Introduccion al analisis de Fourier - Cesar Garcia (1)

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Introducción al análisis de Fourier
Resumen
Se estudia de manera breve los elementos indispensables para poder iniciar el análisis de Fourier. Conceptos claves:
propiedades de las señales senoidales, producto interno de funciones, obtención de los coeficientes de Fourier.
1. la función senoidal y elementos que la caracterizan.
El siguiente ejemplo, muestra algunas características de las funciones senoidales, llamadas también
señales senoidales.
Sea la función
f(t) = Asen(ωt)
a partir de su modelo gráfico que se muestra en la figura 1
Figura 1
Determinar :
a) El período
b) La frecuencia
c) La frecuencia angular
d) La amplitud
Solución:
a) y d) La amplitud y el período puede medirse directamente de la gáfica
1
T = 0.02[s] = 20[ms]
A = 15[V ]
Dado que
ω = 2πf y f =
1
T
donde f , ω y T son la frecuencia, frecuencia angular y período, los valores numéricos para esta señal
son:
b) f = 1
T
= 1
0.02
= 50[Hz]
c) ω = 2πf = 100π[ rad
s
],
La función senoidal es periódica ya que
f(t) = f(t+ nT ), n = 1, 2, 3, ..
es decir
f(t) = f(t+ 0.02) = f(t+ 0.04) = f(t+ 0.06)...etc
En el campo de las aplicaciones ingenieriles, es muy frecuente el uso de las siguientes funciones
periódicas
Figura 2 Figura 3
Figura 4 Figura 5
Problema
Con relación a las figuras 2, 3 y 4 determine:
a) La frecuencia
b) La frecuencia angular
2
c) La amplitud
d) El período
2. Relación entre las funciones periódicas no senoidales con las senoidales
La relación más importante está en el siguiente enunciado, que contiene de manera implícita el
trabajo de Fourier.
Toda las funciones períodicas con aplicaciones prácticas en ingeniería, puede expresarse por medio de
una serie trigonométrica, infinita formada por senos y cosenos con diferentes amplitudes y frecuencias
que sean múltiplos de una fundamental
El enunciado anterior puede expresarse de forma analítica
f(t) = a0 + a1 cos(ωt) + a2 cos(2ωt) + a3 cos(3ωt) +
...+ b1sen(ωt) + b2sen(2ωt) + b3sen(3ωt) + ...
de manera compacta
f(t) = a0 +
∞∑
n=1
an cos(nωt) +
∞∑
n=1
bnsen(nωt) (1)
Así por ejemplo la función cuadrada f(t), cuya representación gráfica se muestra en la figura 2, tiene
período T = 2π[ms] y frecuencia angular ω = 2π
T
= 1[ rad
s
], su representación analítica, en el período
−π < t < π, se expresa
f(t) =



1 0 < t < π
−1 −π < t < 0
y desarrollarse por la siguiente suma trigonométrica
f(t) =
4
π
(
sen(t) +
1
3
sen(3t) +
1
5
sen(5t) +
1
7
sen(7t)...
)
al llamar
s1 =
4
π
sen(t)
s2 =
4
π
(
sen(t) +
1
3
sen(3t)
)
s3 =
4
π
(
sen(t) +
1
3
sen(3t) +
1
5
sen(5t)
)
s4 =
4
π
(
sen(t) +
1
3
sen(3t) +
1
5
sen(5t) +
1
7
sen(7t)
)
Se tiene que sus representaciones gráficas, conjuntamente con la señal cuadrada f(t), en el período
3
comprendido −π < T < π, son las siguientes
puede observarse que conforme se adicionan términos de mayor frecuencia 1
n
sen(nt), n impar a la
suma sk la gráfica se aproxima a la señal cuadrada, obviamente que si fuera posible realizar la gráfica
de la suma infinita correspondería práctiamente a la señal cuadrada.
Para el problema anterior se tiene que los coeficientes a0 = a1 = a2... = a3 = 0; b1 =
4
π
, b2 =
4
3π
,
b3 =
4
5π
y b4 =
4
7π
y la frecuencia angular fundamental es ω = 1[ rad
s
].
Desde luego queda la duda acerca de cómo determinar los coeficientes a0, a1, ..., an y b1, b2, ..., bn de la
serie infinita, justamente es el problema que a continuación se pretende abordar, pero antes se dará
un breve repaso de un tema mu importante de Algebra Lineal, el producto interno de funciones.
3. Producto interno de funciones
El producto interno de dos funciones f1 y f2 en un intervalo t1 ≤ t ≤ t2 se define
< f1, f2 >=
∫
t2
t1
f1(t)f2(t)dt
por ejemplo, el producto interno de las funciones f1 = t
2 y f2 = t en el intervalo 0 ≤ t ≤ 1, s valúa
de la siguiente manera
< f1, f2 >=
∫
1
0
t3dt =
1
4
como puede observarse, en el producto interno se opera con dos vectores que son las funciones f1 y
f2 definidas en un intervalo t1 ≤ t ≤ t2, y el resultado es un número real
4
3. Funciones ortogonales
Al igual que dos vectores �u y �v son ortogonales cuando su producto interno es cero, se tiene que dos
funciones f1 y f2son ortogonales si
< f1, f2 >=
∫
t2
t1
f1(t)f2(t)dt = 0
por ejemplo las funciones f1 = cos(2t) y f2 = sen(t) son ortogonales en el intervalo 0 ≤ t ≤ 2π, ya
que
< f1, f2 >=
∫
2π
0
cos(2t) sin(t)dt =
[
−
1
6
cos 2t+
1
2
cos t
]2π
0
= 0
Teorema:
El conjunto de funciones:
{1, cos(ωt), cos(2ωt), ..., cos(nωt), ..., sen(ωt), sen(2ωt), ..., sen(nωt)}
forman un conjunto de funciones ortogonales en el intevalo −T
2
< t < T
2
, y ω = 2π
T
Demostración: se debe poner en evidencia que todos los productos internos tomados de dos en dos
del conjunto anterior deben ser nulos, los resultados de las siguientes integrales cubren todas estas
posibilidades.
a)
< 1, cos(mωt) >=
∫ T
2
−
T
2
cos(mωt)dt = 0
b)
< 1, sen(mωt) >=
∫ T
2
−
T
2
sen(mωt)dt = 0
c)
< cos(mωt), cos(nωt) >=
∫ T
2
−
T
2
cos(mωt) cos(nωt)dt =



0, m �= n
T
2
m = n
d)
< sen(mωt), sen(nωt) >=
∫ T
2
−
T
2
sen(mωt)sen(nωt)dt =



0, m �= n
T
2
m = n �= 0
e)
< sen(mωt), cos(nωt) >=
∫ T
2
−
T
2
sen(mωt) cos(nωt)dt = 0, ∀ m y n
La demostración se cumple en virtud de que todos los resultados del producto interno es nulo para
m �= n
5
Observación: El conjunto de funciones forma una base ortogonal de dimensión infinita y la serie
trigonométrica de Fourier es una combinación lineal de esta base
4. Obtención de los coeficientes de la serie de Fourier
Si a la serie
f(t) = a0 +
∞∑
n=1
an cos(nωt) +
∞∑
n=1
bnsen(nωt)
Obtención de a0
Al aplicar el producto interno < f(t), 1 >, a la serie trigonomética d Fourier en el intervalo −T
2
<
t < T
2
se tiene
< f(t), 1 >=
∫ T
2
−
T
2
f(t)(1)dt =
∫ T
2
−
T
2
[
a0 +
∞∑
n=1
an cos(nωt) +
∞∑
n=1
bnsen(nωt)
]
dt
∫ T
2
−
T
2
f(t)dt =
[
a0
∫ T
2
−
T
2
dt+
∞∑
n=1
an
∫ T
2
−
T
2
cos(nωt)dt+
∞∑
n=1
bn
∫ T
2
−
T
2
sen(nωt)dt
]
pero de la demostración anterior, incisos a) y b)
∫ T
2
−
T
2
cos(nωt)dt =
∫ T
2
−
T
2
sen(nωt)dt = 0
∫ T
2
−
T
2
f(t)dt = a0(T )
de donde
a0 =
1
T
∫ T
2
−
T
2
f(t)dt
Obtención de an
Ahora si a la serie se le aplica el producto interno < f(t), cos(mωt) >, en el mismo intervalo, se tiene
< f(t), cos(mωt) >=
∫ T
2
−
T
2
[
a0 +
∞∑
n=1
an cos(nωt) +
∞∑
n=1
bnsen(nωt)
]
cos(mωt)dt
∫
π
−π
f(t) cos(mt)dt = a0
∫ T
2
−
T
2
cos(mωt)dt+
∞∑
n=1
an
∫ T
2
−
T
2
cos(nωt) cos(mωt)dt+
∞∑
n=1
bn
∫ T
2
−
T
2
sen(nωt) cos(mωt)dt
6
de las propiedades a), c) y e) vistas con anterioridad
∫ T
2
−
T
2
cos(mωt)dt = 0
∫ T
2
−
T
2
cos(nωt) cos(mωt)dt =



0, m �= n
T
2
, m = n
∫ T
2
−
T
2
sen(nωt) cos(mωt)dt = 0
por lo que
∫ T
2
−
T
2
f(t) cos(mωt)dt = 0 + an
(
T
2
)
+ 0
al despejar an
an =
2
T
∫ T
2
−
T
2
f(t) cos(nωt)dt
Obtención de bn
Por último al aplicar el producto interno < f(t), sen(mωt)
< f(t), sen(mωt) >=
∫ T
2
−
T
2
f(t)sen(mωt)dt
y desarrollar los mismos pasos se tiene
bn =
2
T
∫ T
2
−
T
2
f(t)sen(nωt)dt
Ejemplo: Obtener los coeficientes de la función de la figura 2
f(t) =



1 0 < t < π
−1 −π < t < 0
con período T = 2π[ms] y frecuencia angular ω = 2π
T
= 1[ rad
s
]
Solución:
a0 =
1
T
∫ T
2
−
T
2
f(t)dt
a0 =
1
2π
∫
π
−π
f(t)dt =
1
2π
[∫
0
−π
(−1)dt+
∫
π
0
(1)dt
]
=
1
2π
[−π + π] = 0
an =
2
T
∫ T
2
−
T
2
f(t) cos(nt)dt
7
an =
2
2π
[∫
0
−π
(−1) cos(nt)dt+
∫
π
0
(1) cos(nt)dt
]
= 0
bn =
2
T
∫ T
2
−
T
2
f(t)sen(nt)dt
bn =
2
2π
[∫
0
−π
(−1)sen(nt)dt+
∫
π
0
(1)sen(nt)dt
]
=
2
nπ
[1− cosnπ]
por último
f(t) = a0 +
∞∑
n=1
an cos(nt) +
∞∑
n=1
bnsen(nt)
f(t) =
∞∑
n=1
2
nπ
[1− cosnπ] sen(nt)
La siguiente tabla resume el valor que adquiere el término [1− cosnπ] para diferentes valores de n
n = 1, [1− cos (π)] = 2
n = 2, [1− cos (2π)] = 0
n = 3, [1− cos (3π)] = 2
n = 4, [1− cos(4π)] = 0
n = 5, [1− cos (5π)] = 2
n = 6, [1− cos (6π)] = 0
Se puede observar que cuando n adquiere valores enteros nones el término [1− cosnπ] vale 2, y para
valores pares es nulo
luego
f(t) =
4
π
sen(t) +
4
3π
sen(3t) +
4
5π
sen(5t) +
4
7π
sen(7t) + ...
f(t) =
4
π
[
sen(t) +
1
3
sen(3t) +
1
5
sen(5t) +
1
7
sen(7t) + ...
]
que es el resultado esperado.
Otra forma de expresar el resultado dado por la serie anterior es el siguiente
f(t) =
∞∑
n=1
2
π
[
1− (−1)n
n
]
sen(nt)
8