Clase 11 (Prediccion) - Zaida Moreno Páez

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Econometŕıa I – EAE-250A
Predicción en el MRL
Jaime Casassus
Instituto de Econoḿıa
Pontificia Universidad Católica de Chile
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 11-May-16
Tabla de Contenidos
1 Predicción
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 11-May-16
Predicción individual vs. predicción promedio
• Suponga que se obtiene los estimadores MCO, β̂, para una muestra de n
observaciones.
• Especificación correcta: la muestra en que se realizó la estimación contiene
toda la información relevante para explicar el fenómeno en la población
(obviamente más allá de la muestra).
• Se busca pronosticar el valor de yτ para un nuevo conjunto de variables
independientes, xτ (para evaluar escenarios posibles o por nuevos datos).
yτ = x
>
τ β + uτ
donde x>τ = (1 xτ1 · · · xτk).
• Si el interés está en predecir yτ = x>τ β + uτ se hablará de predicción
individual.
• Si, alternativamente, se busca predecir E [yτ |X ] = x>τ β, se habla de
predicción media o promedio.
• Ambas alternativas dan lugar a la misma predicción puntual, pero diferentes
intervalos de confianza, ya que difieren en la varianza del error de predicción.
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 11-May-16
Predicción individual vs. predicción promedio
• Suponga que se obtiene los estimadores MCO, β̂, para una muestra de n
observaciones.
• Especificación correcta: la muestra en que se realizó la estimación contiene
toda la información relevante para explicar el fenómeno en la población
(obviamente más allá de la muestra).
• Se busca pronosticar el valor de yτ para un nuevo conjunto de variables
independientes, xτ (para evaluar escenarios posibles o por nuevos datos).
yτ = x
>
τ β + uτ
donde x>τ = (1 xτ1 · · · xτk).
• Si el interés está en predecir yτ = x>τ β + uτ se hablará de predicción
individual.
• Si, alternativamente, se busca predecir E [yτ |X ] = x>τ β, se habla de
predicción media o promedio.
• Ambas alternativas dan lugar a la misma predicción puntual, pero diferentes
intervalos de confianza, ya que difieren en la varianza del error de predicción.
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 11-May-16
Predicción individual vs. predicción promedio
• Suponga que se obtiene los estimadores MCO, β̂, para una muestra de n
observaciones.
• Especificación correcta: la muestra en que se realizó la estimación contiene
toda la información relevante para explicar el fenómeno en la población
(obviamente más allá de la muestra).
• Se busca pronosticar el valor de yτ para un nuevo conjunto de variables
independientes, xτ (para evaluar escenarios posibles o por nuevos datos).
yτ = x
>
τ β + uτ
donde x>τ = (1 xτ1 · · · xτk).
• Si el interés está en predecir yτ = x>τ β + uτ se hablará de predicción
individual.
• Si, alternativamente, se busca predecir E [yτ |X ] = x>τ β, se habla de
predicción media o promedio.
• Ambas alternativas dan lugar a la misma predicción puntual, pero diferentes
intervalos de confianza, ya que difieren en la varianza del error de predicción.
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 11-May-16
Predicción individual vs. predicción promedio
• Suponga que se obtiene los estimadores MCO, β̂, para una muestra de n
observaciones.
• Especificación correcta: la muestra en que se realizó la estimación contiene
toda la información relevante para explicar el fenómeno en la población
(obviamente más allá de la muestra).
• Se busca pronosticar el valor de yτ para un nuevo conjunto de variables
independientes, xτ (para evaluar escenarios posibles o por nuevos datos).
yτ = x
>
τ β + uτ
donde x>τ = (1 xτ1 · · · xτk).
• Si el interés está en predecir yτ = x>τ β + uτ se hablará de predicción
individual.
• Si, alternativamente, se busca predecir E [yτ |X ] = x>τ β, se habla de
predicción media o promedio.
• Ambas alternativas dan lugar a la misma predicción puntual, pero diferentes
intervalos de confianza, ya que difieren en la varianza del error de predicción.
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 11-May-16
Predicción individual vs. predicción promedio
• Suponga que se obtiene los estimadores MCO, β̂, para una muestra de n
observaciones.
• Especificación correcta: la muestra en que se realizó la estimación contiene
toda la información relevante para explicar el fenómeno en la población
(obviamente más allá de la muestra).
• Se busca pronosticar el valor de yτ para un nuevo conjunto de variables
independientes, xτ (para evaluar escenarios posibles o por nuevos datos).
yτ = x
>
τ β + uτ
donde x>τ = (1 xτ1 · · · xτk).
• Si el interés está en predecir yτ = x>τ β + uτ se hablará de predicción
individual.
• Si, alternativamente, se busca predecir E [yτ |X ] = x>τ β, se habla de
predicción media o promedio.
• Ambas alternativas dan lugar a la misma predicción puntual, pero diferentes
intervalos de confianza, ya que difieren en la varianza del error de predicción.
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 11-May-16
Predicción individual vs. predicción promedio
• Suponga que se obtiene los estimadores MCO, β̂, para una muestra de n
observaciones.
• Especificación correcta: la muestra en que se realizó la estimación contiene
toda la información relevante para explicar el fenómeno en la población
(obviamente más allá de la muestra).
• Se busca pronosticar el valor de yτ para un nuevo conjunto de variables
independientes, xτ (para evaluar escenarios posibles o por nuevos datos).
yτ = x
>
τ β + uτ
donde x>τ = (1 xτ1 · · · xτk).
• Si el interés está en predecir yτ = x>τ β + uτ se hablará de predicción
individual.
• Si, alternativamente, se busca predecir E [yτ |X ] = x>τ β, se habla de
predicción media o promedio.
• Ambas alternativas dan lugar a la misma predicción puntual, pero diferentes
intervalos de confianza, ya que difieren en la varianza del error de predicción.
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 11-May-16
Predicción individual
• El mejor estimador (MELI) de yτ es
ŷτ = x
>
τ β̂
• Sea eτ el error de predicción
eτ = yτ − ŷτ = x>τ (β − β̂) + uτ
• Note que E [eτ |X ] = 0.
• La varianza del error de predicción es
Var [eτ |X ] = Var [−x>τ β̂ + uτ |X ]
= Var [x>τ β̂|X ] + Var [uτ |X ]− 2Cov [x>τ β̂, uτ |X ]
• Pero Cov [x>τ β̂, uτ |X ] = 0, ¿por qué?
• Entonces
Var [eτ |X ] = x>τ Var [β̂|X ]xτ + Var [uτ |X ]
= σ2(x>τ (X
>X )−1xτ + 1)
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 11-May-16
Predicción individual
• El mejor estimador (MELI) de yτ es
ŷτ = x
>
τ β̂
• Sea eτ el error de predicción
eτ = yτ − ŷτ = x>τ (β − β̂) + uτ
• Note que E [eτ |X ] = 0.
• La varianza del error de predicción es
Var [eτ |X ] = Var [−x>τ β̂ + uτ |X ]
= Var [x>τ β̂|X ] + Var [uτ |X ]− 2Cov [x>τ β̂, uτ |X ]
• Pero Cov [x>τ β̂, uτ |X ] = 0, ¿por qué?
• Entonces
Var [eτ |X ] = x>τ Var [β̂|X ]xτ + Var [uτ |X ]
= σ2(x>τ (X
>X )−1xτ + 1)
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 11-May-16
Predicción individual
• El mejor estimador (MELI) de yτ es
ŷτ = x
>
τ β̂
• Sea eτ el error de predicción
eτ = yτ − ŷτ = x>τ (β − β̂) + uτ
• Note que E [eτ |X ] = 0.
• La varianza del error de predicción es
Var [eτ |X ] = Var [−x>τ β̂ + uτ |X ]
= Var [x>τ β̂|X ] + Var [uτ |X ]− 2Cov [x>τ β̂, uτ |X ]
• Pero Cov [x>τ β̂, uτ |X ] = 0, ¿por qué?
• Entonces
Var [eτ |X ] = x>τ Var [β̂|X ]xτ + Var [uτ |X ]
= σ2(x>τ (X
>X )−1xτ + 1)
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 11-May-16
Predicción individual
• El mejor estimador (MELI) de yτ es
ŷτ = x
>
τ β̂
• Sea eτ el error de predicción
eτ = yτ − ŷτ = x>τ (β − β̂) + uτ
• Note que E [eτ |X ] = 0.
• La varianza del error de predicción es
Var [eτ |X ] = Var [−x>τ β̂ + uτ |X ]
= Var [x>τ β̂|X ] + Var [uτ |X ]− 2Cov [x>τ β̂, uτ |X ]
• Pero Cov [x>τ β̂, uτ |X ] = 0, ¿por qué?
• Entonces
Var [eτ |X ] = x>τ Var [β̂|X ]xτ + Var [uτ |X ]
= σ2(x>τ (X
>X )−1xτ + 1)
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 11-May-16
Predicción individual
• El mejor estimador (MELI) de yτ es
ŷτ = x
>
τ β̂
• Sea eτ el error de predicción
eτ = yτ −ŷτ = x>τ (β − β̂) + uτ
• Note que E [eτ |X ] = 0.
• La varianza del error de predicción es
Var [eτ |X ] = Var [−x>τ β̂ + uτ |X ]
= Var [x>τ β̂|X ] + Var [uτ |X ]− 2Cov [x>τ β̂, uτ |X ]
• Pero Cov [x>τ β̂, uτ |X ] = 0, ¿por qué?
• Entonces
Var [eτ |X ] = x>τ Var [β̂|X ]xτ + Var [uτ |X ]
= σ2(x>τ (X
>X )−1xτ + 1)
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 11-May-16
Predicción individual
• El mejor estimador (MELI) de yτ es
ŷτ = x
>
τ β̂
• Sea eτ el error de predicción
eτ = yτ − ŷτ = x>τ (β − β̂) + uτ
• Note que E [eτ |X ] = 0.
• La varianza del error de predicción es
Var [eτ |X ] = Var [−x>τ β̂ + uτ |X ]
= Var [x>τ β̂|X ] + Var [uτ |X ]− 2Cov [x>τ β̂, uτ |X ]
• Pero Cov [x>τ β̂, uτ |X ] = 0, ¿por qué?
• Entonces
Var [eτ |X ] = x>τ Var [β̂|X ]xτ + Var [uτ |X ]
= σ2(x>τ (X
>X )−1xτ + 1)
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 11-May-16
Predicción individual (cont.)
• ¿Cómo es la distribución de eτ?
• El estad́ıstico para la predicción individual es
eτ
s.e.(êτ )
=
yτ − ŷτ√
σ̂2(x>τ (X
>X )−1xτ + 1)
∼ tn−k−1
• El intervalo de confianza para yτ al 1− α se construye a partir de∣∣∣∣ eτs.e.(êτ )
∣∣∣∣ ≥ tα/2
• El intervalo para yτ es
ŷτ − tα/2s.e.(êτ ) ≤ yτ ≤ ŷτ + tα/2s.e.(êτ )
donde s.e.(êτ ) =
√
σ̂2(x>τ (X
>X )−1xτ + 1).
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 11-May-16
Predicción individual (cont.)
• ¿Cómo es la distribución de eτ?
• El estad́ıstico para la predicción individual es
eτ
s.e.(êτ )
=
yτ − ŷτ√
σ̂2(x>τ (X
>X )−1xτ + 1)
∼ tn−k−1
• El intervalo de confianza para yτ al 1− α se construye a partir de∣∣∣∣ eτs.e.(êτ )
∣∣∣∣ ≥ tα/2
• El intervalo para yτ es
ŷτ − tα/2s.e.(êτ ) ≤ yτ ≤ ŷτ + tα/2s.e.(êτ )
donde s.e.(êτ ) =
√
σ̂2(x>τ (X
>X )−1xτ + 1).
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 11-May-16
Predicción individual (cont.)
• ¿Cómo es la distribución de eτ?
• El estad́ıstico para la predicción individual es
eτ
s.e.(êτ )
=
yτ − ŷτ√
σ̂2(x>τ (X
>X )−1xτ + 1)
∼ tn−k−1
• El intervalo de confianza para yτ al 1− α se construye a partir de∣∣∣∣ eτs.e.(êτ )
∣∣∣∣ ≥ tα/2
• El intervalo para yτ es
ŷτ − tα/2s.e.(êτ ) ≤ yτ ≤ ŷτ + tα/2s.e.(êτ )
donde s.e.(êτ ) =
√
σ̂2(x>τ (X
>X )−1xτ + 1).
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 11-May-16
Predicción individual (cont.)
• ¿Cómo es la distribución de eτ?
• El estad́ıstico para la predicción individual es
eτ
s.e.(êτ )
=
yτ − ŷτ√
σ̂2(x>τ (X
>X )−1xτ + 1)
∼ tn−k−1
• El intervalo de confianza para yτ al 1− α se construye a partir de∣∣∣∣ eτs.e.(êτ )
∣∣∣∣ ≥ tα/2
• El intervalo para yτ es
ŷτ − tα/2s.e.(êτ ) ≤ yτ ≤ ŷτ + tα/2s.e.(êτ )
donde s.e.(êτ ) =
√
σ̂2(x>τ (X
>X )−1xτ + 1).
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 11-May-16
Predicción individual en Modelo Simple
• Tarea: demuestre que para el modelo simple se cumple que
ŷτ − tα/2s.e.(êτ ) ≤ yτ ≤ ŷτ + tα/2s.e.(êτ )
con s.e.(êτ ) =
√
σ̂2
(
(xτ−x)2∑n
i=1(xi−x)2
+ 1n + 1
)
.
• La incertidumbre de la predicción es menor cuando:
◦ xτ está cerca de x
◦ El tamaño de la muestra es más grande
◦ El valor de σ2 es menor
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 11-May-16
Predicción individual en Modelo Simple
• Tarea: demuestre que para el modelo simple se cumple que
ŷτ − tα/2s.e.(êτ ) ≤ yτ ≤ ŷτ + tα/2s.e.(êτ )
con s.e.(êτ ) =
√
σ̂2
(
(xτ−x)2∑n
i=1(xi−x)2
+ 1n + 1
)
.
• La incertidumbre de la predicción es menor cuando:
◦ xτ está cerca de x
◦ El tamaño de la muestra es más grande
◦ El valor de σ2 es menor
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 11-May-16
Predicción promedio
• El mejor estimador (MELI) de E [yτ |X ] también es
ŷτ = x
>
τ β̂
• Sea �τ el error de predicción
�τ = E [yτ |X ]− ŷτ = x>τ (β − β̂)
• Note que E [�τ |X ] = 0.
• La varianza de error de predicción es
Var [�τ |X ] = σ2x>τ (X>X )−1xτ
• El intervalo de confianza para E [yτ |X ] al 1− α es
ŷτ − tα/2s.e.(�̂τ ) ≤ E [yτ |X ] ≤ ŷτ + tα/2s.e.(�̂τ )
donde s.e.(�̂τ ) =
√
σ̂2x>τ (X
>X )−1xτ .
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Predicción promedio
• El mejor estimador (MELI) de E [yτ |X ] también es
ŷτ = x
>
τ β̂
• Sea �τ el error de predicción
�τ = E [yτ |X ]− ŷτ = x>τ (β − β̂)
• Note que E [�τ |X ] = 0.
• La varianza de error de predicción es
Var [�τ |X ] = σ2x>τ (X>X )−1xτ
• El intervalo de confianza para E [yτ |X ] al 1− α es
ŷτ − tα/2s.e.(�̂τ ) ≤ E [yτ |X ] ≤ ŷτ + tα/2s.e.(�̂τ )
donde s.e.(�̂τ ) =
√
σ̂2x>τ (X
>X )−1xτ .
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 11-May-16
Predicción promedio
• El mejor estimador (MELI) de E [yτ |X ] también es
ŷτ = x
>
τ β̂
• Sea �τ el error de predicción
�τ = E [yτ |X ]− ŷτ = x>τ (β − β̂)
• Note que E [�τ |X ] = 0.
• La varianza de error de predicción es
Var [�τ |X ] = σ2x>τ (X>X )−1xτ
• El intervalo de confianza para E [yτ |X ] al 1− α es
ŷτ − tα/2s.e.(�̂τ ) ≤ E [yτ |X ] ≤ ŷτ + tα/2s.e.(�̂τ )
donde s.e.(�̂τ ) =
√
σ̂2x>τ (X
>X )−1xτ .
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 11-May-16
Predicción promedio
• El mejor estimador (MELI) de E [yτ |X ] también es
ŷτ = x
>
τ β̂
• Sea �τ el error de predicción
�τ = E [yτ |X ]− ŷτ = x>τ (β − β̂)
• Note que E [�τ |X ] = 0.
• La varianza de error de predicción es
Var [�τ |X ] = σ2x>τ (X>X )−1xτ
• El intervalo de confianza para E [yτ |X ] al 1− α es
ŷτ − tα/2s.e.(�̂τ ) ≤ E [yτ |X ] ≤ ŷτ + tα/2s.e.(�̂τ )
donde s.e.(�̂τ ) =
√
σ̂2x>τ (X
>X )−1xτ .
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 11-May-16
Predicción promedio
• El mejor estimador (MELI) de E [yτ |X ] también es
ŷτ = x
>
τ β̂
• Sea �τ el error de predicción
�τ = E [yτ |X ]− ŷτ = x>τ (β − β̂)
• Note que E [�τ |X ] = 0.
• La varianza de error de predicción es
Var [�τ |X ] = σ2x>τ (X>X )−1xτ
• El intervalo de confianza para E [yτ |X ] al 1− α es
ŷτ − tα/2s.e.(�̂τ ) ≤ E [yτ |X ] ≤ ŷτ + tα/2s.e.(�̂τ )
donde s.e.(�̂τ ) =
√
σ̂2x>τ (X
>X )−1xτ .
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 11-May-16
Ejemplo: segunda etapa de Fama-MacBeth
Usted extiende el modelo de Fama-MacBeth a 2 factores de riesgo accionario: el mercado y el
precio del cobre. La siguiente tabla muestra las sensibilidades de cada industria con respecto a
las rentabilidades de mercado y a los cambios en el precio del cobre (es decir, el resultado de la
primera etapa de Fama-MacBeth). Por simplicidad, suponga que los estimadores de βM y βC
son los estimadores poblacionales.
Sector Rentabilidad Beta de mercado Beta de cobre
mensual (r) (βM ) (βC )
Commodities 0,89% 1,15 0,19
Retail 0,79% 1,22 0,12
Industrial 0,55% 1,01 0,04
Consumo 0,49% 0,92 0,12
Para la segunda etapa de Fama-MacBeth usted busca estimar:
r = θ0 + θMβM + θCβC + u
Además, usted sabe que:
θ̂0 = −0, 57; θ̂M = 1, 02; θ̂C = 1, 28 y (β>β)−1 =
(
22, 12 −21, 37 9, 38
−21, 37 22, 12 −20, 5
9, 38 −20, 5 107, 69
)
donde β> = (1 βM βC ).
• Realice una predicción de la rentabilidad esperada para la industria financiera que tiene
βM = 0, 8 y βC = 0, 15. Considere un intervalo de confianza al 95%.
• Realice una predicción de la rentabilidad esperada para el promedio de las industrias que
tienen βM = 0, 8 y βC = 0, 15.
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 11-May-16
Ejemplo: segunda etapa de Fama-MacBeth
Usted extiende el modelo de Fama-MacBeth a 2 factores de riesgo accionario: el mercado y el
precio del cobre. La siguiente tabla muestra las sensibilidades de cada industria con respecto a
las rentabilidades de mercado y a los cambios en el precio del cobre (es decir, el resultado de la
primera etapa de Fama-MacBeth). Por simplicidad, suponga que los estimadores de βM y βC
son los estimadores poblacionales.
Sector Rentabilidad Beta de mercado Beta de cobre
mensual (r) (βM ) (βC )
Commodities 0,89% 1,15 0,19
Retail 0,79% 1,22 0,12
Industrial 0,55% 1,01 0,04
Consumo 0,49% 0,92 0,12
Para la segunda etapa de Fama-MacBeth usted busca estimar:
r = θ0 + θMβM + θCβC + u
Además, usted sabe que:
θ̂0 = −0, 57; θ̂M = 1, 02; θ̂C = 1, 28 y (β>β)−1 =
(
22, 12 −21, 37 9, 38
−21, 37 22, 12 −20, 5
9, 38 −20, 5 107, 69
)
donde β> =(1 βM βC ).
• Realice una predicción de la rentabilidad esperada para la industria financiera que tiene
βM = 0, 8 y βC = 0, 15. Considere un intervalo de confianza al 95%.
• Realice una predicción de la rentabilidad esperada para el promedio de las industrias que
tienen βM = 0, 8 y βC = 0, 15.
Casassus (UC) EAE-250A - Econometŕıa I 11-May-16
	Predicción
	Predicción individual vs. predicción promedio
	Predicción individual
	Predicción individual en Modelo Simple
	Predicción promedio
	Ejemplo: segunda etapa de Fama-MacBeth