Unidad 3-2003 - Guadalupe Montes Martin

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Probabilidad y estadística Unidad 3 Distribuciones Especiales 
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PRÁCTICA 3 
 
DISTRIBUCIONES ESPECIALES 
Ejercicio 1: Un examen de elección múltiple consta de 10 preguntas cada una de las cuáles posee 5 posibles respuestas, siendo sólo 
una la correcta. Suponga que un estudiante rinde el examen contestando cada pregunta en forma independiente y al azar. Si Z es el 
número de respuestas correctas 
a) Halle la distribución de Z, la media y la varianza. Interprete dichos resultados. 
b) Halle la probabilidad de que el alumno responda correctamente 7 preguntas. 
c) Si para aprobar es necesario tener más de 5 respuestas correctas. Halle la probabilidad de que un estudiante apruebe. 
 
Ejercicio 2: La probabilidad de que un tirador inexperto impacte en el blanco es 0.35. Si dispara 10 veces, cuál es la probabilidad de 
acertar por lo menos dos tiros? 
 
Ejercicio 3: Se dispone de un gran lote de artículos de los cuales se sospecha que el 10% es defectuoso. Se eligen 4 artículos al azar. 
Sea la v.a. 
X= Número de artículos defectuosos encontrados. 
a) Halle la distribución de X, su media y su varianza. 
b) Un comprador potencial del artículo regresa las piezas defectuosas para su reparación y el costo de reparación es: 
C=2X2 + 3X+10 
Calcule el costo de reparación esperado. 
 
Ejercicio 4: La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad en la sangre es 0.4. Si se sabe que 10 personas 
han contraído esa enfermedad, cuál es la probabilidad de que: 
a) ¿por lo menos 7 sobrevivan? 
b) ¿sobrevivan de 3 a 5? 
c) ¿sobrevivan exactamente 5? 
d) ¿cuántos, en promedio, sobrevivirán? 
e) ¿cuál es la varianza de la v.a. en cuestión? 
 
Ejercicio 5: Una v.a. continua X tiene por función de densidad 
 ( ) {
 ⁄ 
 
 
Si se toman 3 valores independientes de X, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 2 de ellos sean mayores que 1? 
 
Ejercicio 6: De acuerdo con la teoría genética, cada hijo de un par de padres en particular tiene: P(ojos azules)=0.5; P(ojos 
marrones)=0.2 y P(ojos verdes)=0.3. 
Si los padres tienen 5 hijos, halle la probabilidad de que por lo menos tres tengan ojos verdes. 
 
Ejercicio 7: Las probabilidades de que un delegado que asiste a una convención llegue por avión, autobús, automóvil o tren son 
respectivamente 0.4, 0.2, 0.3 y 0.1. ¿Cuál es la probabilidad de que entre 9 delegados seleccionados al azar al menos 3 hayan llegado 
por avión? 
 
Ejercicio 8: Se embarcan motores eléctricos pequeños en lotes de 50. Antes de aceptar el cargamento, un inspector elige 5 motores y 
los prueba uno por uno. Si ninguno de ellos es defectuoso, acepta el lote. Si encuentra que uno o más son defectuosos, se inspecciona 
el cargamento completo. Supongamos que en realidad hay tres motores defectuosos en el lote. ¿Cuál es la probabilidad de que se 
requiera una inspección al 100%? 
 
Ejercicio 9: Cincuenta representantes de cierto estado asisten a una convención política nacional, de los cuales 30 apoyan al 
candidato A y 20 al candidato B. Si se seleccionan aleatoriamente 5 representantes; ¿Cuál es la probabilidad de que entre estos cinco, 
por lo menos dos apoyen al candidato A? 
 
Ejercicio 10: Un motor de automóvil de 8 cilindros tiene dos bujías falladas. Si se quitan las cuatro bujías de un lado del motor, ¿Cuál 
es la probabilidad de que entre ellas se encuentren las dos que tienen fallas? 
 
Ejercicio 11: Dos líneas de ensamble I y II, tienen la misma frecuencia de piezas defectuosas cuando se producen reguladoras de 
tensión. Se muestrean cinco reguladores de cada línea y se prueban. Entre el total de diez reguladores probados se encontraron 4 
defectuosos. Calcule la probabilidad de que exactamente 2 de los defectuosos provengan de la línea I. 
 
 
 
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Ejercicio 12: Un complejo sistema electrónico está construido con cierto número de componentes de apoyo en sus subsistemas. Un 
subsistema contiene cuatro componentes idénticos, cada uno con una probabilidad de 0.2, de fallar en menos de 1.000 horas. El 
subsistema funciona si dos componentes cualesquiera de los cuatro trabajan en forma adecuada. Se supone que los componentes 
operan independientemente. 
a) Encuentre la probabilidad de que exactamente dos de cuatro componentes resistan más de 1.000 horas. 
b) Encuentre la probabilidad de que el subsistema funcione por más de 1.000 horas. 
 
Ejercicio 13: Se sabe que el número de microorganismos por gramo de una cierta muestra de suelo diluida en agua destilada, sigue 
una distribución de Poisson de parámetro . Si una preparación con un gramo de esta dilución se vuelve turbia, este gramo 
contiene al menos un microorganismo. Halle la probabilidad de que una preparación que se ha vuelto turbia tenga: 
a) un sólo microorganismo 
b) menos de tres microorganismos. 
c) más de dos microorganismos. 
 
Ejercicio 14: Se sabe que una fuente de líquidos contiene bacterias, con un promedio de 3 bacterias por mm3 El número de bacterias 
por unidad de volumen puede tomarse como una v.a. Poisson. Diez tubos de 0.5mm3 se llenan con líquido. Calcule la probabilidad 
de que: 
a) todos los tubos queden contaminados, es decir, contengan al menos una bacteria 
b) exactamente 7 tubos queden contaminados 
 
Ejercicio 15: Un fabricante de cables para electricidad asegura que su producto presenta, en promedio, una falla de aislación cada 
cincuenta metros. Se desea comprar una partida de rollos de 200 metros si en una muestra de 10 rollos seleccionados al azar más 
de la mitad tienen a lo sumo dos fallas. ¿Cuál es la probabilidad de comprar la partida? 
 
Ejercicio 16: Suponga que 220 errores de tipeo se distribuyen aleatoriamente a lo largo de 200 páginas de un libro. Halle la 
probabilidad de que una página dada: 
a) tenga un error 
b) tenga dos o más errores. 
 
Ejercicio 17: Un estacionamiento tiene dos entradas. Los coches llegan a la entrada I de acuerdo con una distribución de Poisson con 
una media de tres por hora, y a la entrada II de acuerdo con una distribución de Poisson con una media de cuatro por hora ¿ Cuál es 
la probabilidad de que tres coches lleguen al estacionamiento durante una hora dada? (Se supone que los números de 
coches que llegan a las dos entradas son independientes) 
 
Ejercicio 18: Sea Z una v.a. N(0,1), Halle: 
(a) P[Z<1] 
(b) P[Z>1] 
(c) P[Z < -1.5] 
(d) P[-1.5 < Z < 0.5] 
(e) P[-1.37 < Z < 2.01] 
(f) P[-0.73 < Z < 0] 
(g) P[0<Z<1.42] 
(h) P[0.65 < Z<1.26] 
(i) P[-1.79 < Z < -0.54] 
(j) P[\Z\< 0.5] 
 
Ejercicio 19: Sea X una v.a. N(10,2), Halle: 
(a) P[8 <X< 12] 
(b) P[9<X] 
(c) P[X< 13] 
 
Ejercicio 20: Sea Z una v.a. N(0,1) Halle a tal que: 
(a) P[Z< a] = 0.5 
(b) P[Z<a] = 0.8749 
(c) P[Z> a] = 0.117 
(d) P[Z> a] = 0.617 
(e) P[-a < Z < a] = 0.9 
(f) P[-a<Z<a] = 0.95 
 
 
 
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Ejercicio 21: Halle un numero k tal que para una variable ( ) se verifique que: 
 [ ] 
(a) 0.95 
(b) 0.90 
(c) 0.99 
 
Ejercicio 22: Para armar un circuito se necesita entre otros componentes, resistencias de 119 más menos 1.2 ohms. En plaza se 
fabrican resistencias de valor nominal que sigue una distribución N (120,2). Calcule la probabilidad de que un comprador 
encuentre solo una resistencia apta para armar el circuito, si compra 10. 
 
Ejercicio 23: Cierta máquina manufacturera requiere de un producto específico a granel. La cantidad del producto utilizada en un día 
se puede representar por una distribución exponencial con parámetro 4 (mediciones en toneladas) 
a) Halle la probabilidad de que la fábrica vaya a utilizar más de 4 toneladasen un día determinado 
b) ¿qué cantidad del producto a granel deberá ser almacenada para que la probabilidad de agotar la existencia sea 
solamente de 0.05? 
 
Ejercicio 24: Supongamos que las notas de un examen se distribuyen según una N(76,15) y al tomarlo se comprueba que un 15% 
obtiene sobresaliente y un 10%, insuficiente. Halle la nota mínima para aprobar y la mínima para obtener sobresaliente. 
 
Ejercicio 25: Para un tipo de cañón dado y un alcance fijo, la distancia que recorrerá un proyectil lanzado por dicho cañón es una v.a. 
N (1.5 km, 0.1 km). Cual es la probabilidad de que un proyectil recorra: 
(a) Más de 1.72 km 
(b) Menos de 1.35 km 
(c) Entre 1.45 km y 1.62 km inclusive. 
(d) Si se disparan 2 proyectiles ai azar. Halle la probabilidad de que ambos alcancen más de 1.6 Km 
 
Ejercicio 26: Dada 
 ( ) { 
 
 
 
Calcule: 
(a) la media 
(b) la varianza 
(c) P(X > 1) 
(d) P(2 < X <3) 
(e) Halle F(x) 
 
Ejercicio 27: Una refinadora de azúcar tiene tres plantas, y todas reciben azúcar morena a granel. La cantidad de azúcar que puede 
procesar la planta en un día se puede representar mediante una v.a. con distribución exponencial con un promedio de 4 
(mediciones en toneladas) para cada una de las tres plantas. Si las plantas trabajan en forma independiente, Calcule la probabilidad 
de que sean exactamente dos de las tres plantas las que procesen más de 4 toneladas en un día determinado. 
 
Ejercicio 28: Los tiempos de servicio en una ventanilla de cajero de banco siguen una distribución exponencial con promedio de 3.2 
minutos. Un cliente llega a la ventanilla a las 4:00 p.m. 
(a) Encuentre la probabilidad de que todavía esté allí a las 4:02 p.m 
(b) Calcule la probabilidad de que todavía esté allí a las 4:04, dado que todavía estaba allí a las 4:02. Obtenga conclusiones. 
 
Ejercicio 29: Sea 
 ( ) {
 ⁄ 
 
 
a) ¿ Es una función de densidad? 
b) ¿Cuál es su valor medio? 
c) ¿Cuál es su desvío estándar? 
d) Calcule: 
(a) P(X > 3) 
(b) P(2 < X < 4) 
 
Ejercicio 30: EI último tren expreso que parte de una gran ciudad a una zona suburbana, deja la estación a las 6:00 p.m. Un señor 
que desea tomar el tren sale tarde de su oficina y no logra tomar un taxi hasta las 5:40 p.m. Bajo condiciones ideales del tránsito, 
tardara 10 minutos en llegar a la estación. Pero a las horas pico puede demorarse hasta 50 minutos. El señor tarda 3 minutos en 
 
 
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abordar el tren, una vez que arribó a la estación. ¿Cuál es la probabilidad de que pierda el tren? 
 
Ejercicio 31: Una sustancia radioactiva emite un promedio de 1800 partículas por hora. Calcule la probabilidad de que: 
(a) En un período de 2 segundos se emitan por lo menos 2 partículas. 
(b) En un período de t segundos no se emita ninguna partícula. 
 
Ejercicio 32: Se especifica que el diámetro exterior de una flecha debe ser de 4 pulgadas. Se supone que el diámetro exterior de la 
flecha: D es una v.a. con distribución N (4; 0.1). Si el diámetro real difiere del especificado en más de 0.005, pero en menos de 0.08 
pulgadas, la pérdida del fabricante es de 0.5$. Si difiere en más de 0.08, la pérdida es de 1$. 
Halle la distribución de la pérdida del fabricante y sus parámetros. 
 
Ejercicio 33: Si un paracaidista cae en un sitio aleatorio de la línea entre los marcadores A y B, encuentre la probabilidad de que la 
distancia con respecto a A sea más de tres veces la distancia con respecto a B. 
 
Ejercicio 34: Un fabricante de radios desea adquirir 100 resistencias de cierta marca. Supone que algunas serán defectuosas, pero 
sólo admitirá el lote si posee menos de cuatro defectuosas. Para verificar la calidad del lote, elige tres resistencias y las pruebas. 
Sea X = número de resistencias defectuosas. Si se sabe que el lote de 100 resistencias tiene 4 defectuosas. 
Si decide rechazar el lote si entre las 3 resistencias elegidas hay más de una defectuosa; ¿cuál es la probabilidad de rechazar el lote? 
 
Ejercicio 35: Para un cierto partido las probabilidades de que un equipo gane, empate o pierda son 0.3; 0.4 y 0.3 respectivamente. 
Si el equipo juega 10 partidos y si el resultado de cada uno se supone independiente. Halle la probabilidad de que gane exactamente 
5. 
 
Ejercicio 36: En una red de computadoras grande, el acceso de los usuarios al sistema puede modelarse como un proceso Poisson 
con media de 25 accesos por hora. 
a) ¿Calcule la probabilidad de que no haya accesos en un intervalo de seis minutos? 
b) Calcule la probabilidad de que el tiempo que transcurre hasta el siguiente acceso esté entre 2 y 3 minutos?. C) Determine el 
intervalo de tiempo para que la probabilidad de que no se presenten accesos al sistema durante ese tiempo sea 0,9.d)calcule el 
tiempo promedio y la desviación estándar del tiempo que transcurre hasta el siguiente acceso. 
c) 
Ejercicio 37: Se sabe que el 10% de los cinescopios de cierta marca de televisión se funden antes de terminar la garantía. Encuentre 
el valor esperado y la varianza de Y, el número de cinescopios originales que deben reemplazarse al vender 1000 cinescopios. 
Ejercicio 38: El tiempo de un viaje (ida y vuelta) de los camiones que transportan el cemento hacia una obra en construcción de 
una carretera, está distribuido uniformemente en un intervalo de 50 a 70 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que la duración del 
viaje sea mayor a 65 minutos si se sabe que la duración del viaje es mayor a 55 minutos? 
 
Ejercicio 39: El tiempo de paro Y (en horas) de una máquina industrial determinada tiene aproximadamente una distribución 
exponencial con media igual a 2. La pérdida, en dólares, de la operación como resultado de ese tiempo de paro está dada por: 
L = 30Y+ 2Y2. 
Halle el valor esperado de L 
 
Ejercicio 40: Las ausencias por enfermedad de los empleados de una empresa en un mes tienen una distribución 
aproximadamente N(200horas, 20 horas). 
(a) Calcule la probabilidad de que el próximo mes el ausentismo total por enfermedad sea menor que 150 horas. 
(b) Para planear el programa del mes próximo ¿Cuánto tiempo debe suponer darse al ausentismo por enfermedad, si aquella 
cantidad sólo se debe superar con una probabilidad de tan sólo 10%? 
 
Ejercicio 41: El promedio de coches que entran por un túnel en una montaña es de un coche por período de dos minutos. Si un 
número excesivo de coches entran al túnel en un período corto, se produce una situación peligrosa. Encuentre la probabilidad de 
que el número de coches que entra al túnel durante un período de dos minutos exceda de tres. ¿Parece razonable el uso de un 
modelo de Poisson en este problema? 
 
Ejercicio 42: El sistema de dirección de un cohete trabaja en forma correcta con una probabilidad p cuando se pone a funcionar. Se 
instalan sistemas de respaldo independientes, pero idénticos, en el cohete de modo que la probabilidad de que al menos un sistema 
trabaje en forma correcta cuando se necesite no sea inferior a 0.99. Sea n el número de sistemas de dirección del cohete. ¿Qué tan 
grande debe ser n para alcanzar la probabilidad especificada de que al menos trabaje un sistema de dirección si: 
(a) p = 0.9? 
(b) p = 0.8? 
 
 
 
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Ejercicio 43: Un sistema para detectar incendios utiliza tres celdas sensibles a la temperatura que actúan independientemente, tal 
que una o más pueden activar la alarma. Cada celda tiene una probabilidad p = 0.8 de activar la alarma al alcanzar la temperatura de 
100 grados Celsius o más. Sea V el número de celdas que activan la alarma cuando la temperatura alcanza los 100 grados. Encuentre 
la distribución de probabilidad para Y. Encuentre la probabilidad de que la alarma funcionecuando la temperatura alcanza los 100 
grados. 
 
Ejercicio 44: El costo de un producto terminado se considera una variable aleatoria con distribución normal, con media igual a 
$1000 y dispersión igual a $ 100. 
a) Si se extrae al azar un producto terminado ¿cuál es la probabilidad de que su costó sea inferior a $ 1200 ? 
b) Si se toma una muestra de 10 productos terminados, calcular la probabilidad de que: 
i) menos de 8 de ellos tengan un costo inferior a $ 1200. 
ii) por lo menos 7 tengan un costo inferior a $1200. 
i) Hallar la cantidad esperada de productos terminados con un costo inferior a $ 1200. 
 
 
 
 
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Respuestas:
Ejercicio 1 
Distribución Binomial 
 
 
 ( ) 
 
 
 ⁄ 
 
 
a) 
 ( ) 
 
 
 ( ) 
Z 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 
P(Z) 0,1074 0,2684 0,303 0,2013 0,0881 0,0264 0,0055 0,0008 0,0001 4,096x10-6 1,02x10-7 
 ( ) 
 ( ) ( ) 
b) ( ) 
c) Tabla binomial: b(n,x,p) La tabla binomial indica los valores acumulados de probabilidad, es decir, si buscamos en la tabla: 
 ( ) , el valor que aparece no es ( )sino que es ( ) ( ) ( ) 
 ( ). La nomenclatura de la tabla es: ( ) ( ). Entonces: 
 ( ) ( ) ( ) 
 
Ejercicio 2: 
Distribución binomial. 
 
 
 ( ) [ ( ) ( )] [ ] 
 
Ejercicio 3 
Distribución Binomial. 
 [ ] 
 
 
a) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
X 0 1 2 3 4 
P(X) 
 ( ) 
 ( ) ( ) 
b) ( ) ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
Ejercicio 4 
Distribución Binomial. 
 
 
a) ( ) ( )⏞ 
 ( )
 
b) ( ) ( ) ( ) ( )⏞ 
 ( )
 ( )⏞ 
 ( )
 
c) ( ) ( )⏞ 
 ( )
 ( )⏞ 
 ( )
 
d) ( ) 
e) ( ) ( ) 
 
Ejercicio 5: 
Distribución Binomial sin p como dato. (Hay que calcularlo) 
 
 
 
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 ( ) ∫ ( ⁄ ) 
 
 
 
 
 
 
 ( ) {
 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) ⁄ ⁄ 
Definimos: 
 
 ( ) 
Ejercicio 6 
Distribución Binomial 
 
 
Definimos: 
 
 ( ) ( ) ( ) 
 
Ejercicio 7 
Distribución binomial. 
 
 ( ) 
Defino: 
 
 ( ) ( )⏞ 
 ( )
 
 
Ejercicio 8 
Definimos: 
 
Puede resolverse con distribución hipergeométrica o con distribución binomial. Si 
 
 
 , la hipergeométrica tiende a la binomial. 
Distribución Hipergeométrica. 
 
(
 
 
) (
 
 
)
(
 
 
)
 
 
 ( ) 
(
 
 
) (
 
 
)
(
 
 
)
 
 ( ) ( ) 
Distribución binomial 
 ( ) ⁄ ⁄ 
 ( ) 
 ( ) ( ) 
 
Ejercicio 9 
Puede resolverse usando hipergeométrica o binomial. 
 
 
 
Distribución hipergeométrica 
 
 ( ) 
(
 
 
) (
 
 
)
(
 
 
)
 
 
 
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 ( ) 
(
 
 
) (
 
 
)
(
 
 
)
 
 ( ) [ ( ) ( )] 
Distribución binomial 
 
 ⁄ 
 ( ) ( ) 
 ( ) [ ( ) ( )] 
Ejercicio 10: Un motor de automóvil de 8 cilindros tiene dos bujías falladas. Si se quitan las cuatro bujías de un lado del motor, ¿Cuál 
es la probabilidad de que entre ellas se encuentren las dos que tienen fallas? 
Distribución hipergeométrica. No se puede usar binomial porque 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
Ejercicio 11 
Distribución hipergeométrica. No se puede usar binomial porque 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
Ejercicio 12 
Distribución Binomial. 
 
 
 ( ) ( ) 
Se deduce: 
 ( ) 
a) ( ) 
 
 
 ( ) 
b) ( ) ( ) 
 
Ejercicio 13 
Distribución de Poisson 
 
 
 
 
Donde es un promedio. 
 
 
a) ( ) ( ) 
 ( ) 
 
 
 ( ⁄ ) 
 ( )
 ( )
 
 ( )
 ( )
 
 
 
 
b) ( ⁄ ) 
 ( )
 ( )
 
 ( )
 ( )
 
 ( ) ( )
 ( )
 
 
 
 
c) ( ⁄ ) 
 ( )
 ( )
 
 ( )
 ( )
 
 ( )
 ( )
 
 [ ( ) ( ) ( )]
 
 
 [ ]
 
 
 
Ejercicio 14 
Este ejercicio se resuelve usando dos distribuciones: Distribución de Poisson y Distribución binomial. Con la distribución de Poisson, 
obtendremos la probabilidad de que 1 tuvo se contamine. Con la distribución binomial obtendremos la probabilidad de que los 
tubos queden contaminados, usando la probabilidad que acabamos de calcular con Poisson: 
Distribución de Poisson 
 
 
 
 
 
 
 
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 ( ) ( ) 
Distribución binomial 
 
 
a) ( ) (
 
 
) ( ) ( ) 
b) ( ) (
 
 
) ( ) ( ) 
 
 
Ejercicio 15 
Igual que el anterior. 
Distribución de Poisson 
 
 
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
Distribución Binomial 
 
 ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )] 
 ( ) 
Ejercicio 16 
Distribución de Poisson 
 
 
 
 
 
a) ( ) 
b) ( ) ( ) [ ( ) ( )] 
 
Ejercicio 17 
Distribución de Poisson 
 
Eventos: 
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] [ ( ) ( )] 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) 
Ejercicio 18 
Distribución Normal (Gauss). Consiste en aprender a leer la tabla. La tabla muestra los valores de ( ) 
 
 
a) ( ) ( ) 
b) ( ) ( ) 
c) ( ) ( ) ( ) 
d) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] 
e) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] 
f) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ( )] 
g) ( ) ( ) ( ) 
h) ( ) ( ) ( ) 
i) ( ) ( ) ( ) [ ( )] [ ( )] 
 
j) (| | ) () ( ) ( ) ( ) [ ( )] 
 
 
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Ejercicio 19 
Distribución de Gauss (Tabla) 
 
 
 
 
 
a) ( ) (
 
 
 
 
 
) ( ) ( ) [ ( )] 
b) ( ) (
 
 
 ) ( ) ( ) ( ) 
c) ( ) ( 
 
 
) ( ) 
 
Ejercicio 20 
Distribución de Gauss (Tabla) 
a) ( ) 
b) ( ) 
c) ( ) ( ) ( ) ( ) 
d) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 
 ) ( ) 
e) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) ( ) 
 ( ) ( ) 
f) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( )) 
 ( ) ( ) 
 
Ejercicio 21 
a) [ ] [
( ) 
 
 
( ) 
 
] [ ] 
 ( ) 
a) [ ] ( ) 
b) [ ] ( ) 
 
Ejercicio 22 
Distribución Normal (Gauss) combinado con Distribución Binomial. 
Distribución Normal (Gauss) 
 
 ( ) 
 
 ( ) (
 
 
 
 
 
) ( ) 
 ( ) [ ( )] ( ) 
Distribución Binomial 
 
 
 ( ) (
 
 
) ( ) ( ) 
Ejercicio 23 
Distribución Exponencial. 
 ( )⏞
 
 {
 
 
 ( )⏞
 
 {
 
 
 
 ( ) ⁄ ( ) ⁄ 
Propiedad de Distribución Exponencial: 
 ( ⁄ ) ( ) 
 ( ) ⁄ 
a) ( ) ( ) ( ) ( ⁄ ) 
b) ( ) ( ) ⁄ ⁄ 
 
Ejercicio 24 
Distribución Normal (Gauss) 
 
 
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Evento: 
 
 
 ( ) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 
 
 
) 
 ( 
 
 
) ( 
 
 
) ( 
 
 
) 
 
 
 
 ( ) ( ) ( ) ( 
 
 
) 
 
 
 
Ejercicio 25 
Distribución Normal (Gauss) con Distribución Binomial (solo el último punto) 
 
 ( ) 
a) ( ) ( 
 
 
) ( ) ( ) 
b) ( ) ( 
 
 
) ( ) ( ) 
c) ( ) ( 
 
 
) ( 
 
 
) ( ) ( ) 
 ( ) ( ( )) ( ) 
d) Distribución Normal 
 ( ) ( 
 
 
) ( ) ( ) 
Distribución Binomial 
 
 
 ( ) (
 
 
) ( ) ( ) 
Ejercicio 26 
Distribución Exponencial 
 
a) ( ) ⁄ 
b) ( ) ⁄ 
c) ( ) ( ) ( ) ( ) 
d) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) {
 
 
 ( ) { 
 
 
 
Ejercicio 27 
Distribución Exponencial (Resuelto por mí) 
Eventos: 
 
 
 
 ( ) ⁄ 
 ( ) [ ( ) ( ) ( )] [ ( ) ( ) ( )]
 [ ( ) ( ) ( )] 
[( ( )) ( ( ) ) ( )] [( ( )) ( ) ( ( ))] [ ( ) ( ( ) ) ( ( ))] 
[( ( )) ( ( ) ) ( )] 
Otra forma: Hacerlo como Distribución Exponencial con Distribución Binomial 
 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
Distribución Binomial 
 
 
 
 
Probabilidad y estadística Unidad 3 Distribuciones Especiales 
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 ( ) (
 
 
) ( ) ( ) 
Ejercicio 28 
Distribución Exponencial 
 ( ) 
a) Usando la propiedad: ( ⁄ ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ⁄ ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
b) Usando la propiedad: ( ) ( ) ( ⁄ ) 
La propiedad establece que la probabilidad entre dos momentos con 2 segundos de diferencia en un mismo problema, es 
la misma para cualquier dos momentos con 2 segundos de diferencia. 
Ejercicio 29 
Distribución Uniforme 
 ( ) {
 ( )⁄ 
 
 ( ) {
 
( ) ( )⁄ 
 
 
 ( ) ( ) ⁄ ( ) ( ) ⁄ 
a) ∫ ( ⁄ ) ⁄ [ ] 
 
 
 
b) ( ) ⁄ ( ) 
c) ( ) ⁄ ( ) ⁄ √ ( ) √ ⁄ 
d) 
(a) ( ) ( ) ( ) ⁄ 
(b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 
 
Ejercicio 30 
Distribución Uniforme 
 
 
 ( ) {
 ⁄ 
 
 ( ) {
 
( ) ⁄ 
 
 
 ( ) 
 ( ) ( ) ( ) ⁄ 
 
Ejercicio 31: Una sustancia radioactiva emite un promedio de 1800 partículas por hora. Calcule la probabilidad de que: 
(c) En un período de 2 segundos se emitan por lo menos 2 partículas. 
(d) En un período de t segundos no se emita ninguna partícula. 
Distribución de Poisson 
 
 
 
 
a) ( ) ( ) [ ( ) ( )] 
b) 
 
 ⁄ 
 
 ( ) 
 ⁄ ( ⁄ ) 
 
 ⁄ 
Ejercicio 32 
Distribución Normal. (Gauss) 
 
 ( ) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
 ( ) ( ( )) 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) [ ( ) ( )] 
D 0 0,5 1 
P(D) 
 
 
Probabilidad y estadística Unidad 3 Distribuciones Especiales 
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 ( ) 
 ( ) 
Ejercicio 33 
Distribución Uniforme 
 ( ) {
 ( )⁄ 
 
 ( ) {
 
( ) ( )⁄ 
 
 
 ( ) ( ) ⁄ ( ) ( ) ⁄ 
 ( ( )) ( ) ( 
 
 
) ( 
 
 
) (
 
 
) 
 (
 
 
 ) ( )⁄ (
 
 ( )
) (
 ( )
 ( )
) 
 
Ejercicio 34 
Distribución Hipergeométrica o Distribución Binomial 
 
 
 
 
 
 ( ) 
(
 
 
) (
 
 
)
(
 
 
)
 
 ( ) 
(
 
 
) (
 
 
)
(
 
 
)
 
 ( ) ( ) [ ( ) ( )] 
Distribución Binomial 
 
 
 ( ) (
 
 
) ( ) ( ) 
 ( ) (
 
 
) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) [ ( ) ( )] 
Ejercicio 35 
Distribución Binomial 
 
 ( ) (
 
 
) ( ) ( ) 
Ejercicio 36 
Distribución de Poisson (También se puede con Distribución Exponencial) 
a) 
 
 
 
 ( ) 
 ( ) 
 
 
b) 
 
 
 
 
 
 
 ( ⁄⁄ ) ( ⁄ ) ( ⁄ ) ( ) 
c) 
 
 
 
 
 
 
 ( ) 
 
 
 (
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
d) 
 
 
 
 ( ) ( ) 
 
 
Ejercicio 37 
 
 
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Distribución Binomial. 
 
 ( ) ( ) ( ) 
Ejercicio 38 
Distribución Uniforme 
 
 ( ⁄ ) 
 (( ) ( ))
 ( )
 
 ( )
 ( )
 
 ( )
 ( )
 
 ( )
 ( )
 
 
 
 
Ejercicio 39 
Distribución Exponencial 
 ( ) ⁄ 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ⁄ 
 ( ) ( ) [ ( )] ( ) ( ) 
 ( ) 
Ejercicio 40 
Distribución Normal (Gauss) 
 ( ) 
a) ( ) ( 
 
 
) ( ) ( ) 
b) ( ) ( 
 
 
) ( 
 
 
) ( 
 
 
) 
 
 
 
Ejercicio 41 
Distribución de Poisson 
 
 
 
 
 ( ) ( ) [ ( ) ( ) ( ) ( )] 
Ejercicio 42: El sistema de dirección de un cohete trabaja en forma correcta con una probabilidad p cuando se pone a funcionar. Se 
instalan sistemas de respaldo independientes, pero idénticos, en el cohete de modo que la probabilidad de que al menos un sistema 
trabaje en forma correcta cuando se necesite no sea inferior a 0.99. Sea n el número de sistemas de dirección del cohete. ¿Qué tan 
grande debe ser n para alcanzar la probabilidad especificada de que al menos trabaje un sistema de dirección si: 
Distribución Binomial 
 
 
a) 
 ( ) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) (
 
 
) ( ) ( ) ( ) 
b) 
 ( ) ( ) ( ) 
 ( ) (
 
 
) ( ) ( ) ( ) 
 ( ) ( ) 
Ejercicio 43 
Distribución Binomial 
 
 ( ) ( ) [(
 
 
) ( ) ( ) ] 
Ejercicio 44 
Distribución Normal y Distribución Binomial (puntos b y c) 
 
 ( ) 
a) ( ) ( 
 
 
) ( ) 
b) Distribución Binomial 
(i) 
 
 
 
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 [ ] 
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(iii) ( )