Ejercicios Exámen 1S2019 - Ariadna Deseusa Morales

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Ejercicios 
 
Pregunta 1: 
Para cada una de las afirmaciones siguientes indique si es verdadera o falsa. En cada caso 
justifique su elección. Responda en el cuadernillo. 
a) (1 punto) Se toma una muestra de 25 vasos llenados con café por una máquina de la que 
se sabe que llena los vasos con un contenido cuya desviación estándar es de 3 cc. Con 
probabilidad 0,95 el margen de error en la estimación del verdadero valor promedio del 
contenido entregado por vaso es 1,176 cc. 
Verdadero 
2
3
1,96 1,176
25
e z
n


     
b) (1 punto) Para estimar el gasto mensual promedio en recreación de los hogares de la 
comuna, se tomó una muestra de 120 hogares. Con la información obtenida de la muestra 
se construyó un intervalo de confianza 0,95 para dicho parámetro. Si con los datos de esa 
muestra se construye un intervalo de confianza 0,90 para el mismo parámetro, este 
intervalo tendrá menor longitud que el anterior. 
Verdadero: a mayor confianza, mayor longitud del intervalo 
c) (1 punto) Al testear la hipótesis 0 : 0, 28H p  frente a la alternativa 
1 : 0,28H p  con nivel de significación 0,05, la probabilidad de cometer error de tipo II 
cuando 0,3p  resultó ser 0,27. Entonces la probabilidad de cometer error de tipo II 
cuando 0,33p  debe ser mayor que 0,27 
Falso. P(error II/p=0,3)=P(no rechazar Ho/p=0,3) > P(no rechazar Ho/p=0,33) 
 
d) (1 punto) Un investigador social cree que los trabajadores que viven en la comuna A 
tardan en promedio sobre 25 minutos más que los trabajadores de la comuna B en llegar a 
su lugar de trabajo. Las hipótesis de interés para este investigador son: 
0 : 25
: 25
A B
a A B
H X X
H X X
 
 
 
Falso. Las hipótesis deben plantearse para parámetros, no para valores muestrales 
e) (1 punto) La curva de la potencia de la prueba de 
0 : 30 frente a : 30aH H   puede tener la forma siguiente: 
 
Verdadero. La potencia de una prueba crece para valores del parámetro en Ha más lejanos 
de Ho 
 
f) (1 punto) Multitiendas Paraíso piensa cambiar el diseño de su página web si el nuevo 
diseño que le propone su asesor de marketing resulta más atrayente para los jóvenes. Si en 
su decisión la multitienda comete error de tipo I cambiará el diseño por uno que resultará 
menos atrayente para los jóvenes. 
Verdadero. Ho: el diseño nuevo es igual o menos atrayente que el antiguo: Ha: el diseño 
nuevo es más atrayente. 
Se comete error de tipo I si se rechaza Ho siendo verdadera, es decir, si adopta el nuevo 
diseño y éste no es más atrayente para los jóvenes 
Pregunta 2: 
Antes de su reestructuración, los clientes de una multitendia habían evaluado la calidad del 
servicio que recibían en ella con nota promedio 5,09 (en una escala de 1=pésimo a 
7=excelente). Para verificar si esta nota había mejorado con la reestructuración, se tomó 
una muestra de 126 clientes, los que evaluaron el servicio actual con nota 5,32 y desviación 
estándar 1,28. 
a) (3 puntos) Con nivel de significación 0,05, hay evidencia de que la reestructuración 
favoreció la calidad del servicio para los clientes? 
b) (3 puntos) Calcule la probabilidad de haber cometido error de tipo II al realizar el test en 
a), si en realidad la nota de la calidad del servicio subió a 5,25. Comente su valor. 
 
Solución: 
a) H0: µ=5,09 
H1: µ>5,09 
Se rechaza H0 si zobt>z1-α zobt= 017,2
126
28,1
09,532,50 



n
S
X 
 
 z1-α=z0,95=1,64 por lo que sí se rechaza H0, es decir sí podemos 
 afirmar que la reestructuración favoreció la calidad del servicio. 
 
b) P(error II)=P(no rechazar H0/H0 falsa) 
Se rechaza H0 si zobt>z1-α, es decir si 64,10 

n
S
X 
 es decir si 
35,5
126
28,1
64,109,564,10 
n
S
X  
P(error II)=P(no rechazar H0/H0 falsa)= 
P( /35,5X 8106,0)88,0()
126
28,1
25,535,5
()25,5 

 ZPZP 
 Es decir, hay una alta probabilidad de que si la nota que se pone a la calidad del 
servicio actual es 5,25, este test no lo detecte. 
 
Pregunta 3: 
Se cree que el número promedio de respuestas correctas en cierta prueba de aptitud verbal 
es superior en las mujeres que en los hombres por más de 10 puntos. Muestras aleatorias 
para ambos sexos arrojaron los siguientes resultados: 
Mujeres Hombres 
n=125 n=100 
X =480 460X 
S = 60 S = 52 
 
a) (2,5 puntos) Si se muestrearon dos poblaciones independientes, ¿se encuentra apoyada 
la creencia por la evidencia muestral? Realice el correspondiente test usando valor 
crítico y =0,05. 
b) (1,5 punto) ¿Con qué nivel de significación podría rechazarse la hipótesis nula en a)? 
c) (2 puntos) ¿Cuál es la potencia del test anterior para una diferencia de 15 puntos? 
 
Solución: 
H0: 10 HM  
H1: 10 HM  
Se rechaza H0 si  1zzobt 
 
H
H
M
M
HMHM
obt
n
S
n
S
XX
z
22
0)(




=
100
52
125
60
10460480
22


=1,34 
 64,195,01  zz  , luego, no se rechaza H0, es decir, no hay 
evidencia de que las mujeres se saquen en promedio más de 10 puntos que los hombres. 
b) Valor p= P(Z> obtz )=P(Z>1,34)=0,0901 Es el menor nivel de significación con el cual 
podría rechazarse H0. 
c) K( )15 =P(rech H0/ )15 HM  =P(  64,1HM XX
100
52
125
60 22
 +10 =22,25) 
=P(Z> 166,08340,01)97,0(1)
84,55
1525,22


ZP 
 
Pregunta 4: 
Un comentarista político en un programa de televisión afirmó que el partido UCH obtendrá 
el mismo porcentaje de votos en las “dos ciudades A y B”. Con el fin de verificar tal 
afirmación el conductor del programa preguntó al comentarista si tenía alguna base que 
sustentara tal afirmación, a lo cual el comentarista comentó: 
“Se hizo un sondeo sobre la tendencia de voto de los residentes de ambas ciudades, 
obteniéndose los siguientes resultados: 
800.1850950.
015.1490525
785360425
VotosTotal
noUCH
UCH
TotalBA
Votos
Ciudad
 
Usted que casualmente está viendo este programa y que ya estudió Inferencia estadística, 
¿Qué conclusiones puede derivar de ello? 
a) (0,5 puntos) Señale las hipótesis 
b) (3,5 puntos) Realice la prueba usando el valor-p y el método del valor crítico. 
c) (2 puntos) Calcule un intervalo de confianza para la diferencia de proporciones y 
concluya. 
 Para todos sus cálculos use nivel de significación 5% 
Solución: 
a) H0: BA pp  
 H1: BA pp  
b) 45,0
950
425
Ap 
 42,0
850
360
Bp 
304,1
023,0
03,0
850
)42,01(42,0
950
)45,01(45,0
42,045,0
0 




Z 
Regla de decisión: 
2
1
0 

 ZZ 
96,1975,0 Z 
Como 3,28 > 1,96 se rechaza la hipótesis nula, es decir, con 95% de confianza se concluye 
que el partido UCH no obtendrá el mismo porcentaje de votos en las dos ciudades A y B. 
 
  1936,0)9032,01(*2)304,1(12)(2 0  ZPZZPpvalor 
Como 0,1936 > 0,05 no se rechaza Ho, el partido político obtendrá el mismo porcentaje en 
ambas ciudades. 
 
c)  0751,0;0151,00451,003,0023,096,142,045,0  BA pp 
Como los límites del intervalo incluyen al 0, se concluye que las proporciones no son 
distintas. 
 
Pregunta 5 
Una cadena de gimnasios contempla comprar la dieta ATKINS, pero invertirá en ella sólo 
si hay fuerte evidencia que la dieta reduce el peso medio poblacional en más de 18 Kg. El 
dueño de la licencia permitió que la cadena pruebe la eficacia de la dieta en un grupo de 
personas con sobrepeso elegidas aleatoriamente durante 6 meses. Usted está a cargo de la 
evaluación de la dieta 
a) (0,5 pts) Defina el parámetro de interés en esta pregunta. 
R: 
Parámetro: µ= reducción promedio de peso en la población con la dieta Atkins. 
 
b) (1,0 pts) Usted desea un margen de error de un kg en la estimación de la media de 
reducción con la dieta Atkins y un nivel de confianza 95%, use σ=3,8kg, ¿Qué tamaño 
debe tenerla muestra? 
R: 
2
2 2
1,0
1,96 3,8
55,47
1
Z
n
n



 
 
Se necesita una muestra mayor o igual a 56 
 
c) (1,5 pts) Usted reclutó aleatoriamente una muestra de 35 personas con sobrepeso y 
realizó una prueba de hipótesis con error de tipo I del 5%, y obtuvo un Valor-p = 0,04. 
Calcule el valor de la media muestral. 
R: 
 
0 : 18
: 18a
H
H




 
 
0
0,04
18 3,8
( ) 0,04 1,75 18 1,75 19,12
3,8 35
35
19,12
bs
Valor p
x
P Z Z x
x
 

       
 
 
d) (1,0 pts) Si la dieta reduce efectivamente el peso en un promedio de 20 Kg en 6 meses. 
¿cuál es la probabilidad que la prueba indique no comprar la Licencia? 
Rechazamos Ho si 
18
1,65 19,06
3,8
35
x
x

   
( 19,06 / 20)
( 1, 46) 0,0721
P x
P Z
 

  
    
 
Finalmente la cadena decide comparar la dieta Atkins con una dieta convencional, investiga 
y descubre que una universidad había hecho el trabajo por ellos. En este experimento, los 
científicos seleccionaron al azar una muestra de 62 sujetos adultos obesos de la población 
local. De estos, los investigadores asignaron aleatoriamente 32 a la dieta Atkin y 30 a la 
dieta convencional. 
Las hipótesis planteadas fueron: 
0 : 4A CH    versus : 4a A CH    
Dónde: 
A  reducción esperada de peso con la dieta Atkins, 
C  reducción esperada de peso con la dieta convencional 
e) (0,5 pts) Explique en el contexto del problema el significado de estas hipótesis. 
R: 
Los científicos buscan probar que la diferencia de reducción de peso entre la dieta 
convencional y la dieta Atkins es más de 4 Kg promedio, en favor de la dieta Atkins 
 
f) (1,5 pts) Los resultados muestrales fueron los siguientes: 
 
 
Tamaño muestral Media Desv.Est. 
Atkins 32 21,4kg 12,2kg 
Convencional 30 10kg 5kg 
 
A la luz de estos resultados muestrales, ¿a qué conclusión debieran llegar los científicos, 
con un 2,5% de significancia? Suponga que las varianzas en ambos grupos son iguales 
pero desconocidas. 
En esta pregunta los tamaños muestrales No son grandes. 
 
R: 
2 2
2 31(12,2) 29(5) 88,984
60
pS

  
21,4 10 4 7,4 7,4
2,39
3,0988,984 88,984 2,78 2,97
32 30
t
 
   


 
 
 
Rechazamos si 60 60,0,01 2,00t t  
Por lo tanto los científicos debieran concluir que efectivamente la dieta Atkins tiene 
mejores resultados y reduce el peso en más de 4 Kg promedio que una dieta 
convencional, con una significancia del 2,5% 
 
Pregunta 6 
Una prueba de un software que filtra spam examinó una muestra de n=100 mensajes. 
Los productores de este, consideran que el software sería un éxito si este reduce el nivel 
de spam a menos del 20%. 
 
a) (0,5 pts) Plantee las hipótesis apropiadas y explíquelas en el contexto del problema. 
b) (1,5 pts) Si en la prueba el software reduce el filtrado a 15% calcule para que 
valores de α se rechazaría la hipótesis planteada en a). 
c) (1,0 pts) Supongamos que en lugar de utilizar los 100 mensajes, la prueba fuera 
utilizar 400 mensajes. Con el fin de obtener un valor-p de 0,05 ¿cuál debe ser el 
porcentaje de spam filtrados por este software? 
d) (1,5 pts) Con n=100 como tamaño de muestra y α =0,05 ,que tan abajo debe estar p 
de un p=0,2 para rechazar H0 compárelo con un p en una muestra de n=400 
(siempre con un α =0,05), explique que se concluye 
e) (1,5 pts) Si, de hecho, 0,15p  ¿cuál es la probabilidad de que la prueba con n = 
400 rechace correctamente que p es mayor o igual a 0,2?
 
 
 R: 
a) 
0 : 0, 2
: 0, 2a
H p
H p

 
0H : El nuevo software no cumple con lo esperado, no tiene éxito 
aH : El nuevo software es exitoso 
 
b) 
0,15 0,2 0,05
1,25
0,040,2*0,8
100
obsz
 
   
 P(Z< -1,25)=0,1056
 
c) 
0,20 0,2
1,96 0,2 1,96(0,02) 0,1608
0,020,2*0,8
400
p p
Z p
 
       
 
d) Con n=400 necesito una diferencia de 4% (ejercicio anterior) 
0,2 0,2
1,96 0,1216
0,040,2*0,8
100
p p
Z p
 
     
 
Con n =100 necesito una diferencia de aproximadamente 8% 
Con una muestra mayor no necesito alejarme tanto del p =0,2 como con una 
muestra menor necesito una mayor diferencia para poder aceptar la hipótesis de 
que p < 0,2. 
 
e) P(rechazar acertadamente)= 1- β 
 
0,1608 0,15 0,0108
( 0,1608 / 0,15) ( 0,603) 0,26
0,01790,15*0,85
400
P p p P Z P Z P Z
 
   
           
   
 
 
 
 Por lo tanto la probabilidad de rechazar acertadamente sube a 74% 
 
 
 
Pregunta 7 
 
i) En una barraca se vende fierro surcado de 35mm de diámetro, según las 
especificaciones del fabricante, lo cual debe cumplirse en forma precisa para cumplir 
con las especificaciones constructivas en obras civiles. Luego de analizar una muestra 
de 61 piezas de fierro surcado se determinó que el diámetro medio es de 35,05mm 
con una desviación estándar de 0,1224 milímetros. 
 
a) (1,5 pts) Realice un contraste de hipótesis con el método del valor crítico que 
permita determinar si se cumplen las especificaciones del fabricante. 
b) (1,5 pts) Suponga que busca probar la hipótesis Ho 
c =35 ( c =promedio del 
diámetro), con un nivel de significancia del 5%, que tamaño de muestra necesita 
si el promedio del diámetro es en realidad µ = 35,1 con una probabilidad de 
aceptar la hipótesis nula cuando esta es falsa de 8%. Suponga que la desviación 
estándar poblacional de los diámetros es 0,1. 
 
 Solución: 
 
a) 
35:0 H vs 35:0 H 
 Varianza desconocida y se asume normalidad 
 19,3
1224,0
3905,0
61
1224,0
3505,35
0 

t 
 R.C. Rechaza si 
)1(
2
1
0


n
tt  
 
9983,1)63(975,0 t Como 3,27 > 1,9983 se rechaza la hipótesis nula, 
con 95% de 
 confianza se estima que el diámetro medio no es 35. 
 
 
 
Otra alternativa: 
 
005,0)0025,0(2*
002,0)001,0(2*
)19,3(2


 tPpvalor
 
 
Luego 005,0002,0  pvalor
 
 
Como es menor que 0,05 se rechaza la hipótesis nula. 
 
 
b) 
 
 
    
113669,1135
1,3535
0,1)41,196,1(
2
22
2
0
2
2















a
ZZ
n


 
 
 
ii) Se desea estudiar el efecto de una fábrica sobre los peces que viven en el río que fluye 
junto a la fábrica. La variable de interés es el nivel de mercurio por gramo de peso 
corporal por pez (Hg/g). Se capturan 10 peces en una zona del río ubicada 5 
kilómetros antes de la industria, observándose un nivel de mercurio medio de 0,94 
con una varianza de 1,1. Otros 15 peces fueron capturados en una zona del río 
ubicada a 7 kilómetros después de la fábrica obteniendo un nivel de mercurio medio 
de 1,65 con una varianza de 0,9. 
 
a) (1,5 pts) Probar la hipótesis nula de que los promedios poblaciones son iguales 
contra la alternativa de que los peces más cercanos tienen mayor nivel de 
mercurio. Escriba las hipótesis, use %5 y calcule valor-p. 
b) (1,5 prts) Mediante un intervalo de confianza del 95% indique si hay diferencias 
entre las medias de los niveles de mercurio. 
 
 Solución: 
a) 
 
 
mercuriodenivelmayortienencercanosmaspecesLosH
lidadresponsabitienenofabricaLaH
........,....................:
...................:
211
210




 
 
 
722,1
4123,0
71,0
15
9,0
10
1,1
65,194,0
0 




t
 
 
 1804,18
115
15
9,0
110
10
1,1
15
9,0
10
1,122
2























gl 
 
 
 
05,0*
)722,1(


pvalor
tPpvalor
 
 
 Por lo tanto no hay evidencia para rechazar la hipótesis nula, la fábrica no tiene 
responsabilidad. 
 
 
 
b) 
 15
9,0
10
1,1
101,265,194,0
15
9,0
10
1,1
101,265,194,0 21   
 
 
 156,0576,1 21   
 
Como el intervalo incluye el cero, se concluye al 95% de confianza que las medias son 
iguales, la fábrica no tiene responsabilidad.