
los puetos Ci se obtiene la curva envolvente deseada. 
Entre las propiedades de los perfiles de evolvente se pueden destacar: 
- La línea de engrane es una recta: Llamábamos línea de engrane al lugar geométrico 
de los puntos de contacto entre perfiles conjugados. En el caso de los perfiles de 
evolvente la línea de engrane es AB: la tangente común a las circunferencias base de 
ambos perfiles (según se muestra en la Figura 9.13). La normal a los perfiles de 
evolvente, que coincide con la línea de engrane, da la dirección de transmisión de los 
esfuerzos El ángulo α que forma la línea de engrane con la horizontal, se denomina 
ángulo de presión. El ángulo de presión en este caso es constante, lo que resulta 
beneficioso desde el punto de vista dinámico. 
- Las superficies pueden engranar en cualquier distancia entre centros: Así pues, si 
se modifica la distancia entre centros, los perfiles siguen engranando, aunque con 
distinto ángulo de presión α' y distintos radios primitivos (r1i y r2i). Esto se debe a que 
la relación de velocidades depende sólo de los radios de la circunferencia base (ρ1 y 
ρ2), y no de la distancia entre centros. Conclusión que puede deducirse de forma 
directa observando la Figura 9.13. Esto se puede ver analíticamente como: 
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ] [ ]
ctei
r
r
r
r
PO
PO
CosrCosPOBOCosPOBO
CosrCosPOAOCosPOAO
1
2
2
1
2
1
2
1
2
1
222222
111111 ===
′
′
===⇒



′⋅′=′⋅′=′′=⋅==
′⋅′=′⋅′=′′=⋅==
ω
ω
ρ
ρ
αααρ
αααρ (9.3) 
 
- Los perfiles de evolvente son fáciles de generar: Recurriendo a la fórmula de Euler-
Savary se puede comprobar que todos los perfiles de evolvente son conjugados entre 
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sí, porque todos son conjugados a una ruleta constituida por un plano móvil con un 
perfil solidario que es una línea recta. Este plano se apoya, a su vez, sobre una base 
que no es otra que la circunferencia primitiva del engranaje. De esta forma, si se hace 
evolucionar un plano móvil, en el que se encuentra una curva Cm de centro de 
curvatura Om. Su conjugada en el plano fijo es Cf, de centro de curvatura Of. El punto 
de contacto entre ambas es A. Esta construcción se puede apreciar en al Figura 9.13.b. 
Por otro lado, conociendo las curvas base y ruleta del movimiento relativo entre 
ambos planos, se puede plantear la ecuación de Euler-Savary de la siguiente manera: 
[ ] cte
2
Sen
PO
1
PO
1cteSen
OmP
1
OfP
1
21
=









+⇒=





+
πϕ (9.4) 
En consecuencia se puede escribir 
[ ]
PO
1
PO
1Sen
OmP
1
OfP
1
21
+=





+ ϕ (9.5) 
 
(a) (b) 
Figura 9.13. (a) Propiedad de separación de los perfiles conjugados. (b) Generación de envolvente 
 
Ahora bien, la construcción genérica de la Figura 9.13.b con la expresión (9.5) se pueden 
disponer en el caso de la envolvente. Así pues, según la Figura 9.14, la normal por el punto P 
al perfil recto siempre es tangente a la circunferencia base. Luego, la envolvente de las 
distintas posiciones del perfil de la recta da el perfil de evolvente. Para comprobarlo basta con 
demostrar que el punto C de la Figura 9.14 es el centro de curvatura del perfil y que se 
encuentra sobre una circunferencia de radio ρ. Así, teniendo en cuenta (9.5) se puede escribir: 
[ ]
R
11
R
1Sen
OmP
1
OfP
1
=
∞
+=





+ ϕ , pero Om luego ∞→ [ ]ϕSenROfP ⋅= (9.6) 
Esto significa que el punto Of de la Figura 9.13.b, está siempre sobre una circunferencia de 
centro O y radio ρ = R. Sen[ϕ]. 
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Figura 9.14. Generación del perfil de envolvente y su relación con las circunferencias base y primitiva. 
 
En términos generales cuando se debe decidir por seleccionar el tipo de perfil del diente, se 
puede hacer arbitrariamente. En tal caso, el perfil del diente de la otra rueda se calculará 
mediante el método general de determinación del perfil conjugado de uno dado. Las ventajas 
asociadas al perfil de evolvente que acaban de verse dan lugar a que éste sea el perfil 
mayormente extendido; no obstante, pueden encontrarse también otros tipos de perfiles, 
aunque en menor medida y en la mayor parte de los casos orientados a aplicaciones 
específicas. 
- Engranajes Cicloidales: La cabeza del diente está trazada por una epicicloide y el pie 
por una hipocicloide. Tuvieron una gran difusión hace aproximadamente un siglo, en 
virtud de la facilidad para reproducirlos por fundición. No obstante, en la actualidad 
sólo se emplean en raras ocasiones para mecanismos especiales. En estos engranajes el 
perfil convexo contacta con el cóncavo. Lo cual hace que la presión específica en este 
tipo de contacto sea menor que cuando están en contacto dos perfiles convexos. Sin 
embargo, esto mismo los hace ser muy sensibles a las variaciones en la distancia entre 
ejes, requiriendo de una gran precisión. Al mismo tiempo, la velocidad de 
deslizamiento que tiene lugar entre dos dientes de este tipo es constante en cada una de 
las zonas del diente; y en ambos casos es significativamente menor que en el caso de 
los engranajes de evolvente. Esto da lugar a un menor nivel de desgaste del diente. Ver 
las Figuras 9.15 para entender el concepto de epicicloide e hipocicloide, mientras que 
en la Figura 9.16 se puede ver su ensamble. Una limitación significativa delos perfiles 
cicloidales reside en que la línea de engrane no resulta ser una línea recta, luego el 
ángulo de presión varía y en consecuencia varían tanto las magnitudes de las fuerzas 
de reacción en los cojinetes como las orientaciones de estas reacciones, lo que 
conduce al aflojamiento de los cojinetes. 
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- Perfiles para engranajes de relojes: Utilizado en mecanismos de relojería y en 
ciertos aparatos. Son similares a los perfiles cicloidales, pero en ellos la cabeza del 
diente es una circunferencia y no una epicicloide, mientras que el pie tiene una 
configuración rectilínea. Sufren poco desgaste y, sobre todo, tienen un funcionamiento 
muy suave. 
 
(a) (b) 
Figura 9.15. (a) Epicicloide. (b) Hipocicloide 
 
 
Figura 9.16. Combinación de perfiles cicloidales. 
 
2. Engranajes cilíndricos de dientes rectos 
Los engranajes cilíndricos de dientes rectos tienen su antecedente en las denominadas ruedas 
de fricción (Ver Figura 9.17) para poder transmitir movimiento entre dos ejes paralelos. 
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Figura 9.17. Ruedas de Fricción y su relación con los engranajes. 
 
Estas ruedas de fricción aun cuando permitan transmitir cierto par torsor o torque, no siempre 
es constante debido al deslizamiento que se genera. Aprovechando las características de los 
perfiles conjugados se puede hacer lo mismo dando lugar a los engranajes. 
 
Nomenclatura 
En la Figura 9.18 se muestra el desarrollo de una parte de la corona de un engranaje cilíndrico 
de dientes rectos. En la misma se pueden apreciar las entidades geométricas más importantes 
que definen a los engranajes. En cuanto sigue, los subíndices 1 y 2 indican los respectivos 
engranajes 
 
Figura 9.18. Características de los engranajes. 
 
- Circunferencia Primitiva (R): Llamada también circunferencia de paso y 
corresponde a la homónima circunferencia de contacto de las ruedas de fricción. 
- Circunferencia Exterior (Re): Es denominada también circunferencia de addendum 
o circunferencia de cabeza. 
- Circunferencia inferior (Ri): Es denominada también circunferencia de raíz o de pie 
o de deddendum. 
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- Ancho de cara: Es la longitud del diente medida axialmente. También se la denomina 
ancho de faja. 
- Addendum (a): es la distancia radial desde el radio primitivo al radio de cabeza. 
RRa e −= (9.7) 
- Deddendum (l): es la distancia radial desde el radio primitivo al radio inferior. 
iRRl −= (9.8) 
- Paso Circular (p): es la distancia entre dos puntos homólogos de dos dientes 
consecutivos, medidos sobre la circunferencia primitiva o de paso 
Z
R2pc
⋅
=
π (9.9) 
- Paso angular (pa): es el ángulo entre dos puntos homólogos de dos dientes 
consecutivos. 
Z
2pa
π
= (9.10) 
- Ancho de espacio (h ): es el espacio entre dos dientes consecutivos, medido en la 
circunferencia de paso. 
eph −= (9.11) 
- Juego (j): es la diferencia entre el huelgo de un diente y el espesor del engrana junto 
con aquel. 
21 ehj −= (9.12) 
- Holgura (c): es la diferencia entre el deddendum de un diente y el addendum del que 
engrana con aquel. 
12 alc −= (9.13) 
- Altura de diente (hT): es la distancia radial entre las circunferencias exterior e 
inferior. 
lahT += (9.14) 
- Espesor de diente (e): es el espesor medido sobre la circunferencia de paso. 
- Número de dientes (Z): es la cantidad de dientes que tiene el engranaje 
- Módulo (m ): es el cociente entre el diámetro primitivo del engranaje y el número de 
dientes. 
Z
R2m= (9.15) 
- Paso diametral (pd): es el cociente entre el diámetro primitivo del engranaje y el 
número de dientes. 
m
1
p
p
c
d ==
π (9.16) 
 
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El valor numérico de módulo determina el tamaño del diente, ya que el paso es el mismo sin 
importar si los dientes se colocan en una rueda pequeña o en una rueda grande. Nótese que a 
mayor "m", mayor será el diente y a mayor pd menor tamaño de diente. Por otro lado, y con 
respecto a otro tipo de pasos (pc, pa) el módulo tiene la ventaja de no depender del número π. 
En la Figura 9.19 se puede ver una galga de identificación de pasos diametrales normalizados. 
 
Figura 9.19. galga de pasos diametrales. 
 
En general, para que dos ruedas dentadas con perfil de evolvente sean intercambiables entre 
sí, se deben cumplir las siguientes condiciones. 
- Tener el mismo módulo (o mismo paso circular o diametral según (9.16)). 
- Igual ángulo de presión de generación. 
- Presentar addendum y dedendum normalizados. 
- Anchura del hueco igual al espesor del diente, ambos sobre la circunferencia 
primitiva. 
Existen diferentes criterios y formas de normalización de los perfiles de dientes, según las 
normas técnicas de cada país: 
- DIN de Alemania 
- AFNOR de Francia 
- UNE de España 
- AGMA de Estados Unidos de Norteamérica 
Sin embargo la más conocida y empleada es la última. En la Tabla 9.1 se muestran algunos 
casos estándar para cuatro clases de dientes. 
 
CLASE pd [pul-1] 
Grueso ½, 1, 2, 4, 6, 8, 10 
Semi Grueso 12, 14, 16, 18 
Fino 20, 24, 32, 48, 64, 72, 80, 96, 120, 128 
Extrafino 150, 180, 200 
Tabla 9.1. Paso diametral estándar (AGMA) para cuatro clases de dientes 
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Distancia central entre engranajes 
Observando la Figura 9.17 y teniendo en cuenta las definiciones (9.7) a (9.16) se puede 
obtener la siguiente expresión de la distancia entre ejes: 
( ) ( )21
d
21
c
21d ZZp2
1ZZ
2
p
RRc +=+=+=
.π
 (9.17) 
Es claro que conocidos los radios de las circunferencias primitivas de los engranajes, se puede 
obtener fácilmente la distancia central. 
 
Construcción de engranajes rectos 
Los procedimientos más comunes para el tallado de ruedas dentadas se dividen en dos 
grandes grupos: 
- Procedimientos de reproducción. 
- Procedimientos de generación o rodadura. 
 
Procedimientos de Reproducción 
En los procedimientos de mecanizado o tallado de ruedas dentadas por reproducción, el borde 
cortante de la herramienta es una copia exacta de la rueda a tallar o de cierta parte de ella (por 
ejemplo, del hueco entre dientes contiguos). Estos métodos exigen de un número elevado de 
herramientas, ya que incluso para fabricar ruedas dentadas con el mismo módulo es necesario 
contar con una herramienta para cada número de dientes puesto que el hueco interdental varía. 
Se pueden distinguir los siguientes procedimientos: 
- Fundición: Se puede considerar como herramienta el molde que se llena con el 
material colado. Este molde es una copia exacta de la futura rueda, si no se considera 
el sobreespesor que va asociado a la fundición. 
- Procesos de metalurgia de polvos o pulvimetalurgia. 
- Estampado: La matriz que sirve como herramienta cortante tiene la forma de la futura 
rueda. Es un procedimiento empleado generalmente con ruedas delgadas. 
- Por corte con herramientas: La herramienta tiene la forma exacta del hueco 
interdental. Cabe distinguir dos procedimientos según la máquina herramienta 
utilizada 
o Cepillado: La herramienta en la sección perpendicular a la dirección de su 
movimiento tiene perfiles cortantes que se corresponden perfectamente con el 
contorno del hueco interdental del engranaje a tallar. 
o Fresado: se utiliza una herramienta denominada fresa estandarizada o “fresa de 
módulo" cuyos dientes tienen perfiles idénticos a la forma del hueco 
interdental que se pretende. Al final de cada operación de fresado la fresa 
vuelve a su posición inicial y la pieza bruta gira un ángulo igual a 1/Z de vuelta 
para poder fresar el siguiente hueco. Ver Figura 9.20 
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Figura 9.20. Características del fresado. 
 
Procedimientos de Generación 
Entre los procedimientos de generación de ruedas dentadas se pueden hallar: 
- Generación por cremallera: para esto se aprovecha una propiedad del perfil de 
evolvente, según la cual todos los perfiles de evolvente son conjugados a una ruleta 
constituida por un plano móvil, que apoya sobre una base que es la circunferencia 
primitiva del engranaje, con un perfil solidario que es una línea recta. Así se pueden 
generar los engranes por medio de una cremallera, haciendo que la línea primitiva de 
ésta ruede sobre la circunferencia primitiva del engranaje. La cremallera consiste en 
varios planos rectos unidos rígidamente, de modo que pueden generarse 
simultáneamente las dos caras del diente. Partiendo de un cilindro de acero, la 
cremallera se emplea como herramienta de corte en el sentido perpendicular al plano 
del dibujo de la Figura 9.21. Una vez efectuado el corte, se levanta la cremallera, se 
gira la pieza que se está tallando un ángulo determinado y se repite el proceso. 
 
Figura 9.21. Generación por cremallera. 
 
- Generaciónpor mortajadora: es un procedimiento análogo al de la cremallera, pero la 
mortajadora además del giro comunica un movimiento complementario de vaivén 
axial. Después de cada operación de corte la rueda-herramienta y la pieza bruta giran 
unos ángulos que mantienen la misma relación que las velocidades angulares. Ver 
Figura 9.22. 
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Figura 9.22. Generación por mortajadora. 
 
Razón de contacto 
Para garantizar un funcionamiento continuo y suave, cuando un par de dientes termina de 
hacer contacto, debe haber un par sucesivo de dientes que entren en contacto inmediatamente 
o que ya estén en contacto. Un objetivo en el diseño de ruedas dentadas es tener la mayor 
superposición como sea posible. En la Figura 9.23 se muestran los elementos necesarios para 
poder definir la relación de contacto, la cual es una medida de la superposición que se puede 
obtener en un dentado determinado. La razón de contacto es un cociente entre la longitud de 
la línea de acción al paso de la circunferencia de base. 
 
Figura 9.23. Elementos geométricos para definir la razón de contacto. 
 
Par aun par de dientes, el contacto arranca en el punto “a” y concluye en el punto “b” (ver 
Figura 9.23). Con rp y rg se identifican los radios los engranajes que intervienen. Con α se 
identifica el ángulo de presión. Observando la Figura 9.23 se puede llegar a obtener la 
siguiente relación entre longitudes: 
 
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( )
( )2
cacb
2
bp
2
ba
2
bp
2
op
2
cbac
2
bp
2
ab
2
bg
2
og
LLrLrr
LLrLrr
**
**
++=+=
++=+=
 (9.18) 
pero teniendo en cuenta que 
[ ]
p
ca
g
cb
r
L
r
L
Sen
**
==α (9.19) 
se pueden despejar de (9.18) Lac y Lcb de forma que la longitud de la línea de acción Lab viene 
dada por: 
[ ]αSencrrrrL d2bg2og2bp2opab −−+−= (9.20) 
Luego la razón de contacto viene dado por la siguiente expresión: 
[ ] [ ]
[ ] [ ]
c
d2
bg
2
og
2
bp
2
op
cc
ab
r p
Tanc
rrrr
Cosp
1
Cosp
L
C
α
αα
−−+−== (9.21) 
Por observaciones experimentales, las normas AGMA sugieren el diseño de engranajes que 
tengan como mínimo una relación de contacto Cr = 1.2. Una razón de contacto entre 1 y 2 
significa que en algún momento se encuentran dos pares de dientes en contacto. Mientras que 
relaciones de contacto mayores que 2 o que 3 implica que habrá en algún momento tres o 
cuatro pares de dientes en contacto simultáneo. La razón de contacto ofrece una idea del 
número de dientes que engranan en cada instante y nunca podrá ser menor que uno. Por 
ejemplo, una relación de contacto de 1.6 sugiere que el 60% del tiempo hay dos pares de 
dientes en contacto simultáneamente, mientras que el 40% restante sólo hay uno. 
Asociado a la razón de contacto, se halla el concepto de ángulo de conducción o ángulo de 
contacto, el cual es el ángulo descripto desde el punto de primer contacto entre un par de 
dientes hasta que los dientes pierden el contacto. 
 
Interferencia 
Se llama interferencia al contacto entre partes de perfiles que no son conjugadas, y a la 
interferencia de la propia materia. Pueden distinguirse dos tipos: 
- Interferencia de Tallado o Penetración. 
- Interferencia de Funcionamiento. 
 
La “Interferencia de tallado o penetración” tiene lugar cuando la cremallera de generación 
corta material en puntos situados en el interior de la circunferencia base, es decir, más allá de 
donde termina el perfil de evolvente. Ello destruye parcialmente el perfil de evolvente y 
provoca un debilitamiento en la base del diente que afecta negativamente la resistencia del 
mismo, como se puede ver en la Figura 9.24.a. El tallado de un engranaje con cremallera se 
realiza haciendo rodar la "línea primitiva de la cremallera" (que tiene circunferencia primitiva 
de R = ∞) sobre la circunferencia primitiva de la rueda. Así los dientes de la rueda se tallan 
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como perfiles conjugados de los dientes de la cremallera (envolventes de sus sucesivas 
posiciones). Sin embargo hay que tener en presente que el perfil de evolvente termina en el 
punto C de la Figura 9.24.b (punto de la circunferencia base), y si la línea exterior de la 
cremallera pasa por debajo de C se produce interferencia de tallado. Para que no se produzca 
interferencia, el addendum debe cumplir con la siguiente expresión: 
[ ] [ ]αα 2c SenRSenPCPMa ⋅=⋅=≤ (9.22) 
pero teniendo presente que 
⇒=
Z
R2m [ ]α2c Sen2
mZa ⋅≤ (9.23) 
y si los dientes son normalizados según AGMA, donde se cumple que ac=m, entonces 
[ ]α2Sen
2Z≥ (9.24) 
La expresión (9.24) pone ciertos límites al tallado de engranajes con el método de cremallera, 
ya que favorece la interferencia en ruedas con menos de 17 dientes (con el ángulo de presión 
normalizado α=20°). 
 
 
(a) (b) 
Figura 9.24. (a) efecto de la interferencia de penetración. (b) Simulación de la interferencia 
 
Existen sin embargo, algunas técnicas para salvar este inconveniente, entre las que están 
- Incrementar el ángulo de presión a 25° 
- Disminuir el tamaño del addendum del diente 
- Tallar engranajes corregidos desplazando la cremallera 
Estas tres alternativas exceden el alcance de estas notas y por ello se sugiere recurrir a la 
literatura especializada (referencia [8]). 
 
La “Interferencia por Funcionamiento” tiene lugar cuando un diente de una de las ruedas 
entra en contacto con el de la otra en un punto que "no está tallado" como función evolvente, 
tanto en el caso de que se pretenda engranar fuera de "segmento de engrane", como en el que 
se pretenda engranar en un punto de este segmento que no esté tallado como perfil de 
evolvente. 
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En la Figura 9.25 se puede apreciar el potencial efecto de la interferencia de funcionamiento, 
para lo cual se prevé una holgura circunferencial determinada, llamada también juego o 
“backlash”. En la Tabla 9.2 se suministran algunos valores indicativos de juegos mínimos 
recomendados para el buen funcionamiento de engranajes de paso basto. Un efecto 
contraproducente que puede traer el “backlash” o golpeteo, es que puede no transferir toda la 
carga de manera uniforme y genera condiciones de potencial rotura por fatiga. 
 
Figura 9.25. Interferencia de funcionamiento y juego. 
 
distancia central cd [pul] Paso diametral pd [pul-1] 2 4 8 16 
18 0.005 0.006 - - 
12 0.006 0.007 0.009 - 
8 0.007 0.008 0.010 0.014 
5 - 0.010 0.012 0.016 
3 - 0.014 0.016 0.020 
Tabla 9.2. Juego recomendado (medido en [pul]) por AGMA 1012-F90. 
 
Formas analíticas de los perfiles de envolvente: Aplicaciones 
Se puede obtener una forma analítica para hallar el perfil de envolvente, con el cual luego se 
puede tiene una forma para medir el espesor del diente para diferentes radios, conociendo el 
espesor del diente en la circunferencia de paso. 
Así pues, en la Figura 9.26.a se puede observar la generación de un perfil de envolvente. De 
acuerdo a lo expuesto en los apartados anteriores, queda claro que la longitud del arco AB es 
igual a la longitud del segmento BC. En consecuencia se puede escribir: 
( )
[ ]
⇒




⋅=
+⋅=
ψ
θψ
TanRBC
RAB
 [ ] [ ]ψψψθ Θ=−=Tan (9.25) 
La expresión recuadrada es denominada función envolvente. Se puede calcular el ángulo θ de 
generación en función de y, lo cual es muy fácil de obtener. Pero para construir la curva es 
necesario emplear la inversa de (9.25) cuya solución se halla con métodos aproximados, luego 
 [ ]θψ Ψ= (9.26) 
Las funciones Ψ y Θ son funciones inversas. Luego el radio r, medido desde O, se obtiene de 
la siguiente manera: 
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 [ ] ( )[ ]θψ ΨCos
R
Cos
Rr == (9.27) 
 
 
(a) (b) 
Figura 9.26. Función de envolventey la ponderación de espesor. 
 
Ahora bien, Para hallar el espesor del diente en un punto T, conocido dicho espesor en otro 
punto A, del análisis de la Figura 9.26 se pueden establecer las siguientes relaciones: 
 e 
TTAA
AAA
TTT
R2
R2e
βθβθ
β
β
+=+
⋅⋅=
⋅⋅=
(9.28) 
Luego, teniendo en cuenta (9.25) y (9.28) se puede despejar eT como: 
 ( ) ( )[ ]





−+= TA
A
A
TT 2R
eRe ψψ ΘΘ (9.29) 
Normalmente, el espesor del diente conocido es el situado sobre la circunferencia primitiva 
(A está sobre la circunferencia primitiva). Para engranes tallados a cero (sin corrección) se 
verifica que eA = pc/2 = m π/2. La expresión (9.29) puede emplearse para evaluar 
analíticamente la corrección de dentado. 
 
Los dientes de engranajes vistos en los apartados anteriores corresponden a engranajes 
normales o tallados a cero, es decir, tallados de forma que la circunferencia primitiva de 
tallado (la que rueda sobre la línea primitiva del piñón o de la cremallera) tiene igual espesor 
de diente que de hueco. Además del interés que se puede tener en obtener una relación de 
contacto razonable y en mejorar la resistencia mecánica de los dientes de las ruedas, estos 
engranajes tienen dos importantes limitaciones: 
- Un Número de dientes mínimo, por debajo del cual se produce interferencia de tallado, 
según la (9.24) 
- La distancia entre centros viene impuesta por la normalización de los módulos y los 
números de dientes, pues: 
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 ( )2121c ZZ2
mRRd +=+= (9.30) 
La solución a estos problemas se obtiene con los engranajes corregidos. La idea consiste en 
tomar como línea primitiva de la cremallera de tallado -en el caso de generación por 
cremallera- una línea en la que la anchura del diente sea distinta de la anchura del hueco, 
según se puede apreciar en la Figura 9.27. Donde ϕ es el ángulo de presión. De esta manera la 
cremallera es desplazada una cantidad “m·x”, donde “x” es denominado factor de corrección 
y “m” el módulo del engranaje. Así una corrección positiva, evitará la interferencia de tallado, 
nótese por otro lado la Figura 9.28 con las diferentes situaciones de interferencia. 
 
Figura 9.27. Tallado para un engranaje corregido. 
 
 
Figura 9.28. Interferencias y tallado. 
 
En la Figura 9.28, se muestra un engranaje de Z = 12, ángulo de presión 20°, módulo 2. La 
parte superior tiene una interferencia de x = 0.1, mientras que la parte inferior tiene una 
interferencia de x = 0.5. Obsérvese, por otro lado, las diferencias en el espesor en la cabeza 
del diente, para un caso y otro, siendo ambos maquinados con la misma herramienta. 
En determinadas circunstancias es necesario plantear el problema de interferencia de tallado 
de modo inverso, es decir conocido el número de dientes a tallar, calcular cuál será el factor 
de corrección mínimo (x) para que no exista interferencia de tallado. En virtud de lo visto en 
los apartados anteriores, tal solución es viable desde un punto de vista analítico, el cual 
redunda en importantes conclusiones de índole más práctica en el tallado de engranajes por 
cremallera. 
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Figura 9.29. Esquema de corrección de dentado por cremallera. 
 
Si se observa la Figura 9.29 se desprende que para que no exista interferencia por tallado, se 
debe cumplir la siguiente relación: 
 ( ) [ ]ϕSenCPx1m ⋅≤− (9.31) 
de la cual teniendo en cuenta la expresión (9.24) y que: 
 [ ] [ ] [ ]ϕϕϕ 22 Sen
2
mZSenRSenCP ⋅=⋅=⋅ (9.32) 
se tiene finalmente el factor de corrección mínimo como: 
 
[ ]
límite
2
Z
Z1
2
SenZ1x −=⋅−≥ ϕ (9.33) 
Ahora bien, en cuanto a la distancia entre centros, considérense dos ruedas de radios 
primitivos R1 y R2 maquinadas con la misma cremallera pero con desplazamientos distintos x1 
y x2, respectivamente. Si x1 y x2 son positivos, las ruedas no engranarán a la distancia entre 
centros igual a la suma (R1 + R2), porque ha aumentado el espesor de los dientes en las 
circunferencias primitivas, y cada diente no cabe en el hueco de la otra rueda. Análogamente, 
si ambas son negativas, existirá gran holgura entre el espesor del diente y el hueco sobre la 
circunferencia primitiva. En cualquier caso, las ruedas engranarán a otra distancia entre ejes y 
los radios de las circunferencias primitivas de tallado no coincidirán con los de las 
circunferencias primitivas de funcionamiento. Estos tendrán los siguientes valores R1v y R2v, 
formando en consecuencia un nuevo ángulo de presión efectivo a ϕv. Esto puede verse en la 
Figura 9.30. Los radios de base se mantienen iguales, es decir se cumple que 
 
[ ] [ ]
[ ] [ ]vv222b
vv111b
CosRCosRR
CosRCosRR
ϕϕ
ϕϕ
⋅=⋅=
⋅=⋅=
(9.34) 
Ahora bien observando la Figura 9.31, se pueden deducir los espesores de diente sin 
modificación (e) y modificado (e’), los cuales vienen dados por las siguientes expresiones: 
 
2
m
2
pc π.==e , e' [ ]ϕTanmx2 ⋅⋅⋅+= .e (9.35) 
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Figura 9.30. Esquema de funcionamiento. 
 
 
Figura 9.31. Esquema de modificación en el tallado. 
 
Luego los espesores en las circunferencias primitivas de los engranajes 1 y 2 vienen dados 
por: 
 
[ ]
[ ]ϕπ
ϕπ
Tanmx2
2
m
Tanmx2
2
m
2
1
⋅⋅⋅+=
⋅⋅⋅+=
..
.
2
1
e'
e'
 (9.36) 
Ahora bien teniendo en cuenta la expresión (9.29), los espesores 
 
( ) ( )[ ]
( ) ( )[ ]





−+=






−+=
v
2
v2
v
1
v1
2
R
R
2
R
R
ϕϕ
ϕϕ
ΘΘ
ΘΘ
2
2v
1
1v
e'
e'
e'e'
 (9.37) 
E igualando la suma de los espesores de los dientes de ambas ruedas al paso medido sobre las 
circunferencias primitivas de funcionamiento se tiene: 
 
1
v1
1
v1
1
v1
v R
R
m
mR2
R2
Z
R2
p π
ππ
====+
/2v1v
e'e' (9.38) 
Sustituyendo (9.36) y (9.37) en (9.38) y teniendo en cuenta que 
 
2b
1b
v2
v1
2
1
R
R
R
R
R
R
== (9.39) 
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Luego de algunas manipulaciones algebraicas se obtiene finalmente: 
 ( ) ( ) ( )
( )
[ ]ϕϕϕ Tan
ZZ
xx2
21
21
v +
+
+=ΘΘ (9.40) 
La cual es la condición geométrica para que un engranaje engrane con otro sin juego y 
garantice las condiciones de funcionamiento. 
 
3. Engranajes cilíndricos de dientes helicoidales 
 
Nociones Básicas 
Los engranajes rectos tienen la característica de que cada diente empieza a engranar 
bruscamente en toda su longitud y termina de engranar del mismo modo. Por lo tanto, los 
pequeños errores geométricos inevitables en la fabricación de los dientes se traducen en 
pequeños choques al empezar el engrane, acompañados del correspondiente ruido. Además, al 
ser variable con el tiempo el número de dientes en contacto (por ejemplo, para una relación de 
contacto del 1,7), ello se traduce en variaciones de carga súbitas sobre los dientes (no es lo 
mismo que un diente soporte toda la carga que ésta sea repartida entre dos); es decir, 
variaciones bruscas de la fuerza transmitida a cada diente. Debido a esto, los engranajes 
cilíndricos rectos no resultan adecuados para transmitir potencias importantes (producen 
vibraciones, ruidos, etc). 
Una primera aproximación para solucionar este problema podría consistir en tallar engranajes 
rectos desplazados, de modo que los saltos súbitos se suavicen. Es lo que se conoce como 
engranajes cilíndricos escalonados y su funcionamiento es tanto más suave cuanto mayor es el 
número de escalones en los que es tallado el engranaje. La idea de los engranajes helicoidales 
surge así como el paso al límite de los engranajes escalonados, en donde los saltos son tan 
pequeños (infinitesimales) que hay continuidad. En ellos, el engrane de dos dientes empieza y 
termina de forma gradual, lo que se traduce en una marcha más “suave” (menos ruido y 
vibraciones). Al mismo tiempo,los dientes helicoidales permiten obtener, con cualquier 
número de dientes, una relación de contacto tan grande como se quiera. 
 
Figura 9.32. Esquema de engranaje helicoidal como límite de sucesión de engranajes rectos infinitesimales. 
 
En un engranaje cilíndrico de dientes helicoidales (véase la Figura 9.33), una sección formada 
por un plano normal al eje de giro presenta un perfil análogo al de un engranaje de dientes 
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rectos (perfil de evolvente, ángulo de presión, línea de engrane, etc). Este es el denominado 
perfil frontal de la rueda, situado sobre el plano frontal o aparente. 
 
Figura 9.33. Plano de corte frontal de un engranaje cilíndrico de dientes helicoidales. 
 
Los engranajes helicoidales tienen dos pasos relacionados, uno en el plano de rotación y otro 
en el plano normal al diente. En los engranajes de dientes rectos, los pasos se miden solo en el 
plano de rotación. En los engranajes de dientes helicoidales existe además un paso axial. En la 
Figura 9.34 se muestran estos pasos. 
 
Figura 9.34. Pasos de los engranajes helicoidales. 
 
- pc es el paso circunferencial 
- pcn es el paso normal 
- pa es el paso axial 
- ψ es el ángulo de hélice 
 [ ]ψCospp ccn ⋅= , [ ]ψCos
p
p ddn = , [ ] [ ]ψψ Sen
p
Tan
p
p cnca == (9.41) 
En los engranajes helicoidales se pueden caracterizar tres ángulos diferentes, que influyen en 
la definición geométrica y distribución de las fuerzas. Estos ángulos son: 
- El ángulo de hélice ψ 
- El ángulo de presión en la dirección normal φn 
- El ángulo de presión en la dirección tangencial φt 
 
Estos tres ángulos pueden ser identificados en la Figura 9.35. Se podría ver sin mayores 
complicaciones que los tres ángulos están relacionados por la siguiente expresión 
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 [ ] [ ][ ]t
n
Tan
Tan
Cos
φ
φ
ψ = (9.42) 
Ahora bien, observando la Figura 9.35, donde se presenta un cilindro cortado por un plano 
oblicuo en un ángulo igual al ángulo de hélice. El plano oblicuo corta un arco que tiene radio 
de curvatura R. En el caso de que ψ = 0 (engranaje de dientes rectos), el radio de curvatura es 
igual a R = D/2. Pero si se va aumentando paulatinamente el valor del ángulo ψ, hasta llegar a 
ψ = 90°, se tendrá que el radio de curvatura es INFINITO. El radio de curvatura R del cilindro 
intersectado por el plano oblicuo, es el radio de paso aparente de un diente de engranaje 
helicoidal cuando se ve en la dirección de los elementos del diente. Un engranaje con el 
mismo paso y con el ángulo y, tendrá un mayor número de dientes debido al radio 
incrementado. Este número de dientes se denomina Número de Dientes Virtuales y se calcula 
de la siguiente forma 
 
[ ]ψ3Cos
NN =′ (9.43) 
donde N es el número de dientes real, N’ es el número de dientes virtual. 
 
Figura 9.35. Identificación de ángulos en un perfil helicoidal. 
 
Al igual que los engranajes rectos, los helicoidales pueden presentar interferencia, el número 
mínimo de dientes para un engranaje que opera sin riesgo de interferencia se calcula con la 
siguiente expresión (ver referencia [9]) 
 
[ ]
[ ]
[ ]( )t2
t
2P Sen311Sen6
kCos4N φ
φ
ψ
++= con k 


=
cortosdientesPara80
completosdientesPara1
___.
___
(9.44) 
 
4. Engranajes cónicos 
 
Nociones Básicas 
Los engranajes cónicos se emplean para transmitir movimiento entre ejes que se intersecan. 
En la Figura 9.36 se muestra un par de engranajes cónicos y se ilustra la terminología de los 
mismos. Los ángulos de paso se definen por los conos de paso que se unen en el ápice. Así 
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Versión 2004 
pues, si NP y NG son los números de dientes en el engranaje pequeño y grande, 
respectivamente; entonces: 
 [ ]γTan
N
N
G
P = , [ ]ΓTan
N
N
P
G = (9.45) 
 
Figura 9.36. Engranajes cónicos. 
 
En la expresión (9.46) se indica una forma aproximada para calcular el número virtual de 
dientes de un engranaje cónico 
c
b
p
r2
N
⋅
=′
π
 (9.46) 
siendo rb el radio del cono posterior, pc es el paso circular medido en el extremo mayor de los 
dientes. 
 
 
5. Bibliografía 
 
[1] J.E. Shigley y C.R. Mischke, “Diseño en Ingeniería Mecánica”, McGraw Hill 2002 
[2] B.J. Hamrock, B. Jacobson y S.R. Schmid, “Elementos de Máquinas”, McGraw Hill 2000 
[3] M.F. Spotts y T.E. Shoup, “Elementos de Máquinas”, Prentice Hall 1999 
[4] A.H. Erdman y G.N. Sandor, “Diseño de Mecanismos” Prentice Hall 1998 
[5] R.L. Norton, “Diseño de maquinaria”, McGraw Hill 2000 
[6] M.J.T Lewis “Gearing in the ancient world” 
[7] Editorial. “Lifting Boats, measuring gears”. Gear Technology. May-June 2003, 9-11. 
[8] D.P. Townsend “Dudley´s gear handbook” McGraw Hill 1992 
[9] R. Lipp, “Avoiding Tooth interference in Gears”. Machine Design 54(1) 122-124 (1982) 
UTN-FRBB Cátedra: Elementos de Máquinas. Profesor: Dr. Ing. Marcelo Tulio Piovan