trabajo semana 9 matematica basica

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“AÑO DEL FORTALECIMIENTO DE LA SOBERANÍA 
NACIONAL” 
 
MATEMÁTICA BÁSICA-INGENIERÍA DE SISTEMAS-I-
TARDE-B 
 
 
DOCENTE: Mgtr: José Antonio Manco Chávez 
GRUPO: 
 Richard Anderson Tenorio Acha 
Dante Jossue Campos Ochoa 
Jeferson Jesus Cama Auris 
Franchescoly Geancarlos Palomino Arucanqui 
Jhon Willy Martinez Timana 
Steven Condori Janampa 
 
 
 
 
Ejercicios Propuestos 
 
 
 
i. Tomamos la condición de la relación y descomponemos la desigualdad doble: 
 
 2 < |𝑥 − 4| ≤ 12 
 
 𝑎) 2 < |𝑥 − 4| 𝑏) |𝑥 − 4| ≤ 12 
 
ii. Resolvemos cada desigualdad utilizando las propiedades de valor absoluto: 
 
 𝑎) 2 < |𝑥 − 4| 
 
 𝑥 − 4 > 2 𝑦 𝑥 − 4 < −2 
 𝑥 > 6 𝑥 < 2 
 
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∶ 𝑥 ∈ < −∞, 2 > ∪ < 6,+∞ > 
 𝑏) |𝑥 − 4| ≤ 12 
 
−12 ≤ 𝑥 − 4 ≤ 12 
 
 
−12 ≤ 𝑥 − 4 𝑦 𝑥 − 4 ≤ 12 
 −8 ≤ 𝑥 𝑥 ≤ 16 
 
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 ∶ 𝑥 ∈ [−8,16] 
 
 
iii. Evaluando lo despejado se obtiene el siguiente intervalo al que x pertenece: 
 
 𝑥 ∈ < −∞, 2 > ∪ < 6,+∞ > ∩ [−8,16] 
 GRAFICA DEL INTERVALO: 
 
 
 
 
 
 
 𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 ∈ [−8,2 > ∪ < 6,16] 
 
 
Solución: 
i. Despejamos y: 
 |𝑦| ≥ 𝑥2 ∧ |𝑦| < 𝑥 
 𝑦 ≥ 𝑥2 ∨ 𝑦 ≤ −𝑥2 …(∗) − 𝑥 < 𝑦 < 𝑥 
−𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥 … (∗∗) 
ii. Analizando en (*) vemos que se graficará una parábola abierta hacia arriba 𝑦 = 𝑥2 con 
vértice en (0,0) al cual se le sombreará la parte interior (𝑦 ≥ 𝑥2). Esto se unirá con una 
parábola abierta hacia abajo 𝑦 = −𝑥2 con vértice en (0,0) al cual se le sombreará su 
interior (𝑦 ≤ −𝑥2). En ambos casos se incluye la curva. Quedando de la siguiente 
forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iii. Analizando en (**) vemos que se graficará una recta identidad (𝑥 = 𝑦) al cual se le 
sombreará el lado derecho sin incluir la recta (𝑦 < 𝑥). Esto se interceptará con la recta 
(−𝑥 = 𝑦) al cual se le sombreará el lado derecho sin incluir la recta (−𝑥 < 𝑦). 
Quedando de la siguiente manera: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
iv. Por último, interceptamos las gráficas de ii y iii. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
v. Con la gráfica hecha analizamos el dominio y rango de la relación. 
𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜(𝑆) =< 0,1 > 
 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜(𝑆) =< −1,1 > 
 
 
 
 
i) Tomamos la condición de la relación y descomponemos la desigualdad doble: 
 
 |𝑦| ≤ |𝑥| ≤ 3 
 
 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑠𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑑𝑎𝑑 𝑝𝑜𝑑𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟: 
 
 𝑎) |𝑦| ≤ 3 𝑦 |𝑥| ≤ 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ii) Resolvemos de manera individual las desigualdades, utilizando definición de valor 
absoluto: 
 𝑎) |𝑦| ≤ 3 𝑠𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟í𝑎 − 3 ≤ 𝑦 ≤ 3 
 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑦 ∈ [−3,3] ; 𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑚𝑎𝑟 (y) 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 
 
 𝑏) |𝑥| ≤ 3 𝑠𝑒 𝑡𝑒𝑛𝑑𝑟í𝑎 − 3 ≤ 𝑥 ≤ 3 
 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑥 ∈
[−3,3] ; 𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑟 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑞𝑢𝑒 𝑝𝑢𝑒𝑑𝑒 𝑡𝑜𝑚𝑎𝑟 (𝑥) 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜 
 
iii) De ii obtenemos que el dominio y rango de la relación es: 
 
 𝐷𝑜𝑚𝑖𝑛𝑖𝑜: 𝑥 ∈ [−3,3] 
 
 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜: 𝑦 ∈ [−3,3] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dominio S=[−1,1] 
Rango S=[−1,1] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
--------------------- ------------------- --
--
--
--
--
--
--
--
--
- 
--------------------- 
1 
1 
-1 
-1 
x 
y 
𝑆 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅2/ √𝑦 ≥ 𝑥} 
𝑆−1 = {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝑅^2/ √𝑥 ≥ 𝑦} 
𝑅𝐸𝐸𝑀𝑃𝐿𝐴𝑍𝐴𝑅 𝑋 𝐶𝑂𝑁 𝑌 
𝑅𝐸𝐸𝑀𝑃𝐿𝐴𝑍𝐴𝑅 𝑌 𝐶𝑂𝑁 𝑋 
 
 
 
 
 
a) (2,1) y (3,4) 
 
i. Al pedirnos la pendiente de la recta utilizaremos la fórmula de la pendiente: 
 
 𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
 
 
ii. Identificamos los valores a reemplazar: 
 
 (2,1) 2 = 𝑥1 𝑦 1 = 𝑦1 
 
 (3,4) 3 = 𝑥2 𝑦 4 = 𝑦2 
 
 
 
𝑦 = √𝑥 
𝑆−1 
 
 
iii. Reemplazamos los datos en la fórmula, donde: 
 
𝑚 =
4 − 1
3 − 2
 
 𝑚 =
3
1
 
 𝑚 = 3 
 
b) (6, −3) y (−2, 1) 
 
i. Al pedirnos la pendiente de la recta utilizaremos la fórmula de la pendiente: 
 
 𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
 
 
ii. Identificamos los valores a reemplazar: 
 
 (6, −3) 6 = 𝑥1 𝑦 − 3 = 𝑦1 
 
 (−2,1) − 2 = 𝑥2 𝑦 1 = 𝑦2 
 
iii. Reemplazamos los datos en la fórmula, donde: 
 
𝑚 =
1 − (−3)
(−2) − 6
 
 𝑚 = −
4
8
 
 𝑚 = −
1
2
 
 
c) (0, 1) y (1, 0) 
 
i. Al pedirnos la pendiente de la recta utilizaremos la fórmula de la pendiente: 
 
 𝑚 =
𝑦2 − 𝑦1
𝑥2 − 𝑥1
 
 
ii. Identificamos los valores a reemplazar: 
 
 (0,1) 0 = 𝑥1 𝑦 1 = 𝑦1 
 
 (1,0) 1 = 𝑥2 𝑦 0 = 𝑦2 
 
 
 
iii. Reemplazamos los datos en la fórmula, donde: 
 
𝑚 =
0 − 1
1 − 0
 
 𝑚 = −
1
1
 
 𝑚 = −1 
 
Tenemos: tan(𝛼) =
2 tan(𝛼∕2)
1−tan2(𝛼∕2)
 ^ tan(𝛼) = 1 
 
1 =
2tan (𝛼∕2)
1−tan2 (𝛼∕2)
 
1 − tan2(𝛼 ∕ 2) = 2 tan(𝛼 ∕ 2) 
0 = tan2(𝛼 ∕ 2) + 2 tan(𝛼 ∕ 2) − 1 
tan (
𝛼
2
) = −2 ±
√22 − 4(1)(−1)
2(1)
 
tan (
𝛼
2
) =
−2 ± √8
2
 
tan (
𝛼
2
) = −1 ± √2 
Finalmente tenemos: 
𝑚1= √2−1 
𝑚2 = −(√2 + 1) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
I. 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 
 
 𝐿 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑟 (−1,1) 
 
 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑜𝑠 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑥 𝑒 𝑦 
 
 1 = (−1)𝑚 + 𝑏 
 1 = −𝑚 + 𝑏 
 𝑏 = 𝑚 + 1 
 
 
II. Reemplazamos el valor despejado de b en 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 y desarrollamos la ecuación 
 
 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑚 + 1 
 𝑚𝑥 − 𝑦 + (𝑚 + 1) = 0 
 
 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑚𝑥 − 𝑦 + (𝑚 + 1) = 0 𝑒𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 𝐿 
 𝑑𝑖𝑐ℎ𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙 𝑑𝑒 3 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 
DONDE: 
 𝐴 = 𝑚 𝐵 = −1 𝐶 = 𝑚 + 1 
 
III. Distancia de una recta a un punto: 𝑃(4,1) 
 
 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎(𝐿, 𝑃) =
𝐴𝑥1 + 𝐵𝑥2 + 𝐶
±√𝐴2 + 𝐵2
 
 
√5 =
4𝑚 + (−1)(1) + 𝑚 + 1
±√𝑚2 + 1
 
 
 (√5)
2
= (
5𝑚
±√𝑚2 + 1
)
2
 
 
 5 = 
25𝑚2
𝑚2 + 1
 
 
 5𝑚2 = 𝑚2 + 1 
 
 4𝑚2 = 1 
 
 𝑚2 =
1
4
 
 𝑚 = +
1
2
 𝑚 = −
1
2
 
 
 
 
 
 ∴ −
1
2
𝑥 − 𝑦 −
1
2
+ 1 = 0 
 
 −
1
2
𝑥 −
1
2
+ 1 = 𝑦 
 
 𝑦 = 1 −
1
2
(𝑥 + 1) 
 
 
i. Usando la fórmula de la pendiente 𝑚 =
𝑦−𝑦0
𝑥−𝑥0
 en la recta 𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗. 
Además 𝑃 = (𝑎, 𝑏) y 𝑂 = (0,0). 
 
−3 =
𝑏 − 0
𝑎 − 0
 
−3𝑎 = 𝑏 
 
ii. Usando la fórmula de la pendiente 𝑚 =
𝑦−𝑦0
𝑥−𝑥0
 en la recta 𝑀𝑃⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗ . 
Además 𝑃 = (𝑎, 𝑏) y 𝑀 = (3,1). 
 
2 =
𝑏 − 1
𝑎 − 3
 
2𝑎 − 6 = 𝑏 − 1 
2𝑎 − 5 = 𝑏 
 
iii. Ahora reemplazamos el valor de b hallado en i 
2𝑎 − 5 = −3𝑎 
5𝑎 = 5 
𝑎 = 1 
 
iv. Usamos el valor de a para hallar b 
−3(1) = 𝑏 
−3 = 𝑏 
 
𝑅𝑝𝑡𝑎:a=1 , b=-3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
i) En 𝐿1: si 𝐿1 // 2𝑥 + 𝑦 + 1 = 0 
 
• 
 𝑚1 = 𝑚2 
 𝑚1 = −
2
1
 
 𝑚1 = −2 
• 
 (𝑦 − 𝑦1) = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) 
 𝑦 − 6 = −2(𝑥 − 5) 
 𝑦 − 6 = −2𝑥 + 10 
 2𝑥 + 𝑦 − 16 = 0 
 
 ∴ 𝐸. 𝑅 𝐿1 2𝑥 + 𝑦 − 16 = 0 
 
ii) En 𝐿2: si 𝐿2 𝑒𝑠 𝑝𝑒𝑟𝑝𝑒𝑛𝑑𝑖𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 3𝑥 + 2𝑦 + 2 = 0 
 
• P 
 
 𝑚1 = 𝑚2 
 𝑚1 =
3
2
 
• P 
 
 (𝑦 − 𝑦1) = 𝑚(𝑥 − 𝑥1) 
 𝑦 − 6 =
3
2
(𝑥 − 5) 
 2𝑦 − 12 = 3𝑥 − 15 
 0 = 3𝑥 − 2𝑦 − 3 
 
 ∴ 𝐸. 𝑅 𝐿2 3𝑥 − 2𝑦 − 3 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
Solución: 
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑘 − 1
𝑘 + 1
− 𝑘
1 + (
𝑘 − 1
𝑘 + 1
)𝑘
 
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑘 − 1 − 𝑘(𝑘 + 1)
𝑘 + 1
1 +
𝑘2 − 𝑘
𝑘 + 1
 
𝑡𝑎𝑛𝜃 =
𝑘 − 1 − 𝑘2 − 𝑘
𝑘 + 1 + 𝑘2 − 𝑘
 
𝑡𝑎𝑛𝜃 = −
(𝑘2 + 1)
(𝑘2 + 1)
= −1 
𝑡𝑎𝑛𝜃 = −1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
→ 𝑡𝑎𝑛𝜃 = −1 
𝜃 =
3𝜋
4
 
 
 
 
 
 
 
𝐴 =
𝑏. ℎ
2
 
 
𝐴 =
6𝑥3
2
= 9𝑢2 
 
𝐴 = 9𝑢2 
 
 
 
 
 
𝐿1: 2𝑥 − 𝑦 + 5 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝐿2: 2𝑥 − 𝑦 + 10 = 0 𝑒𝑠 √10 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2𝑘𝑥 + 𝑦 + 𝑘2 = 0 
𝐴 = 2𝐾 , 𝐵 = 1 , 𝐶 = 𝐾2 
𝑃𝑎𝑠𝑎𝑟 𝑝𝑜𝑟 (1, −8) 
→ 2𝑘(1) + (−8) + 𝑘2 = 0 
2𝑘 − 8 + 𝑘2 = 0 
(𝑘 + 4)(𝑘 − 2) = 0 
𝑘 = −4 ∧ 𝑘 = 2 
𝑖) = 𝑒𝑛 𝑘 = −4 𝑖𝑖) 𝑒𝑛 𝑘 = 2 
2(−4)𝑥 + 𝑦 + (−4)2 = 0
−8𝑥 + 𝑦 + 16 = 0
 
2(2)𝑥 + 𝑦 + 22 = 0
4𝑥 + 𝑦 + 4 = 0
 
𝑚1 = −
𝐴
𝐵
= −
(−8)
1
= +8 𝑚𝑧 =
−𝐴
𝐵
= 
−4
1
= −4 
 𝑇𝑔 𝜃 =
𝑚2−𝑚1
1+𝑚1 𝑚2
=
−4−8
1+(𝑒)(−4)
=
−12
−31,
=
12
31
 
 
 
x + y – 2 + k(x-y+6) = 0 
k = 0 → x + y – 2 = 0 
k = 1 → 2x + 4 = 0 
k = 2 → 3x – y + 10 = 0 
k = -1 → 2y - 8 = 0 
k = -2 → -x + 3y – 14 = 0 
INTERSECCIÓN DE LAS RECTAS ES: 
(-2,4) 
 
 
 
 
 
 
 
 
∗ (𝑎, 𝑏) 
𝑦 = 2𝑥 + 4 
𝑏 = 2𝑎 + 4… . (1) 
∗ (−𝑎,−𝑏) 
𝑥 − 𝑦 = 3 
−𝑎 + 𝑏 = 3 
𝑏 = 𝑎 + 3…… (2) 
 
𝑑𝑒(1)𝑦 (2) 
 
𝑎 + 3 = 2𝑎 + 4 
−1 = 𝑎 
 
𝐸𝑛(2) 
 
𝑏 = −1 + 3 
𝑎 = 2 
 
𝐸𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 
𝐴(1, −2)𝑦 𝐵(−1,2) 
 
𝐴𝑏𝑠𝑐𝑖𝑠𝑎 𝑑𝑒 𝐴 = 1 
 
 
 
 
 
 
 
Datos 
 
 
 
𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 2 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑜 𝑥 = 3 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐴 → 3 + 𝑦 + 3 = 0 
𝑜𝑏𝑡𝑒𝑛𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑦 = −6 𝑦 𝑃1(3, −6) 
𝑑1 = ((𝑥2 − 𝑥1)
2 + (𝑦2 − 𝑦1)
2)
1
2 = ((3 − 3)2 + (−6 − 0)2)
1
2 = 6 
𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑞𝑢𝑒 𝐴(3,0) 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑎 𝑎𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑 𝑑1 = 𝑑2 
𝑒𝑛 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 1 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑥 = 3 𝑑𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐴 → 2(3) − 𝑦 = 2 
𝑦 = 4 𝑦 𝑃2(𝑦2, 4) 
𝑑2 = ((𝑥2 − 3)
2 + (4 − 0)2)
1
2 → (6)2 = [(𝑥2
2 − 6𝑥2 + 9 + 16)
1
2]
2
 
36 = 𝑥2
2 − 6𝑥2 + 25 
𝑟𝑒𝑠𝑜𝑙𝑣𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑡𝑖𝑐𝑎: 𝑥2
2 − 6𝑥2 − 11 = 0 
𝑥2 =
6 ± √(−6)2 − 4(1)(−11)
2(1)
 
𝑥2 = 6,742 ∧ 𝑥2 = −1,472 
𝑠𝑜𝑙𝑢𝑐𝑖𝑜𝑛 ∶ 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑃1(3;−6) ∧ 𝑃2(6,472; 4) 𝑒𝑙 𝑠𝑒𝑔𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑒𝑛𝑑𝑖𝑑𝑜 
𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑎𝑠 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎𝑠 2𝑥 − 𝑦 = 2 ∧ 𝑥 + 𝑦 + 3 = 0 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑝𝑢𝑛𝑡𝑜 𝐴(3; 0) 
 
 
 
 
 
 
 
𝐴 = (3,0) 
2𝑥 − 𝑦 = 2 → 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 1 
𝑥 + 𝑦 + 3 = 0 → 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 2 
2𝑥 − 𝑦 − 2 = 0 
𝑥 𝑦 
0 − 2 
1 0 
𝑥 + 𝑦 + 3 = 0 
𝑥 𝑦 
0 − 3 
−3 0 
 
 
A(3;-1) 
L1 
L2 
α 
α 
A(3;-1) 
𝑠𝑒 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑒 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑚𝑖𝑡𝑎𝑑 
Grafico: 
 
 
Gráfico: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑥 + 𝑦 + 3 = 0 2𝑥 − 𝑦 − 2 = 0 
𝑃2(𝑋2; 4) 
𝑑2 
𝐴(3; 0) 
𝑑1 
𝑃1(3;−6) 
B 
 
 
 
*Sea B (𝑋 ∘ , 𝑌 ∘ ) ∈ L1 X1-4Y1+10=0 … (1) 
 Si M (𝑋 ∘ , 𝑌 ∘ ) es punto medio de AB, entonces: 
 
𝑋 ∘ = ½(x1+3) 𝑌 ∘ = ½(Y1-1) 
 
 
*Como M ∈ L2 ----> 6 𝑋 ∘ + 10 𝑌 ∘ -59 = 0 
 3 (x1+3) + 5(Y1-1) -59 = 0 
 3 x1+ 9 + 5Y1- 5 -59 = 0 
 3 x1+ 5Y1- 55 = 0 …… (2) 
 
 
*Entonces de (1) y (2) , obtenemos : 
 
 X1-4Y1+10 = 0 X1-4Y1 = -10 (-3) -3 X1+12Y1 = 30 
 3X1+5Y1-55 = 0 3X1+5Y1= 55 3X1 + 5Y1 = 55 
 
 17Y1=85 Y1= 5 
 
 
 
REEMPLAZANDO: 
 
X1-4(5)=-10 Entonces B(10;5) y A(3:-1) ,hallaremos “M”: 
 x1=-10+20 m= -1-5 = -6/-7= 6/7 
 x1=10 3 - 10 
 M= 6/7 
 
 
 
a) 𝑦 =
|𝑥|
𝑥
− 1 
Hallamos derivada 
𝑦′ = 0 
no hay cortes con el eje y 
Dominio: 𝑥 ∈ ℝ − {0} 
 
 
No existen asíntotas verticales 
 
Asíntota horizontal: y=0 , y=-2 
 
 
lim
𝑥→+∞
(
|𝑥|
𝑥
− 1) = 0 
lim
𝑥→−∞
(
|𝑥|
𝑥
− 1) = −2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 𝑦 = |𝑥 − 2| − 𝑥 
Hallamos derivada 
𝑦′ {
−2; 𝑥 ∈< −∞, 2 >
0; 𝑥 ∈< 2,+∞ >
 
Hallamos cortes con el eje x: (1,0) 
Hallamos cortes con el eje y: (0,2) 
Dominio:𝑥 ∈ ℝ 
Asíntota horizontal: y=-2 
lim
𝑥→+∞
(|𝑥 − 2| − 𝑥) = −2 
lim
𝑥→−∞
(|𝑥 − 2| − 𝑥) = +∞ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Pendientes: 
i) L=m 
 ii) L1=m1 
 iii) L2=m2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑒𝑠 𝑢𝑛 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐼𝑠𝑜𝑠𝑒𝑙𝑒𝑠 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒 2 𝑙𝑎𝑑𝑜𝑠
𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑦 𝑢𝑛 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑑𝑖𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 ℎ𝑎𝑦 
𝑡𝑟𝑒𝑠 𝑐𝑎𝑠𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 L𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑢𝑛 𝑡𝑟𝑖𝑎𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝐼𝑠𝑜𝑠𝑒𝑒𝑙𝑒𝑠
 
𝑐𝑎𝑠𝑜1. 𝑒𝑙 ∆ 𝐴𝐵𝐶𝑒𝑠 𝑖𝑠𝑜´𝑠𝑐𝑒𝑙𝑒𝑠. 
 𝑇𝑔𝐴 = 𝑇𝑔 𝐵 => 
𝑀−𝑀1
𝐿+𝑀𝑥𝑀1
=
𝑀2−𝑀
1+𝑀.𝑀2
=>
𝑀+
3
4
1+𝑀(
−3
4
)
=
−4
3
−𝑀
1+𝑀(
−4
3
)
 
 
=> 
4𝑚 + 3
4
4 − 3𝑚
4
=
−4 − 3𝑚
3
3 − 4𝑚
3
 
 
4𝑚 + 3
4 − 3𝑚
=
−4 − 3𝑚
3 − 4𝑚
 
=> 12𝑚 − 16𝑚2 + 9 − 12𝑚 = −16 − 12𝑚 − 12𝑚 + 12𝑚 + 9𝑚2
25 = 25𝑚2
𝑚 = 1
 
 
 
∴ (𝑦 + 2) = 1(𝑥 − 1) => 0 = 𝑥 + 𝑌 − 3 
𝐶𝐴𝑆𝑂 2 𝐸𝐿 △ 𝐴´𝐵´𝐶´ 𝐸𝑆 𝐼𝑆𝑂´𝑆𝐶𝐸𝐿𝐸𝑆: 
𝑇𝑔𝐴´ = 𝑇𝑦𝐶 =>
𝑀 − 𝑀2
1 + 𝑀,𝑀2
=
−𝑀2 − 𝑀1
1 + 𝑀2 𝑀1
 
 =>
𝑀 +
4
3
1 + 𝑀(
−4
3
)
=
−4
3
+
3
4
1 +
4
3
(
3
4
)
 
 
3𝑚 + 4
3
3 − 4𝑚
3
=
−16 + 9
12
2
1
 
 
3.𝑚 + 4
3 − 4𝑚
=
−7
24
 
 
 72𝑚 − 28 = −117
 44𝑚 = −117 => 𝑚 = −
117
44
→ 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑚 𝑒𝑠 (−)𝑛𝑜 𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑎
 
 
𝐶𝐴𝑆𝑂 3 𝐸𝐿 △ 𝐴´𝐵´𝐶´ 
 
 𝑇𝑦𝐶 = 𝑇𝑦 𝐵" =>
𝑚2 − 𝑚1
1 + 𝑚2 𝑚1
=
𝑚1 − 𝑚
1 + 𝑚,𝑚
 
 =>
−7
24
=
−3
4
− 𝑚
1 −
3𝑚
4
 
 
−7
24
=
−3 − 4𝑚
4
4 = 3𝑚
4
 
 
−7
24
=
−3 − 4𝑚
4 − 3𝑚
 
 −28 21𝑚 = −72 − 96𝑚
117𝑚 = −44
 𝑚 =
−44
117
=> 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑚 𝑒𝑠 (−)𝑛𝑜 𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑎
 
SOLO AL CASO 1 DA 
COMO RESULTADO 
M=+1(UN NUMERO 
POSITIVO) 
ENTONCES LA 
ECUACIÓN DE L → 
X -Y-3=0 
 
 
 
 
Solución: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3𝑥 − 2𝑦 + 7 = 0 
tan 𝛼 =
(𝑚2 − 𝑚1)
(1 + 𝑚1𝑚2)
 
tan 𝛼 =
(
3
2
−
1
2
)
(1 + (
1
2
) (
3
2
))
 
tan 𝛼 =
1
(1 +
3
4
)
 
tan 𝛼 =
1
(1 +
7
4
)
 
tan 𝛼 =
4
7
 
tan 𝛽 = tan𝛼 
tan 𝛽 =
4
7
 
 
 
tan 𝛽 =
(𝑚3 − 𝑚2)
(1 +
3
2𝑚3
)
 
𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0 
3𝑥 − 2𝑦 + 7 = 0 
SOLUCION 
𝑥 − 2𝑦 + 5 = 0 
2𝑦 = 𝑥 + 5 
𝑦 =
1
2
𝑥 +
5
2
 
3𝑥 − 2𝑦 + 7 = 0 
2𝑦 = 3𝑥 + 7 
𝑦 =
3
2
𝑥 +
7
2
 
ENTONCES 
𝑚1 =
1
2
 
𝑚2 =
3
2
 
PUNTO DE INTERSECCION 
1
2
𝑥 +
5
2
=
3
2
𝑥 +
7
2
 
𝑥 = −1 
𝑦 = 2 
EL ANGULO DE INCIDENCIA ECUACION 
𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 
2 =
29
2
(−1) + 𝑏 
𝑏 =
33
2
 
𝑦 =
29
2
𝑥 +
33
2
 
2𝑦 = 29𝑥 + 33 
29𝑥 − 2𝑦 + 33 = 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
𝑯𝒂𝒍𝒍𝒂𝒏𝒅𝒐 𝑨 𝒊𝒏𝒕𝒆𝒓𝒔𝒆𝒄𝒄𝒊𝒐𝒏 𝑩 
 
4
7
(1 +
3
2𝑚3
) = 𝑚3 −
3
2
 
𝑚3 =
29
2