Copia de Semana 10b Área de Regiones Cuadrangulares Teoría Pre 2021-2 - BYRON DAVID CEVALLOS TRUJILLO

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TEORÍA 2021-2 
ÁREA DE REGIONES 
CUADRANGULARES
10b
ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES
Teorema.- El área de una región
cuadrangular es igual al semiproducto
de las longitudes de las diagonales
multiplicado con el seno de la medida
del ángulo determinan las rectas que
contienen a dichas diagonales.
C 
D
B
A

N 
M 
O 
h2h1
S ABCD =
1
2
(AC x BD) Senα
S ABCD=
1
2
BD ( h1 + h2 )
Si: h1 =OA x Senα
h2 = OC x Senα
Luego: h1 + h2 = AC x Senα
C 
D
B
A
O
SABCD =
𝟏
𝟐
(AC x BD) Senα
Demostración.-
Corolario.- El área de una región
cuadrangular de diagonales
perpendiculares, es igual al
semiproducto de las longitudes de
las diagonales.
A D
B
C
O 
S ABCD = 1
2
(AC x BD) Senα
Si: 𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷 entonces α = 90
Demostración.-
S ABCD = 1
2
(AC x BD)
A D
B
C
S ABCD = 1
2
(AC x BD)
4
C 
D
B
A
N 
M 
S3
S2
S1 S4
P
Q
S1 + S3 = S2 + S4
C 
D
B
A
N 
M 
S3
S2
S1 S4
P
Q
S
S MNPQ =
1
2
S ABCD
1. Demostrar : 2. Demostrar :
RELACIÓN DE ÁREAS EN REGIONES CUADRANGULARES
5
C 
D
A
O 
S3
S2
S1
S4
C 
DA
N 
M 
P
Q
BB
S1 x S3 = S2 x S4

O 
Senα x NQ x MPSABCD =
3. Demostrar : 4. Demostrar :
SAMCN = 
SABCD
2
A D
B
C
N
M
5. Demostrar : 6. Demostrar :
A D
B
C
N
M
S1
S2
S3
S4
S1 + S3 = S2 + S4
P
Q
7. Demostrar :
A D
B
C
N
M
S1
S2
S3
S4
8. Demostrar :
A D
B
C
N
M
S1
S2
S3S4
S1 + S3 = S2 + S4
S
S = S₁ + S2 + S3 + S4
PP
Q Q
ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES
Teorema.-
El área de una región trapecial es
igual, a la mitad del producto de su
altura por la suma de sus bases.
SABCD =( a + b
2
) h
El área de una región trapecial es
igual al producto de las longitudes
de la mediana y la altura.
B C 
DA
a
M N h
bA H D
B Ca
b
h
SABCD = (MN) h
B C 
DA
S1 S2
S1 = S2
B C 
DA
O
S
S1
S2
S
S = S1 x S₂
1. Demostrar : 2. Demostrar :
RELACIÓN DE ÁREAS EN REGIONES TRAPECIALES
O
S
B C 
D
S1
S2
S
A
M S
B C 
D
S1
S2
A
SABCD = ( S₁ + S₂)²
3. Demostrar : 4. Demostrar :
S = S₁ + S₂
11
H
B C 
DA
MB C 
D
S1S2
A N
M
SABCD = (CD)(MH) S₁ = S₂
5. Demostrar : 6. Demostrar :
TEOREMA:
El área de una región paralelográmica es
el producto de la longitud un lado base
cualquiera y la altura correspondiente.
Sean b y h la altura dadas y sea S el área
de la región paralelográmica ABCD.
ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES
B
b
C 
DA
h
S = b.m Sen 
B C 
DA
m
S = b.h
n
S = m.n
B
b
C 
DA
h m

Corolario.- El área de una región
cuadrangular determinado por un
rombo es igual al semiproducto de
las longitudes de las diagonales.
A
D
B
C

O 
S ABCD = 1
2
(AC x BD) Senα
Si: 𝐴𝐶 ⊥ 𝐵𝐷 entonces α = 90
Demostración.-
A
D
B
C
S ABCD = 1
2
(AC x BD)S ABCD =
1
2
(AC x BD)
2
S
S ABCDAFD =
B C 
DA
F
S2
S1
S3
S1
S4
S2 S1
S
S2
A
B C
D
B C
A D
RELACIÓN DE ÁREAS EN REGIONES PARALELOGRAMICAS
1. Demostrar : 2. Demostrar : 3. Demostrar :
S₁ = S3 = S2 = S4S₁ = S₂
S₁ + S3 = S₂ + S4 =
SABCD
2
A
B C 
DA
S1
S2
S
S2
S1
S4
S3
S2
B C
D
M
NQ
P
QN ∥ AD y MP ∥ AB
S1 = S2
A D
P
B C
O
P es un punto de AB
S = S1+ S2
P es un punto interior 
PS1
5. Demostrar : 6. Demostrar :4. Demostrar :
O
ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES
Teorema.- El área de una región
cuadrangular determinado por un
cuadrilátero circunscrito a una
circunferencia es igual al producto
del semiperímetro del cuadrilátero y
el radio de la circunferencia inscrita.
ABCDS pr=
A D
B
C
a r
b
c
d
A
B C
D
a
b
c
d
r
r
r
r
SABCD =SAOB + SBOC + SCOD + SAOD
SABCD = ar
2
+
br
2
+
cr
2
+
dr
2
si: p=
a + b + c + d
2
SABCD = pr
o
Demostración.-
ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES
Teorema.- El área de una región cuadrangular determinado por un
cuadrilátero inscrito a una circunferencia es igual a la raíz cuadrada del
producto de las diferencias del semiperímetro con cada longitud de lado.
( )( )( )( )ABCDS p a p b p c p d= − − − −
A D
B
C
a
b
c
d
Si ABCD está inscrito a la circunferencia,
entonces
Donde p: semiperímetro de ABCD
D
C B
A
b
a
d
P m
n 



SABCD = SAPB −SCPD
ΔAPB ∼ΔCPD:
n
m + b
=
m
n + d
=
c
a
m + n
m + b + n + d
=
c
a
⇒ m + n = c
b + d
a − c
m − n
n + d − m − b
=
c
a
⇒ m − n = c
d − b
a + c
c
S SABCD=
c²− a²
c²
. SABCD
SCPD= (
m+n+c
2
)(
m+n − c
2
)(
m − n+c
2
)(
− m+n+c
2
)
Si: 2p=a + b + c + d
SABCD=
c2− a²
c²
c4.
(p − a)(p − b)(p − c)(p − d)
(a − c)²(a + c)²
SABCD= (p − a)(p − b)(p − c)(p − d)
SAPB
SCPD
=
a²
c²
⇒ SAPB =
a²
c²
. SCPD
Demostración.-
ÁREAS DE REGIONES CUADRANGULARES
Teorema.- El área de una región cuadrangular determinado por un
cuadrilátero inscrito a una circunferencia y circunscrito a otra
circunferencia es igual a la raíz cuadrada del producto de las longitudes de
los lados.
ABCDS abcd=
dA D
B
C
a
b
c
1
2C
C
Si ABCD está circunscrito a la
circunferencia C1 e inscrito a la
circunferencia C2, entonces
A
B
C
D
SABCD = p − a p − b p − c p − d
por el teorema de Pitot: a + c = b + d
si: 2p= a + c + b + d
p = a + c = b + d
SABCD = a+c−a b+d−b a+c−c b+d−d
SABCD = abcd
S
a
b
c
d
Demostración.-
EJERCICIOS INTENSIVO 
10b
ÁREA DE REGIONES 
CUADRANGULARES
En una circunferencia se ubican los puntos A, B, C y D, tal que, m ෽BA = 90, 
m ෽BC = 30 y m ෽CD = 150. Si la longitud del radio de la circunferencia es 
r, entonces el área de la región cuadrangular ABCD es
A) 
3
2
r2 B) 2 3 r2 C) 3 r2
D) 3 3 r2 E) 
r2
2
EJERCICIO 01
A
B
C
D
O
Calcule: S◻ABCD
Arco AC = 120 ⟶ AC = l3 = r 3
90
90
30
60 Del gráfico BD = 2r
S◻ABCD =
(AC)(BD)Sen(60)
2
S◻ABCD =
(r 3)(2r)
3
2
2
S◻ABCD =
3
2
r2
150
r
RESOLUCIÓN 01
En una circunferencia se ubican los puntos A, B, C y D, tal que, m ෽BA =
90, m ෽BC = 30 y m ෽CD = 150 . Si la longitud del radio de la
circunferencia es r, entonces el área de la región cuadrangular ABCD
es
En un cuadrado ABCD; M es punto medio de CD, se traza AF perpendicular a 
BM en el punto F. Si FD= 7 cm, entonces el área (en cm2) de la región 
cuadrada ABCD es 
A) 2 7 B) 3 7 C) 6
D) 7 E) 14
EJERCICIO 02
A
B C
D


M
a
a
F
7
Calcule: S◻ABCD
b
bb
◺ AFE : b= 7
S◻ABCD = 7
2
S◻ABCD = 7
RESOLUCIÓN 02
En un cuadrado ABCD; M es punto medio de CD, se traza AF
perpendicular a BM en el punto F. Si FD= 7 cm, entonces el 
área (en cm2) de la región cuadrada ABCD es 
EJERCICIO 03
En un trapezoide ABCD, las diagonales miden 6 u y 8 u. Si el segmento,
que tiene por extremos los puntos medios de dos lados opuestos, mide 5
u, calcule (en u2) el área de la región trapezoidal ABCD.
A) 16 B) 20 C) 24
D) 26 E) 28
A
B
C
D
S
Calcule: S◻ABCD
6 8
5
3 4
34
S◻ABCD = 2S◻RSTU
S◻RSTU es un rectángulo
T
R
U
S◻RSTU = 3 (4) = 12
S◻ABCD = 2 (12)
S◻ABCD = 24
RESOLUCIÓN 03
En un trapezoide ABCD, las diagonales miden 6 u y 8 u. Si el segmento,
que tiene por extremos los puntos medios de dos lados opuestos, mide
5 u, calcule (en u2) el área de la región trapezoidal ABCD.
EJERCICIO 04
En una semicircunferencia de diámetro AD se ubican los puntos B y C,
en AD se ubica el punto Q, de modo que el cuadrilátero ABPQ es un
trapecio isósceles (P en BC ) de bases BP y AQ. Si AQ=3(QD) = 12 u
y BC = 𝑙6 , entonces el área (en u2) de la región trapecial ABPQ es
A) 8 3 B) 12 3 C) 16 3
D) 24 3 E) 32 3
A
B C
DO Q
P
8 4 4
Dato: BC = l6 ⟶ Arco BC = 60
60
6060
Calcule: S◻ABP
606060
4 4
4 3
S◻ABPQ =
BP+AQ
2
(OP)
S◻ABPQ =
4 +12
2
(4 3 )
S◻ABPQ =32 3
RESOLUCIÓN 04
En una semicircunferencia de diámetro AD se ubican los puntos B
y C, en AD se ubica el punto Q, de modo que el cuadrilátero ABPQ
es un trapecio isósceles (P en BC ) de bases BP y AQ. Si AQ =
3(QD) = 12 u y BC = 𝑙6 , entonces el área (en u2) de la región
trapecial ABPQ es
EJERCICIO 05
En un paralelogramo ABCD, AB = 10 cm y T es punto de BC. Si el área
de la región ABD es el triple del área de la región TCD y el cuadrilátero
ABTD es bicéntrico, entonces el área (encm2 ) de la región
cuadrangular ABCD es
A) 20 10 B) 40 5 C) 44 6
D) 48 6 E) 20 6
A
B C
D
3S
S
2S
10
T
Calcule: S ◻ABCD
2a a 
3a 
trapecio ABTD es bicéntrico
por ello es un trapecio isósceles: 
⟶TD = AB = 10 
10
T.Pithot ◻ ABCD: 10+10=3a + 2a ⟶ a = 4
En el cuadrilátero bicentrico ABTD se cumple
5S = (10)(2a)(10)(3a) ⟶ S = 8 6
S ◻ABCD = 6S
S ◻ABCD = 48 6
RESOLUCIÓN 05
En un paralelogramo ABCD, AB = 10 cm y T es punto de BC. Si
el área de la región ABD es el triple del área de la región TCD y el
cuadrilátero ABTD es bicéntrico, entonces el área (en cm2 ) de la
región cuadrangular ABCD es
EJERCICIO 06
En un triángulo ACB recto en C, se traza la altura CH. Luego se trazan HE y
HF perpendiculares a BC en los puntos E y F, respectivamente. Si BC= a,
AC= b y T punto medio de AB, entonces el área de la región cuadrangular
CFTE es
A)
ab
2
B)
ab
4
C)
ab
5
D)
ab
6
E)
ab
8
A
C
B




O
n
a
n n
b
H
E
F
T
◻FCEH Rectángulo : m∠FCH=m ∠ CFE
q
q
q
q
S ΔABC =
(2q)(2n)
2
=
(a)(b)
2
S ◻CFTE =
(2q)(n)Sen(90)
2
= qn….(II)
qn =
(a)(b)
4
… . . (I)
(I) en (II) S ◻CFTE =
(a)(b)
4
RESOLUCIÓN 06
Calcule: S ◻CFTE
En un triángulo ACB recto en C, se traza la altura CH. Luego se
trazan HE y HF perpendiculares a BC en los puntos E y F,
respectivamente. Si BC= a, AC= b y T punto medio de AB,
entonces el área de la región cuadrangular CFTE es
En la figura ABCD es un rectángulo, M y N son puntos medios de 
AB y AD. Calcule la relación entre las áreas de las regiones 
cuadrangulares EFGN y ABCD.
A
B C
DN
M
EJERCICIO 07
A)
3
25
B)
3
32
C)
5
48
D)
4
35
E)
5
32
E
F
G
n
2n
2S
4S
3S
3S
A
B C
DN
4S
M
Calcule:
SEFGN
SABCD
a
a
b b
2b
6t
2t
4t
6t
3t
3t
SABCD = 48S
8S
SEFGN = 5S
Del gráfico :
SEFGN
SABCD
=
5S
48S
SEFGN
SABCD
=
5
48
RESOLUCIÓN 07
E
F
G
En la figura ABCD es un rectángulo, M
y N son puntos medios de AB y AD.
Calcule la relación entre las áreas de
las regiones cuadrangulares EFGN y
ABCD