Copia de Pre 01-15 Relación de Áreas en Regiones Triangulares Semana 10a Resolución - BYRON DAVID CEVALLOS TRUJILLO

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PRE 
UNIVERSITARIO
RELACIÓN DE ÁREAS DE 
REGIONES TRIANGULARES
10a
Problemas del 01 al 15
MATERIALDE ESTUDIO
El área de la región triangular ABC es S; se trazan la mediana BQ y la
ceviana AP que se intersecan en R, CP = 2(BP). Calcule el área de la
región triangular BPR.
A)
1
12
S B)
1
10
S C)
1
9
S
D)
1
8
S E)
1
6
S
PROBLEMA 01
RESOLUCIÓN 01
A CQa a
P
R
b
b
b
E
n
n
- Se traza QE paralela a RP . 
- QE es la base media de APC y RP
es la base media de QBE
Relación entre RBP y QBC: 
𝐗
S
2
=
b(n)
2n(3)
área(RBP) = X
𝐗 =
1
12
S
El área de la región triangular ABC es S; se trazan la mediana BQ y la
ceviana AP que se intersecan en R, CP = 2(BP). Calcule el área de la
región triangular BPR.
Clave: A 
El área de la región triangular ABC es S, se trazan las alturas AP y 
CQ. Si 
PQ
AC
= k, calcule el área de la región triangular BPQ.
A) 2k2S B) k2S C) kS D) k S E) 2kS
PROBLEMA 02
RESOLUCIÓN 02
Q
P
A
B
C
Si: área(QBP) = X 
Relación entre QBP y CBA: 
X
S
= (k)2
X
S
= (
PQ
AC
)2
X = (k)2 S
El área de la región triangular ABC es S, se trazan las alturas AP y CQ.
Si 
PQ
AC
= k, Calcule el área de la región triangular BPQ.
Clave: B 
El área de la región triangular ABC es S, se trazan las cevianas
AP y BQ que se intersecan en R, BR = RQ y AR = 2(RP). Halle el
área de la región triangular BPR.
A)
1
12
S B)
1
4
S C)
1
9
S D)
1
8
S E)
1
6
S
PROBLEMA 03
RESOLUCIÓN 03
A C
Si: área(RBP) = X
P
R
b
2b
n
Q
n
ba
3a
F
- Se traza BF paralela al lado AC,
- F esta en la prolongación de AP
Relación entre ABP y ABC: 
3X
S
=
a
4a
X =
S
12
El área de la región triangular ABC es S, se trazan las cevianas AP y
BQ que se intersecan en R, BR = RQ y AR = 2(RP). Halle el área de la
región triangular BPR.
Clave: A
El área de la región triangular ABC es S, BPQR es un
paralelogramo, R ∈ AB , Q ∈ BC y P∈ AC . Calcule la suma de las
raíces cuadradas de las áreas de las regiones triangulares ARP y
PQC.
A)
1
2
S B) 2 S C) 
1
9
S D) S E)
1
6
S
PROBLEMA 04
RESOLUCION 04
A C
Q
P
R
𝐒𝟏 𝐒𝟐
a b
Relación entre PQC y ABC: 
S2
S
=
b
a + b
Relación entre ARP y ABC: 
S1
S
=
a
a + b
S1 + S2 = S
efectuando:
El área de la región triangular ABC es S, BPQR es un paralelogramo, R ∈
AB , Q ∈ BC y P∈ AC . Calcule la suma de las raíces cuadradas de las
áreas de las regiones triangulares ARP y PQC.
Clave: D 
α
α
α
El área de la región triangular ABC es S, donde AB = BC, se ubican
los puntos P y T tal que A-C-P y A-T-B, donde AC = CP y AT = 2(TB),
BC y TP se intersecan en Q. Halle el área de la región triangular
TBQ.
𝐴)
1
2
S B) 
1
4
S C)
1
9
S D) 
1
8
S E)
1
6
S
PROBLEMA 05
RESOLUCIÓN 05
A
B
C
T
Q
R
Paa
n
n
n
X
3X
2X
Si: área(QBT) = X 
Se traza CR paralelo a TP
luego:
6X = S
X = 
1
6
S
El área de la región triangular ABC es S, AB = BC. Se ubican los puntos P
y T tal que A-C-P y A-T-B, AC = CP y AT = 2(TB), BC y TP se intersecan
en Q. Calcule el área de la región triangular TBQ.
Clave: E 
A) 14k B) 15k C) 16k
D) 18k E)20k 
PROBLEMA 06
Un cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia; las
prolongaciones de BC y AD se intersecan en P, tal que BC = CP = 8 m y
DP = 4 m. Si el área de la región triangular CPD es k m2, entonces el
área (en m2) de la región cuadrangular ABCD es
RESOLUCIÓN 06
Por secantes:
Clave: B 
A 
B C 8 
D 
4 x
k 
PB(PC) = PA(PD)
k
k+x
= 
8(4)
16(4 +28)
x = 15k
P 8 16(8) = 4(4 + y)
y 
28 = y
CPD y BPA tienen ángulo común: 
=28 
Un cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia; las
prolongaciones de BC y AD se intersecan en P tal que BC = CP = 8 m y
DP = 4 m. Si el área de la región triangular CPD es k m2, entonces el área
(en m2) de la región cuadrangular ABCD es
A) 
4
3
B) 
3
2
C) 
5
3
D) 2 E)
5
2
PROBLEMA 07
En el triángulo ABC recto en B, se trazan la altura BH y la ceviana AM
secantes en O, tal que mBAM = mBCH y CH = 3(AH). Calcule la
relación entre las áreas de las regiones triangulares OHC y OBM es
RESOLUCIÓN 07
A 
Clave: B 
B 
C 
O 
H 
•
a 3a 
y 
α 
α 


BHA y BHC de igual altura: 
x+
y
3
x+7y
3
= 
a
3a

3x+y
3x+7y
= 
1
3
 6x = 4y 
y
x
= 
3
2
M x 

•
•
x 
y
3
4y
3
W = 
y
x
En el triángulo ABC recto en B, se trazan la altura BH y la ceviana AM
secantes en O, tal que mBAM = mBCH y CH = 3(AH). Calcule la
relación entre las áreas de las regiones triangulares OHC y OBM es
A) 152 B) 154 C) 156
D) 158 E) 160
PROBLEMA 08
El triángulo acutángulo ABC determina una región triangular de área 6 m2.
Por el circuncentro P, se trazan: PD ⊥ AB, PE ⊥ BC y PF ⊥ AC tal que
PD = 2(AB), PE =3(BC) y PF =4(AC). Calcule el área (en m2) de la región
triangular DEF es
RESOLUCIÓN 08
m∠DPE + m∠B = 180:
Clave: C 
A 
B 
C 
D
•
c 
a 
E 
b 
F 
4b 
 x = 156
P 
2c 
3a 
SABC = 6 
SDEF = x 
S3
S2
S1
x = S1 + S2 + S3
Por ángulos suplementarios
S1
6
= 
3a(2c)
a(c)
S2
6
= 
3a(4b)
a(b)
S3
6
= 
4b(2c)
b(c)
x = 36 + 72 + 48 
m∠FPE + m∠C = 180:
m∠DPF + m∠A = 180:
S1 = 36 
S2 = 72 
S3 = 48 
El triángulo acutángulo ABC determina una región triangular de área
6 m2. Por el circuncentro P, se trazan: PD ⊥ AB, PE ⊥ BC y PF ⊥ AC tal
que PD = 2(AB), PE =3(BC) y PF =4(AC). Calcule el área (en m2) de la
región triangular DEF es
A) 4,5 B) 4,8 C) 5,2
D) 5,4 E) 5,6
PROBLEMA 09
En el triángulo ABC de incentro I, AB + BC = 3(AC) y el área de la región
triangular que determina es 72 m2. En AC se ubican los puntos P y Q tal
que ഥPI // AB y QI // BC entonces el área de la región triangular PIQ es
RESOLUCIÓN 09
 x = 
4,5
Clave: A 
A 
B 
C P 
I 
b 
D Q
y 
c a 
= 
3b
b
BI
ID
= 
c + a
b
α 
α 2α 2
Por el teorema del incentro:
x
72
= 
k2
(4k)2


y 
y y 
SPIQ = x 
SABC = 72 
ABC~PIQ: 
BI = 3k 
ID = k 
k 
3k 
En el triángulo ABC de incentro I, AB + BC = 3(AC) y el área de la región
triangular que determina es 72 m2. En AC se ubican los puntos P y Q tal
que ഥPI // AB y QI // BC entonces el área (en m2) de la región triangular
PIQ es
A) 
40
7
B) 
81
28
C) 
41
7
D) 
165
28
E) 
83
14
PROBLEMA 10
En el triángulo ABC recto en B, donde AB = 8 m y BC = 15 m, se inscribe
una circunferencia que es tangente en D, E y F a los lados AB, BC y AC
respectivamente. Calcule el área (en m2) de la región triangular DEF.
RESOLUCIÓN 10
Clave: D 
C A 
Por Poncelet: 8 + 15 = 17 + 2r r = 3
 ABC por Pitágoras: 
(AC)2 = (8)2+ (15)2  AC = 17
S2
60
= 
3 2
8(17)
= 
9
8(17)
 x = 
165
28
B 
D 
E 
F 
8 15 
•
O 
S1
S2 S3
r r 
r 
17 
SDEF = x 
x = S1 + S2 + S3
Por ángulos suplementarios:=3
3 3
5
5 12
12
SABC = 
8(15)
2
= 60 
S3
60
= 
3 2
15(17)
= 
9
15(17)
S1 = 
3(3)
2
= 
9
2
x = 
9
2
+ 
9(60)
8(17)
+ 
9(60)
15(17)
En el triángulo ABC recto en B, donde AB = 8 m y BC = 15 m, se inscribe
una circunferencia que es tangente en D, E y F a los lados AB, BC y AC
respectivamente. Calcule el área (en m2) de la región triangular DEF.
P es un punto interior del triángulo ABC, PQ ⟘ AB, PR ⟘ BC. Si
PQ =
BC
4
y PR =
AB
3
y el área de región triangular ABC es 72 u2,
calcule el área de la región triangular PQR ( en u2)
A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 12
PROBLEMA 11
https://cutt.ly/8f81Sjf
https://cutt.ly/Bf81DBr
https://cutt.ly/Gf81Ah3
https://cutt.ly/gf81FbV
P es un punto interior del triángulo ABC, PQ⟘AB, PR⟘BC, Si PQ =
BC
4
y PR =
AB
3
y el área de región triangular ABC es 72 𝑢2, calculeel área
de la región triangular PQR ( en 𝑢2)
Clave: B 
A
B
C
P
Q
R a
c
𝑎/4
c/3
Sea X el área de la región triangular 
PQR , por relación de áreas:
X
72
=
a
4 .
c
3
a. c
=
1
12
X = 6 𝑢2
X
RESOLUCIÓN 11
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https://cutt.ly/Bf81DBr
https://cutt.ly/Gf81Ah3
https://cutt.ly/gf81FbV
En un triangulo ABC AB = 3u, BC = 9u y AC = 8u , se inscribe una
circunferencia cuyo punto de tangencia en el lado AC es P ,
calcule el área de la región triangular ABP( en 𝑢2 )
A)
2
3
35 B) 
3
4
35 C) 
1
4
35 D) 35 E) 
4
3
35
PROBLEMA 12
https://cutt.ly/8f81Sjf
https://cutt.ly/Bf81DBr
https://cutt.ly/Gf81Ah3
https://cutt.ly/gf81FbV
En un triangulo ABC , AB = 3u, BC = 9u y AC = 8u , se inscribe una
circunferencia cuyo punto de tangencia en el lado AC es P , calcule el
área de la región triangular ABP( en 𝑢2 )
Clave: C
A
B
C
Se calcula el área de la región triangular 
ABC:
siendo 2p = 20 , p = 10
P
3
9
8
X
𝑆△𝐴𝐵𝐶 = 10(10 − 3)(10 − 9)(10 − 8) = 2 35
Además AP = 10 -9 = 1, PC = 7
1 7
𝑋
𝑆△𝐴𝐵𝐶 − 𝑋
𝑆△𝐴𝐵𝐶 − 𝑋
= 
1
7
𝑋 =
35
4
RESOLUCIÓN 12
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https://cutt.ly/Bf81DBr
https://cutt.ly/Gf81Ah3
https://cutt.ly/gf81FbV
En una circunferencia se tiene dos cuerdas perpendiculares AB
y CD siendo O el centro de dicha circunferencia y el área de la
región triangular AOC es 24 𝑢2 , calcule el área de la región
triangular BOD (en 𝑢2 )
A) 12 B) 16 C) 18 D) 20 E) 24
PROBLEMA 13
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https://cutt.ly/Bf81DBr
https://cutt.ly/Gf81Ah3
https://cutt.ly/gf81FbV
En una circunferencia se tiene dos cuerdas perpendiculares AB y CD
siendo O el centro de dicha circunferencia y el área de la región triangular
AOC es 24 𝑢2 , calcule el área de la región triangular BOD (en 𝑢2 )
Clave: E
A B
C
D
O
El área de la región triangular AOC = 24 u2
90 es un angulo interior ∶
𝛼
𝛼
𝛽
𝛽
α y β son angulos centrales
𝛼+ 𝛽
2
=90 𝛼 + 𝛽 = 180
Por relacion de areas ∶
𝑆△𝐴𝑂𝐶
𝑆△𝐵𝑂𝐷
= 
𝑅 .𝑅
𝑅.𝑅
= 1
R
R R
R
𝑆△𝐵𝑂𝐷 = 24
RESOLUCIÓN 13
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https://cutt.ly/Bf81DBr
https://cutt.ly/Gf81Ah3
https://cutt.ly/gf81FbV
En área de una región triangular ABC es S, se traza MN // AC, M en
AB y N en BC , calcular el área de la región MBN , para que MN =
AC
4
A)
𝑆
3
B) 
𝑆
9
C) 
𝑆
4
D) 
𝑆
16
E) 
𝑆
12
PROBLEMA 14
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Clave: D 
En área de una región triangular ABC es S, se traza MN // AC, M en AB
y N en BC , calcular el área de la región MBN , para que MN =
AC
4
A
B
C
M Na
4a
X
Por ser triángulos semejantes:
𝑋
𝑆
= 
𝑀𝑁2
𝐴𝐶2
=
𝑎2
(4𝑎)2
=
1
16
x = 
𝑆
16
RESOLUCIÓN 14
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https://cutt.ly/Gf81Ah3
https://cutt.ly/gf81FbV
En un triángulo ABC se trazan la mediana AM y la bisectriz
interior BD las que se intersecan en el punto P . Si 10(AB) = 6(BC)
y el área de la región triangular ABC es 44u2, entonces el área de
la región triangular PBM (en u2) es
A) 6 B) 8 C) 10 D) 12 E) 15
PROBLEMA 15
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https://cutt.ly/Bf81DBr
https://cutt.ly/Gf81Ah3
https://cutt.ly/gf81FbV
Clave: C 
En un triángulo ABC se trazan la mediana AM y la bisectriz interior BD las
que se intersecan en el punto P. Si 10(AB) = 6(BC) y el área de la región
triangular ABC es 44u2, entonces el área de la región triangular PBM
(en u2) es
A
B
M
CD
𝛼 𝛼
P
6K
5K
5K
El área de la región triangular ABC es 44 u2
Por ser AM mediana el área de la región
triangular ABM es 22 u2
Por el teorema de la bisectriz las de las regiones 
ABP y BPM son 6M y 5M respectivamente
6M 
5M 
M = 2 u211M = 22 u2
Area △ BPM = 10
RESOLUCIÓN 15
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https://cutt.ly/Bf81DBr
https://cutt.ly/Gf81Ah3
https://cutt.ly/gf81FbV