Clase 18 movimiento ondulatorio Superposición 2020 - Daniela Ugarte

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Física 1 Ing. Ricardo Moyano
 Principio de superposición
 Reflexión de ondas 
 Ondas complejas. Ondas estacionarias
 Resonancia 
 Ejemplos de aplicación
CAMINANTE
NO HAY CAMINO 
SE HACE CAMINO AL ANDAR
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Principio de superposición 
Dos ondas o mas, pueden desplazarse simultáneamente por la misma región del 
espacio. El combinar los desplazamientos de los pulsos individuales en cada 
punto para obtener el desplazamiento real es un ejemplo de superposición de 
ondas. 
El Principio de Superposición puede expresarse como: cuando varias ondas se 
combinan en un punto el desplazamiento de una partícula cualquiera en 
determinado momento, es simplemente la suma de los desplazamientos que 
podrían producir las ondas que actúan de manera individual. 
Por ejemplo si dos ondas se desplazan simultáneamente a través de la misma 
cuerda estirada. Sean dos ondas 𝑦1(x,t) y 𝑦2(x,t) el desplazamiento de la 
cuerda cuando actúan ambas ondas será:
y(x,t) = 𝒚𝟏(x,t) + 𝒚𝟐(x,t) Principio de superposición
La siguiente figura muestra la secuencia temporal de este principio
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Dos pulsos desplazándose
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Dos trenes de ondas
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Interferencia de onda o superposición de onda
Consideramos las ondas: 𝑦1(x,t) = A . sin (k.x – ω. 𝑡 -𝜑1 )
𝑦2(x,t) = A . sin (k.x – ω. 𝑡 − 𝜑2)
La onda resultante, tomamos la suma de la ecuaciones:
y(x,t) = 𝒚𝟏(x,t) + 𝒚𝟐(x,t) 
y(x,t) = A .sin (k.x – ω. 𝑡 −𝜑1 ) + A . sin (k.x – ω. 𝑡 − φ)
Utilizando la identidad trigonométrica de la suma de los senos de dos ángulos
sin𝐴 + sin𝐵 = 2. sin½(𝐴 + 𝐵) . cos ½(𝐴 − 𝐵)
Reemplazamos y ordenamos tendremos:
Si los argumentos son A = k.x – ω. 𝑡 −𝜑1
B = k.x – ω. 𝑡 − 𝜑2
Entonces: y(x,t) = (2A . cos
φ′
2
) . sin (k.x – ω. 𝑡 − φ′)
Esta onda resultante corresponde a una nueva onda que tiene la misma
Donde 𝜑′ = 𝜑2 − 𝜑1 frecuencia pero con una amplitud que es el termino 
A’ = 2A . cos
φ′
2
Siendo φ′ = diferencia de fases entre las ondas. Si φ′ ≅ 0 la amplitud resultante 
es prácticamente 2A
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Si φ′ = 0 la suma de las ondas es: y(x,t) = 2 A sin (k.x – ω. 𝑡 )
Se dice que la interferencia es constructiva
Si φ′ = 180º = 𝜋 la suma de las ondas tiene amplitud cero, es: y(x,t) = 0
Se dice que la interferencia es destructiva
La siguiente imagen lo ejemplifica:
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Ondas Estacionarias
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
En la imagen se observa dos ondas que se desplazan en sentidos opuestos la 
roja hacia la izquierda la azul hacia la derecha
Generando un onda estacionaria de color negro, esta onda no se desplaza y se 
observan los puntos rojos que son partículas que están en reposo, esas 
posiciones se denominan nodos.
La posición de las partículas que alcanzan la máxima amplitud se denominan 
antinodos
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Para deducir la función de onda para la onda estacionaria, consideramos dos 
trenes de onda que tienen la misma rapidez de propagación, la misma longitud 
de onda y la misma amplitud. Una onda se desplaza o viaja hacia la derecha de 
las x, mientras que la otra onda se desplaza o viaja hacia la izquierda. 
Las ondas son:
𝑦1(x,t) = A . sin (k.x – ω. 𝑡 ) hacia la derecha
𝑦2(x,t) = A . sin (k.x + ω. 𝑡 ) hacia la izquierda
La onda estacionaria se obtiene al sumar las dos ondas, de modo que:
y(x, t) = 𝑦1(x,t) + 𝑦2(x,t) 
y(x, t) = A . sin (k.x – ω. 𝑡 ) + A . sin (k.x + ω. 𝑡 )
Podemos replantear los términos utilizando las identidades trigonométricas 
para el seno de la diferencia y suma de dos ángulos 
sen (a-b) = sen (a) cos (b) – sen (b) cos (a)
sen (a+b) = sen (a) cos (b) + sen (b) cos (a)
Entonces 
y(x, t) = A. ( sin 𝑘𝑥 cos𝜔𝑡  sinω𝑡 cos 𝑘𝑥) + A.(sin 𝑘𝑥 cos𝜔𝑡 + sinω𝑡 cos 𝑘𝑥)
y(x, t) = A. ( sin 𝑘𝑥 cos𝜔𝑡  sin𝜔𝑡 cos 𝑘𝑥 +sin 𝑘𝑥 cos 𝜔𝑡 + sinω𝑡 cos 𝑘𝑥)
y(x, t) = 2 A sin 𝑘𝑥 cos𝜔𝑡
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
La onda estacionaria obtenida tiene la siguiente ecuación:
y(x, t) = 2 A sin 𝑘𝑥 cos 𝜔𝑡
Donde la expresión (2 A sin 𝑘𝑥) es la amplitud de la onda resultante y depende 
de la posición.
La expresión es y(x, t) = (2 A sin 𝑘𝑥) cos 𝜔𝑡
y(x, t) = A* cos 𝜔𝑡
La ecuación tiene dos factores: una que es función de x y otro función de t
La onda permanece en la misma posición, oscilando verticalmente según el 
factor: cos𝜔𝑡
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
De acuerdo a la expresión de la Amplitud de una onda estacionaria, la amplitud no es 
igual en las partículas, sino que varia con la ubicación “x” de la partícula. 
Se observa que la amplitud tiene un valor máximo cuando la expresión 
2 A sin 𝑘𝑥 = 2A la igualdad se cumple para 𝐬𝐢𝐧𝒌𝒙 = 1
Por lo tanto esto va a ocurrir en la posiciones donde el argumento del seno sea
k.x = 
1
2
𝜋 ; 
3
2
𝜋; 
5
2
𝜋
Es decir podemos escribir la expresión
k.x = ( n + 
1
2
) 𝜋 donde n = 0, 1, 2, 3, …
Si se sustituye la expresión del numero de ondas k = 
2𝜋

entonces se tiene :
2𝜋

.x = ( n + 
1
2
) 𝜋
x = ( n + 
1
2
)

2
donde n = 0, 1, 2, 3, …
Estas posiciones donde la amplitud es máxima se denominan antinodos 
Para n=0 𝑥0 = 

4
n=1 𝑥1 = 
3
4
La separación entre dos puntos o antinodos (𝑥1- 𝑥0)= 
3
4
-

4
= 

2
es igual a media longitud de onda 

2
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Ahora la posiciones donde la Amplitud tiene el valor cero es decir los puntos que 
permanecen en reposo, son aquellas donde :
2 A sin 𝑘𝑥 = 0 la igualdad se cumple siempre si 𝐬𝐢𝐧𝒌𝒙 = 0
el argumento k.x = 0 ; 𝜋 ; 2𝜋 ; 3𝜋; 4𝜋 …
Es decir se puede escribir en forma general
k.x = n .𝜋 donde n = 0, 1, 2, 3, …
Si se sustituye la expresión del numero de ondas k = 
2𝜋

entonces se tiene :
2𝜋

.x = n .𝜋
x = n 

2
donde n = 0, 1, 2, 3, …
Estas posiciones donde la amplitud es cero, se denominan nodos y corresponden
Para n=0 𝑥0 = 0
n= 1 𝑥1 = 

2
n=2 𝑥2 = 
Donde se puede observar que la separación entre dos puntos o nodos, por ejemplo 
𝑥2 - 𝑥1 =  -

2
= 

2
es igual a media longitud de onda 

𝟐
En la siguiente figura se puede visualizar lo expresado
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Si tenemos una cuerda de longitud L que está sujeta por ambos extremos, si se 
pulsa se tendrá una onda estacionaria con un nodo en ambos extremos y un 
antinodo en la mitad
La siguiente figura nos muestras las vibraciones
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Se deduce de la imagen que la condición de una onda estacionaria que debe 
crearse en una cuerda de longitud L fija en ambos extremos es:
L = n 

2
con n= 1 , 2, 3, 4 , . . . 
Si usamos la expresión de la velocidad de propagación de la onda v = .f se 
puede escribir la ecuación de la siguiente forma:
f = 
𝑣

= n 
𝑣
2𝐿
con n= 1 , 2, 3, 4 , . . . 
Que son las frecuencias permitidas de las ondas estacionarias
Estas frecuencias se llaman armónicos y la serie es una serie armónica 
El modo normal de un sistema oscilante es un movimiento en el que todas las 
partículas del sistema se mueven senoidalmente con la misma frecuencia.
En el caso de una cuerda fija en ambos extremos de longitud L , cada una de las 
longitudes de onda  corresponden al patrón y frecuencia de un posible modo 
normal de vibración:
Frecuencia fundamental o primer armónico:  = 2L
Primer sobretono o segundo armónico:  = L
Segundo sobretono o tercer armónico:  = 
2𝐿
3
Tercer sobretono o cuarto armónico:  = 
𝐿
2
En la figura siguiente se observan estos armónicosFísica 1 Ing. Ricardo Moyano
Armónicos en una CUERDA FIJA en ambos extremos
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Ejercicio - Un veraneante que descansa en la playa observa que durante los
últimos 30 minutos han arribado 90 olas a la orilla. Luego se mete al mar y se
dirige nadando hacia un bote anclado y ubicado a 450 m mar adentro,
tomándole un total de 5 minutos en llegar. En el trayecto el nadador sorteó 60
olas. Halle la velocidad con que las olas se acercan a la orilla.
1) Cálculo de la frecuencia de las olas f = 90 / 30 . 60 (s) = 0,05 (1/s)
2) Cálculo de la longitud de ondas cruzó a 60 olas pero esas son las que 
estaban en los 450 metros cuando inicia el nado mas las que entraron en 
los 5 minutos que duró la travesía, entonces había 
60 olas –(0,05 . 60 .5) = 45 olas
 = 450 m / 45 = 10 m
3) Cálculo de la velocidad de las olas v =  . f 
v= 10 m . 0,05(1/s) 
v= 0,5 (m/s)
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
1) Comparamos f(t,x) = A' . sen kx . cos ωt
A’ = 0,3 cm k= 0,2 (1/m)
𝜔 = 300 (1/s) entonces f = ω / 2π
f = 300 s-1 / 2π = 47,75 (1/s)
λ = 2π /k = 2π / 0,2 λ = 31,4 (m) 
v = ω / k = 300 s-1 / 0,2 v = 1500 m/s
Cuarto armónico (ver gráficos) 
λ = L/2 L = 2. λ = 2 . 31,4 m L = 62,8 (m) 
La función de onda correspondiente a una onda estacionaria en una 
cuerda fija en ambos extremos es:
f(t,x) = 0,3 cm sen ( 0,2 m
-1 x ) cos ( 300 s-1 t)
Calcular la longitud de onda y la frecuencia de esta onda. ¿Cuál es la 
velocidad de propagación? Si la cuerda está vibrando en su cuarto 
armónico, ¿cuál es su longitud?
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