Unidad 2 - 2007 - Guadalupe Montes Martin

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Probabilidad y estadística 2007 Unidad 2 
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PRACTICA 2 
VARIABLES ALEATORIAS 
Ejercicio 01: Describa el espacio muestral de los siguientes experimentos. Defina por lo menos dos variables aleatorias con dominio en 
cada uno de los espacios descritos. 
a) Se arroja tres veces una moneda. 
b) Se arroja una moneda hasta que aparezca una cara por segunda vez. 
c) Se hace una extracción de dos fichas de una caja que contiene veinte numeradas del 1 al 20. 
d) Se registra el tiempo en minutos en el que el operario O produce un artículo. 
e) Me regalan un número de una lotería de doscientos números de los cuales dos son ganadores de $1000, ocho de $500, diez de $200, 
doce de $100 y sesenta de $10. 
 
Ejercicio 02: En la biblioteca de Facultad hay tres ejemplares de uno de los textos recomendados para la asignatura Probabilidad y 
Estadística. El 30% del tiempo están todos en consulta, y el 20% ninguno está en consulta. La probabilidad de que haya un ejemplar en 
consulta es igual a la que haya dos. Ante el pedido de un estudiante, el bibliotecario determina que ejemplares se encuentran en el espacio 
destinado a guardar esos libros. Halle un espacio muestral adecuado para la acción aleatoria que realiza el bibliotecario. Defina la 
correspondiente variable aleatoria, clasifíquela, indique su recorrido y halle su función de probabilidad. 
 
Ejercicio 03: Se van a colocar cuatro microcircuitos integrados en una computadora. Se escogen en forma aleatoria dos de los cuatro para 
revisarlos antes de armar la computadora. Sea X. el número de circuitos integrados defectuosos que se encuentran entre los dos que se 
revisan. Determine la función de probabilidad de X si: 
a) Dos de los cuatro microcircuitos integrados son defectuosos 
b) Uno de los microcircuitos integrados es defectuoso 
 
Ejercicio 04: Durante el curso de un día, una máquina produce tres artículos cuya calidad individual, definida como de primera o segunda, 
se determina al final del día. Sea X la variable aleatoria "cantidad diaria de artículos de primera producidos". Obtenga la función de 
probabilidad de X suponiendo que históricamente la máquina produjo un 5% de artículos de segunda y que la calidad de un artículo es 
independiente de la de otro. 
 
Ejercicio 05: Un capataz de una fábrica tiene dos hombres y tres mujeres trabajando para él. Desea elegir dos trabajadores para una labor 
especial y decide seleccionarlos al azar para no introducir algún sesgo en su selección. Sea Y el número de mujeres en su selección. 
a) Encuentre la función de probabilidad para Y 
b) Halle E (Y) y V (Y) 
 
Ejercicio 06: Se le hurtan las 4 ruedas a un automóvil. Al encontrarlas se las repone al azar. ¿Qué valores toma la variable aleatoria: número 
de ruedas repuestas en la misma disposición en que estaban? Halle su esperanza matemática. 
 
Ejercicio 07: Un fabricante de radios desea adquirir 100 resistencias de cierta marca. Antes de adquirir el lote, elige tres 
resistencias y las prueba. Sea X: número de resistencias defectuosas entre las que prueba. Si se sabe que en el lote hay 4 
resistencias defectuosas. 
a) Halle la función de probabilidad de X. Determine su media. 
b) Si decide rechazar el lote si entre las tres elegidas hay más de una defectuosa, ¿cuál es la probabilidad de rechazar el 
lote? 
 
Ejercicio 08: Suponga que la demanda diaria de un artículo es una variable aleatoria X cuyo recorrido es R(X) = {1, 2, 3, 4} 
y su función de probabilidad f(x) = c2x/x! 
a) Halle el valor de la constante c. 
b) Calcule la demanda esperada. 
c) Calcule la desviación estándar de la demanda. 
 
Ejercicio 09: Se extraen dos bolillas de una urna que contiene bolillas así numeradas: 1 , 1 , 2 , 2 , 5. Sea X: suma de los 
valores obtenidos 
a) Halle el dominio e imagen de X 
b) Halle y grafique la función de probabilidad de X 
c) Halle y grafique la función de distribución de X 
d) Calcule E(X) y V(X) 
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Ejercicio 10: Una máquina puede tener un cierto número de fallas por día, no superior a 3. La tabla da la función de 
probabilidad de la variable aleatoria X: número de fallas diarias 
X 0 1 2 3 
f(X) 0.2 
 
a) Complete la tabla sabiendo que P( X≤1) = 0.5 y E(X) = 1.3 
b) Halle la función de distribución de X 
 
Ejercicio 11: Sea X una variable aleatoria cuya función de probabilidad es f(x) = 0.5 - 0.05x2 y su recorrida es R(X) = {-
3,-1,1,3} 
a) Calcule P( X< 0 ) 
b) Verifique que P ( X < 0 ) = P ( X > 0 ) 
c) Halle y grafique la función de distribución de X 
 
Ejercicio 12: La función de distribución de una variable aleatoria X es: 
 ( ) 
{
 
 
 
 
 
1 ⁄ ≤ ≤ 
1 ⁄ ≤ ≤ 
 ⁄ ≤ ≤ 
1 ≤ 
 
a) Calcule P ( 3 <X≤5) 
b) Halle la función de probabilidad de X 
 
Ejercicio 13: Dada la variable aleatoria X con la siguiente función de distribución: 
 ( ) {
 
 ⁄ ≤ 1
 1 ⁄ 1 ≤ 
1 ≤ 
 
a) Calcule P(x≤ 0.5) y P (0.5 < x≤1,5) 
b) Halle la función de densidad f(x) 
c) Halle E(X) 
 
Ejercicio 14: La probabilidad de que una persona que va a un shopping no realice una compra es 0.22. Las probabilidades 
de que realice a lo sumo, una, dos, tres, o cuatro compras son respectivamente 0.54; 0.87, 0.91 y 1. 
a) Determine las probabilidades de que una persona realice: a1) dos compras. a2) más de dos compras. a3) tres compras. 
a4) al menos una compra. 
b) ¿Cuál es el número promedio de compras que la persona realiza? 
 
Ejercicio 15: El gerente de producción en una fábrica ha construido la siguiente función de probabilidad para la demanda 
diaria de una herramienta en particular (número de veces que es utilizada). 
y 0 1 2 
f(y) 0.1 0.5 0.4 
 
La fábrica tiene un costo de $10 cada vez que se utiliza la herramienta. Encuentre la media y la varianza del costo diario 
por el uso de la herramienta. 
 
Ejercicio 16: La producción diaria de una máquina genera un ingreso de $1200 si esta funciona sin fallar. El número X de 
veces que la máquina falla es una variable aleatoria con función de distribución: 
 ( ) {
 
 ≤ 1
 1 ≤ 
1 ≤ 
 
Las fallas son reparables, en pocos minutos, a un costo de $140 por cada una. ¿Cuál es el ingreso diario medio generado por 
la producción de la máquina? 
 
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Ejercicio 17: Un comerciante determinó, a partir de datos históricos, que la demanda diaria de cierta pieza varía de 
acuerdo a la siguiente ley de probabilidades: 
Unidades demandadas 0 1 2 3 4 5 
Probabilidades 0.22 0.35 0.25 0.13 0.04 0.01 
 
Cada pieza vendida le produce un beneficio de $200 mientras que cada pieza no vendida le ocasiona una pérdida de $20. 
¿Con qué stock de esas piezas debe comenzar cada día si quiere maximizar la utilidad diaria esperada? 
 
Ejercicio 18: La cantidad de pan, en kilogramos, que una panadería vende por día es una variable aleatoria cuya función de 
densidad está dada por: 
 ( ) {
 ≤ 
 (1 ) ≤ 1 
 
 
a) Determine el valor de la constante a. 
b) Calcule las probabilidades de vender más de 500 kg, a lo sumo 500 kg, a lo sumo 750 kg pero más de 250 kg, y más de 
750 kg si se conoce que se vendieron más de 350 kg. 
 
Ejercicio 19: El tiempo de vida, en miles de horas, de una lámpara es una variable aleatoria con densidad: 
 ( ) {
 1 1 1 ≤ ≤ 
 
 
Halle la probabilidad de que una de tales lámparas, que está colocada en un equipo, tenga que cambiarse durante las 
primeras 1200 horas de operación. 
 
Ejercicio 20: Se supone que el por uno de etanol en cierto compuesto es una variablealeatoria X con función de densidad: 
 ( ) {
 (1 ) ≤ ≤ 1
 
 
a) Halle la constante c. 
b) Calcule: P (X > 0,5), P(X ≤ 0,5) y P (X ≤ 0,25) 
c) ¿Cuál es la mediana de esta variable? 
 
Ejercicio 21: El agua que se potabiliza proviene de un río en el que, el limo que contiene en suspensión, puede llegar a un 
máximo de 1.5 g/litro. Dicho contenido, en g/litro, es una variable aleatoria X cuya función de densidad es: 
 ( ) {
 ≤ 
√ 
 
 ≤ 1
 1 ⁄
 ⁄
 
a) Calcule ( ) y ( ). 
b) Calcule ( ). 
 
Ejercicio 22: La cantidad de reactivo, medido en cientos de mililitros, en un proceso químico, es una variable aleatoria X 
con la siguiente función de densidad: 
 ( ) {
1 ⁄ ( )
 
 
a) Grafique la función f 
b) Halle la función de distribución y grafiquela. 
c) Halle la cantidad de reactivo para la cual la probabilidad de superarla es 0.75 
d) ¿Cuál es la cantidad mediana de reactivo? 
 
Ejercicio 23: La demanda de anticongelante, medida en cientos de litros, en una temporada tiene la siguiente función de 
densidad: 
 ( ) {
1 ⁄ ( 1) ≤ 1
 
 
 
a) Halle la función de distribución. 
b) Calcule P (1/3 < X ≤ 5/3 /X≤ 1/2) 
c) Halle el valor de k tal que P(X ≤ k) = 0.04 
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d) ¿Cuál es la demanda mediana de ese anticongelante? 
 
Ejercicio 24: Una variable aleatoria continua tiene la siguiente función de densidad: 
 ( ) {
 ≤ 1
 1 ≤ ≤ 
 
 
Se definen los sucesos A = {0,5 < X ≤ 1.5} y B = { X > 1 } 
a) Obtenga la función de distribución. 
b) ¿Son A y B independientes? 
 
Ejercicio 25: El tiempo de funcionamiento, en cientos de horas, de un transistor hasta su primera falla es una variable 
aleatoria Y cuya función de distribución está dada por: 
 ( ) {
 
1 
 
 
 
a) Calcule la probabilidad de que un transistor funcione por lo menos 200 horas hasta tener su primera falla. 
b) Calcule la probabilidad- de que funcione más de 400 horas sin fallar sabiendo que no falló en las primeras 200 horas. 
c) ¿Cuál es el tiempo mediano de funcionamiento? 
d) Obtenga la función de densidad de la variable Y. 
 
Ejercicio 26: La función de distribución de una variable aleatoria W, que mide el porcentaje de cierto aditivo en gasolina, es 
 ( ) 
{
 
 
 
 
 
 ≤ 
 1
 
 ≤ 1
1 1 ≤ 
 
a) Grafique F(W). 
b) Calcule P (1/3 < W < 2/3). 
c) Halle la función de densidad. 
 
Ejercicio 27: Supóngase que el tiempo, en horas, necesario para reparar una pieza de un equipo en un proceso de 
manufactura, es una variable aleatoria con media 5 y varianza 20. Si la pérdida de dinero, en pesos, es igual al cuadrado del 
número de horas necesario para llevar a cabo la reparación, determine el valor esperado de las pérdidas por reparación. 
 
Ejercicio 28: Una determinada operación, en un proceso de montaje, tiene un costo fijo de $12 y otro, que varía en función 
del tiempo empleado, a razón de $0,20 por segundo. Si él tiempo empleado es una variable aleatoria con media 98 
segundos y varianza 68 segundos2, determine la media y la varianza del costo total de la operación. 
 
Ejercicio 29: El costo de reparación de un equipo depende del tiempo T que lleva repararlo y de una serie de gastos. Cada 
vez que un equipo debe ser reparado hay un gasto fijo de $100 y un gasto variable de $10T. El tiempo T de reparación 
tiene la función de densidad 
 ( ) {
1
 
 
 
 
 ≤ ≤ 
 
 
Halle el valor medio y la varianza del costo de reparación. 
 
Ejercicio 30: Sea X una variable aleatoria con la siguiente función de probabilidad: 
x -2 0 2 4 
f(x) 1/8 2/8 3/8 2/8 
 
Considere la variable aleatoria 1 ⁄ 1 
a) Calcule: ( ), ( ) y ( ). 
b) Halle la esperanza matemática y la desviación estándar de Y. 
 
Ejercicio 31: Un fabricante de aparatos de televisión a color ofrece un año de garantía de restitución gratuita si el tubo de 
imagen falla. El fabricante considera que el tiempo de falla T, (medido en años) se modela adecuadamente con una 
variable aleatoria con la siguiente función de densidad de probabilidad 
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 ( ) {1 
⁄ 
 
 
a) ¿Qué porcentaje de aparatos tendrá que reparar? 
b) Si la utilidad por la venta de un televisor es de $200 y la sustitución del tubo de imagen cuesta $ 50, encuentre la 
utilidad esperada por aparato vendido. 
 
Ejercicio 32: La demanda diaria de combustible, en miles de litros, en una estación de servicio de una variable aleatoria con 
función de densidad: 
 
 ( ) {
 ⁄ ≤ ≤ 1 
 ⁄ ⁄ 1 ≤ 
 
 
Al comenzar cada día se completan los tanques hasta alcanzar los 2.000 litros. Cada litro vendido produce un beneficio de 
20 centavos mientras que, cada litro no vendido produce una pérdida de 1,5 centavos (debido a costos de 
almacenamiento). Halle la utilidad diaria esperada. 
 
Ejercicio 33: Se dice que la variable aleatoria X es uniforme en el intervalo [a ; b] si su función de densidad es constante 
(f(x) = k) en ese intervalo y nula (f(x) = 0) fuera de él. 
a) Determine la constante k. 
b) Halle la media y la varianza de X. 
c) Obtenga la función de distribución de X. 
 
Ejercicio 34: La longitud de un pan de manteca cortado por determinada máquina tiene distribución uniforme con media 
8,7 cm y varianza 4/300 cm2. 
a) ¿Qué porcentaje de panes de manteca tendrá una longitud de a lo sumo 8,6 cm? 
b) ¿Qué longitud de los panes es superada sólo por el 20% de las mismas? 
 
Ejercicio 35: El último tren expreso,-que parte de una gran ciudad a una zona suburbana, deja la estación a las 18 horas. Un 
señor que debe tomar ese tren sale tarde de su oficina y no logra tomar un taxi hasta las; 17:40 horas. La duración del viaje 
en taxi, que depende de las condiciones del tránsito, es una variable aleatoria uniforme en el intervalo entre 10 minutos y 
50 minutos. El señor, una vez que llegó a la estación, tarda 3 minutos en abordar el tren. 
a) ¿Cuál es la probabilidad de que este señor pierda el tren? 
b) ¿Antes de que hora debe tomar el taxi para que la probabilidad de perder el tren sea menor que 0.1? 
 
Ejercicio 36: Sea X el número de veces por día que falla una máquina. Algunas de estas fallas pueden ser arregladas por los 
mismos operarios pero en otras oportunidades esto no es posible y debe llamarse a un técnico especializado. Sea Y el 
número de veces que se llama a un técnico. Estas variables tienen la siguiente distribución conjunta. 
 X 
 0 1 2 3 
Y 
0 0.530 0.101 0.008 0.001 
1 0.000 0.083 0.015 0.002 
2 0.000 0.000 0.126 0.054 
3 0.000 0.000 0.000 0.080 
a) Calcule las medias y desvíos estándares de ambas variables 
b) Halle la covarianza y el coeficiente de correlación lineal entre estas variables. 
 
Ejercicio 37: Se forma un mazo con el 1, el 2 y el 3 de espadas y, con el 4 y el 5 de bastos. Se mezclan las cartas y se 
reparten dos. Sean las variables aleatorias: 
X: cantidad de cartas del palo espada recibidas. 
Y: suma de los números de las cartas recibidas. 
Halle cov (X, Y). 
 
Ejercicio 38: En un grupo de 9 ejecutivos de cierta empresa, 4 están casados, 3 son solteros y 2 están divorciados. Se debe 
seleccionar a 3 de los ejecutivos para un ascenso. Sea X el número de ejecutivos casados e Y el número de ejecutivos 
divorciados entre los 3 elegidos para el ascenso. 
Halle la covarianza entre X e Y y el coeficiente de correlación. 
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Ejercicio 39: Sea X una variable aleatoriacon ( ) . 
El momento ordinario de orden r de X es 
 ( ) 
El momento centrado de orden r de X es [( )
 ]. 
Exprese los momentos centrados de tercer y cuarto orden como función de los momentos ordinarios. 
 
Ejercicio 40: Sea X una variable aleatoria con ( ) y ( ) . 
El coeficiente de asimetría de X es 
 
 
 
El coeficiente de curtosis de X es 
 
 
 
Obtenga los coeficientes de asimetría y curtosis de las variables aleatorias distribuidas según las siguientes funciones de 
probabilidad o densidad. Grafique esas funciones. 
a) 
x 0 1 2 3 
f(x) 1/8 3/8 3/8 1/8 
 
b) 
x -2 0 2 4 
f(x) 1/8 2/8 3/8 2/8 
 
c) 
x 1 2 3 
f(x) 1/3 1/3 1/3 
 
x 1 2 3 
f(x) 0.1 0.7 0.2 
 
 ) ( ) {
 ≤ 1
 1 ≤ 
 
 ) ( ) 
{
 
 
 
 ≤ 
1
 
 ⁄ ⁄ 
1
 
≤ 
 
 
 ) ( ) {
 ⁄ ( ) ≤ 
 
 ) ( ) {
 ⁄ ( ) ≤ 
 
 
 
Ejercicio 41: Determine cuáles de las siguientes son funciones de distribución. 
 ) ( ) {
 1
1 1
 ) ( ) {
 ≤ 
1 ⁄ 1
1 1 ≤ 
 ) ( ) {
 
1 ⁄ ≤ 1
1 1 ≤ 
 
 ) ( ) 
{
 
 
 
 
1 ≤ 
 
 
1 
 
 
≤ 
 ) ( ) {
 
1 
1
 
 
 ) ( ) {
 
 1
 1
 
 
 
 
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Respuestas 
Ejercicio 01 
a) { , , , , , , , } 
 
b) { , , , , } 
 
c) {{1, }, {1, }, , { , }, , {1 , }} 
 
d) { } 
 . {
 
1 
 
e) { ,1 ,1 , , ,1 } 
 
 
Ejercicio 02 
 
X es una variable aleatoria discreta. X va de 0 (la facultad no tiene ejemplar disponible) a 3 (la facultad tiene todos los ejemplares). 
X 0 1 2 3 
f(X) 0,3 0,25 0,25 0,2 
 
Ejercicio 03 
 
 ( ) 1 
{
 
 ( ) , {
 ( ) 1 ( , , 1 )
 ( ) 
 ( ) , {
 ( ) 
 ( ) 1 
 
a) 
X 0 1 2 
P(X) ( ) ( ) 1 1 
b) 
X 0 1 
P(X) 1 1 
Otra forma: Pensar en combinatoria con casos favorables sobre posibles. 
 ( ) 
(
 
 
)
⏞
 , 
(
 
 
)
⏞
 , 
(
 
 
)
⏟
 , 
 1 
 ( 1) 
(
 
 
)(
 
 
)
(
 
 
)
 ( ) 
(
 
 
)(
 
 
)
(
 
 
)
 1 
Ejercicio 4 
X 
Eventos: 
 ( ) 
 ( ) , 
También: ( ) ( ) ( ) 
 (X ) ( ) ( ) ( ) , 1 
 (X 1) ( ) ( ) ( ) , 1 
 (X ) ( ) ( ) ( ) ,1 
 (X ) ( ) ( ) ( ) , 
X 0 1 2 3 
P(X) 0.000125 0.007125 0.135375 0.857375 
 
Ejercicio 05 
Y: Número de mujeres seleccionadas. 
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a) 
Y 0 1 2 
P(Y) 0,1 0,6 0,3 
 
 ( ) 
(
 
 
) (
 
 
)
(
 
 
)
 ,1 
b) ( ) , , 1, 
 ( ) ( ) [ ( )] , 
 
Ejercicio 06 
X: Número de ruedas repuestas en la misma disposición en que estaban 
Los valores que toma son: 0, 1, 2, 3, 4. La esperanza matemática es 1. 
 
Ejercicio 7 
 
a) 
 ( ) 
(
 
 
)(
 
 
)
(
 
 
)
 , 1. ( 1) 
(
 
 
)(
 
 
)
(
 
 
)
 ,11 1. ( ) 
(
 
 
)(
 
 
)
(
 
 
)
 , . 
 ( ) 
(
 
 
)(
 
 
)
(
 
 
)
 , 
X 0 1 2 3 
P(X) 0.883611 0.112801 0.003562 0.000026 
 ( ) 1 ,11 1 , , ,1 
b) ( 1) 1 [ ( ) ( 1)] 1 [ , 1 ,11 1] , 
Otra forma: ( 1) ( ) ( ) , 
 
Ejercicio 08 
 (X 1) ; (X ) ; (X ) ; (X ) 
a) ( ) 
{
 
 
 
 
 1
 1 ≤ 
 ≤ 
 1 ≤ 
1 1 
 
1 ⁄ ⁄ 1 1 1 
b) (1) 1 ( ) ( ) 
 (X ) 1 ( ) 1 1 ; (X ) ( ) ( ) 
 (X ) ( ) (1) 1 1 ; (X 1) (1) 1 
 ( ) 1 1 1 1 ,11 
c) ( ) ( ) [ ( )] [1 1 1 1 ] ,11 , 
 
Ejercicio 09 
 
 1 ( ); 1 ( ); ( ) 
 ( ); ( ) 
a) ( ) {{1,1}, {1, }, {1, }, { , }, { , }} ; ( ) { , , , , } 
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ⁄ 1 ⁄ 
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ⁄ ⁄ ⁄ 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ⁄ 1 ⁄ 1 1 ⁄ 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ⁄ 1 ⁄ 1 ⁄ 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 ⁄ 1 ⁄ 1 ⁄ 
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X 2 3 4 6 7 
P(X) 1/10 2/5 1/10 1/5 1/5 
Otra forma: Casos favorables sobre posibles con combinatoria (un ejemplo). 
 ( ) 
(
 
1
) (
 
 
) (
1
 
)
(
 
 
)
 1 1 
c) ( ≤ ) ( ) 
 ( ) 
{
 
 
 
 
 
1 1 ≤ 
1 1 ⁄ ⁄ 1 ⁄ ≤ 
1 ⁄ 1 1 ⁄ 1 ⁄ ≤ 
 1 ⁄ 1 ⁄ 1 ⁄ ≤ 
 1 ⁄ 1 ⁄ 1 
 
 
d) (X) ∑X (X) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , 
 (X) ( ) [ ( )] 1 1 ⁄ ⁄ 1 1 ⁄ 1 ⁄ 1 ⁄ ( , ) , 
 
Ejercicio 10 
{
 ( ≤ 1) ( ) ( 1) , 
 ( ) 1 ( 1) ( 1) , 1, 
∑ ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) 1
 
 ( ) ( 1) ( ) , 1 ( ) ( 1) , ( ) 
 , ( ) , ( ) , 
1 ( 1) , , 1, ( 1) ,1 
 ( ) ,1 , ( ) , 
a) 
X 0 1 2 3 
P(X) 0,4 0,1 0,3 0,2 
b) ( ) 
{
 
 
 
 
 
 , ≤ 1
 , ,1 , 1 ≤ 
 , , , ≤ 
 , , 1 
 
 
Ejercicio 11 
 ( ) , , 
 (X ) ( ) , 
 (X 1) (1) , 
 (X 1) ( 1) , 
 (X ) ( ) , 
a) ( ) ( ) ( 1) , 
b) ( ) ( ) ( 1) , 
c) ( ) 
{
 
 
 
 
 
 , ≤ 1
 , , , 1 ≤ 1
 , , , 1 ≤ 
 , , 1 
 
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Ejercicio 12 
a) ( ≤ ) ( ) ( ) 1 1 
b) (X ) 1 ( ) 1 1 
 (X ) ( ) ( ) 1 1 ; (X ) ( ) ( ) 1 1 1 
 (X ) ( ) 1 
X 3 4 5 6 
P(X) 1/3 1/6 1/6 1/3 
Ejercicio 13 
a) ( ≤ , ) ( , ) , ⁄ ,1 
 ( , ≤ ≤ 1, ) (1, ) ( , ) 1 1, 1, ⁄ ,1 , 
b) ( ) (
 
 
)
 
 ( ) ( 1 ⁄ ) 
 ( ) {
 ≤ ≤ 1
 1 ≤ ≤ 
 
 
c) ( ) ∫ 
 
 
( ) ∫ ( )
 
 
 1 1 
 
Ejercicio 14: 
a) 
 ( ) , ; (1 ) , ; ( ) , ; ( ) , 1; ( ) 1 
a1) ( ) ( ) (1) , , , 
a2) ( ) 1 ( ≤ ) 1 ( ) ,1 
a3) ( ) ( ) ( ) , 1 , , 
a4) ( 1 ) 1 ( ) , 
b) ( ) 1 ( ,, ) ( , , ) ( , 1 , ) (1 , 1) , , , , 
1, 
 
Ejercicio 15: 
 
 1 
 ( ) (1 ) 1 ( ) 1 (1 , , ) 1 1, 1 
 ( ) (1 ) 1 ( ) 1 [ ( ) ( ) ] 1 [(1 , , ) 1, ] 1 [ ,1 1, ] ,1 
Problema: Cuando saco un cardinal de la varianza, siempre sale al cuadrado. Pero no da así, si no estuviese el 10 al cuadrado, 
daría. 
 
Ejercicio 16 
 ( ) , (1) , ( ) 1 
 1 1 
 ( ) (1 1 ) 1 1 ( ) 1 1 [1 ( , , ) (1 , )] 11 
 
Ejercicio 17 
X P(X) Para 1 Para 2 Para 3 Para 4 Para 5 
0 0,22 -20 -40 -60 -80 -100 
1 0,35 200 180 160 140 120 
2 0,25 200 400 380 360 340 
3 0,13 200 400 600 580 560 
4 0,04 200 400 600 800 780 
5 0,01 200 400 600 800 1000 
E(x) 151,6 226,2 245,8 236,8 219 
Con 3 unidades se espera maximizar la utilidad diaria. 
Ejercicio 18 
∫ 
 
 
 [
 
 
]
 
 
 1 
Probabilidad y estadística 2007 Unidad 2 
Página 11 de 17 
 
∫ (1 )
 
 
 1 ∫ 
 
 
 ∫ 
 
 
 1 
1 1 1 1 
 ( ) {
 1 ≤ 
 1 (1 ) ≤ 1 
 
 
a) ( ) ∫ 1 (1 )
 
 
 , 
 ( ) ∫ 1 
 
 
 , 
 ( ) ∫ 1 
 
 
 ∫ 1 (1 )
 
 
 , 
 ( ⁄ ) 
 ( )
 ( )
 
∫ 1 (1 )
 
 
 
1 ∫ 1 
 
 
 ,1 
Ejercicio 19 
 ( ) ∫ ( 1 1 ) 
 
 
 [ 1 ] 
 1 ( ) 
 1 
 ( ) {
 1
 1 1 ≤ 
1 
 
 ( 1, ) (1, ) (1, ) (1, ) 1 (1, ) ,1 
 
Ejercicio 20 
a) ∫ (1 ) 
 
 
 1 ∫ ( ) 
 
 
 1 ∫ ( ) 
 
 
 ∫ ( ) 
 
 
 1 
 
 
 
 
 
 1 
b) ( , ) ∫ ( ) 
 
 , 
 [
 
 
 
 
 
]
 , 
 
 , ; 
 ( ≤ , ) ∫ ( ) 
 , 
 
 [
 
 
 
 
 
]
 
 , 
 , 
 ( ≤ , ) ∫ ( ) 
 , 
 
 [
 
 
 
 
 
]
 
 , 
 
 
 
 
c) La variable varía entre 0 y 1, entonces la mediana es: 0,5 
 
Ejercicio 21 
a) ( ) ∫ √ 
 
 
 
 
 ∫ ( ) 
 ⁄
 
 , ⁄ , 
 ( ) ∫ [( , ) √ 
 
] 
 
 
 ∫ [( , ) ( )] 
 ⁄
 
 
∫ [( 1, , 1 ) √ 
 
] 
 
 
 ∫ [( 1, , 1 ) ( )] 
 ⁄
 
 , 1 , ,1 
b) ,1 , 
 ( , 1, ) ( 1, ) ( , ) 
[∫ √ 
 
 
 
 
 ∫ ( ) 
 , 
 
] [∫ √ 
 
 
 , 
 
] , 1 1 ,1 , 
 
Ejercicio 22 
a) 
 
b) 
 ( ) ∫ (1 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
Probabilidad y estadística 2007 Unidad 2 
Página 12 de 17 
 
 ( ) {
 
 
 
 
 ≤ ≤ 
1 
 
c) 
 ( ) , 1 ( ≤ ) , ( ≤ ) , ( ) , 
 
 
 {
 , ( )
 , 
 
 , 1 , 
d) ( ) , 
 
 
 , 
 
 
 , 
 √ ( ⁄ ) ( , )
 ( ⁄ )
 
 
√ 
 
( ⁄ )
{
 √ 
 √ 
 Se descarta x2 porque la 
función está definida hasta 2. 
 
Ejercicio 23 
a) ( ) ∫ (1 ( 1)) 
 
 
 1 ( ) 
 ⁄ 
 ( ) {
 
 ⁄ ≤ ≤ 1
1 1
 
b) (1 ⁄ ⁄ 1 ⁄ ) 
 [( ⁄ ⁄ ) ( ⁄ )]
 ( ⁄ )
 
 ( ⁄ ⁄ )
 ( ⁄ )
 
 ( , ) ( ⁄ )
 ( , )
 
 
 
 
 
c) ( ) , ( ) , ⁄ , {
 ,1
 , 
 
 ,1 
d) 
 
 
 ⁄ , 
 
 
 ⁄ , 1 ⁄ , 1 
 
Ejercicio 24 
Averiguo la función distribución. 
 ( ) ∫ 
 
 
 
 
 
 ( ) ∫ ∫ ( ) 
 
 
 
1
 
 ( 
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 1 
 ( ) {
 
 ⁄ ≤ 1
 ⁄ 1 1 ≤ ≤ 
1 
 
Si son independientes: ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( , 1, ) (1, ) ( , ) ⁄ 1 ⁄ , 
 ( ) ( 1) 1 ( ≤ 1) 1 (1) 1 
 ( ) [( , 1, ) ( 1)] (1 1, ) (1, ) (1) ⁄ 1 ⁄ ⁄ 
 ⁄ , 1 ⁄ ⁄ ⁄ 
Se confirma que son independientes. 
 
Ejercicio 25 
a) ( ) 1 ( ) 1 [1 
 
] , 1 
b) ( ⁄ ) 
 ( )
 ( )
 
 ( )
 ( )
 
 
 
 
c) ( ) , 1 
 
 , 
 
 1 ⁄ , 1 , 
d) (1 
 
)
 
 
 
 ( ) ( ) {
 
 
 
 
 
Ejercicio 26 
 
b) (1 ⁄ ⁄ ) ( ) (
 
 
) 
c) Hay que hacer el camino inverso. La derivada de w=1 
Probabilidad y estadística 2007 Unidad 2 
Página 13 de 17 
 
 ( ) {
1 ≤ , 
 
 
∫ 1
 , 
 
 ∫ ( )
 
 , 
 
 1
 
 ∫ ( )
 
 , 
 
 1
 
 
1
 
 [∫ ( )
 
 , 
] [
 1
 
] ( ) 
 
 
 
 
 
 
 ( ) {
1 ≤ , 
 ⁄ , ≤ ≤ 1
 
 
 
Ejercicio 27 
 ( ) ( ) 
 
 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
Ejercicio 28 
 
 ( ) 
 ( ) 
 1 , 
 ( ) ( 1 , ) 1 , ( ) 1, 
 ( ) ( 1 , ) ( , ) ( ) , 
Ejercicio 29 
 1 1 
 ( ) ∫ (1 ) 
 
 
 ⁄ 
 ( ) ∫ (1 ) 
 
 
 ∫ ( ) 
 
 
 [( )] 
 
 ( ) (1 1 ) 1 1 ( ) 1 , 
 ( ) ∫ (1 ) 
 
 
 ∫ ( ) 
 
 
 [( 1 1 )] 
 
 ( ) ( ) [ ( )] ( ) 
 ( ) (1 1 ) 1 ( ) , 
 
Ejercicio 30 
 
x^2 4 0 16 
f(x^2) 4/8 (1/8+3/8) 2/8 2/8 
 1 ⁄ 1 1 -1 7 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 1 ( ≤ ) 1 ⁄ ⁄ 
 ( ) 1 ⁄ 1 ⁄ ⁄ 
 √ ( ) √ ( ) [ ( )] √1 
Ejercicio 31 
 
 ( ) ∫ (
1
 
 
 
 ) 1 
 
 
 
 
 
 ( ) {
 
1 
 
 
 
 
a) Tengo que ver la probabilidad de que haya arreglos durante el primer año de garantía, que sería gratis. 
 ( 1) (1) , 11 ,11 
b) Tengo que restarle a la utilidad de un televisor, lo que espero que me salga la reparación del tubo en el primer año, que coincide con la 
probabilidad de que tenga que arreglarlo el primer año. 
Probabilidad y estadística 2007 Unidad 2 
Página 14 de 17 
 
 ( 1) ( ) ( 1)⏞ 
 , 
 1 , 
 
Ejercicio 32 
Evento. 1, ( ) 1, 
 ( ) ( 1, ) 1, ( ) 
 ( ) ∫ ( 
 
 
 )
 , 
 
 ∫ ( 
 
 
 )
 
 , 
 1, ( ) 
Lo paso a litros: 1, 1 1 
 ( ) 1, 1 1 1 ( ) 
Lo paso a pesos: 1 1 1 1 1 
 
Ejercicio 33 
a) ( ) {
 
 
 ≤ ≤ 
 
 
 
1
 
 
b) ( ) ∫ ( 
 
 
)
 
 
 
 
 
 (
 
 
 
)
 
 
 
 
 
(
 
 
 
 
 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
( )( )
 ( )
 
 
 
 
 ( ) ∫ ( ( ))
 
(
1
 
)
 
 
 ∫ ( ( ) ( ) ) (
1
 
)
 
 
 
∫ ( (
 
 
) (
 
 
)
 
) (
1
 
)
 
 
 ∫ (
1
 
 (
 
 
)
1
 
 
1
 
(
 
 
)
 
) 
 
 
 
1
 
∫ 
 
 
 
 
 
∫ 
 
 
 
1
 
(
 
 
)
 
∫ 
 
 
 
1
 
(
 
 
)
 
 
 
 
 
(
 
 
)
 
 
 
1
 
(
 
 
)
 
( ) 
 
 
1
 
(
 
 
) 
 
 
(
 
 
) 
1
 
(
 
 
)
 
( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 1 
1 
 
 
1 
 
 
1 
 
( ) 
1 
 
c) ( ) ∫
 
 
 
 
 
 
 
( )( ) {
 
 
 
 ≤ 
1 
 
Ejercicio 34 
 
 
 , 1 , 1 , 
( ) 
1 
 
 
 
 ( [1 , ]) ,1 ( 1 , ) ,1 
 1 , , , , 
 ( ) {
 , , ≤ ≤ , 
 , , 
 ( ) {
 , 
 , 
 , 
 , ≤ ≤ , 
 , 
 
a) ( ≤ , ) ( , ) 
 , , 
 , 
 , 
b) ( ) , 1 ( ) , 1 ( ) , ( ) , 
 , 
 , 
 , , 
Ejercicio 35 
Entre las 17:40 y 18:00 hay 20 minutos. De esos 20, 3 los usa para abordar el tren, asique tiene 17 minutos para tomar el 
taxi sin perder el tren. 
Probabilidad y estadística 2007 Unidad 2 
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 ( ) {
 , 1 ≤ ≤ 
 1 
 ( ) {
 1 
 1 
 
 1 ≤ ≤ 
 
 
a) ( 1 ) 1 ( 1 ) 1 (1 ) 1 
 
 
 , 
 ( ) ≤ ,1 1 ( ) ,1 1 
 1 
 
 ,1 ≤ 
1 1 11 
 
Ejercicio 36 
a) ( ) ,1 1 , ( , , 1 ,1 ) ( , 1 , , , ) , 
 ( ) , , 1 , ( ,1 , ) ( , ) ( ) , 
 √ ( 
 ) [ ( )] √ , 1 , 1,1 
 √1, , 1, 
b) ( , ) ∑ 1, , 1 1, 1 
 ( , ) 
 ( , )
 
 , 
 
Ejercicio 37 
X: cantidad de cartas del palo espada recibidas. 
Y: suma de los números de las cartas recibidas. 
 ( ) 
(
 
 
)(
 
 
)
(
 
 
)
 
 
 
 ( 1) ⁄ ; ( ) 1 ⁄ 
 ( ) 1, 
Casos posibles de Y: 20 
 1 2 3 4 5 
1 - 3 4 5 6 
2 3 - 5 6 7 
3 4 5 - 7 8 
4 5 6 7 - 9 
5 6 7 8 9 - 
 ( ) 1 1 ⁄ ( ) 1 1 ⁄ ( ) 1 ⁄ ( ) 1 ⁄ ( ) 1 ⁄ ( ) 1 1 ⁄ ( )
 1 1 ⁄ 
 ( ) 
Y 
X 
0 1 2 Casos 
3 0 0 1 1 ⁄ espada1 y espada2 o espada2 y espada1 
4 0 0 1 1 ⁄ Espada1 y espada3 o espada 3 y espada1 
5 0 1 1 ⁄ 1 1 ⁄ Espada1 y basto4 o viceversa o espada2 y espada 3 o viceversa 
6 0 1 ⁄ 0 Espada1 y basto5 o viceversa o espada 2 y basto4 o viceversa 
7 0 1 ⁄ 0 Espada2 y basto5 o viceversa o espada3 y basto4 o viceversa 
8 0 1 1 ⁄ 0 Espada3 y basto 5 o viceversa 
9 1 1 ⁄ 0 0 Basto4 y basto5 o viceversa 
 
 ( , ) ∑ , 1, , 
Ejercicio 38: En un grupo de 9 ejecutivos de cierta empresa, 4 están casados, 3 son solteros y 2 están divorciados. Se debe 
seleccionar a 3 de los ejecutivos para un ascenso. Sea X el número de ejecutivos casados e Y el número de ejecutivos 
divorciados entre los 3 elegidos para el ascenso. 
Halle la covarianza entre X e Y y el coeficiente de correlación. 
X: Numero de ejecutivos casados. X=0,1,2,3 
Y: Numero de ejecutivos divorciados. Y=0,1,2 
 
Probabilidad y estadística 2007 Unidad 2 
Página 16 de 17 
 
 ( ) 
(
 
 
) (
 
1
) (
 
 
)
(
 
 
)
 
(
 
 
) (
 
 
) (
 
 
)
(
 
 
)
 
(
 
 
) (
 
 
) (
 
1
)
(
 
 
)
 
 
 
 
1
 
 
1
1 
 1 
 ( 1) 
(
 
1
) (
 
 
) (
 
 
)
(
 
 
)
 
(
 
1
) (
 
1
) (
 
1
)
(
 
 
)
 
(
 
1
) (
 
 
) (
 
 
)
(
 
 
)
 
1
1 
 
 
 
 
 
 1
 
 
 
 
 ( ) 
(
 
 
) (
 
 
) (
 
1
)
(
 
 
)
 
(
 
 
) (
 
1
) (
 
 
)
(
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 ( ) 
(
 
 
) (
 
 
) (
 
 
)
(
 
 
)
 
1
1 
 
X 0 1 2 3 
P(X) 1/6 23/84 19/84 1/14 
 ( ) 
 ( ) 
(
 
 
) (
 
 
) (
 
 
)
(
 
 
)
 
(
 
 
) (
 
1
) (
 
 
)
(
 
 
)
 
(
 
1
) (
 
 
) (
 
 
)
(
 
 
)
 
(
 
 
) (
 
 
) (
 
 
)
(
 
 
)
 
1
1 
 
 
 
 
 
 1
 
1
 
 
 
 
 
 ( 1) 
(
 
 
) (
 
 
) (
 
1
)
(
 
 
)
 
(
 
1
) (
 
1
) (
 
1
)
(
 
 
)
 
(
 
 
) (
 
 
) (
 
1
)
(
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
1
1 
 
 ( ) 
(
 
1
) (
 
 
) (
 
 
)
(
 
 
)
 
(
 
 
) (
 
1
) (
 
 
)
(
 
 
)
 
1
1 
 
 
 
 
11
 
 
Y 0 1 2 
P(Y) 9/28 2/7 11/84 
 ( ) 
Casos posibles: 
Y(divorciados) 
X(casados) 
0 1 2 3 
0 4/27 3/27 3/27 2/27 
1 3/27 3/27 3/27 0 
2 3/27 3/27 0 0 
 
 ( , ) ∑ , 
1/3 
 
Ejercicio 39: Sea X una variable aleatoria con ( ) . 
El momento ordinario de orden r de X es 
 ( ) 
El momento centrado de orden r de X es [( )
 ]. 
Exprese los momentos centrados de tercer y cuarto orden como función de los momentos ordinarios. 
 [( )
 ] [( )] ( ) 
Ejercicio 40: Sea X una variable aleatoria con ( ) y ( ) . 
El coeficiente de asimetría de X es 
 
 
 
El coeficiente de curtosis de X es 
 
 
 
Obtenga los coeficientes de asimetría y curtosis de las variables aleatorias distribuidas según las siguientes funciones de 
probabilidad o densidad. Grafique esas funciones. 
d) 
x 0 1 2 3 
f(x) 1/8 3/8 3/8 1/8 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 , 1 , 
e) 
Probabilidad y estadística 2007 Unidad 2 
Página 17 de 17 
 
x -2 0 2 4 
f(x) 1/8 2/8 3/8 2/8 
 
f) 
x 1 2 3 
f(x) 1/3 1/3 1/3 
 
x 1 2 3 
f(x) 0.1 0.7 0.2 
 
 ) ( ) {
 ≤ 1
 1 ≤ 
 
 ) ( ) 
{
 
 
 
 ≤ 
1
 
 ⁄ ⁄ 
1
 
≤ 
 
 
 ) ( ) {
 ⁄ ( ) ≤ 
 
 ) ( ) {
 ⁄ ( ) ≤ 
 
 
 
Ejercicio 41 
Son funciones de distribución: a); c); d); e)