INFERENCIA ESTADISTICA PROBLEMAS DE ESTIMACION

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INFERENCIA ESTADISTICA – PROBLEMAS DE 
ESTIMACION
La INFERENCIA ESTADISTICA consiste en aquellos métodos con los cuales se pueden realizar 
inferencias o generalizaciones acerca de una población utilizando datos muestrales
INFERENCIA 
ESTADISTICA
ESTIMACIÓN PRUEBA DE 
HIPOTESIS
EJEMPLOS:
1)Un candidato para un puesto público desea estimar la proporción real de
votantes que lo apoyan
¿Cómo?
Mediante la obtención de una muestra al azar de 100 votantes por ejemplo.
La fracción de ellos que lo apoya puede usarse como una estimación de la
proporción total de votantes.
Este probablemente pertenece al área de ESTIMACIÓN
EL GRADO DE 
PRECISION DE LA 
ESTIMACIÓN
PERMITE ESTABLECER
UN CONOCIMIENTO 
DE LA DISTRIBUCIÓN 
MUESTRAL DE UNA 
PROPORCIÓN (P)
1) Un ama de casa está interesada en determinar si el detergente para pisos de la
marca A es más resistente al desgaste que el de la marca B.
Podría suponer que:
“LA MARCA A ES MEJOR QUE LA B”
y después de realizar las pruebas apropiadas, aceptar o rechazar esta hipótesis.
En este ejemplo NO se intenta estimar un parámetro SINO:
TOMAR UNA DECISION CORRECTA RESPECTO A LA HIPOTESIS PREESTABLECIDA
Una vez más DEPENDE de la teoría del muestreo para obtener alguna medida de
precisión para la decisión que se tome.
ESTIMACIÓN
MÉTODOS CLÁSICOS
 ESTIMACIÓN PUNTUAL
Una estimación puntual de un parámetro es simplemente una
selección UNICA del valor del parámetro.
 ESTIMACIÓN POR INTERVALO
Reconociendo a incertidumbre de que la muestra no es la población
estimaremos un intervalo dentro del cual se esperaría encontrar el
parámetro.
NOTACION:
Θ (Tita minúscula) Parámetro a estimar
 𝚯 (Tita mayúscula y el “^” indica estimación) Estadístico que
se usa para obtener una estimación puntual del
parámetro. Recibe el nombre de ESTIMADOR PUNTUAL
 𝛉 Estimación puntual de θ. Es un valor de 𝚯 para
una muestra seleccionada
EJEMPLO:
Para estimar el parámetro µ  θ se usa el estimador 
 X  Θ
Para una muestra x1, x2, …, xn se calcula:
 X = 
x1+ x2 + ….+ xn
𝑛
 𝛉  X será una estimación de µ
PARAMETROS ESTIMADOR ESTIMACION
Θ Θ (x1, ….. , xn) Var. 
Aleatoria
 𝛉 (x1, ….., xn)
E (X) ó (µX) Media Muestral
Var (x) ó (X) S
2 Varianza Muestral s2= 𝐯𝐚𝐫 (𝒙) 𝟐
E (X) ó (µX) 𝐗 Mediana Muestral 𝐱
P P=
𝑻
𝒏
proporción 
muestral
 p = 
𝐍° é𝐱𝐢𝐭𝐨𝐬 𝐝𝐞 𝐥𝐚 𝐦𝐮𝐞𝐬𝐭𝐫𝐚
𝐧
Números
estiman
Números
PROPIEDADES DE UN BUEN ESTIMADOR (que influyen en la
selección de un estimador sobre otro)
 INSESGAMIENTO
 VARIANZA MINIMA
ESTIMADORES INSESGADOS
Sería deseable que el estimador Θ tuviera un valor esperado
IGUAL al parámetro a estimar
Ej: µ : parámetro a estimar
µ: esperanza de la población
DEF:
 Θ es un estimador INSESGADO DE Θ sii E( Θ) = Θ
Si un estimador no es insesgado se conoce como sesgado
Θ - E( Θ)= SESGO
EJEMPLOS DE ESTIMADORES INSESGADOS
para E (X) encualquier población
para µ X de población N (µx , x
2)
𝒫 para p de una población Bernoulli con parámetro p
S2 para Var (x) en cualquier población
S2 para 2en una población N (µ , 2)
S2 para µ una población Poisson
para µ una población Poisson
VARIANZA DE UN ESTIMADOR PUNTUAL
Si Θ 1 y Θ 2 son dos estimadores insesgados del mismo
parámetro poblacional Θ, se elegirá al estimador cuya
distribución muestral tuviera la varianza más pequeña
Si Var( Θ1 ) < Var( Θ2)
Se afirma que “ Θ1 es un estimador más eficiente de Θ que
 Θ2”
DEF: Si se consideran TODOS los posibles estimadores
INSESGADOS de algún parámetro Θ, aquel con la varianza más
pequeña recibe el nombre de “ESTIMADOR MAS EFICIENTE
DE Θ”
Estimadores de Θ 
Θ1, Θ2 y Θ3
•INSESGADOS
•SESGADOS
¿Cuál estimador de Θ seleccionaría?
Var (Θ1) < Var (Θ1)
Para poblaciones normales N( µ, )
y 𝐗 son estimadores insesgados de la media poblacional µ
Para VAR ( ) < VAR ( 𝐗)
Luego aunque ambas estimaciones y 𝐗 serán iguales, en PROMEDIO a la media 
poblacional µ, probablemente está mas CERCA del valor de µ para una muestra 
dada y entonces
es más eficiente que 𝐗
ESTIMACIÓN POR INTERVALOS DE CONFIANZA
Una estimación puntual, con frecuencia es inadecuada como una
estimación de un parámetro, ya que raramente coincide con este. Un tipo
de estimación alternativo es una estimación por intervalo.
Una estimación por intervalo de un parámetro poblacional θ es un
intervalo de la forma
L ≤ θ ≤ U,
Donde L es el límite inferior y U es el límite superior.
L y U dependen del valor de 𝛉 del estadístico Θ para una muestra en
particular y también de la distribución muestral de Θ.
Esto es L = L( 𝛉 , Θ) y U = U ( 𝛉 , Θ)
Ya que muestras distintas generalmente dan valores distintos de Θ y, por
lo tanto de L y U, a partir de la distribución muestral de Θ, será posible
determinar L y U tales que P(L( Θ) ≤ θ ≤ U ( Θ)) sea igual a cualquier valor
fraccionario positivo menor que 1, que se desee especificar.
Si, por ejemplo P(L( 𝜣) ≤ θ ≤ U ( 𝜣)) = 1 -  para 0 <  < 1, entonces hay una
probabilidad dada 1 -  de seleccionar una muestra que produzca un
intervalo que contenga a θ.
El intervalo L ≤ θ ≤ U que se calcula a partir de la muestra seleccionada, se
denomina entonces INTERVALO DE CONFIANZA del (1-) 100%
La fracción de 1- recibe el nombre de COEFICIENTE DE CONFIANZA o
GRADO DE CONFIANZA.
L y U se llaman LIMITES DE CONFIANZA INFERIOR Y SUPERIOR
respectivamente.
Por ejemplo, si el coeficiente de confianza es 0.95 entonces a largo plazo
puede esperarse que el 95% de los límites de confianza calculados incluyan
el verdadero valor de θ.
Población X ˜ N ( µ,2) MEDIA µ DESCONOCIDA, VARIANZA 2 CONOCIDA
X1, X2, … Xn muestra aleatoria de tamaño n de esa población.
La media muestral es un estimador puntual razonable de la media 
desconocida µ 
Distribución muestral de ˜ N ( µ,
2
n
)
Luego Z = 
 x−µ

𝑛
˜ N (0, 1) Normal Estándar
INTERVALO DE CONFANZA PARA LA MEDIA, VARIANZA CONOCIDA
De la figura se observa que:
P( -Z /2 ≤ Z ≤ Z /2) = 1 - 
De modo que
P( -Z /2 ≤
 x−µ

𝑛
≤ Z /2) = 1 - 
La expresión puede escribirse como
P ( - Z /2

𝒏
≤ µ ≤ + Z /2 𝒏 ) = 1 - 
Si es la media muestral de una muestra aleatoria de tamaño n de una
población normal con varianza conocida 2 un intervalo de confianza del
100 ( 1 - )% para µ, está dado por:
- Z /2

𝒏 ≤ µ ≤ + Z /2

𝒏
L ≤ µ ≤ U
Donde Z /2 es el punto de la distribución normal estándar que deja a la
derecha un área de /2
DEFINICION:
Walpole (capítulo Estimación) dice: “Muestras diferentes darán valores diferentes de y
por lo tanto, producirán diferentes estimaciones del parámetro  como se observa en la
figura siguiente. Los puntos circulares al centro de cada intervalo indican la posición de la
estimación puntual para cada muestra aleatoria. Se ve que la mayoría de los intervalos
contiene , pero no en todos los casos. Note que todos los intervalos son del mismo ancho,
pues esto solo depende de la elección de z/2 un vez que se determina .
Cuanto más grande sea el valor z/2 que
elijamos, más anchos haremos los intervalos, y
podremos tener más confianza en que la
muestra particular que se seleccione producirá
un intervalo que contenga al parámetro
desconocido .”
Estimaciones por intervalos de  para muestras diferentes
Ejemplo (Berenson Levine- capítulo Estimación).-
Supongamos que en el proceso del llenado de cereales, que se desconocía la media poblacional  , pero que se
conocía la desviación estándar real de la población  y que era 15 gramos.
En primer lugar estimamos puntualmente a . Para ello se toma una muestra de n=25 cajas que se han llenado un
día determinado y usamos a como estimador puntual.
1-  /2 Z/2
0,80 0,200 0,100 1,282
0,85 0,150 0,075 1,440
0,90 0,100 0,050 1,645
0,95 0,050 0,025 1,960
0,98 0,025 0,013 2,240
0,99 0,010 0,005 2,576
Puesto que la media poblacional  (igual a 368) también está incluida dentro del intervalo, 
se concluye que esta afirmación sobre  es correcta.
Ahora, antes de pensar que siempre habráafirmaciones correctas sobre  a partir de la 
media muestral , estimamos un tercer ejemplo hipotético para una muestra que arrojó una 
media muestral igual a 360 gramos.
El intervalo desarrollado aquí sería 360 ± (1,96)(15)/ 25 o 360 ± 5,88 . En este caso el 
estimado de  es 354,12 ≤  ≤ 365,88
Obsérvese que este estimado no es una afirmación correcta puesto que  no está incluida en 
el intervalo desarrollado a partir de esta muestra. Por lo tanto, aquí se presenta un dilema. 
Para algunas muestras la estimación por intervalo de  será correcta, mientras que para otras 
no lo será. Además en la práctica sólo se selecciona una muestra y, puesto que no se conoce 
la media real de la población, no se puede determinar si esta afirmación particular es 
correcta.
Sin embargo, por el estudio de la distribución muestral de se sabe que el 95% de las 
medias muestrales se encuentran entre 362,12 y 373, 88 gramos ( ± z/2 ; 
𝜎
𝑛
). Por lo tanto, el 
95% de TODAS las medias muestrales incluirán la media poblacional dentro del intervalo 
desarrollado. En esto nos basamos al desarrollar el IC para  en la página anterior.
En general se puede interpretar que una estimación por intervalo de confianza del 95% 
significa que se tomaron TODAS las muestras posibles del mismo tamaño n, de las cuales el 
95% incluiría la media real  de la población en algún lugar dentro del intervalo alrededor de 
las medias muestrales, mientras que solo el 5% de ellas no lo harían.
De hecho, aunque solo se selecciona una muestra y se desconoce µ , nunca se sabe con 
seguridad si el intervalo específico obtenido incluye la media poblacional. No obstante se 
puede afirmar que se tiene una confianza del 95% de incluir la media de la población dentro 
del intervalo. En algunos casos se desearía un grado de seguridad más alto (como pudiera ser 
el 99%) de incluir la media de la población en el intervalo. En otros casos se podría aceptar 
una seguridad menor (un 90%) de estimar correctamente la media de la población.
Estimaciones por 
intervalos de 
confianza para 5 
muestras 
diferentes de 
tamaño n=25 
tomadas de una 
población con 
µx = 368 x = 15
MUESTRAS GRANDES (VARIANZA 2 CONOCIDA)
El intervalo de confianza (1) proporciona buenos resultados para muestras de tamaño n
≥30, sin importar la forma que tenga la población (población desconocida o no normal).
JUSTIFICACION
 x−µ

𝑛
˜ N (0, 1) APROXIMADAMENTE n GRANDE (Teor.Límite Central)
Además de los intervalos de confianza estudiados que son los intervalos “BILATERALES”
es posible determinar también intervalos de confianza “UNILATERALES” para los
parámetros.
Un I.C. Unilateral Inferior para un parámetro θ, estimará que θ es mayor o igual que algún
límite inferior L ≤ θ ó [L, ∞] Se obtiene de (1) haciendo U = + ∞ y reemplazando Z /2
por Z  - Z 

𝒏
≤ µ I. C. Unilateral Inferior del 100 ( 1- ) % para µ
Un I.C. Unilateral Superior µ ≤ + Z 

𝒏
I. C. Unilateral Superior del 100 ( 1- )
% para µ
La CONFIANZA se mide con una probabilidad que denotamos con 1- ( probabilidad de seleccionar una 
muestra que produzca un intervalo que contenga en su interior a ).
1- = 0,90 (un error de cada 10)
= 0,95 (5 errores de cada 100)
= 0,99 (un error de cada 100)
= 0,999 (un error de cada 1000)
Mientras más anchos son los intervalos, podremos tener más confianza de que la muestra particular que se 
seleccione producirá un intervalo que contenga al parámetro desconocido .”
La PRECISION se mide por la longitud (ancho) l del intervalo, para el caso analizado,
l = + z /2 - ( - z /2
𝝈
𝒏
) = 2 z /2
𝝈
𝒏
Mientras más grande sea el intervalo, será mayor la longitud y menor la precisión. 
Obviamente un intervalo más preciso será el que tenga la menor longitud. En el ejemplo del IC del 95% 
para el peso medio  de las cajas de cereal, obtenido para una muestra de tamaño n = 25 es l = 11,76 grs.
Si 1- (la confianza) aumenta , z/2 (número de la tabla) aumenta, luego ¡¡CONFIANZA Y PRECISION 
SON COMPETITIVOS!!
n también controla la precisión a través de 𝑛
Diseño a priori: Antes de sacar la muestra y hacer todo el análisis, si el cliente 
quiere el 95% de confianza y una precisión l determinada, entonces el 
tamaño de muestra lo determinamos haciendo
⇒ 𝑛 =
2∗𝑧𝛼
2
∗
𝑙
𝑛 =
2∗𝑧𝛼
2
∗
𝑙
2
En el ejemplo de las cajas de cereal, si el cliente quiere el 95% de confianza y 
una precisión dada por l = 5,
𝑛 =
2 ∗ 1,96 ∗ 15
5
2
= 138,2976 = 139
Se necesita una muestra de tamaño139 para tener la precisión pedida.
Conclusión: I es directamente proporcional a 
𝜎
𝑛
inversamente proporcional a 
𝑛 y directamente proporcional a 𝑧𝛼
2
ERROR EN LA ESTIMACIÓN
Tamaño error e = |µ- |
Si se utiliza como una estimación de µ podemos tener una confianza del (1-)
100% de que l error no excederá de z /2
𝝈
𝒏
.
¿Qué tan grande debe ser la muestra para asegurar que el error al estimar µ
será menor que una cantidad específica e?
Debemos elegir “n” de modo que de z /2
𝝈
𝒏
= e
Resolviendo la ecuación para n
(1) 𝑛 = 𝑧𝛼
2

𝑒
2
redondear al entero siguiente cuando se tiene n valor
fraccionario. Si se usa como una estimación de µ, podemos tener una confianza
del (1-) 100% que el error no excederá una cantidad específica e cuando el
tamaño de la muestra sea (1)
ES
TI
M
A
C
IÓ
N
 D
E 
µ
 =
 E
(X
)
2 = VAR (X)
ES CONOCIDA
a) X1, X2, … Xn muestra aleatoria de tamaño n de esa población de N ( µ , 
2)
µ = E(X) 2 = VAR (X)
I.C. para µ ± Z /2

𝒏
para cualquier n RESULTADO EXACTO
b) X1, X2, … Xn muestra aleatoria de cualquier población (no Normal)
b1) n grande ± Z /2

𝒏
resultado APROXIMADO justificado por el TLC
b2) n chico ? el TLC no se puede usar
2 = VAR (X)
NO ES CONOCIDA 
a) X1, X2, … Xn muestra aleatoria de tamaño n de esa población de N ( µ , 
2)
I.C. para µ ± t /2; n-1
S
𝒏
para cualquier n RESULTADO EXACTO
b) X1, X2, … Xn muestra aleatoria de cualquier población (desconocida o no
Normal)
b1) n grande ± Z /2
S
𝒏
resultado APROXIMADO justificado por el TLC
b2) n chico ?
NO SE CUMPLEN
LAS HIPOTESIS DEL
TLC (Por ejemplo la
varianza no es
finita)
a) X1, X2, … Xn muestra aleatoria de esa población
a1) n grande ?
a2) n chico ?
DEFINICION:
Si 𝑝 es la proporción de éxitos de una muestra de tamaño n de una
población Bernoulli, entonces un intervalo de confianza del 100 (1 - ) %
para la proporción p (de éxitos) de la población es
 𝑝 - 𝑧
2
 𝑝(1− 𝑝)
𝑛
≤ p ≤ 𝑝 + 𝑧
2
 𝑝(1− 𝑝)
𝑛
𝑧
2
punto de la Distribución Normal estándar que deja un área igual a

2
a la derecha
SUGERENCIA: Para una aproximación apropiada, requerir que
 n p ≥ 5
 y también n ( 1 - p ) ≥ 5
INTERVALO DE CONFIANZA PARA UN PROPORCION p
Queremos construir un IC para una proporción. La población puede
representarse por una v.a. Bernoulli X B(p). Se toma una muestra aleatoria
X1, X2, … Xn de esa población . Entonces la proporción muestral
𝒫s =
T
𝑛
=
𝑁° 𝑑𝑒 é𝑥𝑖𝑡𝑜𝑠 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎
𝑡𝑎𝑚𝑎ñ𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑢𝑒𝑠𝑡𝑟𝑎 =
Es un “estimador puntual” de la proporción p ¿por qué?. La distribución
muestral de 𝒫 es aproximadamente normal si p no está muy próximo a 0 o
1, y si n es relativamente grande. Por lo tanto
Z =
𝒫s−𝑝
p (1−p)
𝑛
˜ N (0, 1) APROXIMADAMENTE
Recordar 
E(𝒫s) = p
Var (𝒫s) =
p(1−p)
n
error estándar de 𝒫s 
p (1−p)
𝑛
Para construir un IC para p, nótese que
P(- 𝑧
2
≤ Z ≤ +𝑧
2
) = 1 - 
P(𝒫s - 𝑧
2
p(1−p)
𝑛
≤ p ≤ p + 𝑧
2
p(1−p)
𝑛
= 1 - 
error estándar de 𝒫 (estimador) depende de p
ESTIMACION DE LA VARIANZA
OBJETIVO: Estimar un intervalo de confianza para la varianza 2 (desconocida) de una
población Normal.Si X1, X2, … Xn es una muestra aleatoria de tamaño n tomada de esa
población NORMAL y S2 es la varianza muestral, entonces S2 es un estimador puntual
razonable de 2 ¿Por qué?
Usamos S2 para encontrar un IC para 2. Si la población es NORMAL vimos que
𝜒 2 =
(𝑛−1)𝑆2
𝜎2
Tiene Distribución CHI-CUADRADOcon n-1 grados de libertad
P (𝜒
2
1-/2; n-1 ≤ 𝜒
2 ≤ 𝜒
2
/2; n-1 ) = 1- 
P (𝜒
2
1-/2; n-1 ≤
(𝑛−1)𝑆2
𝜎2
≤ 𝜒
2
/2; n-1 ) = 1- 
P (
(𝑛−1)𝑆2
𝜒
2

/
2
;
n
−
1
≤ 𝜎2 ≤
(𝑛−1)𝑆2
𝜒
2
1
−

/
2
;
n
−
1
) = 1- 
DEFINICION: Si S2 es la varianza muestral de una muestra aleatoria de
tamaño n de una población normal, un IC del 100 (1 - ) % para 𝜎2 es:
(𝑛−1)𝑆2
𝜒
2
/2; n−1
≤ 𝜎2 ≤
(𝑛−1)𝑆2
𝜒
2
1−/2; n−1
Donde 𝜒2
2
; n−1
y 𝜒2
1−

2
; n−1
son valores de 𝜒
2
con =n-1 grados de libertad, con áreas
de

2
y 1 −

2
, respectivamente, a la derecha
DOS MUESTRAS
ESTIMACIÓN DE LA DIFERENCIA ENTRE MAS MEDIAS DE 
DOS POBLACIONES: MUESTRAS INDEPENDIENTES
Se tienen DOS poblaciones X e Y
X tienen media µ1 y varianza 1
2
Y tienen media µ2 y varianza 2
2
Estimados Puntual de µ1 - µ2 lo da el estadístico X − Y
Procedimiento Para obtener una ESTIMACIÓN PUNTUAL de
µ1 - µ2:
 Seleccionar dos muestras aleatorias independientes, una
de cada población de tamaños n1 y n2.
 Calcular x − y (diferencia entre medias muestrales)
 X tiene distribución 
aproximadamente normal con 
media µ1 y varianza 
1𝟐
𝒏𝟏
La aproximación mejora 
conforme n1 se incrementa
 Y tiene distribución 
aproximadamente normal con 
media µ2 y varianza 
2𝟐
𝒏𝟐La 
aproximación mejora 
conforme n2 se incrementa
Justificado por el TLC
CONSIDERACION DE LA DISTRIBUCION MUESTRAL DE X- Y
Bajo las consideraciones anteriores () X- Y tiene distribución 
Aproximadamente normal. Si n1 y n2 son grandes y X- Y tienen 
distribución exactamente normal si X e Y con normales ¿por qué?
E ( X − Y) = E( X) - E( Y) = µ1 - µ2 (1)
VAR ( X − Y) = VAR( X) + VAR( Y) = 1
𝟐
𝒏𝟏 + 
2𝟐
𝒏𝟐 (2)
 X − Y ˜ N (µ1 - µ2 ; 
1𝟐
𝒏𝟏 + 
2𝟐
𝒏𝟐 )
Z = 
 X− Y−(µ1−µ2)
 1
𝟐
𝒏𝟏 +
 2
𝟐
𝒏𝟐
˜ N (0, 1)
 Si n1 y n2 con mayores o iguales a 30, la aproximación normal para X − Y
es MUY BUENA, sin importar las formas de las dos poblaciones. Sin
embargo, aun cuando n1 y n2 sea menores que 30 la aproximación
normal es razonablemente buena excepto cuando las poblaciones no son
definitivamente normales.
 Si AMBAS poblaciones son NORMALES entonces X − Y tiene una
distribución normal SIN IMPORTAR que valores tengan n1 y n2.
PROPIEDADES DEL ESTIMADOR 𝐗 − 𝐘
 ¿Es un estimador insesgado de µ1 - µ2? si por (1)
 Puede demostrarse que VAR ( 𝐗 − 𝐘) (2) es la más pequeña entre las de todos
los estimadores INSESGADOS, es decir 𝐗 − 𝐘 es estimador más eficiente de µ1 -
µ2
Con una probabilidad de 1 -  se puede afirmar que la variable normal estándar (1)
caerá entre −𝑍
2
y 𝑍
2
P( −𝑍
2
≤ Z ≤ 𝑍
2
) = 1 - 
P( −𝑍
2
≤
 X− Y−(µ1−µ2)
 1
𝟐
𝒏𝟏 +
 2
𝟐
𝒏𝟐
≤ 𝑍
2
) = 1 - 
P( 𝐗 − 𝐘 − 𝑍
2
1𝟐
𝒏𝟏
+
2𝟐
𝒏𝟐
≤ µ1 − µ2 ≤ 𝐗 − 𝐘 + 𝑍
2
1𝟐
𝒏𝟏
+
2𝟐
𝒏𝟐
)= 1 - 
DEFINICION: Intervalo de confianza para la diferencia de dos medias, varianzas
conocidas.
Si 𝐗 e 𝐘 son las medias de dos muestras aleatorias independientes de tamaños
n1 y n2 tomadas de poblaciones que tienen varianzas conocidas 1
2 y 2
2,
respectivamente, entonces un intervalo de confianza del 100 ( 1-  )% para
µ1 − µ2 es:
 𝐗− 𝐘− 𝑍
2
1𝟐
𝒏𝟏
+
2𝟐
𝒏𝟐
≤ µ1 − µ2 ≤ 𝐗− 𝐘+ 𝑍
2
1𝟐
𝒏𝟏
+
2𝟐
𝒏𝟐
Donde 𝑍
2
es el valor de la distribución
estándar que deja la derecha un área de

2
.
El grado de confianza 1 -  es EXACTO cuando las poblaciones son normales. Para las
poblaciones que no lo son, el nivel de confianza es aproximadamente válido para
muestras de tamaño razonable.
El procedimiento para estimar “la diferencia entre dos medias” es aplicable SI SE CONOCEN
1
2 y 2
2.
 Si 1
2 y 2
2 no se conocen y las distribuciones involucradas son aproximadamente
normales, debe considerarse la distribución t (como en el caso de una muestra)
 Si 1
2 y 2
2 no se conocen y no se está dispuesto a suponer normalidad de las
poblaciones, muestras GRANDES (n1 ≥30 y n2≥30) permitirán el uso de S1 y S2 en lugar
de 1
2 y 2
2 respectivamente, entendiendo que S1 ≈1
2 y S2 ≈2
2
 El IC del 100 ( 1 - ) % para µ1 − µ2 será
 𝐗 − 𝐘 − 𝑍
2
S1
𝟐
𝒏𝟏
+
S2
𝟐
𝒏𝟐
≤ µ1 − µ2 ≤ 𝐗 − 𝐘 + 𝑍
2
S1
𝟐
𝒏𝟏
+
S2
𝟐
𝒏𝟐
Un vez más el intervalo de confianza es una aproximación.
Interpretación del intervalo de confianza
+ ≤ µ𝟏 − µ𝟐 ≤ +
Significa que µ1 > µ2
- ≤ µ𝟏 − µ𝟐 ≤ +
0 ∈ al intervalo que µ1≊µ2
- ≤ µ𝟏 − µ𝟐 ≤ -
Significa que µ2 > µ1
Caso 2 INTERVALO DE CONFIANZA PARA µ𝟏 − µ𝟐 DE POBLACIONES NORMALES –
VARIANZAS DESCONOCIDAS
Consideremos dos poblaciones con medias (µ1 − µ2 ) y varianzas (1
2 y 2
2 )
desconocidas.
CASO 2.1 Consideremos también que es razonable suponer que 1
2 = 2
2 = 2
Se desea encontrar un IC del 100 (1-)% para µ1 − µ2
Se forman muestras aleatorias de tamaño n1 y n2 de las dos poblaciones
representadas por X e Y respectivamente; sean x e y las medias muestrales, y S1
2 y
S2
2 las varianzas muestrales, vimos que
Z = 
 X− Y−(µ1−µ2)
 1
𝟐
𝒏𝟏 +
 2
𝟐
𝒏𝟐
˜ N (0, 1)
SI 1
2 = 2
2 = 2 , se obtiene una normal estándar de la forma
Z = 
 X− Y−(µ1−µ2)
1𝟐 ( 1 𝒏𝟏 + 
1
𝒏𝟐)
= 
 𝐗− 𝐘−(µ𝟏−µ𝟐)
 ( 𝟏 𝒏𝟏 + 
𝟏
𝒏𝟐)
Puesto que S1
2 y S2
2 son estimadores de 2 (varianza común)
entonces puede obtenerse un estimador combinado de 2 ,
mejor que S1
2 y S2
2 por separado.
Este estimador es Sp2
Sp2 = 
𝑛1−1 S1
𝟐 + 𝑛2−1 S2
𝟐
𝑛1+𝑛2−2
Para desarrollar el IC para µ1 − µ2, nótese que
t =
 X− Y−(µ1−µ2)
𝑆𝑝 ( 1 𝒏𝟏 + 
1
𝒏𝟐)
tiene distribución “t” con n1+n2-2 grados
de libertad
P( −𝑡 
2
;𝑛1+𝑛2−2
≤ t ≤ 𝑡 
2
;𝑛1+𝑛2−2
) = 1 - 
P( −𝑡 
2
≤
 X− Y−(µ1−µ2)
𝑆𝑝 ( 1 𝒏𝟏 + 
1
𝒏𝟐)
≤ 𝑡 
2
) = 1 - 
P( 𝐗 − 𝐘 − 𝑡
2
𝑆𝑝
1
𝒏𝟏
+
1
𝒏𝟐
≤ µ1 − µ2 ≤ 𝐗 − 𝐘 + 𝑡
2
𝑆𝑝
1
𝒏𝟏
+
1
𝒏𝟐
) = 1-
DEFINICION: Si x, y, S1
2 , y S2
2 son las medias y las varianzas muestrales de
dos muestras aleatorias de tamaño n1 y n2 respectivamente, tomadas de dos
poblaciones normales e independientes, con varianzas desconocidas pero
iguales, entonces un IC del 100 (1-) % para µ1 − µ2 es:
 𝐱 − 𝐲 − 𝑡
2
𝑆𝑝
1
𝒏𝟏
+
1
𝒏𝟐
≤ µ1 − µ2 ≤ 𝐱 − 𝐲 + 𝑡
2
𝑆𝑝
1
𝒏𝟏
+
1
𝒏𝟐
En donde:
Sp=
𝑛1−1 S1
𝟐 + 𝑛2−1 S2
𝟐
𝑛1+𝑛2−2
estimador combinado de 
𝑡
2
valor de la distribución de t con n1 + n2 -2 GL con un área de

2
a la
derecha
NOTA: El procedimiento para determinar los IC para µ1 − µ2 con 1
2 =
2
2 = 2 desconocidas requiere la SUPOSICION que las POBLACIONES
SEAN NORMALES
Desviaciones ligeras de la suposición de varianzas iguales o de la
normalidad no alteran el grado de confianza del intervalo.
Si las varianzas poblacionales son considerablemente diferentes, AUN se
obtienen resultados razonables CUANDO las poblaciones son
NORMALES, SIEMPRE QUE n1 = n2.
CASO 2.2 Consideremos el problema de encontrar una estimación de µ1 − µ2
por un I.C. cuando las varianzas poblacionales desconocidas no parecen ser
iguales.
Estadístico más frecuente que se usa es
2 𝑇′ =
 𝑋− 𝑌−(µ1−µ2 )
𝑆
12
𝑛1
+
𝑆
22
𝑛2
Tiene aproximadamente distribución t con  grados 
de libertad.
=
𝑆12
𝑛1
+
𝑆22
𝑛2
2
𝑆12
𝑛1
2
𝑛1 − 1 +
𝑆22
𝑛1
2
𝑛2 − 1
(3)   se redondea al entero más cercano
Por lo tanto P( −𝑡𝛼
2,
≤ 𝑇′ ≤ −𝑡𝛼
2,
) ≅ 1 − 𝛼
Reemplazando T’ por (2) y despejando µ1 − µ2en las desigualdades se obtiene
DEFINICION
Si x, y, S1
2 , y S2
2 son las medias y las varianzas muestrales de dos muestras
aleatorias de tamaño n1 y n2 respectivamente, tomadas de dos poblaciones
normales e independientes, con varianzas desconocidas y distintas, entonces
un Intervalo de Confianza del 100 (1-) % para µ1 − µ2 es:
ESTIMACION DE LA RAZON DE DOS VARIANZAS
Supongamos que se tienen dos poblaciones NORMALES e INDEPENDIENTES (X
e Y), con varianzas desconocidas 1
2 = 2
2, respectivamente.
Se dispone de dos muestras aleatorias detamaños n1 = n2, respectivamente, de
esas poblaciones.
Sean S1
2 , y S2
2 las dos varianzas muestrales
ESTIMADOR PUNTUAL DE
𝜎1
2
𝜎2
2 :
𝑠1
2
𝑠2
2
Para hallar un IC para
𝜎1
2
𝜎2
2utilizamos el estadístico 𝐹 =
𝑠1
2
𝜎1
2
𝑠2
2
𝜎2
2
tiene una Distribución
F con n1 -1= n2-1 Grados de libertad
𝜒1
2 =
𝑛1−1 𝑆1
2
𝜎1
2 tiene 
distribución CHI 
CUADRADO con 𝑛1 − 1
Grados de libertad
𝜒2
2 =
𝑛2−1 𝑆2
2
𝜎2
2 tiene 
distribución CHI 
CUADRADO con 𝑛2 − 1
Grados de libertad
¿Por qué?
Luego
𝜒1
2
𝑛1−1
𝜒2
2
𝑛2−1
tiene Distribución F con 𝑛1 − 1 y 𝑛2 − 1 GL
𝑛1−1 𝑆1
2
𝜎1
2 𝑛1−1
𝑛2−1 𝑆2
2
𝜎2
2 𝑛2−1
=
𝑠1
2
𝜎1
2
𝑠2
2
𝜎2
2
“
Luego se puede escribir
P ( 𝐹1−𝛼
2
;1;2
≤ F ≤𝐹𝛼
2
;1;2
) = 1 -  1 = 𝑛1 − 1 2 = 𝑛2 − 1
P ( 𝐹1−𝛼
2
;1;2
≤
𝑠1
2
𝜎1
2
𝑠2
2
𝜎2
2
≤𝐹𝛼
2
;1;2
) = 1 - 
P (
𝑠1
2
𝑠2
2
1
𝐹𝛼
2
;1;2
≤
𝜎1
2
𝜎2
2 ≤
𝑠1
2
𝑠2
2
1
𝐹
1−
𝛼
2
;1;2
) = 1 - 
DEFINICION
Sean S1
2 , y S2
2 las dos varianzas muestrales de muestras aleatorias de
tamaños n1 = n2, respectivamente, de poblaciones NORMALES e
INDEPENDIENTES, entonces un IC del 100 (1- )% para
𝜎1
2
𝜎2
2 es
𝑠1
2
𝑠2
2
1
𝐹𝛼
2
; 𝑛1−1;𝑛2−1
≤
𝜎1
2
𝜎2
2 ≤
𝑠1
2
𝑠2
2 𝐹𝛼
2
; 𝑛2−1;𝑛1−1
Recordar que 𝐹
1−
𝛼
2
;1;2
=
1
𝐹𝛼
2;2;1
Interpretación: si el 1 está contenido en el intervalo, las varianzas son iguales
Problema: Un cierto estimulante va a ser usado para comprobar sus efectos en la presión sanguínea. Se 
midió la presión sanguínea a 12 hombres, antes y después del estimulante. Los resultados se presentan en 
la tabla siguiente.
¿Hay diferencias entre la presión antes y después de tomar el estimulante?