CLASE 10 - kevin Bellido

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GEOMETRÍA 
TEMA: 
Relación de áreas de 
regiones triangulares 
Si dos triángulos tienen un par de alturas congruentes, 
entonces las áreas de sus regiones triangulares son 
proporcionales a las longitudes de los lados 
correspondientes a las alturas. 
A C 
B 
H b 
h 
 M L 
N 
P n 
h 
Teorema 
RELACIÓN DE ÁREAS DE REGIONES TRIAGULARES 
Si BH = NP, entonces 
SABC
SMNL
= bn 
Corolario 
En un triángulo, al trazar una 
mediana, se determinan dos 
regiones triangulares equivalentes. 
 
A 
B 
C M m m 
S S 
Si BM es mediana, entonces: 
SABM = SMBC = S 
A 
B 
C 
Corolario 
En un triángulo, al trazar las 
tres medianas, se determinan 
seis regiones triangulares 
equivalentes. 
M 
 
 
 
N 
G 
 
L 
S 
S S 
S 
S S 
Si AN, BM y CL son medianas, 
entonces 
SALG = SBLG = SBGN = S 
SAGM = SMGC = SGNC = S 
Teorema 
Si dos triángulos tienen dos ángulos congruentes o 
suplementarios, entonces las áreas de sus respectivas 
regiones son proporcionales al producto de las longitudes de 
los lados que determinan dichos ángulos. 
 
 
M 
N 
L A 
B 
C 
α θ 
b 
c l 
n 
 Si  = , entonces SABC
SMNL
= bcnl 
 Si +  = 180, entonces SABC
SMNL
= bcnl 
Si dos triángulos son semejantes, entonces la razón de las áreas de sus respectivas regiones, 
son proporcionales a los cuadrados de las longitudes de sus elementos homólogos. 
Teorema 
α 𝜃 
β 
A 
B 
C 
c a 
b 
D 
H 
R 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 α 
β 
θ 
m 
n 
l 
P 
h 
M 
 N 
L 
r 
Si ABC  MNL, entonces 
SABC
SMNL
= a²m² = b²n² = c²l² = H²h² = R²r² = k² 
GEOMETRÍA 
TEMA: 
Área de regiones 
cuadrangulares 
ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES 
Teorema.- 
El área de una región cuadrangular es igual al 
semiproducto de las longitudes de las diagonales 
multiplicado con el seno de la medida del ángulo 
determinan las rectas que contienen a dichas 
diagonales. 
C 
D 
B 
A 
 O 
SABCD = 
1
2(AC)(BD)sen 
C 
D 
B 
A 
 
SABCD = 
1
2(AC)(BD)sen 
Corolario.- 
El área de una región cuadrangular 
de diagonales perpendiculares, es 
igual al semiproducto de las 
longitudes de las diagonales. 
SABCD = 
1
2(AC)(BD) 
C 
D 
B 
A 
O 
B C 
D A 
ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES 
Teorema.- 
El área de una región 
trapecial es igual, a la mitad 
del producto de la suma de 
longitudes de sus bases y la 
longitud de su altura. 
Teorema.- 
El área de una región 
trapecial es igual al producto 
de las longitudes de la 
mediana y la altura. 
B C 
D A 
M N 
SABCD = (MN)h 
A D 
B C 
h 
H 
SABCD = 
a + b
2 h 
h 
Teorema.- 
El área de una región trapecial 
es igual al producto de distancia 
del punto medio de un lado no 
paralelo hacia el otro lado no 
paralelo y su longitud. 
N 
M 
SABCD = (MN)(AB) 
b 
a 
Teorema.- 
El área de una región paralelográmica es el 
producto de la longitud un lado y la longitud 
de la altura correspondiente a dicho lado. 
ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES 
b 
B C 
D A 
 S = b.h 
h 
Corolario.- 
B C 
D A b 
a 
 S = a.b.sen 
B 
C 
D 
A SABCD = 
1
2(AC)(BD) 
Región rómbica o rombal 
SABCD = a.b 
Región rectangular 
Región cuadrada 
B C 
D A 
SABCD = a² 
b 
a 
B C 
D A 
a 
a 
Teorema.- 
El área de una región cua-
drangular circunscrita a una 
circunferencia es igual al 
producto del semiperímetro 
del cuadrilátero y el radio 
de la circunferencia inscrita. 
 
A D 
B 
C 
a r 
b 
c 
d 
 
Teorema.- 
El área de una región 
cuadrangular inscrita en una 
circunferencia es igual a la 
raíz cuadrada del producto de 
las diferencias del semiperí-
metro con cada longitud de 
lado. 
 
A D 
B 
C 
a 
b 
 
c 
d 
 
Teorema.- 
El área de una región cuadran-
gular inscrita y circunscrita a dos 
circunferencias es igual a la raíz 
cuadrada del producto de las 
longitudes de los lados. 
d A D 
B 
C 
a 
b 
c 
SABCD = p.r 
SABCD = (p-a)(p-b)(p-c)(p-d) 
SABCD = a.b.c.d