EMMC Ejercicios resueltos 3 tema5 Ecs Generales - Axel

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EJERCICIOS RESUELTOS 
TEMA 5 
ECUACIONES GENERALES 
1. Determine la ecuación de la continuidad en función de coordenadas Lagrangianas 
(materiales). 
 
( ) 0
m V V
D D d
dm dV v dV
Dt Dt dt

 
 
= = +  = 
 
   
 
Para esto se puede partir de que en la configuración de referencia o inicial se tiene que 
( ) ( )
0
0 0 0
0
0 0
, lim
V
m dm
x t X
V dV
  
 →

= = = =

 
de donde se puede observar que la densidad inicial 
 
Mientras que en cualquier tiempo distinto de la referencia 
( )
0
, lim
V
m dm
x t
V dV
 
 →

= = =

 
 
De manera indistinta a lo antes mencionado, la masa o un elemento diferencial de ésta 
es la misma sin importar la configuración, material o espacial, en la que se describa; 
por esta razón pueden relacionarse las descripciones en las configuraciones antes 
mencionadas para esta ecuación ya que sin importar su descripción la ecuación de 
conservación de masa debe satisfacerse 
 
( ) ( )
0
0 ,
V V
X dV x t dV =  
 
Recuerde además que 
 
0
0
V
dV V ctte= = 
 
Solución 
A partir de la descripción de la densidad en la configuración inicial o material y espacial está 
dada respectivamente por 
0 0 0
0
dm
dm dV
dV
 =  = 
dm
dm dV
dV
 =  = 
 
Se puede observar que, sin importar la configuración, el elemento diferencial descrito en ambas 
es el mismo 
dm dm= , 0 0dV dV  = 
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 
2 
 
A partir de lo cual, la densidad inicial puede expresarse mediante 
0
0
dV
dV
 = 
 
Donde 
( ) 0
0
det
dV
F J dV JdV
dV
= =  = 
( ) ( )0
0
,x t JX
J

  = ….(1) 
 
Como la masa se describe a partir de 
 
( ) ( )
( )( ) ( )
( ) ( )
( )
0
0
0
0 0
0
0 0
0
, ,
, , ,
, , 0
0
0 0
Como J 0 - 0, la cual es la ecuación de conservación 
de masa en base euleriana.
V V
V V
V
x t dV X t dV
x X t t dV X t JdV
X t J X t dV
J
D
J J J J J v J v
Dt
v
 
 
 
 
      
 
=
=
 −  = 
 − =
 = = − = −  = −  =
   =
 
 

 
 
En conclusión se tiene que la ecuación de conservación de masa descrita en forma material es 
( ) 0
D
J
Dt
 = 
 
2. Determine si, para un medio incompresible, los siguientes campos de velocidades 
satisfacen la ecuación de la continuidad 
 
a) 1
1 2
x
v
r
= − , 22 2
x
v
r
= − , 3 0v = con 
2 2 2
1 2r x x= + y 
2 11 m s −= . 
b) 
r
r
v
R

= , 0v = , 
2
z
z
v
R

= − con 
11 ms −= y donde R es una constante. 
 
Solución 
Si se tiene un medio incompresible, entonces se considera que su densidad es constante 
0
D
ctte
Dt

 =  = 
 
Por lo que la ecuación de conservación de masa o de la continuidad se reduce a 
0v = 
 
 EJERCICIOS RESUELTOS TEMA 4. ESFUERZOS 
3 
a) Siendo las componentes de la velocidad en coordenadas rectangulares 
1
1 2 2
1 2
x
v
x x
= −
+
 , 22 2 2
1 2
x
v
x x
= −
+
 , 3 0v = 
 
( ) ( )
2 2 2 2
31 2 2 1 1 2
2 2
2 2 2 2
1 2 3
1 2 1 2
0 0
vv v x x x x
v
x x x x x x x
 
   
  − −    = + + = − − + =
      + +
   
 
 
Por lo tanto, el campo de velocidades cumple satisface la ecuación de la continuidad. 
 
b) Teniéndose que las componentes de la velocidad en coordenadas cilíndricas son 
r
r
v
R

= , 0v = , 
2
z
z
v
R

= − ; 11 ms −= y R ctte= 
 
En coordenadas cilíndricas la divergencia del campo de velocidades está dada por 
1 1 1 2 2 2
0 0r zr
vv v r
v v
r r z R r R R R R


    
 = + + + = + + − = − =  
     
 
 
Por lo tanto, el campo de velocidades cumple satisface la ecuación de la continuidad. 
 
3. Si el estado de esfuerzos en un sistema de referencia rectangular esta dado por 
 
2 2 2 3
1 2 2 1
2 2 2 2 31
2 1 2 23
3 3 2
3
( )
( ) ( 3 )
2
ij
x x x x
T x x x x MPa
x
 
   
  
 −
 
= − − 
 
 
 
Donde , , ,    (éstas tienen como unidad m) son constantes, mientras que  tiene 
como unidades 5N m−− . Verifique si el sistema se encuentra en equilibrio cuando 0iB = 
[recuerde que iB representa las aceleraciones generadas por las fuerzas de cuerpo]. Si 
en algún eje no se tiene equilibrio, ¿qué fuerzas de cuerpo se requerirán para garantizar 
éste? 
 
Solución 
Para evaluar si el estado de esfuerzos garantiza que el cuerpo se encuentra bajo condiciones de 
equilibrio estático, debe de verificarse si se cumple la ecuación de conservación de cantidad de 
movimiento o Cauchy 
 
ij i
i
j
T Dv
B
x Dt
 

+ =

 
 
Y si el cuerpo se encuentra en equilibrio 
0i i
Dv
a
Dt
 = = 
 
Reduciéndose la ecuación de Cauchy a 
INTRODUCCIÓN A LA MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO 
4 
0
ij
i
j
T
B
x


+ =

 
 
a) Primero se va a considerar que la aceleración que produce las fuerzas de cuerpo es nula 0iB =
, por lo que la ecuación de Cauchy se simplifica 
0
ij
j
T
x

=

 
 
Evaluando la ecuación en la dirección de cada uno de los ejes 
Eje 1x 
( )1311 12 1 2 2 1
1 2 3
2 2 0 0
TT T
x x x x
x x x

 
 + + = − + =
  
 
Por lo que en este eje se verifica la condición de equilibrio. 
 
Eje 2x 
( ) ( ) ( )2 2 2 2 2 2 22321 22 2 2 2
1 2 3
1
3 3 0 2 0
3
TT T
x x x
x x x
     
   
 + + = − − − + = − +  
    
 
Por lo que en este eje no se verifica la condición de equilibrio. 
 
Eje 3x 
( )31 32 33 3 3
1 2 3
0 0 4 4 0
T T T
x x
x x x
  
  
 + + = + + = 
  
 
Por lo que en este eje no se verifica la condición de equilibrio. 
 
b) Para los ejes donde no se verifica el equilibrio estático, las fuerzas de cuerpo y especialmente 
las aceleraciones que las provocan iB se describen mediante. 
0
ij
i
j
T
B
x


+ =

 
 
Evaluando la ecuación en la dirección de cada uno de los ejes 
Eje 1x 
( )1311 12 1 1 2 2 1 1
1 2 3
2 2 0 0
TT T
B x x x x B
x x x
  
 
 + + + = − + + =
  
 
 
Por lo que para que se verifique la condición de equilibrio en este eje 
1 0B = 
 
Eje 2x 
( ) ( )2 2 2 22321 22 2 2 2 2
1 2 3
1
3 3 0 0
3
TT T
B x x B
x x x
    
   
 + + + = − − − + + = 
    
 
Por lo que para que se verifique la condición de equilibrio en este eje 
 EJERCICIOS RESUELTOS TEMA 4. ESFUERZOS 
5 
( )2 2 22 22B x

 

 = − + 
 
Eje 3x 
( )31 32 33 3 3 3
1 2 3
0 0 4 0
T T T
B x B
x x x
   
  
 + + + = + + + =
  
 
Por lo que para que se verifique la condición de equilibrio en este eje 
3
3
4 x
B


 = 
 
4. Para un continuo bajo ciertas condiciones se tiene que la ecuación de conservación 
de la energía se reduce a 
 
u
ij ij
D
T
Dt
 = 
 
Por tanto, obtenga la potencia consumida durante la deformación si se tiene que 
 
3
10 4 3
4 5 2 10
3 2 1
ij t x
−
− 
 
=
 
 − − 
 y 
60 30 20
30 40 10
20 10 10
ijT MPa
 
 
=
 
 − 
 
 
Solución 
El resultado del doble producto interno entre el tensor de esfuerzos y el de rapidez de 
deformación es igual a 
11 11 12 12 13 13 22 22 23 23 33 33: 2 2 2ij ijT T T T T T T T       = = + + + + + 
 
Como el tensor rapidez de deformación se define a partir de 
ij
ij
D
Dt

 = 
3
10 4 3
4 5 2 10
3 2 1
ij x
−
− 
 
 =
 
 − − 
 
 
Por lo que para la potencia consumida durante la deformación se tiene 
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) 360 10 2 30 4 2 20 3 40 5 2 10 2 10 1 10ij ijT x =  + + − + + + − −   
970ij ijT kW = 
u
970
D
kW
Dt
 =