Unidad 2-2003 - Guadalupe Montes Martin

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Probabilidad y Estadística Variables aleatorias Unidad 2 
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Ejercicio 1: Señale las variables aleatorias discretas: 
a) X: altura del Riachuelo 
b) Y : número de embragues defectuosos en una partida de 120 embragues 
c) Z: estimación de la probabilidad de defectuoso para un embrague tomado al azar 
d) P: puntaje que obtendrá el ganador dé un certamen de ajedrez clasificado entre 10 competidores 
e) Q: peso de un ladrillo común 
f) R: grupo sanguíneo del mejor alumno del curso 
g) T: cantidad de cheques rechazados por una agencia bancaria en una fecha dada 
 
Ejercicio 2: Se van a colocar cuatro microcircuitos integrados en una computadora. Se escogen en forma aleatoria dos de los 
cuatro para revisarlos antes de armar la computadora. Sea X el número de circuitos integrados defectuosos que se encuentran 
entre los dos que se revisan. Determine la función de probabilidad de X si: 
a) Dos de los cuatro microcircuitos integrados son defectuosos 
b) Uno de los microcircuitos integrados es defectuoso 
 
Ejercicio 3: Se extraen dos bolillas de una urna que contiene bolillas así numeradas: 1,1, 2,2, 5. Sea X = suma de los valores 
obtenidos. 
a) Halle el dominio e imagen de X. 
b) Halle y grafique la función de probabilidad de X 
c) Halle y grafique la función de distribución de X 
d) Calcule E(X) y V(X) 
 
Ejercicio 4: Durante el curso de un día, una máquina produce tres artículos cuya calidad individual, definida como de primera 
o segunda, se determina al final del día. Sea X la variable aleatoria "cantidad diaria de artículos de primera". Defina la función 
de probabilidad de X suponiendo que históricamente la máquina produjo un 5% de artículos de segunda y que la calidad es 
independiente en cada artículo. 
 
Ejercicio 5: Un capataz de una fábrica tiene tres hombres y tres mujeres trabajando para él. Desea elegir dos trabajadores para 
una labor especial y decide seleccionarlos al azar para no introducir algún sesgo en su selección. Sea Y el número de mujeres 
en su selección. 
a) Encuentre la función de probabilidad para Y 
b) Halle E(Y) y V(Y) 
 
Ejercicio 6: El gerente de producción en una fábrica ha construido la siguiente función de probabilidad para la demanda diaria 
(n° de veces utilizada) de una herramienta en particular. 
 
y 0 1 2 
f(y) 0.1 0.5 0.4 
Le cuesta a la fábrica $10 cada vez que se utiliza la herramienta. Encuentre la media y la varianza del costo diario para el uso 
de la herramienta. 
 
Ejercicio 7: Un fabricante de radios desea adquirir 100 resistencias de cierta marca. Antes de adquirir el lote, elige tres 
resistencias y las prueba. Sea X = número de resistencias defectuosas entre las que prueba. Si se sabe que en el lote hay 4 
resistencias defectuosas. 
a) Halle la función de probabilidad de X. Determine su media. 
b) Si decide rechazar el lote si entre las tres elegidas hay más de una defectuosa; ¿Cuál es la probabilidad de rechazar el 
lote? 
 
Ejercicio 8: El departamento de ingeniería industrial de una compañía está realizando un estudio sobre la labor de sus 
técnicos. Califica a sus técnicos en tres categorías: A, B y C, según el tiempo que demoran en realizar una tarea. Si las 
probabilidades de pertenecer a cada una de las categorías son respectivamente 0.1, 0.3 y 0.6 respectivamente y se supone que 
las calificaciones de los técnicos son independientes entre sí, halle la media de 
X: número de técnicos de la categoría A entre dos elegidos al azar. 
 
Ejercicio 9: Una máquina puede tener un cierto número de fallas por día, no superior a 3. La tabla da la función de probabilidad 
de la variable aleatoria X: número de fallas diarias 
x 0 1 2 3 
f(x) 0.2 
 
a) Complete la tabla sabiendo que ( ) y E(X) =1.3 
b) Halle la función de distribución de X 
 
Probabilidad y Estadística Variables aleatorias Unidad 2 
 
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Ejercicio 10: Suponga que la demanda diaria de un artículo es una variable aleatoria X cuyo recorrido es R(x) = {1,2,3,4} y su 
función de probabilidad f(x) = c2x/x! 
a) Halle el valor de la constante c 
b) Calcule la demanda esperada 
c) Calcule la desviación estándar de la demanda 
 
Ejercicio 11: La función de distribución de una variable aleatoria X es: 
 ( ) 
{
 
 
 
 
 
 ⁄ 
 
 ⁄ 
 ⁄ 
 
 
a) Calcule ( ) 
b) Halle la función de probabilidad de X 
 
Ejercicio 12: Sea X una variable aleatoria cuya función de probabilidad es f(x) = 0.5 - 0.05 x2 y su recorrido R(x) = {-3,-1,1,3} 
a) Calcule P( X< 0) 
b) Verifique que P ( X< 0) = P ( X > 0 ) 
c) Halle y grafique la función de distribución de X 
 
Ejercicio 13: Una variable aleatoria discreta tiene como función de probabilidad p(x) = 0.7(0.3)x x = 0,1,2,3,… 
a) Verifique que p(x) es una función de probabilidad. 
b) Halle: 
i) P(x >3) 
ii) ( ) 
iii) P(x >3 / x >1) 
 
Ejercicio 14: El tiempo de vida, en miles de horas, de una lámpara es una variable aleatoria con densidad: 
 ( ) {
 
 
 
 
Halle la probabilidad de que una de tales lámparas, que está colocada en un equipo, tenga que cambiarse durante las primeras 
1.200 horas de operación. 
 
Ejercicio 15: La demanda diaria de combustible, en miles de litros, en una estación de servicio es una variable aleatoria con 
función de densidad: 
 ( ) 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Al comenzar cada día sé completan los tanques hasta alcanzar los 2.000 litros. Cada litro vendido produce una utilidad 
de 20 centavos mientras que, cada litro no vendido produce una pérdida de 1,5 centavos (debido a costos de 
almacenamiento). Halle la utilidad diaria esperada. 
 
Ejercicio 16: Supóngase qué el tiempo, en horas, necesario para reparar una pieza de un equipo en un proceso de manufactura, 
es una variable aleatoria con media 5 y varianza 20. Si la pérdida de dinero, en pesos, es igual al cuadrado del número de horas 
necesario para llevar a cabo la reparación, determine el valor esperado de las pérdidas por reparación. 
 
Ejercicio 17: Una determinada operación, en un proceso de montaje, tiene un costo fijo de $12 y otro, que varía en función del tiempo 
empleado, a razón de $0,20 por segundo. Si el tiempo empleado es una variable aleatoria con media 98 segundos y varianza 68 segundos, 
determine la media y la varianza del costo total de la operación. 
 
Ejercicio 18: La cantidad de reactivo, medido en cientos de mililitros, en un proceso químico, es una variable aleatoria X con la siguiente función 
de densidad 
 ( ) {
 ( )
 
 
 
 
 
Probabilidad y Estadística Variables aleatorias Unidad 2 
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a) Grafique la función f 
b) Halle la función de probabilidad acumulada 
c) Halle la cantidad de reactivo para el cual la probabilidad de superar dicha cantidad es 0.75 
d) ¿Cuál es la probabilidad de que en tres observaciones independientes de un proceso químico exactamente una de ellas tenga una 
cantidad de reactivo superior a 130 mililitros? 
 
Ejercicio 19: Un fabricante de aparatos de televisión a color ofrece un año de garantía de restitución gratuita si el tubo de imagen falla. El 
fabricante estima el tiempo de falla T,(medido en años) como una variable aleatoria con la siguiente función de densidad de probabilidad 
 ( ) {
 
 
 
 
 
 
a) ¿Qué porcentaje de aparatos tendrá que reparar? 
b) Si la utilidad por la venta de un televisor es de $200 y la sustitución del tubo de imagen cuesta $ 50, encuentre la utilidad esperada por 
aparato vendido. 
 
Ejercicio 20: La demanda de anticongelante, medida en cientos de litros, en una temporada tiene la siguientefunción de densidad: f(x) = 
1/3(4x +1) si 0 < x < 1 ; 0 e n otro caso 
a) Calcule P( 1/3 < x < 5/3 / x < 1/2) 
b) Halle E(3x -5), E(x2 + 1) 
c) Halle el valor de k tal que P( x < k) = 0.04 
 
Ejercicio 21: El costo de reparación de un equipo depende del tiempo que lleva repararlo y de una serie de gastos. Cada vez que un equipo debe 
ser reparado hay un gasto fijo de $100 y un gasto variable de $10t. Si el tiempo de reparación tiene una función de densidad 
f(t) = 1/4 -t/32 si 0 < t < 8 ; 0 en otro caso 
Halle el valor medio y la varianza del costo de reparación. 
 
Ejercicio 22: La función de distribución de una variable aleatoria w, que mide el porcentaje de cierto aditivo en gasolina es 
 ( ) 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Grafique F(w) 
a) Halle P( 1/3 < w < 2/3) usando la función de distribución 
b) Halle la función de densidad 
 
Ejercicio 23: Una variable aleatoria continua tiene la siguiente función de densidad: 
 ( ) {
 
 
 
 
 
Se definen los siguientes sucesos: 
A = {0.5 <x< 1.5} B = { x > 1 } 
¿Son A y B independientes? 
 
Ejercicio 24: La fracción de tiempo X, que un robot industrial está en operación durante una semana de 40 horas es una 
variable aleatoria cuya función de densidad de probabilidad es: 
 ( ) {
 
 
 
a) Calcule E(X) y V(X) 
b) Para el robot que se estudia, la ganancia semanal está dada por 
Y= 200X - 60, halle E(Y) y V(Y) 
 
Ejercicio 25: El tiempo por semana que una empresa de contadores usa la unidad central de proceso (CPU) tiene como función 
de densidad de probabilidad (medida en horas): 
 ( ) {
 
 
( ) 
 
 
a) Calcule el valor esperado y la varianza del tiempo por semana que se usa la CPU 
b) El tiempo que se usa la CPU cuesta a la empresa $200 la hora. Calcule el valor esperado del costo semanal por usar la CPU. 
 
Probabilidad y Estadística Variables aleatorias Unidad 2 
 
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Ejercicio 26: Una determinada operación, en un proceso de montaje, tiene un costo fijo de $ 12 y otro, que varía en función del 
tiempo empleado, a razón de $ 0.20 por segundo. Si el tiempo empleado es una variable aleatoria con media 98 segundos y 
varianza 68 segundos, determine la media y la varianza del costo total de la operación. (REPITE EL EJERCICIO 17) 
 
Ejercicio 27: La probabilidad de que una inmobiliaria venda una propiedad con una ganancia de $3000 es 3/20, la 
probabilidad de que venda y gane $1500 es 7/20, la de que salga a mano es 7/20 y la de que pierda $1500 es 3/20. ¿Cuál es su 
ganancia esperada? 
 
 
 
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Respuestas: 
Ejercicio 1 
b)d)f)g) 
Ejercido 2 
 
 ( ) 
{
 
 ( ) {
 ( ) ( )
 ( ) 
 ( ) {
 ( ) 
 ( ) 
 
a) 
X 0 1 2 
P(X) ( ) ( ) 
b) 
X 0 1 
P(X) 
Otra forma: Pensar en combinatoria con casos favorables sobre posibles. 
 ( ) 
(
 
 
)
⏞
 
(
 
 
)
⏞
 
(
 
 
)
⏟
 
 
 ( ) 
(
 
 
) (
 
 
)
(
 
 
)
 
 
 ( ) 
(
 
 
) (
 
 
)
(
 
 
)
 
Ejercicio 3 
 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
a) ( ) {{ } { } { } { } { }} 
 ( ) { } 
b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⁄ ⁄ 
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⁄ ⁄ ⁄ 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⁄ ⁄ ⁄ 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⁄ ⁄ ⁄ 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⁄ ⁄ ⁄ 
 
 
X 
2 3 4 6 7 
P(X) 1/10 2/5 1/10 1/5 1/5 
Otra forma: Casos favorables sobre posibles con combinatoria (un ejemplo). 
 ( ) 
(
 
 
) (
 
 
) (
 
 
)
(
 
 
)
 
c) ( ) ( ) 
 
Probabilidad y Estadística Variables aleatorias Unidad 2 
 
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 ( ) 
{
 
 
 
 
 
 
 ⁄ ⁄ ⁄ 
 ⁄ ⁄ ⁄ 
 ⁄ ⁄ ⁄ 
 ⁄ ⁄ 
 
 
d) ( ) ∑ ( ) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) [ ( )] ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ ( ) 
Ejercicio 4 
 
Eventos: 
 ( ) 
 ( ) 
También: ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
X 0 1 2 3 
P(X) 0.000125 0.007125 0.135375 0.857375 
Ejercicio 5 
 
a) 
 ( ) 
(
 
 
) (
 
 
)
(
 
 
)
 
 
 
 
 ( ) 
(
 
 
) (
 
 
)
(
 
 
)
 
 
 
 
 ( ) ( ) 
Y 0 1 2 
P(Y) 1/5 3/5 1/5 
b) ( ) ⁄ ⁄ ( ) ( ) [ ( )] [ ⁄ ⁄ ] 
Ejercicio 6 
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) [( ) ] 
Ejercicio 7 
 
a) 
 ( ) 
(
 
 
) (
 
 
)
(
 
 
)
 
 ( ) 
(
 
 
) (
 
 
)
(
 
 
)
 
 ( ) 
(
 
 
) (
 
 
)
(
 
 
)
 
 
Probabilidad y Estadística Variables aleatorias Unidad 2 
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 ( ) 
(
 
 
) (
 
 
)
(
 
 
)
 
 
 
X 0 1 2 3 
P(X) 0.88361
1 
0.112801 0.003562 0.000026 
 ( ) 
b) ( ) [ ( ) ( )] [ ] 
Otra forma: ( ) ( ) ( ) 
Ejercicio 8 
 
Eventos: 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
Ejercicio 9 
a) 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
∑ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
X 0 1 2 3 
P(X) 0,5 0 0,2 0,3 
El libro esta mal resuelto porque tomo la probabilidad de 0,2 para X=3. 
b) ( ) 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 10 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
 ( ) 
a) ( ) 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ⁄ ⁄ 
b) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) 
c) ( ) ( ) [ ( )] [ ] 
 
Ejercicio 11 
a) ( ) ( ) ( ) 
 
Probabilidad y Estadística Variables aleatorias Unidad 2 
 
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b) 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( )( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
X 3 4 5 6 
P(X) 1/3 1/6 1/6 1/3 
Ejercicio 12 
 ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
a) ( ) ( ) ( ) 
b) ( ) ( ) ( ) 
c) ( ) 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ejercicio 13 
a) ∑ ( ) ∑ ( ) ∑ ( )
 
 ∑( )
 
 
 
 
 
 
 
b) 
i. ( ) ( ) 
ii. ( ) ( ) ( ) ( ) 
iii. ( ) 
 ( )
 ( )
 
 ( )
 ( )
 
 
 ( ) ( )
 
Ejercicio 14 
 ( ) ∫ ( ) 
 
 
 [ ] 
 ( ) 
 
 ( ) {
 
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
Ejercicio 15 
Evento. ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ∫ ( 
 
 
 )
 
 
 ∫ ( 
 
 
 )
 
 
 ( ) 
Lo paso a litros: 
 ( ) ( ) 
Lo paso a pesos: 
 
Ejercicio 16 
 
 ( ) 
 ( ) 
Evento: 
 
 ( ) ( ) 
 ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) 
 
Ejercicio 17 
 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
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 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
Ejercicio 18 
 
a) 
 
 ( ) ∫ ( 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 ( ) {
 
 
 
 
 
 
 
b) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
 
 {
 ( )
 
 
 
c) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( )) ( ( ) ) 
Ejercicio 19 
 
 ( ) ∫ (
 
 
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
 ( ) {
 
 
 
 
 
 
a) Tengo que ver la probabilidad de que haya arreglos durante el primer año de garantía, que sería gratis. 
 ( ) ( ) 
b) Tengo que restarle a la utilidad de un televisor, lo que espero que me salga la reparación del tubo en el primer año, 
que coincide con la probabilidad de que tenga que arreglarlo el primer año. 
 ( ) ( ) ( )⏞ 
 
 
Ejercicio 20 
 ( ) ∫ ( ( )) 
 
 
 ( ) 
 ⁄ 
 ( ) {
 
 ⁄ 
 
 
a) ( ⁄ ⁄ ⁄ ) 
 [( ⁄ ⁄ ) ( ⁄ )]
 ( ⁄ )
 
 ( ⁄ ⁄ )
 ( ⁄ )
 
 ( ) ( ⁄ )
 ( )
 
 
 
 
b) ( ) ∫ ( ( )) 
 
 
 ∫ ( ) 
 
 
 [ 
 
 
 
 
 
]
 
 
 
 ( ) ( ) 
 ( ) ∫ ( ( )) 
 
 
 ∫ ( ) 
 
 
 [ 
 
 
]
 
 
 
 ( ) ( ) 
c) ( ) ( ) ⁄ {
 
 
 
 
Ejercicio 21 
 
 ( ) ∫ ( ) 
 
 
 ⁄ 
 ( ) ∫ ( ) 
 
 
 ∫ ( ) 
 
 
 [( )] 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 
Probabilidad y Estadística Variables aleatorias Unidad 2 
 
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 ( ) ∫ ( ) 
 
 
 ∫ ( ) 
 
 
 [( )] 
 
 ( ) ( ) [ ( )] ( ) 
 ( ) ( ) ( ) 
Ejercicio 22 
 
a) ( ⁄ ⁄ ) ( ) (
 
 
) 
b) Hay que hacer el camino inverso. La derivada de w=1 
 ( ) {
 
 
 
∫ 
 
 
 ∫ ( )
 
 
 
 
 
 ∫ ( )
 
 
 
 
 
 
 
 
 [∫ ( )
 
 
] [
 
 
] ( ) 
 
 
 
 
 
 
 ( ) {
 
 ⁄ 
 
 
Ejercicio 23 
Averiguo la función distribución. 
 ( ) ∫ 
 
 
 
 
 
 ( ) ∫ ∫ ( ) 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) {
 
 ⁄ 
 ⁄ 
 
 
Si son independientes: ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ⁄ ⁄ 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) [( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ⁄ ⁄ ⁄ 
 ⁄ ⁄ ⁄ ⁄ 
Ejercicio 24 
a) ( ) ∫ 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ∫ 
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) [ ( )] ( ) ⁄ ( ⁄ ) ⁄ 
b) 
 ( ) ( ) ( ) ⁄ 
 ( ) ( ) ( ) ⁄ 
 
Ejercicio 25 
a) ( ) ∫ (
 
 
( ) ) 
 
 
 
 
 
∫ ( ) 
 
 
 
 ( ) ∫ (
 
 
( ) ) 
 
 
 
 
 
∫ ( ) 
 
 
 
 ( ) ( ) 
b) 
 ( ) ( ) ( ) 
Ejercicio 26 es Ejercicio 17 
Ejercicio 27 
 
 { } 
 ( ) 
 ( ) ⁄ 
 ( ) ⁄ 
 ( ) ⁄ 
 ( ) ( ) ( ) ( )