Copia de SEMANA 2_ Pre MAGNITUDES PROPORCIONALES clase 1 - Patricia Torres

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1
MAGNITUDES 
PROPORCIONALES 
REGLA DE TRES
2021-2
2
PRE
2
¿Cómo calcularía el espacio recorrido 
por un móvil que viaja a velocidad 
constante?
El espacio 
recorrido es la
magnitud llamada 
Longitud
3
Se utiliza la 
magnitud llamada 
Masa
LEY DE PROPORCIONES MÚLTIPLES
4
LEY DE GRAVITACIÓN UNIVERSAL
Dos cuerpos de cierta masas se atraen gravitatoriamente con una fuerza
que es directamente proporcional a sus masas e inversamente
proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.
Se pueden relacionar 
magnitudes diferentes
5
¿Qué es Magnitud?
Es todo aquello que puede
experimentar una variación, la cual se puede
cuantificar.
Magnitud
Magnitud Velocidad Fuerza Obra N° Obreros Temperatura
Cantidad 80km/h 50 N 18 𝒎𝟐 20 37 °C
Dos magnitudes que guardan relación de proporcionalidad 
pueden ser:
Directamente 
Proporcionales (DP)
Inversamente 
Proporcionales (IP)
6
Se dice que dos magnitudes son directamente proporcionales si al
aumentar (disminuir) el valor de una ellas en una cierta razón, la otra
también aumenta (disminuye) en la misma razón.
Definición
Ejemplo
:
Se concluye que :
𝐀 𝐃𝐏 𝐁 ↔
𝐀
𝐁
= 𝐊; 𝐊: 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞
Cantidad de obra (m3)
Número de días
6 9 12 18 3
2 3 4 6 1
A
B
x 2
x 3 : 6
x 3
x 2 : 6
∴
𝟔
𝟐
=
𝟗
𝟑
=
𝟏𝟐
𝟒
=
𝟏𝟖
𝟔
=
𝟑
𝟏
= 𝟑 = 𝒌
7
Graficando
:
0
0
El resultado del
experimento resulta un
conjunto de puntos, los
cuales están contenidos en
una recta que pasa por el
origen de coordenadas.
Nota :
x
f(x)
Se llama 
función de 
proporcionalida
d directa
(cantidad de obra) DP (# 
obreros)
Observación:
Cantidad de obra
(# 
obreros)
2 3 4
6 
9
12
8
Sean :
d: distancia (m)
t: tiempo (s)
APLICACIÓN 1
La distancia que recorre un cuerpo en caída libre es DP al cuadrado
del tiempo transcurrido. Si en n segundos de caída, un cuerpo ha
recorrido k metros. ¿cuántos metros recorre en los próximos 2n
segundos?
A) 4k B) 7k C) 8k D) 9k E) 
11kRESOLUCIÓN:
Dato: d 𝑫𝑷 t2
𝒅
t2
= 𝑪𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
Colocando la información brindada en la siguiente 
tabla:
d
t2 n2 
k
(3n)2 
x
Se cumple: 𝒌
n2
=
𝒙
(3n)2
9k = x
Recorrió en los próximos 2n 
segundos : 
9k –k = 8k
9
Se dice que una magnitud A es inversamente proporcional a otra 
B, cuando A es directamente proporcional a la reciproca de B.
Definición
Ejempl
o:
𝟐 𝒙 6 = 3 𝒙 4 = 4 𝒙 3= 6 𝒙 2= k 
=12
Se concluye que:
Se observa que:
Número de obreros
Número de días
2 3 4 6
6 4 3 2
x 2 x 3
: 3
: 2
10
Graficando:
El resultado del
experimento resulta un
conjunto de puntos, los
cuales
están contenidos en 
una rama de una
Tiempo (Días)
hipérbola equilátera.
Nota:
N° de Obreros
x
f(x)
𝒇 𝒙 = 𝒌( 𝟏
𝒙
); 𝒌:cte
Se llama 
función de 
proporcionalida
d inversa
(N° de Obreros) IP (Tiempo)
Observación:
3 62
2
3
4
6
4
11
APLICACIÓN 2
Un grupo de n obreros debían hacer una obra en 42 días pero tardaron
6 días mas porque trabajaron 8 obreros menos. ¿ Cuantos obreros
trabajaron?
A) 16 B) 36 C) 48 D) 56 E) 
76RESOLUCIÓN:
H IP t 
Sean :
H: número de obreros
t: número de días
Nro. Obreros n n-8
Nro. días 42 48
Se cumple:
Por lo tanto trabajaron: 
➔ H.t = k
(n)(42) = (n-8)(48) ➔ n = 64
n-8= 56 obreros
12
La producción de trigo en kilogramos en cierto instante será DP al número
de minutos que ha transcurrido desde el inicio de la cosecha, solo si se
llega hasta 12 minutos de cosecha; porque la producción de trigo en
kilogramos será IP al cuadrado del número de minutos que ha trascurrido
desde el inicio de la cosecha, siempre y cuando se tenga al menos 12
minutos de cosecha. Si se sabe que al transcurrir 3 minutos de cosecha de
producción en ese instante es de 100kg. ¿Cuál será la producción en
Kilogramos al transcurrir 48 minutos de cosecha?
A) 25 B) 50 C) 100 D) 400 E)
1600
Resolución: 
Producción (P)
N° minutos (M) 123 48
100
P DP M
100
3
=
𝐴
12
→ A = 400
A = 400
𝑷 𝑰𝑷 𝑴𝟐 400 × 122 = B × 482
B = 25B = 
?
APLICACIÓN 3
13
Principio de comparación de magnitudes
LEYES DE LOS GASES IDEALES
Ley de Boyle Ley de Charles Ley de Guy
Lussac
Ejempl
o:
𝑽 ∝
𝟏
𝑷
𝒄𝒐𝒏 𝑻 𝒄𝒕𝒆 𝑽 ∝ 𝑻 𝒄𝒐𝒏 𝑷 𝒄𝒕𝒆 𝑷 ∝ 𝑻 𝒄𝒐𝒏 𝑽 𝒄𝒕𝒆
Si se tiene un grupo de magnitudes y se comparan de manera proporcional 
dos de ellas, las otras magnitudes deben permanecer constantes
14
PROPIEDADES
1. Si A DP B ↔ A IP
2. Si A IP B ↔ A DP
1
B
1
B
An Bn3. Si A DP B ↔ DP , n ∈ 𝑸 – {0}
4. Para más de dos magnitudes que intervienen en un mismo
aspecto de cierto fenómeno, por ejemplo las magnitudes A, B y C:
Si: A DP B (Cuando C es constante) 
y A DP C (Cuando B es constante)
.·. A DP (B x C) (Cuando todos varían)
𝑨
= 𝑲
𝑩 . 𝑪
K: constante
15
5. Para magnitudes que intervienen en un mismo aspecto de cierto
fenómeno A, B, C, …. ,D, existen constantes racionales b, c, ….,d y k
reales tales que:
A = K Bb Cc …Dd
Si A DP B (En un determinado fenómeno natural) y por otro lado en
forma independiente B DP C, entonces A DP C
PROPIEDAD TRANSITIVA
K: constante
16
Demostración de la propiedad 4
Para más de dos magnitudes que intervienen en un mismo aspecto de cierto
fenómeno, por ejemplo las magnitudes A, B y C:
Si: A DP B (Cuando C es constante) 
y A DP C (Cuando B es constante)
.·. A DP (B x C) (Cuando todos varían)
𝑨
= 𝑲
𝑩 . 𝑪
A
B
C
𝑎1 𝑎2
𝑏1 𝑏2
𝑐1 𝑐1 𝑐2
𝑏2
𝑎3
Consideremos la siguiente tabla:
𝑆𝑖 𝐶 = 𝑐1(𝑐𝑡𝑒)→ 𝐴 𝐷𝑃 𝐵
𝒂𝟏
𝑏1
=
𝑎2
𝑏2
𝑆𝑖 𝐵 = 𝑏2(𝑐𝑡𝑒) → 𝐴 𝐷𝑃 𝐶
𝒂𝟐
𝑐1
=
𝑎3
𝑐2
𝑎2 =
𝑎1. 𝑏2
𝑏1
𝑎2 =
𝑎3. 𝑐1
𝑐2Igualando se tiene:
𝑎1. 𝑏2
𝑏1
=
𝑎3. 𝑐1
𝑐2
𝑎1
𝑏1. 𝑐1
=
𝑎3
𝑏2. 𝑐2
Son los valores que aparecen en la 
primera y tercera columna de la 
tabla 𝐀
𝐁. 𝐂
= 𝐜𝐨𝐧𝐬𝐭𝐚𝐧𝐭𝐞
K: constante
17
APLICACIÓN 4
A) 12 B) 24 C) 35 D) 51 E) 
72RESOLUCIÓN:
; (*)
Reemplazando en la expresión (*)
Dadas dos magnitudes A , B y C se cumple
que:
):(2 cteCADPB ):(3 cteBACIP
Si el valor de B se reduce a su tercera parte y el de A disminuye en sus 5/8
entonces el valor de C disminuye 8 unidades. Calcule el valor inicial de C.
y
k
B
CA
=

2
3
33 ):( AIPCcteBACIP 
):(2 cteCADPB
I II
A 3A/8
B B/3
C C-8
24
)
3
(
)8)(
8
3
(
2
3
2
3
=
−
=

C
B
C
A
B
CA
K: constante
18
APLICACIÓN 5
Si 9 obreros pueden hacer 120 m de una zanja en 20 días. ¿Cuántos 
obreros se necesitarán para que en 15 días hagan: 200 m de la misma 
zanja?A) 6 B) 8 C) 12 D) 15 E) 20
RESOLUCIÓN:
9.20
120
=
𝑥. 15
200
= 𝐾
Sabemos que:
(𝑵° 𝑶𝒃𝒓𝒆𝒓𝒐𝒔)(𝑵° 𝒅í𝒂𝒔)
(𝑶𝒃𝒓𝒂)
= 𝒄𝒐𝒏𝒔𝒕𝒂𝒏𝒕𝒆
Operando:
obreros tiempo obra
9 obreros 20 días 120 m
x obreros 15 días 200 m
De los datos tenemos:
X = 20 obreros
Problema 1 
Resolución: 
𝐴 𝐷𝑃 𝐵
𝐷𝑒 𝑙𝑜𝑠 𝐷𝑎𝑡𝑜𝑠:
72
3 𝑥
3
8
=
120
𝑏 𝑥
3
125
𝒃 = 𝟒
Clave C
Se sabe que A, B y C son magnitudes proporcionales que tienen cierta relación de 
proporcionalidad de acuerdo a las siguientes tablas: 
Si cuando A = 72; B = 9 y C = 8, determine el valor de B cuando A = 120 y C = 125. 
A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 
Cuando C es constante
A 16 10 12
B 64 25 36
Cuando B es constante
A 18 24 36
C 27 64 216
𝐴
𝐵
=
16
8
=
10
5
=
12
6
𝐴 𝐷𝑃
3
𝐶
𝐴
3
𝐶
=
18
3
27
=
24
3
64
=
36
3
216
𝐴
𝐵 𝑥
3
𝐶
= 𝑘
3
3𝑥2
=
5
𝑏 𝑥 5
Problema 2 
Resolución: 
Una persona presta dinero cobrando un interés diario directamente
proporcional al número de días transcurridos, ocurre que cuando retiro
su dinero se había triplicado y el ultimo día había ganado 1/16 del capital
original ¿Cuantos días presto su capital?
A) 61 B) 62 C) 63 D) 64 E) 65
𝐼𝐷 𝐷𝑃 𝐷𝑇
𝐼𝐷
𝐷𝑇
= 𝑘
𝑆𝑒𝑎 𝒕 𝑑𝑖𝑎𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒𝑠𝑡𝑎𝑚𝑜
𝐼1
1
=
𝐼2
2
=
𝐼3
3
= . . . =
𝐼𝑡−1
𝑡 − 1
=
𝐼𝑡
𝑡
= 𝑘
+
+2𝐶
𝑡(𝑡+ 1)
2
= 64 = (𝑡 + 1)
∴ 𝒕 = 𝟔𝟑 𝒅𝒊𝒂𝒔
Clave C
1
16
𝐶
𝑡
Complete los datos que faltan en la tabla, sabiendo que:
A DP B cuando C permanece constante.
B IP C2 cuando A permanece constante.
Dar como respuesta la suma de los valores
desconocidos (se sabe que z = x.y).
A) 11 B) 12 C) 18 D) 20 E) 288,5
Problema 4
Resolución: 
𝐵 𝐼𝑃 𝐶2 ; 𝐴 = 𝑐𝑡𝑒.
𝐵 𝐷𝑃 𝐴 ; 𝐶 = 𝑐𝑡𝑒. 𝐵 𝑥 𝐶
2
𝐴
= 𝑘
(𝜶)
3 . 242
12
=
𝑥 . 242
8
=
12 . 𝑧2
𝑦
𝑥 = 2
De 𝜶 : 12𝑦 = 𝑧2
Dato: 𝑧 = 𝑥 . 𝑦 = 2𝑦
𝑦 = 3
𝑧 = 6 ∴ 𝒙 + 𝒚 + 𝒛 = 𝟏𝟏
Clave A
Considerando que la utilidad mensual de una empresa minera es DP al
precio internacional de la onza del oro, al número de perforadoras y al
tonelaje de mineral extraído, pero IP a la distancia de la mina a la
planta, expresada en metros. Calcule el número de miles de toneladas
de mineral que debe extraer con 60 perforadoras, transportando a una
distancia de 6 km y comercializando a 1200 dólares la onza de oro para
que su utilidad mensual sea de 6 millones de dólares. Asuma que la
constante de proporcionalidad es 125.
A) 2 B) 4 C) 40 D) 400 E) 4000
Problema 6
Resolución
Del 
enunciado:
𝑼 ∙ 𝑫
𝑷 ∙ 𝑵 ∙ 𝑻
= 𝟏𝟐𝟓
Remplazando
:
𝟔 𝟎𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟎 ∙ 𝟔 𝟎𝟎𝟎
𝟏𝟐𝟎𝟎 ∙ 𝟔𝟎 ∙ 𝑻
= 𝟏𝟐𝟓 𝑻 = 𝟒𝟎𝟎𝟎 𝒕𝒐𝒏 𝑻 = 𝟒 𝒎𝒊𝒍 𝒕𝒐𝒏
Problema 12
Resolución 
Pedro y Carlos tienen asignados sus pensiones en proporción a la raíz
cuadrada del número de años de servicio. Pedro ha servido 9 años más
que Carlos y recibe 500 soles más. Si el tiempo de servicio de Pedro
excediera al de Carlos en 4 años y 3 meses, entonces sus pensiones
estarían en la relación de 9 a 8. ¿Cuál es la pensión de Pedro, en soles?
A) 2000 B) 2500 C) 3000 D) 3500 E) 4000
𝑷𝒆𝒏𝒔𝒊ó𝒏
𝒏º 𝒂ñ𝒐𝒔 𝒅𝒆 𝒔𝒆𝒓𝒗𝒊𝒄𝒊𝒐
= 𝒄𝒕𝒆
Real Supuesto
𝑃
𝑥 + 9
=
𝑃 − 500
𝑥
9𝑘
𝑥 +
17
4
=
8𝑘
𝑥
Pedro Carlos Pedro Carlos
81
𝑥 +
17
4
=
64
𝑥
=
17
17
4
= 4
𝟐
𝒙 = 𝟏𝟔
En lo real
𝑃
25
=
𝑃 − 500
16
𝑷 = 𝟐𝟓𝟎𝟎