Anual Uni Semana 14 - Trigonometría - Camila Darien

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TRIGONOMETRÍA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo Anual Virtual Cesar Vallejo
IDENTIDADES DE 
ANGULOS COMPUESTOS 
II
OBJETIVOS
❑ Reconocer y demostrar las identidades 
auxiliares de ángulos compuestos 
❑Aplicar las identidades auxiliares de ángulos
compuestos en la simplificación o transformación
de expresiones trigonométricas.
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
INTRODUCCIÓN
Las ecuaciones que se utilizan para representar el voltaje, corresponde a 
expresiones trigonométricas con ángulos compuestos. 
Con este instrumento llamado Osciloscopio podemos ver la gráfica 
del voltaje que llega a nuestras casa, el cual podría tener una 
ecuación de la forma 
𝑉(𝑡)=220𝑠𝑒𝑛(𝑤𝑡 + ϕ)
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
IDENTIDADES 
TRIGONOMÉTRICAS DE 
ÁNGULOS 
COMPUESTOS
SENO
COSENO
TANGENTE
SEN(X+Y)=SENXCOSY+COSXSENY
SEN(X - Y)=SENXCOSY - COSXSENY
COS(X+Y)=COSXCOSY - SENXSENY
COS(X - Y)=COSXCOSY +SENXSENY
TAN(X+Y)=
TANX+TANY
1 − TANXTANY
TAN(X − Y)=
TANX − TANY
1+TANXTANY
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS DE
ÁNGULOS COMPUESTOS II
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
o IDENTIDADES AUXILIARES 
sen(x+y) sen(x–y)=sen2x − sen2y
cos(x+y) cos(x–y)=cos2x − sen2y
cos(23° + 13°) cos(23° − 13°)
Ejemplos
o sen(60° + 25°) sen(60° − 25°)=
o sen222° − sen215°=
o Cos(36°+15°)cos(36°−15°)= cos236° − sen215°
sen260° − sen225°
o cos223° − sen213°=
7°
36° 10°
Aplicación 1
Halle el valor de H =
sen258 − sen228°
cos4°
Resolución
H =
sen(58° + 28°) sen(58° − 28°)
cos4°
H =
sen(86°) sen(30°)
sen86°
H = sen30° 1
2
=
I)
II)
؞
37°
sen(22° + 15°) sen(22° − 15°)
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
COMPROBACIÓN
sen(x+y) sen(x–y)=sen2x − sen2y
Se sabe
sen(x+y)=senxcosy+cosxseny ……..(I)
sen(x–y)=senxcosy–cosxseny ……..(II)
Reemplazamos I . II en M
H=(senxcosy+cosxseny).( senxcosy–cosxseny)
H= senxcosy 2 − cosxseny 2
H= sen
2xcos2y − cos2xsen2y
H= sen
2x(1 − sen2y) − (1 − sen2x)sen2y
H= sen2x −sen2xsen2 y − sen2y +sen2 xsen2y
H= sen2x − sen2y؞ l.q.q.d.
𝑎 + 𝑏 . (𝑎 − 𝑏)
𝑎2 𝑏2−
Recuerda!!!! 
𝑚. 𝑛 2 = 𝑚2𝑛2Sea la expresión 
M=sen(x+y) sen(x–y)
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III)
tanx +tany=
sen(x+y)
cosx cosy
IV)
tanx−tany=
sen(x − y)
cosx cosy
Ejemplos
o tan25° +tan12°= sen(25°+12°)
cos25° cos12°
sen37°
cos25° cos12°
o tan50° −tan10°=
sen40°
cos50° cos10°
sen(50°−10°)
cos50° cos10°
sen40°
o tan4θ +tanθ =
sec10°
1
cos10°
= =
sen(4θ+θ)
cos4θ cosθ
=
sen5θ
cos4θ cosθ
o tan(12°+α) +tan(12°−α) =
sen(24°)
cos(12°+α)cos(12°−α)
o tan(θ+50°) −tan(20°+θ) =
sen(30°)
cos(50°+θ)cos(20°+θ)
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C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
𝐃𝐞𝐦𝐨𝐬𝐭𝐫𝐚𝐜𝐢ó𝐧
tanx +tany=
sen(x+y)
cosx cosy
Consideremos la expresión
M= tanx +tany
M=
senxcosy + cosxseny
cosxcosy
=
sen(x + y)
cosxcosy
𝑙𝑞𝑞𝑑.
Aplicación 2 
Reduzca la expresión E
E = (tan40° + tan20°)cos20°sen50°
Resolución
E = (
sen 40° + 20°
cos40°cos20°
) cos20°sen50°
E = (
sen60°
cos40°cos20°
) cos20°
E = sen60°
E =
3
؞2
senx
cosx
+
seny
cosy
M=
M
Como se observa 
esta identidad 
auxiliar nos ayuda 
reducir una 
expresión 
trigonométrica 
utilizando un 
cociente de una 
razón seno y 
cosenos cos40°
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
𝐃𝐞𝐦𝐨𝐬𝐭𝐫𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐜𝐨𝐧 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐫𝐮𝐜𝐜𝐢𝐨𝐧𝐞𝐬
tanx −tany=
sen(x − y)
cosx cosy
Sea x la medida de un ángulo águdo del ⊿CAB
B
AC
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Si CA = 1
→ AB = tanx AF= tan𝑦
X
1
y
F
tanx
tan𝑦
BF= tanx − tany
x−y
→ CB = secx
Prolongamos CF
Luego trazamos la perpendicular BT
y
T
kcosy
k
En el ⊿FTB:
BT=kcosy
En el ⊿CTB
sen(x-y) =
kcosy
secx
sen(x-y) = kcosycosx
sen(x − y)
cosxcosy
= BF
= tanx − tany
sen(x − y)
cosxcosy
؞ l.q.q.d.
B
T
F
k
y kcosy
kseny
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Aplicación 3 
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Halle el valor de P
P =
sen50°
cos60°cos10°
+ cot80°
Resolución
Sea 
P =
sen(60° − 10°)
cos60°cos10°
+ cot80°
P = tan60° − tan10° + tan10°
P = tan60°
P = 3
Aplicación 4 
Reduzca la expresión M
M = sen40°sec30°sec10° + sen10°sec20°sec10°
Resolución
M=
sen40°
cos30°cos10°
sen10°
cos20°cos10°
+
M=
sen(30° + 10°)
cos30°cos10°
+
sen(20° − 10°)
cos20°cos10°
M= tan30° + tan10° + tan20° − tan10°
M= tan30° + tan20°
M=
sen(30° + 20°)
cos30°cos20°
M=
sen50°
cos30°cos20°
sen50°sec30°sec20°
=
se𝑐θ=
1
𝑐𝑜𝑠θ
Debemos 
recordar!!!
؞
؞
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V) tanx+tany+tan(x+y)tanxtany =tan(x+𝑦)
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VI) tanx−tany−tan(x-y)tanxtany= tan(x−𝑦)
Ejemplos
o tan2β +tan3β +tan5βtan2β tan3β=
o tan40° +tan 20° +tan60°tan 40° tan20°= 
o tan70°−tan 25°−tan 45°tan 70°tan25° =
o tan5θ−tan 4θ−tan θtan 5θ tan4θ=
tan(70°−25°)
tan(5θ−4θ)
¿Cómo podrías demostrar estas 
identidades?
tan(40°+20°)
tan(2 β+3β)
tan(60°)
tan(5β)
1
3
tan 45°
tanθ
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C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Aplicación 5 
Reduzca la expresión k 
k =
tan2x + tan3x + tan5xtan3xtan2x
tan6x − tanx − tan6xtanxtan5x
Resolución
Por identidades 
▪ tan2x + tan3x + tan5xtan3xtan2x = tan5x
tan(2x+3x)
▪ tan6x − tanx − tan6xtanxtan5x = tan5x
tan(6x−x)
Reemplazadndo en K
k =
tan5x
tan5x؞ = 1
Aplicación 6 
Determine el valor de 
M =
tan10° + tan50° + 3tan10°tan50°
tan22° + tan23° + tan22°tan23°
Resolución
Por identidades 
▪ tan10° + tan50° + 3 tan10°tan50° = tan60°
tan(10°+50°)
▪ tan22° + tan23° + ( 1 )tan22°tan23°= tan45°
tan(22°+23°)
Reemplazando en M
k =
tan60°
tan45°؞ = 3
3
1Corregir texto
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
𝐏𝐑𝐎𝐏𝐈𝐄𝐃𝐀𝐃𝐄𝐒
∀x∊ℝ
Siendo a y b constantes reales 
asenx ± bcosx= 𝑎2 + 𝑏2sen(x±θ)
Donde 
cosθ =
a
a2+b2
y senθ =
b
a2+b2
1.-
Ejemplos
o sen5 ° +cos 5° =
o 3sen50 °− cos 50° =
→ 3sen50°−cos50° =
o 3sen8 °+4cos 8° = 32 + 42sen(8°+ θ ) 
5
cosθ =
3
5
senθ =
4
5y
→ 3sen8 °+4cos 8° = 5sen(8°+ 53° ) 
12 + 12 sen(5°+ θ ) 
3
2
+ 12 sen(50°− θ ) 
2sen(50°−30° ) 
cosθ =
3
2
senθ =
1
2
→θ=30°
→θ=53°
2
y
=2sen20°
2
cosθ =
1
2
y senθ =
1
2
→θ=45°
→ sen5°+cos5° = 2sen(5°+45° ) = 2sen50°
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
؞
Aplicación 7 
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Ejemplos
o sen2X+cos 2X= 2 sen(2X+ 45° ) 
o sen
𝛽
2
+cos 
𝛽
2
= 2 sen(
𝛽
2
+45° ) 
2 sen(𝛼 − 45° ) o sen𝛼 −cos α=
Halle el valor de la expresión
P =
sen40° + cos40°
cos5°
Resolución
P =
sen40° + cos40°
cos5°
P =
2𝑠𝑒𝑛(40° + 45°)
cos5°
P =
2𝑠𝑒𝑛(85°)
cos5°
P =
2𝑐𝑜𝑠5°
cos5°
Aplicación 8 
P = 2
H= 2𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 45° + 2𝑠𝑒𝑛(𝜃 − 45°)
Reduzca 
Resolución
H= 2𝑠𝑒𝑛 𝜃 + 45° + 2𝑠𝑒𝑛(𝜃 − 45°)
𝑠𝑒𝑛𝜃 +cos𝜃 𝑠𝑒𝑛𝜃 −cos𝜃
H=2𝑠𝑒𝑛θ
؞
Es común el uso de las siguientes identidades :
𝑠𝑒𝑛θ + 𝑐𝑜𝑠θ = 2𝑠𝑒𝑛(θ + 45°)
𝑠𝑒𝑛θ − 𝑐𝑜𝑠θ = 2𝑠𝑒𝑛(θ − 45°)
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2.-
∀x∊ℝ
Siendo a y b constantes reales
− a2 + b2 ≤ asenx + bcosx ≤ a2 + b2
MÁXIMOMÍNIMO
Ejemplos
≤ 2senx + 3cosx ≤
Halle el máximo de E = 5senα − 12cosα, ∀α ∊ℝ
−5 ≤ 3senβ + 4cosβ ≤ 5
▪ Se identifica que a=2 y b =3
▪ En la siguiente desigualdad se reconoce 
que a = 3 y b= 4
13− 13
F
y 𝐹𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 = 13⇒𝐹𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 = − 13
Aplicación 9
Resolución
Se identifica que a=5 y b =−12
⇒E𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑜 = 52 + (−12)2
Podemo darle la siguiente forma a la expresión
E=5senα + (−12)cosα
= 13
169
22 + 32− 22 + 32
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Halle el mínimo de la expresión
M=5𝑠𝑒𝑛 37° + θ − 2𝑐𝑜𝑠θ
Resolución
M= 1𝑐𝑜𝑠θ +4𝑠𝑒𝑛θ
→ − 17≤4senθ+1cosθ ≤ 17
Entonces el mínimo de M es − ؞17
Aplicación 10
M=5 𝑠𝑒𝑛37°𝑐𝑜𝑠θ + 𝑐𝑜𝑠37°𝑠𝑒𝑛θ − 2𝑐𝑜𝑠θ
M=5
3
5
𝑐𝑜𝑠θ +
4
5
𝑠𝑒𝑛θ − 2𝑐𝑜𝑠θ
M= 3𝑐𝑜𝑠θ + 4𝑠𝑒𝑛θ − 2𝑐𝑜𝑠θ
Desarrollamos la expresión, aplicando la 
identidad de ángulos compuestos 
sen(x+y)=senxcosy+cosxseny
Analicemos el máximo y minimo para las
siguientes expresiones ∀ θ ∊ ℝ
M=senθ+cosθ 𝑀𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 = − 2 𝑀𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 = 2
F=senθ − cosθ F𝑚í𝑛𝑖𝑚𝑜 = − 2 F𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜 = 2
Entonces se cumple :
− 2 ≤ senθ ± cosθ ≤ 2
→
→
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3.-
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Si α+β+θ=180°n / n∊ Z
⇒tan α +tan β +tan θ =tanαtanβ tan θ
⇒cot α cot β + cot αcotθ +cotβ cotθ = 1
Ejemplos con n= 1
o 𝑡𝑎𝑛50° + 𝑡𝑎𝑛60° + 𝑡𝑎𝑛70° =
o cot10°𝑐𝑜𝑡40° + 𝑐𝑜𝑡130°𝑐𝑜𝑡10° + 𝑐𝑜𝑡130°𝑐𝑜𝑡40° = 1
o 𝑡𝑎𝑛80° + 𝑡𝑎𝑛25° + 𝑡𝑎𝑛75° =
o 𝑡𝑎𝑛18° + 𝑡𝑎𝑛36° + 𝑡𝑎𝑛126° = 𝑡𝑎𝑛18°𝑡𝑎𝑛36°𝑡𝑎𝑛126°
S i A +B+C=360°
⇒ tan
A
2
+ tan
B
2
+ tan
C
2
=
Aplicación
Halle el valor de M
M =
𝑡𝑎𝑛20° + 2𝑡𝑎𝑛80°
𝑡𝑎𝑛280°𝑡𝑎𝑛20°
M =
𝑡𝑎𝑛20° + 𝑡𝑎𝑛80° + 𝑡𝑎𝑛80°
𝑡𝑎𝑛280°𝑡𝑎𝑛20°
Resolución
Como 20°+80°+80°=180°
M =
𝑡𝑎𝑛20°. 𝑡𝑎𝑛80°. 𝑡𝑎𝑛80°
𝑡𝑎𝑛280°𝑡𝑎𝑛20°
M=1
simplificando
؞
𝑡𝑎𝑛50°𝑡𝑎𝑛60°𝑡𝑎𝑛70
𝑡𝑎𝑛80°𝑡𝑎𝑛25°𝑡𝑎𝑛75°
tan
A
2
tan
B
2
tan
C
2
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𝐃𝐞𝐦𝐨𝐬𝐭𝐫𝐚𝐜𝐢ó𝐧 𝐝𝐞
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Si α+β+θ=180°
⇒tan α +tan β +tan θ =tanαtanβ tan θ
tan(α+β )=
tanα + tanβ
1 − tanαtanβ
Se sabe: tan180°=0
Por condición
α+β+θ=180°
→α+β=180° −θ 
Se cumple
tan(180° −θ )
tan180° − tanθ
1 + tan180°tanθ
=
Reemplazando 
tanα + tanβ
1 − tanαtanβ
=
0 − tanθ
1 + 0. tanθ
0
tanα + tanβ = −tanθ(1 − tanαtanβ)
tanα + tanβ = −tanθ + tanαtanβtanθ)
tanα + tanβ + tanθ = tanαtanβtanθ؞ Lqqd.
Recuerda!!!
180°= 𝜋𝑟𝑎𝑑
tan α +tan β +tan θ =tanαtanβ tan θ
Entonces
α + β + θ = 𝜋𝑟𝑎𝑑
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4.-
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Si α+β+θ=90° (2n+1) / n∊ Z………*
⇒ cotα +cotβ +cotθ =cotαcotβcotθ
⇒ tanα tanβ + tanαtanθ +tanβtanθ = 1
Ejemplos con n= 0
o cot40° + 𝑐𝑜𝑡20° + 𝑐𝑜𝑡30° = cot40°𝑐𝑜𝑡20°𝑐𝑜𝑡30°
o cot30° + 𝑐𝑜𝑡20° + 𝑐𝑜𝑡40° = cot30°𝑐𝑜𝑡20°𝑐𝑜𝑡40°
o cot
𝜋
6
+ cot
𝜋
9
+ cot
2𝜋
9
= cot
𝜋
6
cot
𝜋
9
cot
2𝜋
9
o si A+B + C = 180°
⇒ cot
𝐴
2
+ cot
𝐵
2
+ cot
𝐶
2
= cot
𝐴
2
cot
𝐵
2
cot
𝐶
2
Aplicación
Determine el valor de H
M =
𝑐𝑜𝑡40° + 𝑐𝑜𝑡45°𝑐𝑜𝑡5° + 𝑐𝑜𝑡45°
𝑡𝑎𝑛85°𝑡𝑎𝑛50°
M =
𝑐𝑜𝑡40° + (1)𝑐𝑜𝑡5° + 𝑐𝑜𝑡45°
𝑡𝑎𝑛85°𝑡𝑎𝑛50°
Como 40°+5°+45°=90°
M =
𝑐𝑜𝑡40°𝑐𝑜𝑡5°𝑐𝑜𝑡45°
𝑡𝑎𝑛85°𝑡𝑎𝑛50°
M =
𝑐𝑜𝑡40°𝑐𝑜𝑡5°(1)
cot5°cot40°
M = ؞1
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❑ Lumbreras Editores. (2017). Temas Selectos “Identidades trigonométricas” , Lima , Perú
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Bibliografía
❑ Lumbreras Editores. (2018). Trigonometría, Una visión analítica de las funciones , Lima , Perú
❑ PIXABAY. (2020). pixabay.com, Imágenes libres de derecho de autor , Lima , Perú
❑ Juan Carlos Sandoval Peña . (1981). Trigonometría Moderna , 631 pag , Lima , Perú
❑ Lumbreras Editores. (2016). Trigonometría Esencial , Lima , Perú
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
Gracias
C U R S O D E T R I G O N O M E T R Í A
Aptitudes que debe 
desarrollar un 
estudiante de Ingeniería 
Poseer creatividad para la 
innovación de proyectos e
Interés por la tecnología y 
la ciencia.
Observador y analítico.
Capacidad de abstracción y
razonamiento numérico.
Vocación por las ciencias exactas
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
MUCHAS GRACIAS 
…FUTUROS 
INGENIEROS !!!!!
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