clase 09 - kevin Bellido

Vista previa del material en texto

GEOMETRÍA 
TEMA: Longitud de la 
circunferencia 
LONGITUD DE LA CIRCUNFERENCIA 
Definición.- 
La longitud de una circunferencia es igual al 
límite, cuando n tiende al infinito, del 
perímetro de un polígono de n lados inscrito 
en la circunferencia. 
Si Pn es el períme-
tro del polígono 
regular A1A2A3...An 
inscrito en la 
circunferencia C 
de longitud c , 
entonces 
An-1 
A2 
A1 
An 
A3 
A4 
A5 c = limn→∞Pn 
C 
 
 
En la circunferencias C y C´ de centros 
O y O´, de longitudes de radios R y R´, 
se cumple: 
c
2R = 
c′
2R′ 
TEOREMA 
La razón entre las longitudes de la 
circunferencia y su diámetro, es la 
misma en todas las circunferencias. 
An-1 
A2 
A1 
An 
A3 
A4 
A5 
C 
A´n-1 
A´2 
A´1 
A´n 
A´3 
A´4 
A´5 
C´ 
C 
R 
DEFINICIÓN 
El número  es la razón 
entre la longitudes de la 
circunferencia y su 
diámetro. 
C 
B R R 
A 
 = c2R 
TEOREMA 
La longitud de una cir-
cunferencia de longitud 
de radio R, es 2R. 
 
C 
R 
c = 2R 
TEOREMA 
Si la medida de un arco de 
circunferencia C es , entonces la 
longitud del arco respectivo es 
(
θ
360)c, 
AB = ( θ360)c 

A 
B 
GEOMETRÍA 
TEMA: Área de 
regiones planas 
REGIÓN POLIGONAL 
Definición.- 
Se denomina región poligonal a la 
unión de un polígono y su interior. 
Región 
poligonal 
convexa 
Región 
poligonal 
no convexa 
POSTULADOS FUNDAMENTALES 
Postulado.- 
A toda región poligonal le corresponde un 
único número real positivo. Dicho número se 
denomina área de la región poligonal. 
S 
P2 
P3 
P4 Pn 
P1 
… 
Sean P1, P2, P3, … y Pn los vértices de una 
región poligonal, el área correspondiente se 
denota como SP1P2P3…Pn 
Postulado.- 
Si dos triángulos son congruentes, 
entonces las áreas de sus regiones 
correspondientes son iguales. 
 
F A C 
B 
D 
E 
 
Si ABC  DEF, 
entonces 
SABC = SDEF = S 
S S 
Postulado.- 
Si una región poligonal es la unión de dos 
regiones poligonales cuya intersección es una 
cantidad finita de puntos o segmentos, 
entonces el área de la unión de las regiones 
poligonales es igual a la suma de las áreas de 
las regiones poligonales. 
Si la región ABMN = R1 ∪ R2 y 
R1 ∩ R2 = CD ∪ DE ∪ EF, 
Entonces SABMN = S1 + S2 
A 
B C M 
S2 S1 
R1 R2 
D 
E 
F N 
Postulado.- 
El área de una región cuadrada es 
igual al cuadrado de la longitud del 
lado. 
Si ABCD es un 
cuadrado, entonces 
SABCD = a2 
A 
B C 
D 
a 
a 
a 
a 
REGIONES EQUIVALENTES 
Definición.- 
Dos regiones poligonales se denominan 
equivalentes si tienen igual área. 
A 
B 
S 
C M 
N 
 
Q 
P 
S 
Si SABC = SMNPQ, entonces 
Las regiones ABC y MNPQ 
son equivalentes 
ÁREA DE UNA REGIÓN RECTANGULAR 
Teorema.- 
El área de una región rectangular es igual al producto de las longitudes de dos lados 
consecutivos. 
Si ABCD es una región rectangular, 
entonces 
A 
B C 
D 
a 
b 
b 
a S 
a 
S1 
b b 
b 
b 
a 
a 
a 
S2 S 
E 
F 
G H M 
S = a.b 
Demostración: 
S▭MBEG = S1 + 2S + S2 
Postulado: S▭MBEG = (a + b)² 
S1 = a² y S2 = b² 
Reemplazando: (a + b)² = a² + 2S + b² 
a² + 2ab + b² = a² + 2S + b² 
 S = a.b 
ÁREA DE UNA REGIÓN PARALELOGRÁMICA 
Teorema.- 
El área de una región paralelográmica es igual al producto de las longitudes de un 
lado y la altura correspondiente a dicho lado. 
Si ABCD es una región 
paralelográmica, entonces 
A 
B 
D 
C 
H 
h 
b 
T 
S1 
S2 
S1 
a a h 
b 
SABCD = b.h 
Demostración: 
SABCD= S1 + S2 
ATB  DHC (LLA) 
SATB = SDHC = S1 
S▭TBCH= S1 + S2 = (BC)(CH) = b.h 
 SABCD= b.h 
ÁREA DE UNA REGIÓN TRIANGULAR 
Teorema.- 
El área de una región triangular es igual al semiproducto de las longitudes de un 
lado y la altura correspondiente a dicho lado. 
Si ABC es un triángulo, entonces 
A 
B E 
C 
b 
H 
h S 
S 
SABC = 
b.h
2 
Demostración: 
Sean BE // AC y AB // CE 
ABEC: paralelogramo 
ABC  ECB 
SABC = SECB = S 
SABEC = 2SABC = (AC)(BH) = b.h 
 SABC = 
b.h
2 
GEOMETRÍA 
TEMA: Área de 
regiones triangulares 
ÁREA DE REGIONES TRIANGULARES 
Fórmula general 
𝑆= 𝑏.ℎ2 
Fórmula trigonométrica 
Fórmula de Herón 𝑝 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐2 𝑆= 𝑝(𝑝 − 𝑎)(𝑝 − 𝑏)(𝑝 − 𝑐) 
En función del inradio 
p:semiperímetro 𝑆 = 𝑝. 𝑟 
𝑆= 𝑎.𝑏2 𝑆= 𝑏.ℎ2 
𝑆= 𝑎.𝑏.𝑠𝑒𝑛( )2 
En función del circunradio 
En función del exradio 
𝑆= 𝑎𝑏𝑐4𝑅 
R: Circunradio 
RELACIÓN DE ÁREAS DE REGIONES 
TRIANGULARES 
𝑆 = (𝑝 − 𝑎)𝑟𝑎 
𝑟𝑎: Exradio p:semiperímetro 
𝑆1𝑆2 = 𝑚𝑛 
ABC  MNQ 𝑆1𝑆2 = 𝑎2𝑚2 = 𝑏2𝑛2 = 𝑐2𝑞2 = ⋯ 
GEOMETRÍA 
Ejercicios