44 Cinemática de los fluidos - Ignacio Valenzuela

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Unidad 3. 
Cinemática de los fluidos
Competencia: Analiza sistemas y volumen de
control mediante el teorema del transporte de
Reynolds
1MLP_GCM_ene_may_2019
Contenido:
1. Campos de flujo
2. Clasificación de los flujos
3. Líneas de corriente y trayectoria
4. Análisis de flujos
5. Teorema del transporte de Reynolds
2MLP_GCM_ene_may_2019
1
Campos de flujo
3MLP_GCM_ene_may_2019
Campo de flujo
4MLP_GCM_ene_may_2019
Campo de velocidad
• Es una de las variables más
importantes de un fluido.
• Está en función de sus componentes
V(𝑥, 𝑦, 𝑧) .
• Considera la razón de cambio con
respecto al tiempo del vector de
posición de la partícula.
• Conjunto de vectores que tienen
dirección y magnitud (rapidez del
fluido 𝑉 ).
5
V 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡
↓
u 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝑖
+
𝑣 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 𝑗
+
𝑤 𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡 k
𝑉 = 𝑢2 + 𝑣2 + 𝑤2
MLP_GCM_ene_may_2019
En forma general:
𝐚 =
𝜕𝑽
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝑽
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑽
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑽
𝜕𝑧
donde:
𝐚: aceleración total.
𝑽: velocidad.
𝑢: componente de la velocidad en el eje X.
𝑣: componente de la velocidad en el eje Y.
𝑤: componente de la velocidad en el eje Z.
Campo de aceleración
6
Aceleración convectiva
Aceleración local
MLP_GCM_ene_may_2019
Componentes de la aceleración
𝐚 = 𝐚𝒙𝒊 + 𝐚𝑦𝒋 + 𝐚𝑧𝒌
donde:
𝐚𝒙 =
𝜕𝒖
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝒖
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝒖
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝒖
𝜕𝑧
𝐚𝒚 =
𝜕𝑣
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝒗
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝑣
𝜕𝑦
+ 𝑤
𝜕𝑣
𝜕𝑧
𝐚𝒛 =
𝜕𝒘
𝜕𝑡
+ 𝑢
𝜕𝒘
𝜕𝑥
+ 𝑣
𝜕𝒘
𝜕𝑦
+𝑤
𝜕𝒘
𝜕𝑧
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2
Clasificación de flujos
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Flujo unidimensional, 
bidimensional y tridimensional
9
unidimensional
bidimensional
tridimensional
Depende de las DIRECCIONES en las que varía la VELOCIDAD..
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Flujos estable e inestable
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Flujos Compresible e Incompresible
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Flujos laminar y Turbulento
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Flujos viscosos no viscosos
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EJERCICIOS
U2. Cinemática de los fluidos
Campos de flujo
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El campo de velocidad de un flujo está definido por 
𝑽 𝒖, 𝒗 = 𝟑𝐲 + 𝟐 Ԧ𝒊 + 𝒙 − 𝟖 Ԧ𝒋 + 𝟓𝒛𝒌 pies /s
En donde las coordenadas x, y y z están en pies.
Determinar la velocidad del flujo y la rapidez en el 
origen y sobre el eje y.
15
Munson Y. (2007). Fundamentos de mecánica de fluidos. México: Limusa: Wiley. 
Ejemplo 1
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Se da un campo estacionario, incompresible y bidimensional de
velocidad por:
𝑽 𝒖, 𝒗 = 𝟎. 𝟓 + 𝟎. 𝟖𝒙 Ԧ𝒊 + 𝟏. 𝟓 − 𝟎. 𝟖𝒚 Ԧ𝒋
Calcula la aceleración en el punto (2,3)
16
Yunus A. Cengel y John M. Cimbala. (2012). Mecánica de Fluidos: Fundamentos y Aplicaciones (2ª ed.) Edit. Mc Graw Hill/Interamericana-Editores, S.A. de C.V.
Ejemplo 2
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Para lavar su automóvil un estudiante de la FIUADY usa una
boquilla. La boquilla tiene 3.9” de largo, con un diámetro de
entrada de 0.42” y uno de salida de 0.182“. Un gasto
volumétrico por la manguera del jardín es 𝑄 = 0.841 𝑔𝑎𝑙/𝑚𝑖𝑛, y
el flujo es estacionario. Determine la magnitud de la
aceleración de una partícula de fluido que pasa a lo largo de la
línea central de la boquilla.
17
Yunus A. Cengel y John M. Cimbala. (2012). Mecánica de Fluidos: Fundamentos y Aplicaciones (2ª ed.) Edit. Mc Graw Hill/Interamericana-Editores, S.A. de C.V.
Ejemplo 3
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3
Líneas de corriente
Líneas de trayectoria
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Líneas de corriente
(Trabajo analítico)
Línea imaginaria que en
todos lados es tangente al
vector velocidad del fluido.
19
Gerhart P. (1995). Fundamentos de la Mecánica de fluidos. Addison-Wesley Iberoamericana S.A.
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒗
𝒖
𝒅𝒚
𝒅𝒛
=
𝒗
𝒘
𝒅𝒛
𝒅𝒙
=
𝒘
𝒖
MLP_GCM_ene_may_2019
Línea de trayectoria
(Trabajo experimental)
Es la curva marcada por el
recorrido de una partícula de
fluido determinada a medida que
se mueve a través de un campo
de flujo.
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𝒅𝒙
𝒅𝒕
= 𝒖 𝒕
𝒅𝒚
𝒅𝒕
= 𝒗 𝒕
𝒅𝒛
𝒅𝒕
= 𝒘(𝒕)
Gerhart P. (1995). Fundamentos de la Mecánica de fluidos. Addison-Wesley Iberoamericana S.A.
MLP_GCM_ene_may_2019
EJERCICIOS
U2. Cinemática de los fluidos
Líneas de corriente
Líneas de trayectoria
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Ejemplo 4 
Considere el siguiente campo de velocidad bidimensional,
incompresible y estacionario:
𝒗 = 𝟒. 𝟑𝟓 + 𝟎. 𝟔𝟓𝟔𝒙 Ԧ𝒊 + (−𝟏. 𝟐𝟐 − 𝟎. 𝟔𝟓𝟔𝒚)Ԧ𝒋
Genere una expresión analítica para las líneas de corriente
del flujo.
22Yunus A. Cengel y John M. Cimbala. (2012). Mecánica de Fluidos: Fundamentos y Aplicaciones (2ª ed.) Edit. Mc Graw Hill/Interamericana-Editores, S.A. de C.V.
Ejemplo 4
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒗
𝒖
𝒅𝒚
𝒅𝒛
=
𝒗
𝒘
𝒅𝒛
𝒅𝒙
=
𝒘
𝒖
MLP_GCM_ene_may_2019
Ejemplo 5 
El movimiento de un fluido incompresible se realiza bajo
la acción de un campo de velocidades:
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a) Calcular la familia de líneas de corriente
b) Trayectorias de las partículas
𝒗 = 𝟓𝒙 𝒊 + 𝟐𝒚𝒕 𝒋 + (𝒛𝒕)𝒌
Yunus A. Cengel y John M. Cimbala. (2012). Mecánica de Fluidos: Fundamentos y Aplicaciones (2ª ed.) Edit. Mc Graw Hill/Interamericana-Editores, S.A. de C.V.
Ejemplo 5
𝒅𝒙
𝒅𝒕
= 𝒖 𝒕
𝒅𝒚
𝒅𝒕
= 𝒗 𝒕
𝒅𝒛
𝒅𝒕
= 𝒘(𝒕)
𝒅𝒚
𝒅𝒙
=
𝒗
𝒖
𝒅𝒚
𝒅𝒛
=
𝒗
𝒘
𝒅𝒛
𝒅𝒙
=
𝒘
𝒖
MLP_GCM_ene_may_2019
Ejemplo 6
Un campo de velocidades está definido por 𝑉 = 3𝑥𝑖 − 3𝑦𝑗, la velocidad está en 
m/s; x e y en m; los coeficientes en s-1. 
a) Determina la velocidad para una partícula en el punto (2, 8, 0).
b) Calcula la aceleración para una partícula en el punto anterior.
c) Obtén la ecuación de las líneas de corriente en el plano XY.
d) Dibuja una línea de corriente que pase por el punto (2, 8, 0).
e) Determina la posición de una partícula cuando t1 = 0.5 s, si la misma, al 
pasar por el punto (2, 8, 0), se marca con t0 = 0 s, usando la línea de 
trayectoria.
24
Respuestas:
V = 6i – 24j
a = 18i +72j
XY = C
XY = 16 ó Y = 16/X
X = 2e3t = 8.96 m 
Y = 8e-3t = 1.79 mMLP_GCM_ene_may_2019
4
Sistema y Volumen de Control
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Sistema
Es una colección de materia de identidad fija (contiene siempre los mismo
átomos o partículas de fluido), que puede moverse, fluir o interactuar con
su entorno (mediante transferencia de calor o ejerciendo una fuerza de
presión entre otros). En resumen, es una masa de fluido especifica que se
elige para el análisis.
Que puede cambiar de tamaño y de forma, aunque siempre contenga la
misma masa.
26MLP_GCM_ene_may_2019
Volumen de control
Es un volumen en el espacio a través del cual puede circular un
fluido. La materia dentro de él puede cambiar con el tiempo a
medida que el fluido circula.
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Sistema en el 
instante “t” I
Volumen de 
control (VC)
Sistema en el 
instante 
“t+dt”
II III
MLP_GCM_ene_may_2019
DERIVADA EULERIANA O MATERIAL
Consideraciones:
1) Expresión matemática que relaciona el
punto de vista de un sistema y el de
un volumen de control para un
enfoque local o de ecuaciones con el
análisis de flujo.
2) b: propiedad específica arbitraria de
una partícula de un fluido (densidad,
velocidad, presión, etc.) Es función de
la ubicación de la partícula.
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𝐷𝑏𝑝
𝐷𝑡
=
𝑑𝑝
𝑑𝑡
+
𝜕𝑏
𝜕𝑥𝑝
𝑑𝑥𝑝
𝑑𝑡
+
𝜕𝑏
𝜕𝑦𝑝
𝑑𝑦𝑝
𝑑𝑡
+
𝜕𝑏
𝜕𝑧𝑝
𝑑𝑧𝑝
𝑑𝑡
𝐷𝑏𝑝
𝐷𝑡
=
𝑑𝑝
𝑑𝑡
+
𝜕𝑏
𝜕𝑥𝑝
𝑢 +
𝜕𝑏
𝜕𝑦𝑝
𝑣 +
𝜕𝑏
𝜕𝑧𝑝
𝑤
Velocidad total de cambio de la 
propiedad de una partícula de fluido
Velocidad de cambio de la 
propiedad de una partícula en una 
localización fija (variación en el 
tiempo)
Velocidad por la derivada con 
respecto a las coordenadas 
espaciales (variación en el espacio)
MLP_GCM_ene_may_2019
Teorema de transporte de Reynolds
Consideraciones:
1) Volumen de control: es el
volumen estacionario dentro
de una tubería o ducto entre la
sección inicial y de salida.
2) El sistema considerado es el
fluido que ocupa el volumen
de control en algún instante
inicial t.
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𝐷𝐵𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
𝐷𝑡
=
𝜕𝐵𝑉𝐶
𝜕𝑡
+ 𝐵𝑎𝑓𝑢𝑒𝑟𝑎 − 𝐵𝑎𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜
𝐷𝐵𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎𝐷𝑡
=
𝜕𝐵𝑉𝐶
𝜕𝑡
+ 𝜌2𝐴2𝑏2 − 𝜌1𝐴1𝑏1
𝐷𝐵𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎
𝑑𝑡
=
𝑑
𝑑𝑡
න
𝑉𝐶
𝜌𝑏𝑑𝑉 +න
𝑆𝐶
𝜌𝑏𝑉 ∙ 𝑛𝑑𝐴
Superficie de control 
fija y límites del 
sistema en el instante 
t.
Límite del sistema 
en el instante t+dt
MLP_GCM_ene_may_2019
Ejercicio de los enfoques Lagrangiano y Euleriano
Ejemplo
La figura muestra un sistema y un volumen de control (VC) fijo en un instante “t” y el
sistema en un instante “t+dt” posterior.
Sistema en el 
instante “t”
I
Volumen de 
control (VC)
Sistema en el 
instante “t+dt”
II
III
I: Tiene el 100% de la masa del 
sistema en el instante “t”
II: Tiene el 90% de la masa del 
sistema en los instantes “t” y 
“t+dt”
III: Tiene el 10% de la masa del 
sistema en el instante “t+dt”
30MLP_GCM_ene_may_2019
La temperatura (T1) del sistema en el instante “t” es de 310 K y 313 K (T2) en “t+dt”, con dt=0.1 s.
La masa (m) del sistema es de 30 kg y el 10% de ella, sale del VC en dt.
La energía por unidad de masa (෤𝑢) es cvT, donde cv = 32 J/Kg*K. La energía U del sistema en cualquier
tiempo es m ෤𝑢.
Empleando los enfoques de:
Sistema (lagrangiano – diferencial 
𝒅𝑼
𝒅𝒕
=
𝑼𝒕+𝒅𝒕−𝑼𝒕
𝒅𝒕
)
Volumen de control (euleriano – integral 
𝒅𝑼
𝒅𝒕
=
𝒅
𝒅𝒕
𝑽𝑪׬ ෥𝒖𝝆𝒅𝑽 −
ሶ𝑼𝒆𝒏𝒕 + ሶ𝑼𝒔𝒂𝒍
evalúa Τ𝑫𝑼 𝑫𝒕 y compáralos.
Respuesta:
𝑑𝑈
𝑑𝑡
= 28.8 𝑘𝑊
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Ejemplo 7
MLP_GCM_ene_may_2019
De una tobera sale agua a una velocidad de 10 m/s; el agua es colectada en un recipiente que
se mueve hacia la tobera a una velocidad 𝑉𝑉𝐶 = 2 𝑚/𝑠 , como se muestra en la figura. La
superficie del control móvil consta de la superficie interna del recipiente. El sistema consta
del agua en el recipiente en el instante t=0 y del agua que hay entre la tobera y el recipiente en
la corriente de diámetro constante en t=0. En el instante t=0.1 segundos, ¿Qué volumen del
sistema permanece fuera del volumen de control?. ¿Cuánta agua ha entrado al volumen de
control durante este tiempo? Repetir el problema para t=0.3 segundos.
32
Para t= 0.1 s
𝑉𝑓𝑢𝑒𝑟𝑎 𝑉𝐶: 0.01413 𝑚
3
𝑉𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑉𝐶: 0.00942 𝑚
3
Para t= 0.3 s
𝑉𝑓𝑢𝑒𝑟𝑎 𝑉𝐶: 0 𝑚
3
𝑉𝑑𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑉𝐶: 0.0235 𝑚
3
Ejemplo 7
MLP_GCM_ene_may_2019
ADA 3
33
Competencia:
Analiza sistemas y volumen de control mediante el teorema del transporte de Reynolds
Instrucción:
De forma colaborativa:
1. Revisar en los diferentes textos de la bibliografía presentada para el curso de mecánica de fluidos, los temas:
a. Campos de flujo
b. Clasificación de los flujos
c. Líneas de corriente y trayectoria
d. Análisis de flujos
e. Teorema del transporte de Reynolds
2. Seleccionar en los textos, de la sección de problemas propuestos para resolver, 5 problemas que cumplan con las siguientes 
especificaciones:
a. Un ejercicio que solicite calcular la velocidad en un punto, el cual se tenga que deducir.
b. Un ejercicio que solicite calcular el valor de la aceleración y sus componentes.
c. Un ejercicio donde se determine la ecuación de la línea de corriente y la línea de trayectoria en un flujo (graficar). 
d. Dos ejercicios de aplicación de análisis de volumen de control mediante el teorema de transporte de Reynolds.
3. Resolver los ejercicios seleccionados
4. Transcribirlos de acuerdo a los lineamientos del formato de entrega.
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