capitulo-ejes

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541214
ELEMENTOS DE MAQUINAS
GABRIEL BARRIENTOS RIOS
DEPARTAMENTO DE INGENIERIA
MECANICA
Universidad de Concepción
Concepción, Chile
17 de octubre de 2010
Caṕıtulo 9
Ejes
9.1. Introducción
Algunas definiciones preliminares:
1. Eje (rotatorios o inmóviles). Sirven unicamente para soportar piezas (o
que gira muy lentamente) por lo que están sometidos principalmente
a flexión.
2. árbol (rotatorios). Transmiten momento de giro (torque) y además
están sometidos a flexión.
3. Husos o husillos. Árboles cortos que deben transmitir un movimiento
de precisión
4. Gorrón ó Muñón. Son las partes de los ejes o árboles que giran dentro
de los cojinetes.
5. Bulones. Ejes cortos
Un árbol se diseña pensando en varios efectos sobre él:
Resistencia mecánica.
Deflexiones lineales.
Deflexiones angulares.
Frecuencias naturales.
El cálculo por resistencia se puede realizar por varios métodos, entre los que
destacan:
201
202 CAPÍTULO 9. EJES
1. Código ASME. Representa una primera aproximación rápida respecto
a los esfuerzos que hacen fallar al eje.
2. Códigos de fatiga. Existe una gran variedad de métodos que permiten
obtener resistencia segura. La figura 1.7 permite calcular el eje en difer-
entes condiciones de seguridad. La zona interna representa los puntos
de esfuerzos de trabajo seguro y la curva misma el ĺımite máximo.
3. Método gráfico. No solo permite determinar esfuerzos en el eje sino
además las deflexiones lineales y/o angulares. Posee poca precisión
comparada con las fórmulas teóricas tradicionales.
4. Métodos numéricos. Destaca en este caso el uso del método de los
elementos finitos.
9.2. Fuerzas sobre los ejes
9.2.1. Engranajes rectos
La figura 9.1 muestra las fuerzas de interacción en los dientes de una
transmisión con engranajes rectos. Cada diente en contacto transmite una
fuerza en la dirección del ángulo de presión φ que puede descomponerse en
dos direcciones convenientes: una componente radial Fr y una componente
tangencial Ft. Si F es la fuerza total transmitida, entonces se cumplen las
relaciones:
Fr = Fsenφ
Ft = Fcosφ
T = Ft ·
D0
2
P = T · ω
(9.1)
donde P es la potencia a transmitir, T es el torque transmitido, ω la veloci-
dad angular y D0 el diámetro primitivo.
9.2.2. Engranajes helicoidales
La figura 9.2 muestra el detalle de la fuerza transmitida en engranajes
helicoidales. En este caso la fuerza transmitida F se descompone en las
direcciones radial Fr, tangencial Ft y axial Fa, cuyas relaciones se expresan
de la siguiente forma:
9.2. FUERZAS SOBRE LOS EJES 203
Figura 9.1: Fuerzas producidas en un diente recto
Fr = Fttanφ
Fa = Fttanψ
Fb =
Ft
cosψ
F =
Fb
cosφn
=
Ft
cosψcosφn
T = Ft ·
D0
2
P = T · ω
(9.2)
9.2.3. Engranajes cónicos
La figura 9.3 muestra el detalle de la fuerza transmitida F en engranajes
cónicos. En este caso la fuerza transmitida se descompone en las direcciones
radial Fr, tangencial Ft y axial Fa, cuyas relaciones se expresan de la sigu-
iente forma:
204 CAPÍTULO 9. EJES
Figura 9.2: Fuerzas producidas en los dientes de un engranaje helicoidal
9.2. FUERZAS SOBRE LOS EJES 205
F =
Ft
cosφ
Fn = Fsenφ = Fttanφ
Fa = Fnsenγ = Fttanφsenγ
Fr = Fncosγ = Fttanφcosγ
dav = d− bsenγ
vav = πdavN
Ft =
P
vav
(9.3)
donde dav es el diámetro medio mostrado en la figura. Para efectos de diseño
se supone que la fuerza actúa en este diámetro medio.
Figura 9.3: Fuerzas producidas en un engrane cónico
9.2.4. Fuerzas en poleas
La figura 9.4 muestra la nomenclatura usada en la transmisión polea
correa. El giro mostrado indica que el lado tenso genera la fuerza F1 y el
lado flojo la fuerza F2 con F1 > F2. Las relaciones que permiten determinar
206 CAPÍTULO 9. EJES
estas fuerzas están dadas por las siguientes expresiones:
P = Tω
F1
F2
= e
µβ
senα2
TA = (F1 − F2)D0p/2
TB = (F1 − F2)D0c/2
donde µ es el coeficiente de roce entre la polea y la correa, β es el ángulo
de abrazamiento entre polea y correa y α es el ángulo de inclinación de las
caras laterales en una correa en V . DA es el diámetro de la polea menor
y DB es el diámetro de la polea mayor. Dependiendo de la inclinación de
las componentes F1 y F2 con respecto a la vertical (o horizontal), ellas se
transmiten al eje adecuadamente.
Figura 9.4: Fuerzas producidas en una polea
9.3. PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO 207
9.2.5. Cadena-sproker (piñón)
Las fuerza sproducidas en una cadena cuando transmiten potencia se
muestran en la figura 9.5. En este caso el lado suelto (flojo) se estima que
no trasnmite fuerzas y el torque sólo se calcula en base a la fuerza Fc del
lado tenso. Esta será la fuerza que se transmite al eje correspondiente.
Figura 9.5: Fuerzas producidas en una cadena
9.3. Procedimiento de cálculo
Antes de iniciar el cálculo por resistencia de un árbol, es necesario cono-
cer todas las cargas que actúan sobre él y usando los conocimientos de
estática y dinámica calcular las reacciones en los apoyos. Con ello deberá con-
struirse los correspondientes gráficos de cargas a lo largo del eje, esto es,
diagramas de tracción-compresión, diagramas de momentos flectores, dia-
grama de torques, diagrama de corte. Con ellos deberá ubicarse la sección
más cargada y en ella calcularse los correspondientes esfuerzos equivalentes
necesarios para la evaluación del diámetro mı́nimo por resistencia y deflex-
iones.
Adicionalmente en esta etapa deberá obtenerse por algún método conocido
la elástica del eje y sus correspondientes deflexiones lineales y angulares que
deberán estar convenientemente limitadas según los elementos usados sobre
el eje: engranajes, poleas, rodamientos, descansos deslizantes, cadenas, etc.
208 CAPÍTULO 9. EJES
Los criterios de diseño estarán regidos por condiciones tales como:
δi ≤ δ∗i
es decir, la expresión obtenida para δi estará en función de los parámetros
del eje y del diámetro mı́nimo a determinar, el cual deberá ser menor o
a lo sumo igual a un valor pre-establecido δ∗i que deberá ser obtenido de
valores recomendados. El caso t́ıpico lo representa un engranaje. Si en la
posición i irá montado un engranaje, éste debe limitarse: que sus distan-
cias entre centros no vaŕıen más de lo recomendado para obtener un buen
funcionamiento.
Lo mismo es válido para los descansos. Si por ejemplo en un descanso se
tiene un rodamiento, éste para su buen funcionamiento deberá limitar (entre
otros) su deflexión angular, es decir, el diseño del eje también deberá satis-
facer la condición:
θj ≤ θ∗j
es decir, la pendiente en ese descanso debe estar limitada por el tipo de
rodamiento seleccionado en el descanso j. Ese valor ĺımite θ∗j es dado por el
fabricante.
La figura 9.6 muestra un ejemplo clásico de cálculo de reacciones y dia-
gramas de momentos y de torque necesarios para detectar las secciones más
cŕıticas desde el punto de vista de los esfuerzos.
La curva de la elástica y sus correspondientes deflexiones lineales y angu-
lares se obtiene de expresiones teóricas (ver tabla 9.1)(usando además super-
posición) o de métodos de integración gráfica (ver figura 9.7). Este método
gráfico se usa cuando previo al diseño del diámetro mı́nimo del eje se puede
estimar que el eje será con ciertos cambios de sección pre establecida.
Una vez trazado el diagrama M/EI en una escala conveniente se elige el
punto O1 denominado polo ubicada a una distancia conveniente P desde una
ĺınea vertical de referencia ab. Se dividen las áreas ubicadas bajo el gráfico de
M/EI generalmente con distancias horizontales igualmente espaciadas. Las
ĺıneas ĺımites son los trazos como cd. Se traza la ordenada media de cada
área tal como ef . Se proyectan estas ordenadas medias sobre la ĺınea de
referencia ab tal como fg. Se ubica un punto de partida conveniente Q para
la curva de pendiente y se trazan paralelas a los rayos O1b, ....,O1g,...,O1a
por ejemplo. Aśı hi es paralela a O1g. Una vez terminado el diagrama de
pendientes se eleige un polo conveneinteO2 para el diagrama θ y se realiza un
proceso similar al anterior para obtener la curva elástica y. En la ubicación
de los soportes se marcan los puntos m y n y se traza la recta mn pudiéndose
9.3. PROCEDIMIENTO DE CÁLCULO 209
Figura 9.6: Diagramas de momento y torque en un ejemplo cualquiera
210 CAPÍTULO 9. EJES
Figura 9.7: Método de integración gráfica
9.4. RESISTENCIA 211
medir las desviaciones correspondientes de la curva respecto a esta ĺınea. En
Faires [10] y [12] aparecen varios ejemplos resueltos por este método.
Una forma alternativa de cálculo de las deflexiones lo representa el méto-
do numérico de elementos finitos. La figura 9.8a,b muestra un eje cualquiera
que a partir de su plano de fabricación se construye el correspondientes
modelo en base a elementos finitos de tipo 3D. En la mayoŕıa de los caso las
deflexiones se pueden determinar con suficiente exactitud usando elementos
de viga unidimensionales. Cuando además se requieren evaluar esfuerzos en
diferentes puntos del eje es conveniente usar el modelo 3D como el mostrado
en la figura 9.8c. Detalles del modelo se muestran en las otras figuras d y e.
9.4. Resistencia
Cuando un árbol está sometido a esfuerzos combinados y estamos calcu-
lando los esfuerzos de Von Mises (esfuerzos equivalentes), las componentes
medias y alterna del esfuerzo de Von Mises quedan dadas por las relaciones:
σ
′
a = (σ
2
xa + 3τ
2
xya)
1/2
σ
′
m = (σ
2
xm + 3τ
2
xym)
1/2
donde:
σxa =
32Ma
πd3
σxm =
32Mm
πd3
τxya =
16Ta
πd3
τxym =
16Tm
πd3
por lo tanto reemplazando se obtiene:
σ
′
a =
[(
Kf
32Ma
πd3
)2
+ 3(Kfs
16Ta
πd3
)
]1/2
=
16
πd3
√
4(KfMa)2 + 3(KfsTa)2
212 CAPÍTULO 9. EJES
Figura 9.8: Modelo numérico por elemento finitos de un eje
9.4. RESISTENCIA 213
Figura 9.9: Modelo FEM con el detalle del chavetero
σ
′
m =
[(
Kf
32Mm
πd3
)2
+ 3(Kfs
16Tm
πd3
)
]1/2
=
16
πd3
√
4(KfMm)2 + 3(KfsTm)2
o en forma resumida:
σ
′
a =
16A
πd3
con A =
√
4(KfMa)2 + 3(KfsTa)2
σ
′
m =
16B
πd3
con B =
√
4(KfMm)2 + 3(KfsTm)2
donde Tm y Ta son las componentes media y alterna del torque en la sec-
ción y Mm y Ma son las componentes media y alterna del momento flector
resultante en la sección.
Con estos valores de los esfuerzos equivalentes se aplica el correspon-
diente criterio de falla. La tendencia actual es aplicar la teoŕıa de Gerber
[19] por considerarse más adecuada a este tipo de aplicaciones. Si se tu-
viera otros efectos significativos (tracción, compresión, corte), ellos deberán
sumarse vectorialmente a los esfuerzos de flexión y torsión dados.
214 CAPÍTULO 9. EJES
Si aplicamos Gerber, se obtiene la siguiente expresión para el diámetro
mı́nimo:
d =
{
8NA
πSe
[1 + (1 + (
2BSe
ASu
))1/2]
}1/3
Los valores de Kf y Kfs deberán estimarse en base a los concentradores
existentes en cada sección del eje. La figura 9.10 y 9.11 entregan valores para
el concentrador de esfuerzos estático Kt para algunos casos t́ıpicos de ejes
sometidos a flexión y torsión.
El factor de concentración de esfuerzos a la fatiga Kf se obtiene con la
fórmula:
Kf = 1 + (Kt − 1)q
donde q es el factor de sensibilidad a la entalla el cual depende del material
y se puede obtener de literatura especializada en cálculo a la fatiga.
q = 0 para materiales insensibles a la entalla.
q = 1 para materiales completamente sensibles a la entalla.
9.4.1. Fórmulas para cálculo de deflexiones en vigas
La Tabla 9.1 muestra un resumen de fórmulas que permiten calcular
directamente la deflexión en una viga (eje) en condiciones de carga sim-
ples. Para casos más complicados, por ejemplo ejes con cambios de sección,
cambios de material, deberán usarse métodos más elaborados, tales como:
método de área momento, método de Castigliano.
9.5. Frecuencias naturales en flexión
Nunca un árbol gira concéntrico respecto a su eje geométrico. Eso per-
mite que el centro de masa del eje en conjunto con las partes y piezas que lo
componen tengan un movimiento circular que genere una fuerza centŕıfuga
sólo debido a este nivel de desbalanceamiento. Esta excentricidad traducida
en fuerza centŕıfuga Fc = mω2r es resistida por la rigidez EI del eje. Mien-
tras las deflexiones sean pequeñas, menores a ciertos valores pre-establecidos,
el eje no sufre daño.
Se denomina velocidades cŕıticas del eje a ciertos valores de velocidad de
giro que hacen que él gire en forma inestable, aumentando drásticamente
las deflexiones llegando incluso a su auto destrucción. Se ha encontrado que
9.5. FRECUENCIAS NATURALES EN FLEXIÓN 215
Figura 9.10: Coeficientes de concentraciones de esfuerzos en ejes con distintos
tipos de cargas y/o configuraciones
216 CAPÍTULO 9. EJES
Figura 9.11: Otros coeficientes de concentraciones de esfuerzos en ejes con
distintos tipos de cargas y/o configuraciones
9.5. FRECUENCIAS NATURALES EN FLEXIÓN 217
Tipo de carga Elástica Deflexión
y = Px
2
6EI (3l − x) δ =
Pl3
3EI
y = Pa
2
6EI (3x− a); a < x < l δ =
Pa2
6EI (3l − a)
y = wx
2
24EI (x
2 + 6l2 − 4lx) δ = wl48EI
y = Mx
2
2EI δ =
Ml2
2EI
y = Pbx6lEI (l
2 − x2 − b2); 0 < x ≤ a δ = Pb(l
2−b2)3/2
9
√
3lEI
y = wx24EI (l
3 − 2lx2 + x3) δ = 5wl4384EI
y = Mlx6EI (1−
x2
l2
) δx=1/√3 =
Ml2
9
√
3EI
y = Mx6lEI (l − x)(2l − x) δmax =
Ml3
9
√
3EI
Tabla 9.1: Valores de deflexiones en vigas con diferentes configuraciones
218 CAPÍTULO 9. EJES
este fenómeno propio de cualquier eje sobre el cual están montados diver-
sos elementos (masas) al girar a estas velocidades cŕıticas, es decir, que la
frecuencia de la carga excitadora (velocidad de rotación) se acerque a los
valores de las frecuencias cŕıticas, las deflexiones aumentan y se dice que
entran en zona resonante.
El problema consiste entonces en calcular las velocidades cŕıticas y tra-
bajar con las frecuencias de las fuerzas que producen la vibración lo suficien-
temente alejadas. Recomendaciones de diseño hablan de trabajar alejados
de las frecuencias naturales tal que por ejemplo la frecuencia de trabajo ω
se mantenga entre los valores: 0,8ωc1 ≥ ω ≥ 1,15ωc1 donde ωc1 es la primera
frecuencia natural del eje. En la mayoŕıa de los casos las frecuencias natu-
rales de ejes comunes son lo suficientemente altas como para llegar a trabajar
con fuerzas con esos niveles de frecuencias. Aśı, es prioritario determinar la
primera frecuencia natural en la mayoŕıa de los casos prácticos y sólo cuando
el eje trabaje entre la primera y la segunda frecuencia natural (caso de los
turbogeneradores) deberemos preocuparnos de calcular ambas.
Los métodos clásicos en su mayoŕıa están orientados a calcular la primera
frecuencia natural. Entre estos los más usados están el método de Rayleigh y
el método de Dunkerley. El método de los coeficientes de influencia permite
también calcular otras frecuencias naturales de orden superior.
9.5.1. Método de Rayleigh
Para problemas simples, con eje de diámetro uniforme, simplemente
apoyado como el de la figura 9.12.a este método es aplicable en forma teórica
de la forma:
ωc1 =
(
π
l
)2√EI
m
=
(
π
l
)2√gEI
Aγ
donde m es la masa por unidad de longitud, A es el área de la sección
transversal y γ es el peso espećıfico, g es la aceleración de gravedad, l la
longitud del eje y EI su rigidez flectora.
En el caso de considerar el eje en forma discreta (ver figura 9.12.b y c),
el método de Rayleigh se transforma en:
ωc1 =
√
g
∑
giδi∑
Wiδ2i
donde Wi es el peso de la i-ésima ubicación y δi es la deflexión en la ubicación
del i-ésimo cuerpo considerado en o sobre el eje.
9.5. FRECUENCIAS NATURALES EN FLEXIÓN 219
Figura 9.12: Variables usadas en los métodos de obtención de velocidades
cŕıticas para un eje y sus masas asociadas
220 CAPÍTULO 9. EJES
9.5.2. Método de Dunkerley
Al igual que el método de Rayleigh, sólo permite conocer la primera
velocidad cŕıtica del eje. Se determina con la relación:
1
ωc1
=
1
ω21
+
1
ω22
+ .....+
1
ω2n
donde ωi es la velocidad cŕıtica del eje si sóloactuara la masa i en él, es
decir: ωi = g/δ1, con δi la deflexión en el punto en que está ubicada la masa
i.
9.5.3. Método de los coeficientes de influencia
Se determina igualando a cero el siguiente determinante:
α11m1 − 1ω2 α12m2 α13m3 ... ... α1nmn
α21m1 α22m2 − 1ω2
α31m1 α33m3 − 1ω2
α41m1
.
αn1m1 αnnmn − 1ω2
donde los αi son los coeficientes de influencia y se definen como la de-
flexión estática de la masa en la posición i debido a una fuerza unitaria
aplicada en la posición j, cuando esta fuerza unitaria es la única que está ac-
tuando. Además se cumple que αij = αji. Por ejemplo α11 = δ1/W1 con δ1
la deflexión debido a una carga en 1 en la posición 1.
9.6. Frecuencias naturales en torsión
La tabla 9.2 muestra tres casos clásicos [2] donde se pueden estimar
las frecuencias naturales en torsión considerando conocida la rigidez (k) en
torsión del eje y las inercias de las masas montadas en el eje Ji. Los primeros
valores (cero) corresponden a modos de vibración de cuerpo ŕıgido.
9.7. Consideraciones de diseño
Existe una serie de criterios y disposiciones que deberán aplicarse cuan-
do se diseña un eje. Cada uno de los criterios aplicados (resistencia, deflex-
iones lineales, deflexiones angulares, frecuencias naturales) dará origen a un
9.8. APLICACIONES 221
Geometŕıa Frecuencia natural
0, 12π
(
2k
J
)1/2
0, 12π
[
k(J1+J2)
J1J2
]1/2
0, 12π
(
k
J
]1/2
, 12π
(
3k
J
]1/2
Tabla 9.2: Frecuencias naturales en torsión
diámetro mı́nimo. En general el criterio predominante será aquel del cual se
obtenga el mayor de los diámetros mı́nimos.
Si el eje a construir es único y la cantidad (costos) no constituye un crite-
rio importante, este diámetro mı́nimo seleccionado sufrirá modificaciones de
acuerdo al montaje y funcionamiento de los elementos que van en él. Siempre
deberá ser considerado el montaje o desmontaje de los elementos en forma
fácil, por lo que al final resulta un eje más robusto hacia el centro, tal como
se visualiza en la figura 9.13, donde el diámetro mı́nimo seŕıa el diámetro
indicado en rojo.
Las modificaciones realizadas finalmente al eje (queda más robusto: más
ŕıgido) dependen de recomendaciones prácticas encontradas en catálogos
y/o bibliograf́ıa dada en las referencias.
Si se trata de diseños donde los costos de producción serán significativos,
el proceso de diseño del diámetro mı́nimo del eje deberá ser iterativo, ya que
podrán existir zonas de diámetros menores a los del diámetro mı́nimo, en
cuyo caso deberán verificarse que los coeficientes de seguridad sean cumpli-
dos. Esto persigue disminuir el material del eje, hacerlo más liviano, menos
ŕıgido y que en grandes cantidades signifique un ahorro.
Como ya se mencionó, el método de elementos finitos permite afinar este
calculo con todas las consideraciones que en los métodos teóricos clásicos se
hace imposible considerar.
9.8. Aplicaciones
1. La figura 9.14 representa un sistema de transmisión por engranajes
rectos. El motor entrega una potencia de 100kW a 1500rpm. La po-
tencia es consumida en el eje hueco donde se ubican los engranajes
222 CAPÍTULO 9. EJES
Figura 9.13: Caso de ejemplo donde el diámetro mı́nimo se ha variado de
acuerdo a recomendaciones necesarias para la operación y/o montaje del
sistema
9.8. APLICACIONES 223
Z2 y Z3. Se consume la mitad de la potencia en cada engranaje. Al
engranaje 3 se conectan otros tres ejes a través de los engranajes Z4
Z5 y Z10, cada uno de los cuales absorbe un sexto de la potencia, es
decir P/6. Conocidos todos los Z y los diámetros primitivos de los
engranajes, determinar:
(a) el diámetro mı́nimo del eje hueco sobre el cual están tallados los
engranajes 2 y 3. Cualquier dato que use deberá ser claramente especi-
ficado de acuerdo a tablas y/o recomendaciones.
Los datos de diámetros primitivos deberán ser estimados proporcional-
mente de la figura, tal que el resultado medido en miĺımetros sea mul-
tiplicado por 20 para obtener el valor real en miĺımetros. Para las
distancias entre los apoyos use el factor 30. Todos los ángulos de pre-
sión son 20o. Todos los módulos usados son de 10 mm. En base a estos
datos estimar adecuadamente la relación de transmisión en cada caso.
(b) Para el engranaje 2, dibuje la curva de esfuerzos debido a la flexión
de la carga tangencial en un punto cualquiera de la base de un diente.
Seleccionando los datos que faltan adecuadamente, determine el ancho
mı́nimo del diente. No use la formula de diseño según AGMA. Sólo
haga consideraciones teóricas asociadas a la mecánica de sólidos.
(c) Si la potencia del motor disminuye a la mitad, cuantifique el efecto
sobre la vida útil del rodamiento de bolas ubicado en el descanso B.
2. El eje intermedio 2 de la figura 9.15 debe ser diseñado de manera que
se cumpla la relación de diámetros indicada. La mitad del eje es de
diámetro d y la otra mitad de diámetro 2d. La potencia entra por la
polea A del eje superior 1 y se consume por el eje inferior 3. Se conoce
toda la geometŕıa del sistema excepto el diámetro mı́nimo d. Calcule
el diámetro mı́nimo de este eje 2. Debe ser claro incluyendo datos de
entrada, procedimiento, hipótesis, diagramas de cuerpo libre, fórmulas
usadas cuando corresponda, selección de materiales, etc.
3. El eje de la figura 9.16 tiene en la zona central una polea plana doble
A y B cuyos diámetros son dA = 200mm y dB = 140mm. El eje gira a
800rpm y la polea A es la que conecta el eje al motor de accionamiento
de 10HP . Suponiendo que la estructura interior de la polea es la indi-
cada y debe considerarse como un cuerpo ŕıgido, determine el diámetro
mı́nimo del eje. Use datos de materiales y coeficientes, obtenidos de la
literatura. Proponga un sistema de montaje explicando claramente las
hipótesis consideradas.
224 CAPÍTULO 9. EJES
Figura 9.14: Ejes que dividen la potencia en varias direcciones dentro de una
máquina cualquiera
L1 = L2 = 200mm, a = 38mm.
Coef. roce polea-correa = 0, 7
4. El sistema de la figura 9.17 representa el esquema de una máquina que
recibe la potencia de entrada Pe en el eje 1 y la consume (potencia
de salida Ps) en el eje 3. Por medio de una palanca externa es posible
cambiar la relación de transmisión entre los ejes 1 y 2, moviendo axial-
mente el engrane montado en el eje 1 sobre la zona estriada. Todos los
engranajes son rectos y de acero con una densidad. Si requiere alguna
cota deberá asignarle una letra que la identifique. Considerando una
velocidad de entrada en el eje 1 ω1 = ω0 y la relación de diámetros en
9.8. APLICACIONES 225
Figura 9.15: Ejemplo de eje intermedio
Figura 9.16: Polea de poco espesor
226 CAPÍTULO 9. EJES
los engranes D1 = D3 = D y D2 = D4 = D/2, D5 = 0,7D3 explique
detalladamente (usando fórmulas de la resistencia de materiales) como:
a) calcula el diámetro mı́nimo del eje 2.
b) calcula en espesor mı́nimo del engranaje D3 ó D4 por resistencia
(sin usar código AGMA)
c) selecciona los rodamientos del eje 2, Rc y RD
Todos las relaciones deben quedar en función de los parámetros dados:
Pe, Ps, D,w, γ, ω0, r
Figura 9.17: Múltiples ejes con velocidad variable por uso de eje estriado
5. El eje de la figura 9.18 tiene montado una polea doble en V ubicada en
su centro, tal como se indica. Considerando que L = 0, 8m y a = 0, 1m,
determine el diámetro mı́nimo del eje por resistencia.
La polea A del eje de entrada, transmite una potencia de 10kW a
650rpm. El esfuerzo de fluencia del material del eje es 40 y el de ruptura
55kg/mm2. Use concentradores de esfuerzos en la zona de la polea de
1,5 para flexión y 1, 8 para torsión. Desprecie el corte de Jourasky. La
polea C transmite el movimiento al eje mediante una chaveta plana.
Considere que los ángulos de abrazamiento de las correas en la polea
C son: entre A y C 200o y entre B y C 220o. Utilice los siguientes
9.8. APLICACIONES 227
coeficientes: Coef. de tamaño Ct = 0, 8, coeficiente de superficie Cs =
0, 9 y coeficiente de cargaCc = 0, 85
Figura 9.18: Ejemplo de transmisión de potencia con una correa en V doble
Bibliograf́ıa
[1] aublin m., Systemes Mecaniques. Theorie et Dimensionnement Ed.
DUNOD, Paris, (1992)
[2] Blevins Robert D., Formulas for natural frequency and mode shape
Van Nostrand Reinhold Company, New York, (1972)
[3] Budynas Richard G. - Nisbett J. KeithDiseño en Ingenieŕıa
Mecánica de Shigley Ed. Mc Graw Hill, Octava Edición, México, (2008)
[4] cabrera Francisco, Determinación de curvas de deflexión en resortes
Belleville usando el método de elementos finitos Informe de Memoria de
Titulación, Ingenieŕıa Civil Mecánica , Universidad de Concepción, Chile
, (2008)
[5] Calero Perez, Roque - José Antonio Carta González, Funda-
mentos de mecanismos y máquinas para ingenieros Ed. Mc Graw Hill,
Madrid, (1999)
[6] carry howard b., Modern welding technology Prentice Hall, New York,
(1979)
[7] dobrovolsky v., zablonsky k., mak s., radchik a., erlikh l. ,
Machine elements Foreign Languages Publihing House, Moscow, (1965)
[8] doughtie v., Vallance a., , Design of machine members McGraw-Hill
Book Company Inc., New York, (1964)
[9] FAG Schaeffler Group Industrial, Rolling bearing Catalog FAG
Schaeffler KG, June, (2006)
[10] Faires Virgil Morning, Diseño de elementos de máquinas Ed.
Limusa, México, (1997)
307
308 BIBLIOGRAFÍA
[11] Falk Alex , Peña y Lillo Gonzalo, Elementos de Máquinas. Tomo
I Ed. Escuela de Ingenieŕıa U. de C., (1974)
[12] hall a. s., Holowenko a. r., laughlin h. g.Teoŕıa y Problemas de
Diseño de máquinas Serie de Compendios Schaum, McGraw-Hill, Mexi-
co, (1971)
[13] Juvinall R. C., Marshek K. M.Fundamentals of machine compo-
nent design Ed. John Wiley and Sons, Second Edition, Canadá, (1991)
[14] Martin James, Martin Thomas, Bennet Thomas, Martin
KatherineSurface mining equipment First Edition, Martin Consultants
Inc., USA (1982)
[15] niemann G.Tratado teórico práctico de Elementos de Máquinas Ed.
Labor, Segunda Edicion, España, (1973)
[16] Norton R. L., Diseño de máquinas Ed. Prentice Hall Inc. México,
(1988)
[17] pilkey walter d., Peterson’s stress concentration factors John Wiley
and Sons Inc.,, Second Edition Toronto, (1997)
[18] scheel C.A., Análisis estructural de etapas compresoras de motores
tubo-fan Tesis para optar al Grado de Magister , Universidad de Con-
cepción, Chile , (2008)
[19] shigley J. E. - Mischke Ch. R., Diseño en Ingenieŕıa Mecánica Ed.
Mc Graw Hill, Sexta Edición, México, (1990)
[20] Skf group, Catálogo General de rodamientos SKF, Suecia, (2006)
[21] Skf group, MAnual SKF de msntenimiento de rodamientos SKF, Sue-
cia, (1996)
[22] Spotts M. F. - Shoup M. F., Elementos de máquinas Ed. Prentice
Hall Inc., Séptima Edición, México, (2002)
[23] Spotts M. F., Mechanical Design Analysis Ed. Prentice Hall Inc., New
Yersey, (1995)
[24] Timken Company, Manual Técnico de rodamientos TIMKEN Ar-
gentina, (1988)
BIBLIOGRAFÍA 309
[25] vergara C.A., Análisis de esfuerzos en soldaduras sometidas a torsión
y flexión usando el método de elementos finitos Informe de Memoria de
Titulación, Ingenieŕıa Civil Mecánica , Universidad de Concepción, Chile
, (2007)