Variables p1 - Mari Cim

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2022-1 
PIMER EXAMEN PARCIAL 
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 
UNIVERSIDAD DE SONORA. 
 
NOMBRE:___________________________________ GRUPO ____ CALIF.: 
 
1. Clasifique las siguientes características, es decir, diga si las variables son Cualitativas ó 
Cuantitativas (Discretas ó Continuas) y determine su nivel de medición (Nominal, Ordinal, 
Intervalo o Razón) 
a. El puesto que ocupa en una empresa un egresado del área de Ingeniería. 
Variable Cualitativa Ordinal (3p) 
b. El tiempo que le dedica una persona para autorizar un proyecto. 
Variable Cuantitativa Continua de Razón o Proporción (3p) 
c. Determinar la estación de radios de preferencia de una persona. 
Variable Cualitativa Nominal (3p) 
d. La numeración correspondiente de las casas de una población determinada. 
Variable Cuantitativa Discreta de Razón o Proporción (3p) 
e. El volumen de ventas de televisores de una empresa. 
Variable Cuantitativa Discreta de Razón o Proporción (3p) 
 
2. Un fabricante de neumáticos quiere determinar el diámetro interior de cierto grado de 
neumático. Idealmente el diámetro sería 570 mm. Se tomó una muestra aleatoria de 10 
neumáticos y los diámetros interiores resultantes fueron: 
567, 568, 569, 569,569, 570, 571, 572, 572, 573 
a. ¿Cuál es el diámetro interior promedio de los neumáticos? 
�̅� =
∑ 𝑐𝑖𝑓𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑛
= 
567∗1+568∗1+⋯+573∗2
10
= 
5700
10
= 570 (3p) 
 
b. ¿Cuál el diámetro común de los neumáticos?, 
�̂� = 𝟓𝟔𝟗 (3p) 
 
c. ¿Cuál es la mediana? 
 
�̃� =
𝒙𝟓+ 𝒙𝟔
𝟐
=
𝟓𝟔𝟗+𝟓𝟕𝟎
𝟐
= 𝟓𝟔𝟗. 𝟓 (3p) 
 
3. Los siguientes datos son el número de accidentes automovilísticos que ocurren en los 
60 cruces más transitados en la ciudad de Hermosillo en un fin de semana del mes de 
diciembre del año pasado. 
 
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 3 3 3 
3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 5 6 6 
 
a. Presente la información muestral en una tabla estadística. ¿Usted que opina es necesario hacer 
una agrupación de la información mediante intervalos de clase?, NO(3p) justifique su 
respuesta. Sólo existen 7 clases dictintas (3p) 
 
Probabilidad y estadística
Variables
Clases Frecuencia 
Frecuencia 
Relativa (%) 
Frecuencia 
Acumulada 
Frecuencia 
Relativa 
Acumulada (%) 
0 15 25.00 15 25.00 
1 12 20.00 27 45.00 
2 13 21.67 40 66.67 
3 7 11.67 47 78.33 
4 6 10.00 53 88.33 
5 5 8.33 58 96.67 
6 2 3.33 60 100.00 
 60 (10p) 
 
b. Calcule la 
Media: �̅� =
∑ 𝑐𝑖𝑓𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑛
= 
(0∗15)+(1∗12)+(2∗13)+(3∗7)+(4∗6)+(5∗5)+(6∗2)
60
= 
120
60
= 2 (3p) 
Mediana: �̃� =
𝒙𝟑𝟎+ 𝒙𝟑𝟏
𝟐
=
𝟐+𝟐
𝟐
= 𝟐 (3p) 
Moda: �̂� = 𝟎 (3p) 
Varianza: 𝑆2 =
∑ (𝑐𝑖−�̅�)
2𝑓𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑛−1
= 
(0−2)2∗15+ (1−2)2∗12+⋯+(5−2)2∗5+(6−2)2∗2
60−1
= 
180
59
= 3.05 (3p) 
 
Desviación Media: 𝐷𝑀 =
∑ |𝑐𝑖−�̅�|𝑓𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑛
 = 
|0−2|∗15+|1−2|∗12+⋯.+|6−2|∗2
60
= 
84
60
= 1.4 (3p) 
 
c. Calcule los cuartiles. 
 
k (𝒏)(𝒌)
𝟒
 
Posición de 
𝑸𝒌 
Valor de 𝑸𝒌 
1 (𝟔𝟎)(𝟏)
𝟒
= 𝟏𝟓 
𝑸𝟏 = 𝒙𝟏𝟓.𝟓 𝑸𝟏 =
𝑥15 + 𝑥16
𝟐
=
𝟎 + 𝟏
𝟐
= 𝟎. 𝟓 
2 (𝟔𝟎)(𝟐)
𝟒
= 𝟑𝟎 
𝑸𝟐 = 𝒙𝟑𝟎.𝟓 𝑸𝟐 = 
𝑥30 + 𝑥31
𝟐
=
𝟐 + 𝟐
𝟐
= 𝟐 = �̃� 
3 (𝟔𝟎)(𝟑)
𝟒
= 𝟒𝟓 
𝒙𝟒𝟓.𝟓 𝑸𝟑 = 
𝑥45+ 𝑥46
𝟐
=
𝟑+𝟑
𝟐
= 𝟑 
 (9p) 
 
d. Confeccione un histograma de frecuencias relativas 
 (5p) 
 
15
12 13
7 6 5
2
0
5
10
15
20
0 1 2 3 4 5 6
Histigrama de Frecuencia
 
e. una ojiva porcentual. Comente sobre el sesgo de la distribución. 
 
 (5p) 
 
Sesgo es aparentemente positivo (3p) 
 
4. Las calderas de unas plantas de energía de vapor a alta presión tuvieron las siguientes 
deficiencias en porcentajes: 
 
88.9 
89.0 
89.2 
89.2 
89.3 
89.4 
 
89.7 
89.7 
89.7 
89.8 
89.8 
89.8 
 
89.9 
89.9 
89.9 
90.0 
90.0 
90.1 
 
90.1 
90.2 
90.2 
90.2 
90.3 
90.3 
 
90.3 
90.4 
90.4 
90.4 
90.4 
90.4 
 
90.4 
90.5 
90.5 
90.5 
90.5 
90.5 
 
90.5 
90.6 
90.6 
90.6 
90.6 
90.6 
 
90.6 
90.7 
90.8 
90.8 
90.8 
90.8 
 
90.8 
90.8 
90.8 
90.8 
90.8 
90.9 
 
90.9 
90.9 
91.0 
91.0 
91.0 
92.0 
 
92.0 
92.0 
92.0 
92.0 
92.0 
92.0 
 
92.4 
92.4 
92.4 
92.4 
92.4 
92.4 
 
92.5 
92.6 
92.6 
92.7 
92.7 
92.9 
 
92.9 
93.1 
 
 
a. Aplique la regla de Sturges y agrupe los datos anteriores; 
Calculamos el valor de 1 + 3.3log(80) = 7.28.., por lo tanto el número de intervalos es k = 7 (3p) 
Determinamos el Rango: R = M – m = 93.1-88.9 = 4.2 
Posteriormente determinamos la longitud de cada intervalo, la cual se define como 
𝒍 = 
𝑹
𝒌
=
𝟒.𝟐
𝟕
= 𝟎. 𝟔 (3p) 
b. Construya un polígono de frecuencias y comente sobre el sesgo; 
 
 (5p) 
25.00
45.00
66.67
78.33
88.33
96.67 100.00
0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
0 1 2 3 4 5 6 7
OJIVA PORCENTUAL (%)
6
13
25
15
0
14
7
0
5
10
15
20
25
30
89 90 91 92 93
POLÍGONO DE FRECUENCIAS
Aparentemente el sesgo es positivo (3p) 
 
c. Con los datos agrupados, calcule la 
Media 
�̅� =
∑ 𝑚𝑖𝑓𝑖
𝑘
𝑖=1
𝑛
= 
89.2∗6+89.8∗13+90.4∗25+⋯+92.8∗7
80
 = 
7268
80
= 90.85 (3p) 
 
Mediana 
 
Primeramente, debemos de identificar el intervalo en el que se encuentra la mediana, el 
cual es (𝐿𝑚−1, 𝐿𝑚] = (90.1, 90.7] , el valor de la mediana es: 
�̃� = 𝐿𝑚−1 + [
𝑛
2
−𝑭𝒎−𝟏
𝑓𝑚
] 𝑙𝑚 = 90.1 + [
40−19
25
] (0.6) = 90.1 + 0.504 = 90.604 (3p) 
 
Moda 
Primeramente, identificamos el intervalo en el que se encuentra la moda, que es el de 
mayor frecuencia: (𝐿𝑚−1, 𝐿𝑚] = (90.1, 90.7, el valor de la moda es: 
�̂� = 𝐿𝑚−1 + [
(𝑓𝑚 − 𝑓𝑚−1)
𝑓𝑚 − 𝑓𝑚−1) + 𝑓𝑚 − 𝑓𝑚+1)
] 𝑙𝑚 = 90.1 + [
(25 − 13)
(25 − 13) + (25 − 15)
] (0.6) 
�̂� = 90.1 + [
12
12+10
] (0.6) = 90.1 + 0.32 = 90.42 (3p) 
 
Varianza 
𝑆2 =
∑ (𝑚𝑖 − �̅�)
2𝑓𝑘
𝑘
𝑖=1
𝑛 − 1
= 
(89.2 − 80.85)2 ∗ 6 + (89.8 − 80.85)2 ∗ 13 + (90.4 − 80.85)2 ∗ 25 + ⋯ … + (92.8 − 80.85)2 ∗ 7
80 − 1
 
𝑆2 =
88.2
79
= 1.1164 (3p) 
 
D8 
Primeramente debemos de identificar el intervalo en el que se encuentra el decil 8, es decir, 
el intervalo que contiene la posición (𝑛∗8
10
) = 64 , el cual es (𝐿𝑚−1, 𝐿𝑚] ] = (91.9, 92.5], el 
valor del decil es 
 
𝐷6 = 𝐿𝑚−1 + ⌈
𝑛∗6
10
−𝐹𝑚−1
𝑓𝑚
⌉ 𝑙𝑚 = 91.9 + ⌈
64−59
14
⌉ (0.6) = 91.9 + 0.2142 = 92.11 (3p) 
 
P35 
Primeramente debemos de identificar el intervalo en el que se encuentra el percentil 35, es 
decir, el intervalo que contiene la posición (𝑛∗35
100
) = 28 , el cual es (𝐿𝑚−1, 𝐿𝑚] ] = (90.1, 90.7], 
el valor del decil es 
 
𝑃35 = 𝐿𝑚−1 + ⌈
𝑛∗35
100
−𝐹𝑚−1
𝑓𝑚
⌉ 𝑙𝑚 = 90.1 + ⌈
28−19
25
⌉ (0.6) = 90.1 + 0.216 = 90.316 (3p) 
 
e interprete los resultados obtenidos. (10p) 
 
 
 
 
 
Deficiencias de las 
Calderas 
Marcas de Clase Frecuencias 
Frecuencias Relativas 
(%) 
Frecuencias 
Acumuladas 
Frecuencias Relativas 
Acumuladas (%) 
[88.9, 89.5] 89.2 6 7.5 6 7.5 
(89.5, 90.1] 89.8 13 16.25 19 23.75 
(90.1, 90.7] 90.4 25 31.25 44 55 
(90.7, 91.3] 91.0 15 18.75 59 73.75 
(91.3, 91.9] 91.6 0 0 59 73.75 
(91.9, 92.5] 92.2 14 17.5 73 91.25 
(92.5, 93.1] 92.8 7 8.75 80 100 
 (10p) 
 
 
Febrero de 2022.