Unidad 5 Numeros complejos y fasores - Ricardo Hernandez

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Teoremas eléctricos en c.a.
5.1 Introducción a la notación compleja
Para realizar el análisis de los circuitos en corriente alterna (a una frecuencia determinada) es necesario expresar los valores de amplitud y ángulo de fase, de corrientes y voltajes de una forma de onda senoidal, en términos tales que, por ejemplo; se facilite la suma de varios voltajes o corrientes. Para esto se utilizan los números complejos. La representación por notación compleja de la tensión o la corriente es suficiente y necesaria para expresar su amplitud y ángulo de fase, en una notación que permite realizar la suma algebraica de las formas de onda senoidales.
Un número complejo representa un punto en un plano bidimensional ubicado en relación con dos ejes separados. Este punto también determina un vector giratorio dibujado del origen al punto. El eje horizontal se denomina eje real, en tanto que el eje vertical se llama eje imaginario. Para el caso del análisis de circuitos el eje real también es conocido como eje de resistencia y el eje imaginario (representado por el símbolo o ) como el eje de reactancia. 
El símbolo se conoce como numero imaginario, y se puede definir como la representación abstracta, que da solución a ecuaciones donde aparecen raíces cuadradas negativas, de tal manera que:
Comúnmente los números imaginarios se representan con la letra (imaginario), pero en las aplicaciones de circuitos en corriente alterna se representa por , para evitar confuciones con la de intensidad de corriente. Algunas propiedades que presentan los números imaginarios son los siguientes:
Un número complejo siempre quedara representado como la suma de un valor real con un imaginario, siendo el símbolo lo que da origen a dicha denominación, y se utiliza para distinguir entre las componentes real (eje horizontal) e imaginaria (eje vertical). Estos dos ejes constituyen el plano complejo en donde se representan los vectores (Fasores, en el caso de la c.a) 
Al poder representar las magnitudes de corriente y voltaje en forma vectorial (fasorial), estas cantidades tendrán una magnitud y ángulo. Recuerde que los ángulos se consideran positivos si el sentido de rotación en anti horario, y negativo su sentido es horario.
Existen dos formas para representar un número complejo: en su forma rectangular y en la forma polar. Cada una representa un punto en el plano o un vector de radio dibujado del origen al punto.
El formato rectangular de un número complejo es:
El formato polar de un número complejo es:
Donde de representa la magnitud o módulo de la cantidad. 
La utilización de los números complejos resulta muy eficaz cuando se tiene que hacer operaciones con valores que llevan asociados un cierto ángulo, como es el caso de las reactancias, impedancias y tensiones e intensidades de ca. Normalmente se opera con los valore eficaces (rms) de las tensiones e intensidades, y se pueden utilizar los mismos métodos que los empleados en circuitos de cd (Kirchoff, Thevenin, mallas, nodos) teniendo en cuenta los ángulos de desfase.
5.2 Números complejos.
El manejo de los números complejos o notación compleja es un procedimiento de cálculo sencillo y de elevado interés en los circuitos de corriente alterna (ca) y en general cuando se tiene que operar con magnitudes de tipo vectorial. Esto es magnitudes que tienen asociado algún valor de ángulo. Es cierto que existen otros métodos para el análisis de cantidades vectoriales tales como: el método gráfico, por trigonometría (ley de senos y cosenos) y por descomposición de fuerzas. Sin embargo ninguno de estos métodos mencionados tiene la facilidad que proporciona la notación compleja.
En el análisis de circuitos de corriente directa (cd), por lo general, es necesario determinar la suma algebraica de voltajes y corrientes. Dado que lo mismo sucede para las redes de corriente alterna, es necesario establecer un conjunto de números (números complejos) que al relacionarlos con la forma de onda senoidal, resultara en una técnica para encontrar la suma algebraica de formas de onda senoidales. De esta forma a través de los números complejos se puede hacer un análisis de redes senoidales de una forma similar al análisis de redes de cd. También estos números complejos permite utilizar los teoremas de las redes cd, para el análisis de redes ca con poca dificultad.
Un número complejo representa un punto en un plano bidimensional ubicado con referencia a dos ejes distintos. Este punto puede también determinar un vector radial trazado desde el origen hasta el punto. El eje horizontal se denomina eje real, mientras que el eje vertical se denomina eje imaginario. Ambos se identifican tal como se muestra en la figura 2.4.1 el símbolo (o en ocasiones ) se utiliza para denotar el componente imaginario.Figura 2.4.1 Eje real e imaginario.
De esta forma un vector se puede representar en un sistema cartesiano como el de la figura 2.4.1 y como todas las magnitudes en ca se pueden trazar como vectores, si se dominan los números complejos, se podrán resolver circuitos en ca, aplicando los mismos métodos que se utilizan en cd, solo que en lugar de utilizar números reales en las operaciones, se utilizan números complejo.
En los circuitos de ca, la parte imaginaria ocasiona que el vector se desplace . Lo anterior sucede porque al multiplicar el vector por se provoca un giro de y al multiplicar el mismo vector por ocaciona un giro de . La figura 2.4.2 ilustra esta peculiaridad. Estos efectos están relacionados con el comportamiento de la ca ante una inductancia y una capacitancia. Note que al multiplicar el vector por se logra un giro de Figura 2.4.2 Efecto de la parte imaginaria sobre un vector.
En el plano complejo, el eje real u horizontal representa todos los números positivos situados a la derecha del eje imaginario. Todos los números positivos imaginarios se representan por encima del eje real, y todos los números imaginarios negativos por debajo del eje real. Tal como se muestra en la figura 2.4.3
Figura 2.4.3 Diagrama vectorial sobre el plano complejo imaginario.
De tal forma que un número complejo, tendrá una parte real y una parte imaginaria, como por ejemplo , tal como se aprecia en la figura 2.4.3.
Para representar un número complejo se emplean dos formas: rectangular y polar. Cada forma puede representar un punto en el plano o un vector radial trazado desde el origen hasta ese punto.
Forma rectangular.
El formato para representar un vector en la forma rectangular es:
La notación es para representar una cantidad vectorial, mientras que la notación y son solo para representar la magnitud. En la figura 2.4.4 se muestra la representación gráfica para la forma rectangular.
Figura 2.4.4 Definición de la forma rectangular.
El formato rectangular de un complejo representa un vector con origen en el punto (0,0) y extremo en el punto de coordenadas (X, Y). Donde Y es la parte imaginaria del numero complejo.
Forma polar.
El formato de la forma polar es:
En esta notación el vector tiene magnitud con un ángulo que se mide siempre en dirección contraria a las manecillas del reloj a partir del eje real positivo, tal como se muestra en la figura 2.4.5.
Figura 2.4.5 Definición de la forma polar.
Los ángulos medidos en dirección de las manecillas del reloj a partir del eje real positivo deberán tener un signo negativo asociado. Un signo negativo en frente de la forma polar presenta el efecto mostrado en la figura 2.4.6. Observe que ello da por resultado un número complejo en oposición directa con el número complejo con signo positivo.
Figura 2.4.6 Efecto de un signo negativo sobre la forma polar.
Conversión entre Formas.
Las dos formas de representación de números complejos están relacionadas mediante las siguientes ecuaciones.
	Rectangular a polar.
	Polar a rectangular.
	
	
Operaciones con números complejos.
Los números complejos se prestan fácilmente para efectuar las operaciones matemáticas básicas de suma, resta, multiplicacióny división. Antes considerar estas operaciones se deben comprender algunas reglas básicas y definiciones.
Primero considere las siguientes definiciones asociadas a los números imaginarios:
	
	
Además recuerde la propiedad de los números imaginarios de poder hacer que una magnitud gire un ángulo de 90°, la resistencia y la reactancia se pueden representar como se muestra en la figura 2.4.7
En la figura 2.4.7 se observa que en la resistencia pura no existe desfase alguno, mientras que la inductancia pura provoca un desfase de 90° en adelanto y en la capacitancia pura se presenta un desfase de 90° en retraso.
Dichos desfases son de la tensión respecto a la corriente. Y esto coincide con las representaciones vectoriales típicas de estos componentes.Figura 2.4.7 Notación compleja para la resistencia, inductancia y capacitancia pura.
Complejo conjugado.
El conjugado o complejo conjugado de un número complejo puede calcularse cambiando simplemente el signo de la parte imaginaria en la forma rectangular por ejemplo se tienen el siguiente número complejo:
Su conjugado seria simplemente:
Figura 2.4.8 Complejo conjugado de un número complejo en su forma rectangular.
Gráficamente se representa tal como se aprecia en la figura 2.4.8
Para el caso de un número complejo en su forma polar, se puede encontrar su conjugado mediante el uso de un signo negativo en el ángulo. Por ejemplo considere el siguiente número complejo:
Su conjugado se escribe como:
Figura 2.4.9 Complejo conjugado de un número complejo en su forma polar.
La figura 2.4.9 muestra este conjugado.
Reciproco de un complejo.
El reciproco de un numero complejo es dividido entre el numero complejo, tanto para la forma rectangular como para la forma polar. Tal como se muestra a continuación.
	Forma rectangular.
	Forma polar.
	
	
Suma de números complejos.
Para sumar dos más números complejos, simplemente se suman la parte real e imaginaria de firma independiente. Esto es:
Por ejemplo realice la suma de y 
Resta de números complejos.
En la resta, la parte real e imaginaria nuevamente se consideran de manera independiente, de tal forma que:
Multiplicación de números complejos.
Para multiplicar dos números complejos en su forma rectangular, basta con multiplicar las partes real e imaginaria de una de los números por las partes real e imaginaria del otro, una por una. De tal forma que:
 y 
Entonces se desarrolla como:
Finalmente se tienen que:
Para no tener que memorizar la ecuación anterior. Simplemente recuerde llevar el factor cuando se multiplique cada parte de un vector con las partes real e imaginaria del otro. 
Otra forma más simple para realizar la multiplicación de dos números complejos, es convirtiéndolos a su forma polar para después multiplicar las magnitudes y sumar sus ángulos, esto es:
El último caso que se puede presentar es la multiplicación de un número real por un número complejo. En este caso la parte real multiplica a las dos partes del número complejo, por ejemplo:
O este otro caso:
De esta forma quedan cubiertas las diversas formas de mutiplicacion para un numero complejo.
División de números complejos.
Para dividir dos números complejos en forma rectangular, se multiplica el numerador y el denominador por el conjugado del denominador y agrupe las partes real e imaginaria resultante. Esto es dado y se tiene que la división es:
Finalmente:
Esta última ecuación no deberá ser memorizada, en su lugar se recomienda comprender el procedimiento descrito arriba para obtenerla. Es decir, primero multiplicar el numerador por el complejo conjugado del denominador y separa los términos reales e imaginarios. Luego, dividir cada término entre la suma de cada término del denominador al cuadrado.
Una forma alternativa para realizar la división de dos números complejos que están en su forma rectangular, es primero convertirlos a su forma polar y después divida las dos magnitudes para después restar los ángulos, esto es:
Finalmente se tiene el caso de dividir un número complejo sobre un número real. En este caso tanto la parte real como la imaginaria deberán dividirse entre el número real. Por ejemplo:
Así quedan expuestas las diferentes maneras en que se puede dividir un numero complejo.
5.3 Fasores.
Se conoce que una forma de onda senoidal puede ser representada mediante un vector giratorio (de magnitud constante y que gira sobre un origen), cuyo sentido de giro se toma contrario a las manecillas del reloj. También se sabe que en un determinado ángulo, la proyección del vector de giro representa un valor instantáneo de voltaje o corriente. De tal forma que se puede graficar una onda senoidal sobre un sistema de ejes, donde el eje de las abscisas podría representar el ángulo (, medido en radianes) o el tiempo (). El ángulo que forma el vector giratorio con el eje de las abscisas se denomina “fase del movimiento” y el ángulo que forma en el intante , se conoce como “fase inicial”
En la sección anterior se expuso como un vector se puede expresar en un sistema cartesiano complejo (eje real e imaginario) y dado que las magnitudes en ca se pueden representar como vectores, entonces es posible utilizar los números complejos, para la representación de una cantidad en ca.
En los circuitos eléctricos se utiliza el término “fasor”, para identificar a un vector radial que tiene magnitud constante (longitud) con un extremo fijo en el origen. De tal forma se puede decir que:
“Un fasor es un numero complejo que representa la amplitud y la fase de una onda senoidal”
Considere los tres voltajes senoidales que se muestra en la figura 2.4.10. Dicha figura ilustra la situación de tres funciones senoidales que tienen ángulos de fase distinto.
La forma general de representar estas tres formas de onda son:
Como se sabe el valor que multiplica a la función seno es la tensión pico (), sin embargo se utilizan valores efectivos (rms) en lugar de valores pico, de forma casi exclusiva en el análisis de circuitos de ca, por lo que el fasor se define como:
Figura 2.4.10 Representación fasorial de tres formas de onda.
Con esta información ahora se pueden escribir las tres formas de onda para los voltajes tal como se muestra a continuación:
Recuerde que el voltaje eficaz o rms está definido como , por los que el fasor se debe escribir considerando los valores eficaces y no los valores pico.
Observe como la notación fasorial, es tan solo una representación del vector para con esto se logra llevar la función en el tiempo a función del fasor, y con ayuda de los números complejos se puede operar sobre las formas de onda. Es importante aclarar que:
El álgebra fasorial para cantidades senoidales es aplicable únicamente para formas de onda que tienen la misma frecuencia.
Si se presentara la situación de formas de onda en diferentes frecuencias, se tendría que utilizar el teorema de superposición y analizar para cada frecuencia y después encontrar su equivalente.
Por ejemplo si se deseara encontrar la suma de los voltajes de la figura 2.4.10. Se procede como se muestra a continuación.
Primero se encuentra la forma fasorial para cada función y se convierte de la forma polar a la forma rectangular
Ahora se puede aplicar la sumatoria de los voltajes, para encontrar el voltaje total.
Se convierte a su forma polar.
Una vez transformada a la forma polar se puede regresar el fasor a su función en el tiempo.
Este resultado muestra como tendrá un voltaje pico de y su ángulo de desfase será de 33° con respecto al origen.
De esta forma para el futuro, si se requiere la suma de senoidales, deberán convertirse primero al dominio del fasor y encontrar la suma utilizando algebra compleja. El resultado puede convertirse entonces al dominio del tiempo.
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