Espacios-de-morfismos-de-un-espacio-complejo-proyectivo-a-una-variedad-torica

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO
Instituto de Matemáticas
Espacios de Morfismos de un Espacio
Complejo Proyectivo a una Variedad Tórica
Tesis que para obtener el t́ıtulo de
Doctor en Ciencias
Presenta
Eréndira Mungúıa Villanueva.
Dr. Jacob Mostovoy Director de Tesis
Dr. Daniel Juan Pineda Sinodal
Dr. Ernesto Lupercio Lara Sinodal
Dr. Jawad Snoussi Sinodal
Dr. Santiago Alberto Verjovsky Solá Sinodal
 
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ii
Índice general
Agradecimientos V
Introducción VII
1. VARIEDADES TÓRICAS. 1
1.1. Primeras definiciones. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1.1. Conos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.1.2. Variedades tóricas afines. . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2. Abanicos y variedades tóricas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.2.1. Pegado de variedades tóricas afines . . . . . . . . . . . 4
1.2.2. Morfismos de variedades tóricas . . . . . . . . . . . . . 6
1.3. Coordenadas Homogéneas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.1. Divisores. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2. El Anillo de Coordenadas Homogéneas. . . . . . . . . . 8
1.4. Morfismos de CPm a variedades tóricas. . . . . . . . . . . . . . 12
2. EL TEOREMA DE STONE-WEIERSTRASS. 15
2.1. Espacios de mapeos de CPm a X . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1.1. El espacio Ω2m(X) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.2. (p,q) mapeos y mapeos de estabilización. . . . . . . . . 17
2.2. El teorema de Stone-Weierstrass. . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3. RESOLUCIONES SIMPLICIALES. 23
3.1. Resoluciones simpliciales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.2. Resoluciones simpliciales truncadas . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.3. Algunos ejemplos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3.1. Ejemplo 1: la figura ocho . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.3.2. Ejemplo 2: la doble cubierta de S1 . . . . . . . . . . . 26
3.3.3. Ejemplo 3: el simplejo de dimensión infinita . . . . . . 26
3.3.4. Ejemplo 4: espacios de polinomios con raices múltiples 27
iv ÍNDICE GENERAL
4. GRUPOS DE HOMOLOGÍA ESTABLES 29
4.1. Espacios de polinomios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
4.2. La resolución simplicial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
4.3. Resultados de estabilización . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
Agradecimientos
Es un placer agradecer a todos los que directa o indirectamente han con-
tribuido al desarrollo de esta tesis. Antes que nada quisiera agradecer a mi
asesor el Dr. Jacob Mostovoy por haber sugerido el presente tema de tesis
como proyecto doctoral, y por todo su apoyo y consejo.
Quisiera agradecer a todo el personal del Instituto de Matemáticas de la
UNAM, en particular de la Unidad Cuernavaca por las facilidades prestadas
para la realización de mis estudios de doctorado.
A todas las personas cuyas conversaciones contribuyeron a mi entendimien-
to de las matemáticas, muchas gracias, en especial a Alicia Dickenstein por
introducirme al mundo de las variedades tóricas y por ser un ejemplo para
mı́.
Quiero agradecer a todos mis compañeros estudiantes del IMATE Cuer-
navaca, fue un placer aprender junto con ustedes, en particular a Daniel,
junto con quien inicié el estudio de las variedades tóricas.
Agradezco al CONACyT el apoyo económico brindado durante mis estu-
dios de doctorado.
A mi familia, en especial a mis padres y hermanos, y a mi pareja, agradez-
co el que hayan estado a mi lado estos años.
vi 0 Agradecimientos
Introducción
Es interesante que los espacios de funciones holomorfas entre dos varie-
dades complejas frecuentemente dan una buena aproximación topológica al
espacio de todas las funciones continuas entre ellas. Por ejemplo, el espacio
de funciones holomorfas de una variedad de Stein a un espacio homogéneo o
al complemento de una subvariedad de dimensión al menos 2 en Cn es ho-
motópicamente equivalente al correspondiente espacio de todas las funciones
continuas, [Gra89].
En el caso de mapeos entre variedades compactas, el espacio de mapeos
holomorfos en general es distinto homotópicamente del espacio de funciones
continuas. Sin embargo, G. Segal en [Seg79] descubrió que los espacios de
curvas holomorfas en Cn aproximan los correspondientes espacios de mapeos
continuos hasta cierta dimensión que crece con el grado de las curvas. Sea S
una superficie de Riemann de género g, Fd(S,CPn) el espacio de funciones
racionales de grado d de S a CPn, y Md(S,CPn) el correspondiente espacio
de mapeos continuos. Similarmente denotamos por F ∗d (S,CP
n) y M∗d (S,CP
n)
los respectivos espacios de mapeos que preservan el punto base.
Teorema 0.1 ([Seg79]). Las inclusiones
Fd(S,CPn)→Md(S,CPn) y F ∗d (S,CPn)→M∗d (S,CPn)
son equivalencias homológicas hasta la dimensión (d− 2g)(2n− 1) para todo
g ≥ 0. Cuando g = 0 estos mapeos son además equivalencias homotópicas
hasta la misma dimensión.
Segal conjeturó que el mismo resultado pod́ıa ser generalizado de man-
era de incluir espacios de curvas en variedades algebraicas más generales
que los espacios proyectivos. Tales generalizaciones fueron obtenidas sub-
secuentemente en el trabajo de varios autores: Kirwan [Kir86], Gravesen
[Gra89], Guest [Gue84, Gue95], Mann and Milgram [MM91, MM93], Cohen,
Cohen, Mann and Milgram [CCMM91], Hurtubise [Hur96], Boyer, Hurtubise
y Milgram [BHM01], Cohen, Lupercio y Segal [CLS99], entre otros. Hasta
viii 0 Introducción
el momento, los resultados más fuertes para el caso cuando g = 0 (curvas
racionales) y el contradominio una variedad finito dimensional X son los
trabajos de Guest [Gue95] para el caso cuando X es una variedad tórica,
posiblemente singular, y de Boyer, Hurtubise y Milgram [BHM01] para el
caso cuando X es una variedad Kähler suave con una acción holomorfa de
un grupo de Lie complejo conexo y soluble, el cual tiene una órbita densa
en la que el grupo actúa libremente. Varios art́ıculos [GKY99, Mos01] dan
versiones reales del teorema de Segal (la primera versión real es debida al
mismo Segal en [Seg79]).
Una conjetura más general sobre este tema fue dada en el art́ıculo de
Cohen, Jones y Segal [CJS00]. Una generalziación de curvas holomorfas en
variedades complejas son las curvas pseudo-holomorfas en variedades sim-
plécticas. Cohen, Jones y Segal conjeturaron que para una variedad sim-
pléctica positiva simplemente conexa X cierta completación Holx0(CP1, X)+
del espacio de curvas pseudo-holomorfas basadas en X es homotópicamente
equivalente al correspondiente espacio de funciones continuas de CP1 a X si
y sólo si el mapeo evaluación Holx0(CP1, X)+ → X es una casi fibración. Por
el momento, no se conoce ningún posible método de demostración de esta
conjetura.
El teorema de Segal puede también ser generalizado al caso cuando el
dominio de los mapeos tiene dimensión mayor de 1. Usando las resoluciones
simpliciales de Vassiliev, Mostovoy en [Mos06] y [Mos11] probó un resultado
análogo al teorema de Segal para espacios de mapeos racionales continuos de
CPm a CPn para 1 ≤ m ≤ n.
Dado el hecho de que las variedades tóricas son las variedades algebraicas
complejas más sencillas después de los espacios complejos proyectivos, un pa-
so natural es extender los resultados que se tienen paralos espacios complejos
proyectivos a las variedades tóricas. Aśı el propósito de la presente tesis es
demostrar que la prueba de Mostovoy puede extenderse al espacio de mapeos
de CPm a un variedad tórica compacta y suave.
Demostraremos el siguiente resultado:
Teorema 0.2. Sea X una variedad tórica compacta y suave asociada a un
abanico Σ, sea k la cardinalidad del conjunto mı́nimo primitivo de generado-
res de Σ y sea m menor de k. Denotemos por Pf (d̄) el conjunto de mapeos
racionales continuos de CPm a X de multigrado d̄ que restringen al mapeo
f en un hiperplano dado. Entonces, la inclusión de Pf (d̄) a la componente
correspondiente del espacio de todos los mapeos continuos de CPm a X que
ix
restringen a f en este hiperplano induce un isomorfismo en homoloǵıa en
todas las dimensiones menores de d(2k − 2m− 1)− 1, donde d̄ = (d1, ..., dr)
y d = mı́n{di}.
Cabe mencionar que es fácil ver que las componentes del espacio de
mapeos continuos de CPm a X que restringen a f en un hiperplano es ho-
motópicamente equivalente a las componentes del espacio iterado de lazos
Ω2mX.
En el caso de curvas racionales (m = 1) el resultado de la presente tesis
mejora el teorema de Guest es dos direcciones:
la dimensión de la estabilización del Teorema 0.2 es considerablemente
mejor que la de [Gue95];
no se necesita suponer que el punto base en X pertenece a la órbita
maximal.
En el Caṕıtulo 1 de la tesis se hace una revisión de la teoŕıa de variedades
tóricas. Un resultado que muestra las similitudes entre las variedades tóri-
cas y los espacios complejos proyectivos se encuentra en [Cox95b], donde se
demuestra que toda variedad tórica suave y compacta puede verse como un
cociente X = Cr \ Y/G, donde Y es una subvariedad algebraica y G es un
subgrupo del grupo multiplicativo (C∗)r, el cual actua en Cr \ Y . Esta des-
cripción proporciona coordenadas homogéneas para X, resultados acerca de
estas coordenadas se enuncian en la Sección 1.2. Para los espacios complejos
proyectivos se tiene que los mapeos holomorfos entre ellos están dados por
polinomios homogéneos, para las variedades tóricas se tiene que un morfismo
CPm → X es dado en estas coordenadas por una colección de polinomios
complejos homogéneos que no toman valores en Y y cuyos grados cumplen
ciertas propiedades [Cox95a], lo anterior se enuncia en la Sección 1.3.
Sea Pf = Pf (d̄), como en el Teorema 0.2, el espacio de todos los morfismos
(mapeos holomorfos continuos) de CPm a X dados por polinomios de grados
fijos y cuya restricción a un hiperplano CPm−1 coincide con un morfismo
dado f : CPm−1 → X. Como se ha mencionado, el espacio de todos los
mapeos continuos de CPm a X cuya restricción a CPm−1 coincide con f es
homotópicamente equivalente a una componente Ω2m(X)0 de Ω
2m(X). Para
ver que la inclusión
Pf → Ω2m(X)0
induce isomorfismo en los grupos de homoloǵıa hasta cierta dimensión, uti-
lizaremos principalmente dos herramientas:
x 0 Introducción
El Teorema de Stone-Weierstrass,
Resoluciones simplicales de Vassiliev.
En el Caṕıtulo 2 se explota la primer herramienta, la cual permite aproxi-
mar mapeos continuos por mapeos dados por polinomios. En la sección 2.1 se
estudia la relación entre el espacio de todos los mapeos continuos CPm → X
y el espacio Ω2m(X). Para utilizar el Teorema de Stone-Weiestrass es nece-
sario introducir un nuevo tipo de mapeos de CPm a X, estos son mapeos
dados por r tuplas de polinomios homogeneos en variables z0, ...., zm y sus
conjungados z̄0, ...., z̄m, los cuales son definidos en la Sección 2.2. Fijando los
grados de estos polinomios, el espacio de estos nuevos mapeos es denotado
por Pf (p, q) y se relaciona con el espacio Pf mediante ciertos mapeos de es-
tabilización. En la Sección 2.3 se demuestra que el ĺımite de estos espacios es
homotópicamente equivalente a Ω2m(X).
En el Caṕıtulo 3 exponemos la maquinaria de las resoluciones simpli-
ciales, inventada por Vassiliev. Una resolución simplicial asociada a un mapeo
suprayectivo de espacios Z → U resulta ser un espacio homotópicamente
equivalente a U y que tiene la ventaja de poseer una filtración creciente Zl
con Z1 = Z. En la Sección 3.2 describiremos la modificación de las resolu-
ciones simpliciales de Vassiliev usada en el presente trabajo, la resolución
simplical truncada, utilizada en [Mos11].
Finalmente, en el Caṕıtulo 4 se muestra que los mapeos de estabiliazación
definidos en la Sección 2.2 inducen isomorfismo en grupos de homoloǵıa has-
ta cierto grado. Para esto se utiliza una resolucion simplicial del comple-
mento del espacio Pf (p̄, q̄) en el espacio de todas las r-tuplas de polinomios
homogéneos de grados p̄ = (p1, ..., pr) y q̄ = (q1, ..., qr) en variables zi y z̄i
respectivamente. Describiremos explicitamente la filtración sobre esta resolu-
ción simplicial en términos de ciertos espacios de configuraciones y, utilizando
la dualidad de Alexander, compararemos la homoloǵıa de los espacios Pf (p̄, q̄)
para valores distintos de los multigrados p̄,q̄. Esto da suficiente información
topológica para concluir que los mapeos de estabilización inducen isomorfis-
mo en grupos de homoloǵıa hasta la dimensión indicada en el Teorema 0.2.
Una diferencia entre el argumento dado en el caṕıtulo 4 y la demostración
en [Mos06] o [Mos11] es que aqúı no usamos las sucesiones espectrales, aunque
la idea de la demostración es la misma. Básicamente, en lugar de estudiar
el comportamiento de la sucesión espectral bajo el mapeo de estabilización,
describimos el efecto de la estabilzación geometricamente sobre los primeros
términos de las filtraciones correspondientes.
Caṕıtulo 1
VARIEDADES TÓRICAS.
En este caṕıtulo recordaremos las definiciones y propiedades de las var-
iedades tóricas que se utilizarán en la presente tesis. El caṕıtulo está organi-
zado de la siguiente manera. En la sección 1.1 damos la construcción de una
variedad tórica asociada a un abanico en Rn como un pegado de variedades
afines, donde cada variedad af́ın como las instrucciones de pegado están cod-
ificadas en el abanico. En la Sección 1.2 describimos la construcción de una
varieda tórica como el cociente de un subespacio abierto de Cr por la acción
de un subgrupo de (C∗)r. Por último, en la Sección 1.3 describimos todos los
morfismos de CPm a una variedad tórica no singular en términos de r tuplas
de polinomios homogéneos.
1.1. Primeras definiciones.
Una variedad tórica X es una variedad algebraica compleja normal que
contiene un toro algebraico T = (C∗)n como abierto denso, junto con una
acción de T en X que extiende la acción natural de T en śı mismo.
Ejemplo. 1.1. (C∗)n y Cn son variedades tóricas. Para ver que CPn lo es,
supongamos que x0, ..., xn son coordenadas homogéneas de CPn. El mapeo
(C∗)n → CPn
(t1, ..., tn)→ [1 : t1 : ... : tn]
identifica (C∗)n con el abierto de Zariski CPn−{[x0 : ... : xn] |x0x1...xn = 0}.
La acción
(t1, ..., tn) · [a0 : a1 : · · · : an] = [a0 : t1a1 : · · · : tnan]
muestra que CPn es una variedad tórica.
2 1 VARIEDADES TÓRICAS.
La propiedad primordial de una variedad tórica es que está completa-
mente caracterizada por un objeto combinatorio, su abanico, el cual es una
unión de conos en Rn. Esta caracterización simplifica el estudio de muchas
de las propiedades topológicas y geométricas de X. A continuación veremos
cómo obtener una variedad tórica af́ın a partir de un cono en Rn.
1.1.1. Conos.
Denotaremos por N una ret́ıcula isomorfa a Zn y por M = HomZ(N,Z)
su ret́ıcula dual.
Sea V el espacio vectorial N ⊗Z R y V ∗ su espacio dual. Un cono poliedral
convexo es un conjunto de la forma
σ = {r1v1 + ...+ rsvs ∈ Rn | ri ≥ 0}
para un conjunto finito de vectores v1, ..., vs ∈ Rn. Tales vectores vi son
llamados generadores del cono σ. Decimos que σ es racional si sus generadores
son elementos de la ret́ıcula N . Una cara de σ es la intersección de σ con
el espacio {v ∈ V | `(x) = 0} donde ` es una forma lineal en V la cual es
no negativasobre σ. La dimensión de σ es la dimensión del espacio lineal
R · σ generado por σ. Las aristas de un cono son sus caras de dimensión 1.
Decimos que σ es fuertemente convexo si σ ∩ (−σ) = {0}.
El cono dual de σ es el conjunto
σ̌ = {u ∈ V ∗ | 〈u, v〉 ≥ 0 para todo v ∈ σ}.
Se puede ver que σ̌ es también un cono poliedral racional convexo.
Lema 1.1 (Lema de Gordon [Ful93]). Si σ es un cono poliedral racional
convexo, entonces Sσ = σ̌ ∩M es un semigrupo finitamente generado.
De ahora en adelante denotaremos por Sσ al semigrupo σ̌ ∩M . Observe
que toda cara τ de σ es también un cono poliedral racional convexo. Se tiene
el siguiente
Lema 1.2 ([Ful93]). Sea σ un cono poliedral racional convexo y sea u ∈ Sσ.
Entonces τ = σ∩u⊥ es una cara de σ, todas las caras de σ son de esta forma
y
Sτ = Sσ + Z≥0 · (−u).
1.1.2 Variedades tóricas afines. 3
1.1.2. Variedades tóricas afines.
Dado σ un cono poliedral racional fuertemente convexo, daremos la con-
strucción de la variedad tórica af́ın asociada a σ.
Cualquier semigrupo aditivo S determina un anillo C[S], el cual es una
C álgebra conmutativa. Como espacio vectorial complejo tiene base χu, con
u variando sobre S, y la operación multiplicativa está dada por la adición en
S:
χu · χu′ = χu+u′ .
La unidad multiplicativa es 1 = χ0. Los generadores {ui} de S determinan
generadores χui para la C álgebra C[S].
Cualquier C álgebra conmutativa finitamente generada A determina una
variedad compleja af́ın Spec(A). Cuando S = Sσ para algún cono poliedral
racional fuertemente convexo σ, denotamos por Aσ a la C álgebra C[Sσ]. La
variedad tórica af́ın asociada a σ será
Uσ = Spec(C[Sσ]) = Spec(Aσ).
Consideremos el cono {0} ⊂ Rn. Sea e1, ..., en es una base para N y
e∗1, ..., e
∗
n su base dual en M . Claramente el cono dual a {0} coincide con
M⊗Z R, escribimos Xi = χe
∗
i ∈ C[M ]. Como semigrupo M tiene generadores
±e∗1, ...,±e∗n, entonces
C[M ] = C[X±11 , ..., X±1n ]
el cual es el anillo de polinomios de Laurent en n variables. Por lo tanto la
variedad tórica af́ın
U0 = Spec(C[M ]) ∼= (C∗)n
es el toro algebraico. Para cualquier σ los semigrupos Sσ serán semigrupos de
M , por lo tanto C[Sσ] será una subálgebra de C[M ]. En particular se tiene
(C∗)n ⊂ Uσ.
Supongamos que Sσ está generada por u1, ..., uk, si denotamos Yi = χ
ui
entonces
Aσ = C[χu1 , ..., χuk ] = C[Y1, ..., Yk]/I
para algún ideal I que describiremos a continuación.
Relaciones entre los generadores de Sα pueden escribirse como
k∑
j=1
νjuj =
k∑
j=1
µjuj µj, νj ∈ Z≥0,
4 1 VARIEDADES TÓRICAS.
se puede ver entonces que I está generado por los binomios
Y ν11 · · ·Y
νk
k − Y
µ1
1 · · ·Y
µk
k .
En particular esto dice que la variedad tórica af́ın Uσ puede verse como el
conjunto de ceros de funciones binomiales.
Un morfismo de semigrupos S → S ′ determina un homomorfismo
C[S]→ C[S ′]
de C álgebras y, por lo tanto, un morfismo
Spec(C[S ′])→ Spec(C[S])
de variedades tóricas afines. En particular si τ es una cara de σ entonces Sσ
es un subsemigrupo de Sτ y se tiene un morfismo Uτ → Uσ.
Lema 1.3 ([Ful93]). Si τ es una cara de σ, entonces el mapeo Uτ → Uσ es
un encaje de Uτ como subconjunto abierto de Uσ.
1.2. Abanicos y variedades tóricas.
Cada variedad tórica está asociada a un abanico y de hecho es la variedad
resultante de pegar las variedades tóricas afines asociadas a los conos del
abanico. Las instrucciones de pegado están dadas por el pegado de los conos
en el abanico. En esta sección daremos esta construcción.
1.2.1. Pegado de variedades tóricas afines
Un abanico Σ es una unión finita de conos poliedrales racionales fuerte-
mente convexos tal que:
Cada cara de un cono en Σ es también un cono de Σ,
la intersección de dos conos en Σ es una cara común a ellos.
La variedad tórica X asociada a un abanico Σ se construye tomando la
unión disjunta de las variedades tóricas afines Uσ, para cada uno de los conos
σ en Σ y pegando estas variedades de la siguiente manera. Para dos conos σ
y σ′ en Σ, la intersección σ ∩ σ′ es una cara común a los dos, entonces Uσ∩σ′
1.2.1 Pegado de variedades tóricas afines 5
es una subvariedad que puede ser identificada como un abierto de Uσ y Uσ′ ;
el pegado de Uσ con Uσ′ se realiza identificando esta subvariedad abierta.
Describiremos este procedimiento de manera más precisa.
Hemos visto que, dada una cara τ de un cono σ, podemos escribir Sτ =
Sσ + Z≥0 · (−λ), con λ ∈ σ̌ ∩ M . Esto quiere decir que el monoide Sτ es
obtenido de Sσ añadiendo un generador −λ. Escribiendo Sσ =< u1, ..., uk >,
podemos escoger λ como uno de los generadores, por ejemplo, λ = uk y
escribir uk+1 = −λ. Para obtener las relaciones entre los generadores de Sτ ,
tenemos que considerar todas las relaciones entre los generadores u1, ..., uk
de Sσ y la relación extra uk + uk+1 = 0. Esta última relación corresponde a
la relación multiplicativa χukχuk+1 = 1 en Aτ y es la única relación que hay
que añadir a Aσ para obtener Aτ . Como los generadores χ
u son las funciones
coordenadas en las variedades tóricas Xσ y Xτ , la proyección
Ck+1 → Ck.
(x1, ..., xk, xk+1) 7→ (x1, ..., xk)
identifica a Xτ con un abierto de Xσ definido por xk 6= 0. Es decir, hay una
identificación natural Xτ ∼= Xσ \ (uk = 0).
Ahora supongamos que τ es una cara común a dos conos σ y σ′ de Σ.
Escribiremos (v1, ..., vl) las coordenadas en Xσ′ , entonces se tiene un homeo-
morfismo Xτ ∼= Xσ′ \ (vl = 0) y obtenemos en mapeo de pegado
ψσ,σ′ : Xσ \ (uk = 0)→ Xτ → Xσ′ \ (vl = 0).
La variedad tórica asociada al abanico Σ es el espacio
X =
⊔
σ∈Σ
Xσ/ ∼
donde para x ∈ Xσ y x′ ∈ Xσ′ , x ∼ x′ si y solo si x′ = ψσ,σ′(x).
Describiremos ahora algunas propiedades básicas de las variedades tóric-
as. Se dice que un cono es suave si está generado por un subconjunto de una
base de N . Un cono es simplicial si es generado por un sucbonjunto de una
base de Rn. Se tienen los siguientes resultados:
XΣ es compacta si y sólo si su soporte, definido como |Σ| = ∪σ∈Sigmaσ,
es todo Rn.
XΣ es suave si y sólo si todo cono σ ∈ Σ es suave.
XΣ tiene a lo más singularidades de tipo cociente si y sólo si todo cono
en Σ es simplicial. Tales variedades tóricas son llamadas simpliciales.
6 1 VARIEDADES TÓRICAS.
1.2.2. Morfismos de variedades tóricas
Un mapeo φ : (Σ1, N1) → (Σ2, N2) es un mapeo de abanicos si es un
homomorfismo Z lineal φ : N1 → N2 que satisface la propiedad de que para
cualquier cono σ ∈ Σ1 existe σ′ ∈ Σ2 tal que φ(σ) ⊂ σ′.
Un mapeo entre abanicos define un mapeo entre las respectivas variedades
tóricas de manera covariante.
Teorema 1.1 ([Oda85]). Un mapeo de abanicos φ : (Σ1, N1) → (Σ2, N2)
induce un mapeo holomorfo φ∗ : XΣ1 → XΣ2 el cual es compatible con las
acciones de los toros algebraicos respectivos en las variedades tóricas. Con-
versamente, supongamos que φ∗ : XΣ1 → XΣ2 es un mapeo holomorfo el cual
es compatible con las acciones de los toros algebraicos, entonces existe un
único homomorfismo Z lineal φ : N1 → N2 el cual induce un morfismo de
abanicos φ : (Σ1, N1)→ (Σ2, N2).
1.3. Coordenadas Homogéneas.
En esta sección se introduce el concepto de coordenadas homogéneas para
una variedad tórica. Aśı como CPn puede ser visto como el cociente (Cn+1−
{0})/C∗, veremos que cualquier variedad tórica X puede ser dada por un
cocienteX = (Cr−Y )/G, donde Y es una subvariedad de Cr yG un subgrupo
de (C∗)r. Los elementos de (Cr−Y ) serán entonces coordenadas homogéneas
para X.
A lo largo de esta sección denotaremos por Σ(1) = {ρ1, ..., ρr} el con-
junto de conos de dimensión 1 del abanico Σ. Si ρi es un elemento de Σ(1)
escribiremos ni para el generador de ρi ∩ N , es decir, el elemento de N de
norma más pequeña en la dirección de ρi.
1.3.1. Divisores.
En cualquier variedad Z, un divisor de Weil es una suma formal finita∑
i Vi de variedades cerradas irreducibles Vi de codimensión uno en Z. Un
divisor de Cartier D está dado por una cubierta abierta {Uα} de Z, y fun-
ciones racionales distintas de cero fα llamadas ecuacioneslocales, tales que
los cocientes fα/fβ son funciones regulares que no se anulan en Uα∩Uβ. Cada
divisor de Cartier D determina una gavilla sobre Z denotada O(−D), la cual
1.3.1 Divisores. 7
es la subgavilla de la gavilla de funciones racionales que está generada por
fα en Uα; la gavilla inversa O(D) es la gavilla generada por 1/fα en Uα.
Un divisor de Cartier D determina un divisor de Weil, denotado [D], de
la siguiente manera
[D] =
∑
cod(V,Z)=1
ordV (D) · V,
donde ordV (D) es el orden de anulación de una ecuación para D en el anillo
de coordenadas locales a lo largo de la subvariedad V .
Para cualquier variedad irreducible Z, el grupo de Picard de Z denotado
por Pic(Z) es el grupo de todos los haces de ĺıneas módulo isomorfismo.
Sea An−1(Z) el grupo de todos los divisores de Weil modulo el subgrupo
de divisores [div(f)] de funciones racionales. El mapeo D 7→ [D] determina
un homomorfismo de Pic(Z) a An−1(Z), el cual es un encaje cuando Z es
normal.
Para una variedad tórica X estudiaremos los divisores de X que quedan
invariantes bajo la acción del toro T . Recordemos que un elemento ρ en Σ(1)
corresponde a un divisor de Weil T -invariante Dρ de X. De hecho el grupo
de divisores de Weil T -invariantes es el grupo abeliano libre generado por los
Dρ para ρ ∈ Σ(1), denotaremos este grupo por ZΣ(1). El grupo de divisores
de Cartier T -invariantes de X puede ser visto como un subgrupo de ZΣ(1) y
será denotado por DivT (X).
Cada elemento de m ∈M determina una función racional en X y por lo
tanto un divisor de Cartier principal div(χm). Se puede ver que
[div(χm)] =
r∑
i=1
〈m,ni〉 ·Dρi ,
lo cual da un homomorfismo de M al grupo DivT (X) definido por m 7→∑
〈m,ni〉Dρi . Se tiene el siguiente diagrama conmutativo
0 → M → DivT (X) → Pic(X) → 0
|| ↓ ↓ (1)
0 → M → ZΣ(1) → An−1(X) → 0
donde los renglones son sucesiones exactas y las flechas verticales son inclu-
siones.
8 1 VARIEDADES TÓRICAS.
1.3.2. El Anillo de Coordenadas Homogéneas.
Enumeremos los elementos de Σ(1) por ρ1, ..., ρr. Para cada cono ρi in-
troducimos una variable xi, y consideramos el anillo de polinomios
S = C[x1, ..., xr].
Cualquier monomio
∏r
i=1 x
ai
i en S determina un divisor D =
∑
aiDi, es-
cribiremos xD para denotar este monomio. Damos a S la siguiente gradua-
ción: un monomio xD tiene grado deg(xD) = [D] ∈ An−1(X).
Usando la sucesión exacta inferior del diagrama (1), tenemos que dos
monomios
∏r
i=1 x
ai
i y
∏r
i=1 x
bi
i tienen el mismo grado si y solo si existe m ∈M
tal que ai = 〈m,ni〉+ bi para i = 1, ..., r. Sea
Sα :=
⊕
[D]=α
C · xD,
entonces el anillo S puede escribirse como la suma directa
S =
⊕
α∈An−1(X)
Sα.
Llamamos a S el anillo de coordenadas homogéneas de la variedad tórica X.
Proposición 1.1 ([Cox95b]). 1. Si α = [D] ∈ An−1(X), entonces existe
un isomorfismo φD : Sα → H0(X,OX(D)), donde OX(D) es la gavilla
coherente en X determinada por el divisor de Weil D.
2. Si α = [D] y β = [E], entonces existe un diagrama conmutativo
Sα ⊗ Sβ → Sα+β
↓ ↓
H0(X,OX(D))⊗H0(X,OX(E)) → H0(X,OX(D + E))
Definiremos a continuación cierto ideal en S el cual utilizaremos para
describir a X como un cociente. Para cada cono σ de Σ, definimos el monomio
xσ =
∏
ρi /∈σ(1)
xi.
Sea B el ideal generado por los monomios xσ
B = 〈xσ|σ ∈ Σ〉.
1.3.2 El Anillo de Coordenadas Homogéneas. 9
Nótese que de hecho B está generado por los monomios xσ con σ corriendo
sobre los conos maximales de Σ.
Definimos la subvariedad Y como el lugar de ceros de B:
Y = {x ∈ Cr|xσ = 0 para todo σ ∈ Σ}.
Decimos que un subconjunto {ni1 , ...,nit} del conjunto de generadores
para las aristas de Σ es primitivo si no está contenido en algún cono de Σ
pero cualquier subconjunto propio śı lo está. Se puede demostrar que
Y =
⋃
{ni1 ,...,nis}primitivo
{(xi1 , ..., xis) |xij = 0 para j = 1, ..., s}
Se tiene el siguiente
Lema 1.4 ([Cox95b]). Y ⊂ CΣ(1) tiene codimensión compleja al menos dos.
A continuación construiremos la variedad X a partir del abierto Cr \
Y . Consideremos el grupo G = HomZ(An−1(X),C∗). Aplicando el funtor
contravariante Hom(−,C∗) a la sucesión exacta inferior en el diagrama (1)
obtenemos la sucesión exacta
1→ G→ (C∗)Σ(1) → T → 1, (2)
donde T = N ⊗ C∗ = HomZ(M,C∗) es el toro actuando en X.
El subgrupo G actua en (C)Σ(1) por
g · t = (g(D1)t1, ..., g(Dr)tr)
para g : An−1(X)→ C∗ en G y t = (t1, ..., tr) en (C∗)Σ(1). Tomando la acción
inducida de G en S = C[x1, ..., xr], el sumando Sα es el α eigenespacio de
esta acción.
Usando la acción de G en CΣ(1) tenemos la siguiente descripción de X.
Teorema 1.2 ([Cox95b]). Sea X la variedad tórica determinada por el aban-
ico Σ, y sea Y como antes. Entonces:
1. El conjunto CΣ(1) − Y es invariante bajo la acción del grupo G.
2. X es naturalmente isomorfo al cociente categórico de CΣ(1) − Y bajo
G.
10 1 VARIEDADES TÓRICAS.
3. X es el cociente geométrico de CΣ(1) − Y por G si y solo si X es
simplicial (es decir, si el abanico Σ es simplicial).
Observación. Analizando la sucesión (2) vemos que el mapeo (C∗)Σ(1) → T
manda un morfismo Di 7→ µi al morfismo m 7→
∏r
i=1 µ
〈m,ni〉
i . Por lo tanto
podemos escribir
G = {(µ1, ..., µr) ∈ (C∗)Σ(1)|µ〈m,ni〉i = 1 para todo m ∈M}.
Ejemplo. 1.2. Sea N = Zn, e1, ..., en la base estándar para Rn y e0 =
−
∑n
i=1 ei. Sea Σ el abanico que contiene todos los conos generados por sub-
conjuntos propios de {e0, ..., en}. En este caso Σ(1) = {ρ0, ..., ρn} donde ρi∩N
está generado por ei. Los n+1 conos maximales de Σ están generados por
subconjuntos de n elementos de {e0, ..., en}, entonces el único subconjunto
primitivo de {e0, ..., en} es él mismo, por lo tanto
Y = {(x0, ..., xn) |x0 = ... = xn = 0} = {(0, ..., 0)} ⊂ Cn+1
2
0
1
e
e
e
Figura 1.1: Abanico asociado a CP2
El grupo G ⊂ Cn+1 puede ser descrito como
G = {(µ1, . . . , µn+1) ∈ (C∗)n+1 |
n∏
i=0
µ
〈ej ,ei〉
i = 1 para j = 1, ..., n}
= {(µ, ..., µ) ∈ (C∗)n+1}.
Obtenemos entonces X = (Cn+1 − {0})/G = CPn.
1.3.2 El Anillo de Coordenadas Homogéneas. 11
Tenemos que dos monomios
∏n
i=0 x
ai
i ,
∏n
i=0 x
bi
i ∈ S, donde S es el anillo
de coordenadas homogéneas de CPn, tienen el mismo grado si y solo si existe
m ∈ Zn tal que ai = 〈m, ei〉+ bi para i = 0, ..., n, es decir,
∑n
i=0 ai =
∑n
i=0 bi,
lo cual coincide con la graduación usual.
Ejemplo. 1.3. Consideremos el abanico Σ ⊂ R2 cuyos conos de dimen-
sión uno son ρ1, ..., ρ4 y están generados por e1,−e1, e2,−e2 respectivamente
y cuyos conos maximales son los cuatro cuadrantes. Se tiene entonces que los
únicos subconjuntos primitivos de {e1,−e1, e2,−e2} son {e1,−e1} y {e2,−e2},
por lo tanto
Y = ({(0, 0)} × C2) ∪ (C2 × {(0, 0)}) ⊂ C4
y
G = {(µ1, ..., µ4) ∈ (C∗)4 | µ1µ−12 = µ3µ−14 = 1}
= {(µ1, µ1, µ3, µ3) ∈ (C∗)4}
n
2
n
1
n
3
n
4
Figura 1.2: Abanico asociado a CP2 × CP2
Por lo tanto la variedad tórica asociada a Σ es
X = (C4 − Y )/G = CP1 × CP1.
Tenemos que dos monomios
∏4
i=1 x
ai
i ,
∏4
i=1 x
bi
i tienen el mismo grado si
y solo si existe m ∈ Z2 tal que ai = 〈m, ei〉+ bi para i = 1, ..., 4, esto implica
que a1 +a2 = b1 + b2 y a3 +a4 = b3 + b4. Obtenemos entonces la bigraduación
de funciones racionales de CP1 × CP1..
12 1 VARIEDADES TÓRICAS.
1.4. Morfismos de CPm a variedades tóricas.
Para CPn tenemos que Pic(CPn) = Z y sus elementos son denotados por
O(k) con k ∈ Z. Para cada k el haz de lineas O(k) puede ser descrito como
el conjunto de clases de equivalencia del espacio (Cn+1 − {0}) × C bajo la
relación (z, α) ∼ (λz, λkα) para λ ∈ C∗; O(1) genera al grupo Pic(CPn) y
O(k) es su k-ésima potencia.
Sea Σ como en el Ejemplo 1.2, el abanico asociado a CPn y cuyos conos
de dimensión 1 están generados por los vectores canónicos e1, ..., en y por
e0 = −
∑
ei. El divisor de Weil T -invariante asociado al cono generado por
ei es
Di = {[x0 : ... : xn] ∈ CPn |xi = 0}.
Claramente, [x0 : ... : xn] 7→ xi define una sección del haz de lineas asociado
a Di. Dado que [x0 : ... : xn] 7→ xi/xj define una función racional en CPn, los
divisores Di y Dj sonequivalentes, por lo tanto,O(Di) = O(Dj) ∈ Pic(CPn).
De hecho, O(Di) = O(1), y cualquier polinomio de grado d puede verse como
una sección de la d ésima potencia de O(Di). Más aún, sabemos que cualquier
mapeo racional CPm → CPn está dado por n polinomios homogéneos del
mismo grado sin factores comunes y, entonces, puede ser dado por n secciones
s1, ...sn que no se anulan simultáneamente del haz de lineas O(Di)⊗d sobre
CPm, donde d es el grado de los polinomios homogéneos.
Para una variedad tórica X no se tiene en general que dos divisores Di y
Dj asociados a los elementos ρi, ρj en Σ(1) sean equivalentes, pero śı se tiene
que si X = (Cr−Y )/G es suave, cada Di define un haz de lineas O(Di) y por
la Proposición 1.1 xi puede verse como una sección de este haz. El siguiente
teorema da una descripción de los morfismos de CPm a X en términos de
polinomios homogéneos.
Teorema 1.3 ([Cox95a]). Sea X una variedad tórica suave tal que los n′ρs
generan Rn. Supongamos que tenemos un mapeo f̃ : Cm+1 − {0} → Cr −
Y cuyas funciones coordenadas son polinomios homogeneos fρ tales que si
deg(fρ) = dρ entonces
∑r
i=1 dρnρ = 0 ∈ Rn. Entonces existe un morfismo
CPm → X tal que el diagrama
f̃
Cm+1 − {0} −→ C∆(1) − Y
↓ ↓
CPm −→ X
f
1.4 Morfismos de CPm a variedades tóricas. 13
conmuta, donde las flechas verticales son los mapeos cociente. Más aún:
Dos conjuntos de polinomios {fρ} y {f ′ρ} determinan el mismo morfis-
mo f : CPm → X si y sólo si existe g ∈ G = HomZ(Pic(X),C∗) tal
que f ′ρ = g([Dρ])fρ para todo ρ ∈ Σ(1).
Todos los morfismos f : CPm → X están dados de esta manera.
14 1 VARIEDADES TÓRICAS.
Caṕıtulo 2
EL TEOREMA DE
STONE-WEIERSTRASS.
Una de las herramientas más importantes utilizadas en la presente tesis
es el Teorema de Stone-Weierstass, el cual da hipótesis suficientes para que
un conjunto de secciones de un haz vectorial real sea denso en el espacio de
todas las secciones continuas de dicho haz. De ahora en adelante denotaremos
por X una variedad tórica compacta y suave.
Este caṕıtulo contiene uno de los resultados fundamentales para la de-
mostración del teorema principal de esta tesis, el cual concluye que cierto
espacio de morfismos de CPm a X, es homotópicamente equivalente al es-
pacio correspondiente de mapeos continuos de CPm a X. La estrategia es
utilizar los resultados revisados en el caṕıtulo anterior para ver que cualquier
mapeo CPm → X puede ser dado por una colección de secciones de ciertos
haces de ĺıneas sobre CPm, y luego utilizar el teorema de Stone-Weierstrass
para aproximar cualquier mapeo continuo por uno dado por polinomios.
De ahora en adelante usaremos la notación X para una variedad tórica
compacta y suave. El la primer sección veremos que el espacio de mapeos con-
tinuos de CPm a X cuya restricción a un hiperplano fijo coincide es homotópi-
camente equivalente al espacio Ω2m(X). En la Sección 2.2 definiremos ciertos
espacios de mapeos CPm → X dados por polinomios en variables holomorfas
y antiholomorfas, aśı como “mapeos de estabilización” entre estos espacios.
En la Sección 2.3 demostraremos, usando el Teorema de Stone-Weierestrass,
que el ĺımite de estos espacios es homotópicamente equivalente a Ω2m(X).
2.1. Espacios de mapeos de CPm a X
Como antes, X denotará una variedad tórica suave la cual se puede es-
cribir como el cociente X = (Cr − Y )/G. Denotaremos CPm−1 el hiperplano
16 2 EL TEOREMA DE STONE-WEIERSTRASS.
proyectivo zm = 0 en CPm. Escribiremos Mapf (CPm,X) para el espacio de
todos los mapeos continuos de CPm a X cuya restricción a CPm−1 coincide
con una aplicación fija f : CPm−1 → X.
2.1.1. El espacio Ω2m(X)
Veamos ahora la relación entre Mapf (CPm,X) y el espacio Ω2m(X) de
todos los mapeos continuos S2m → X que preservan el punto base.
Lema 2.1. Mapf (CPm,X) es homotópicamente equivalente a Ω2m(X).
Demostración. Dado que CPm puede obtenerse del disco de dimensión 2m
haciendo identificaciones en la frontera, entonces cualquier elemento F ∈
Mapf (CPm,X) puede ser visto como un mapeo F : D2m → X tal que
F |∂D2m = f . Por otro lado un elemento α en Ω2m(X) puede ser visto como un
mapeo D2m → X tal que α|∂D2m es constante. Como f puede ser extendida
al disco D2m y X es conexo por trayectorias, para cada a ∈ X existe una
homotoṕıa Ha : S2m−1 × I → X tal que Ha(x, 0) = f(x) y Ha(x, 1) = a. Sea
∗ el elemento fijo en S2m−1.
Definimos el mapeo φ : Mapf (CPm,X)→ Ω2m(X) como
φ(F )(x) =
{
F (2x) si 0 ≤ |x| ≤ 1/2
Hf(∗)( x|x| , 2|x| − 1) si 1/2 ≤ |x| ≤ 1
φ(F ) es un elemento en Ω2m(X) ya que φ(F )|∂D2m es el mapeo constante
con valor f(∗).
Definimos el mapeo ψ : Ω2m(X)→Mapf (CPm,X) por
ψ(α)(x) =
{
α(2x) si 0 ≤ |x| ≤ 1/2
Hα(∗)( x|x| , 2− 2|x|) si 1/2 ≤ |x| ≤ 1
ψ(α) es un elemento de Mapf (CPm,X) ya que ψ(α)|∂D2m = f .
La composición ψ ◦ φ : Mapf (CPm,X)→Mapf (CPm,X) está dada por
ψ ◦ φ(F )(x) =

F (2x) si 0 ≤ |x| ≤ 1/4
Hf(∗)( x|x| , 4|x| − 1) si 1/4 ≤ |x| ≤ 1/2
Hf(∗)( x|x| , 2− 2|x|) si 1/2 ≤ |x| ≤ 1
2.1.2 (p,q) mapeos y mapeos de estabilización. 17
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F
f(*)
f
α
α(∗)
f
Figura 2.1: Los mapeos φ y ψ
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
������
F
f f(*)
f
Figura 2.2: La composición ψ ◦ φ
Con esta descripción es claro que ψ ◦φ es homotópico al mapeo identidad
en Mapf (CPm,X). Análogamente φ◦ψ resulta ser homotópico a la identidad
en Ω2m(X). Por lo tanto se tiene el lema.
�
2.1.2. (p,q) mapeos y mapeos de estabilización.
Recordemos que cualquier morfismo CPm → X puede ser dado por una
r-tupla de polinomios homogeneos (F1, ..., Fr). Tales polinomios deben de
cumplir las condiciones: 1) (F1(x), ..., Fr(x)) /∈ Y para todo x ∈ Cm+1 − {0}
y, 2) si di = deg(Fi) entonces
∑
dini = 0, donde n1, ...,nr son los vectores
primitivos en las direcciones de las aristas del abanico asociado a X.
Para utilizar el teorema de Stone-Weiestrass, es necesario definir una clase
más amplia de mapeos de CPm a X dados por polinomios. Para esto utilizare-
mos polinomios en 2(m+ 1) variables, m+ 1 de ellas serán las variables holo-
morfas z0, ..., zm dadas por las coordenas homogeneas de CPm y las restantes
sus conjugados.
18 2 EL TEOREMA DE STONE-WEIERSTRASS.
Definición 2.1. Sean p, q ∈ Z, un (p, q) polinomio es un polinomio
Cm+1 → C en las variables z0, ..., zm y sus conjugados z̄0, ..., z̄m, el cual
es homogéneo de grado p en las variables holomorfas zi y homogéneo
de grado q en las variables antiholomorfas z̄i.
Sean p = (p1, ..., pr), q = (q1, ..., qr) ∈ Zr tales que
∑
pini =
∑
qini =
0. Un (p, q) mapeo es un mapeo CPm → X dado por una r-tupla de
(pi, qi) polinomios (P1, ..., Pr) tales que (P1(x), ..., Pr(x)) /∈ Y para todo
x ∈ Cm+1 − {0}.
Observe que un (d, 0) mapeo es un morfismo de grado d. Dos r-tuplas
de (pi, qi) polinomios (Pi) y (P
′
i ) definen el mismo (p, q) mapeo si y sólo si
existen funciones gi : Cm+1 → C para i = 1, ..., r tales que gi(z) ∈ G para
todo z ∈ Cm+1 − {0}.
Sea a = (a1, ..., ar) ∈ Zr tal que
∑
aini = 0, denotamos por |z|2 = z0z̄0 +
...+zmz̄m y por {e1, ..., en} la base canónica de Rn. Para todo z ∈ Cm+1−{0}
se tiene que (|z|2a1 , ..., |z|2ar) ∈ G ya que si m =
∑
mjej ∈M ,
r∏
i=1
(|z|2ai)〈m,ni〉 =
r∏
i=1
n∏
j=1
|z|2aimj〈ej ,ni〉 =
n∏
j=1
(|z|2
P
ain
j
i )mj = 1,
donde nji es la j-ésima coordenada del vector ni. Por lo tanto cualquier (p, q)
morfismo puede verse como un (p+a, q+a) morfismomultiplicando la r-tupla
de polinomios que lo definen por (|z|2a1 , ..., |z|2ar) coordenada a coordenada.
Sea f : CPm−1 → X un (p, q) mapeo. Denotaremos por Pf (p, q) el espacio
de (p, q) mapeos CPm → X cuya restricción a CPm−1 coincide con f .
Fijando los coeficientes del los polinomios que definene a f , los coeficientes
de un elemento en Pf (p, q) también quedan fijos. Se tiene entonces un mapeo
inyectivo entre el espacio Pf (p, q) y un subespacio del espacio vectorial com-
plejo de dimensión
(
p+m
m
)(
q+m
m
)
, el cual puede pensarse como el espacio de
coeficientes de (p, q) mapeos. Este mapeo manda un elemento de Pf (p, q) a
los coeficientes de los polinomios que lo definen.
Sean p, q, a ∈ Zr como antes. Definimos los mapeos de estabilización de
la siguiente manera:
Pf (p, q)→ Pf (p+ a, q + a)
(h1(z), ..., hr(z)) 7→ (|z|2a1h1(z), ..., |z|2arhr(z))
Definimos el espacio Pf (d+∞,∞) como el ĺımite directo de estos espacios,
donde d = p− q.
2.2 El teorema de Stone-Weierstrass. 19
2.2. El teorema de Stone-Weierstrass.
El primer paso para ver que Pf (d+∞,∞) tiene el mismo tipo de homo-
toṕıa que el espacio Ω2m(X), es ver que cualquier mapeo continuo CPm → X
puede ser aproximado por un (p, q) mapeo para algunos p, q. Para esto uti-
lizaremos la versión del teorema de Stone-Weierstrass para espacios vectoria-
les.
Teorema 2.1 (Stone-Weierstrass [Osb82]). Sea E un haz vectorial real lo-
calmente trivial sobre un espacio compacto B, {sα : B → E} un conjunto de
secciones, y sea A la subálgebra de la R álgebra C(B) de funciones continuas
real valuadas en B. Supongamos que:
la subálgebra A separa puntos de B, esto es, para cualquier x, y ∈ B
existe h ∈ A tal que h(x) 6= h(y),
para cualquier y ∈ B existe h ∈ A tal que h(y) 6= 0,
para cualquier y ∈ B la fibra de E sobre y está generada por sα(y).
Entonces el A módulo generado por el conjunto {sα} es denso en el espacio
de todas las secciones continuas de E.
Utilizando este Teorema obtenemos el siguiente:
Lema 2.2. Sea W un complejo CW finito. Cualquier mapeo continuo
F : CPm ×W → X
puede ser uniformemente aproximado con respecto a alguna métrica en X por
un (p, q) mapeo, para algunos p y q, cuyos coeficientes son funciones de W .
Si la restricción de F a CPm−1 × {x} puede ser dada por una colección de
polinomios fi,x, los polinomios que aproximan pueden escogerse de manera
que coincidan con fi,x · |z|2k, para algún k, en CPm−1 ×W .
Demostración. Sean [x1, ..., xr] coordenadas homogeneas para X. Como X es
no singular, cada clase [D] ∈ An−1(X) en el grupo de Chow de X corres-
ponde a un haz de lineas OX([D]) sobre X. Por otro lado sabemos que hay
un ismorfismo S[D] ' H0(X,OX([D])), donde S[D] es la parte homogenea de
grado [D] del anillo de coordenadas homogeneas de X. Dado que deg(xi) =
[Di] podemos escribir xi ∈ H0(X,OX([Dρ])).
20 2 EL TEOREMA DE STONE-WEIERSTRASS.
Sea {Uβ} una cubierta abierta de W por espacios contraibles y ξβ una
partición de la unidad subordinada a Uβ, con β en algún conjunto finito de
ı́ndices. La restricción del pull-back de F ∗(OX(Di)) a CPm × Uβ es un haz
vectorial isomorfo a O(di) para algún di. En particular la restricción de F a
CPm × Uβ puede ser dada por la colección de secciones
F ∗(xi) : CPm × Uβ → O(di),
con i = 1, ..., r.
Observe que para todo m ∈ Zn el haz de lineas sobre X dado por el divisor
D =
∑
〈m,ni〉Dρ es trivial, entonces sobre CPm × Uβ tenemos que
F ∗(O(D)) '
r⊗
i=1
O(di)⊗〈m,ni〉 ' O(
r∑
i=1
di〈m,ni〉)
es también trivial. Esto prueba que
r∑
i=1
di〈m,ni〉 = 0 (2.1)
lo cual a su vez implica que una colección de secciones si : CPm → O(di),
para i = 1, ..., r, define un morfismo CPm → X.
Sean z0, ..., zm coordenadas homogéneas para CPm. Para J = (j0, ..., jm) ∈
Zm+1 denotamos por zJ el producto zj00 ·...·zjmm y por
∑
J la suma j0+...+jm.
Sea Λ el conjunto de secciones deO(di) dadas por
√
±1zJ ·ξβ donde
∑
J = di.
Sea A0 el álgebra de funciones en CPm generada por las funciones de la forma
νν̄/|z|2, donde ν : Cm+1 → C es una función lineal. Sea A el álgebra de todas
las funciones en CPm×W cuya restricción a CPm×{w} pertenece a A0 para
todo w ∈ W .
Veamos que A y Λ cumplen las hipótesis del teorema de Stone-Weiestrass.
Es claro que para cada [z] ∈ CPm existe un elemento de A que no se anula
en [z], y dado que O(di) es un haz de ĺıneas en cada punto las secciones de Λ
generan la fibra deO(di). Para ver que A separa puntos de CPm, sean [z0 : ... :
zm] 6= [w0 : ... : wm] ∈ CPm. Haciendo z = (z0, ..., zm) y w = (w0, ..., wm), sin
pérdida de generalidad podemos asumir que |z| = |w| = 1. Si |zi| 6= |wi| para
algún i entonces tomando ν(z) = zi los valores de ν(z)ν̄(z)/|z|2 = ziz̄i/|z|2
son distintos para z y w. Si |zi| = |wi| para i = 0, ....m, sea k tal que zk 6= 0,
como |zk| = |wk| 6= 0 existe λ con |λ| = 1 tal que zk = λwk. Sea k′ tal que
zk′ 6= λwk′ . Observe entonces que si los valores de (λzk + zk′)(λzk + zk′)/|z|2
2.2 El teorema de Stone-Weierstrass. 21
para z y w son iguales, entonces los valores para (iλzk + zk′)(iλzk + zk′)/|z|2
de z y w son distintos.
Sea Mi el A módulo generado por Λ. Los elementos de Mi son combina-
ciones lineales finitas de secciones de F ∗(O(Di)) dadas por
√
±1ξβzI z̄J |z|−2q
donde
∑
I = pi,
∑
J = qi y di = pi − qi. El teorema de Stone-Weierstrass
dice entonces que Mi es denso en el espacio de todas las secciones continuas
de F ∗(O([Di])).
Ahora debemos ver que si la restricción de F ∗(O(Di)) a CPm−1 × {w}
está dada por un (pi, qi) polinomio fi,w para cada w ∈ W entonces podemos
aproximar a F ∗(O(Di)) por polinomios cuya restricción a CPm−1×{w} coin-
cide con fi,w.
Sean Si y Ri secciones de F ∗(O(Di)) tales que la restricción de Si · |z|2k
a CPm−1×{w} y de Ri · |z|2k a CPm×{w} son (pi, qi) polinomios para todo
w ∈ W y para algún natural k. Denotamos por s y r las restricciones de Si
y Ri a CPm−1×W . Consideremos una familia Rit de secciones de F ∗(O(Di))
con t ∈ [0, 1] dadas por Rit = Ri + t(s − r). Observe que la restricción de
Rit|z|2k a CPm × {w} es un (pi, qi) polinomio para todo w ∈ W , además Ri0
es igual a Ri y las restricciones de Ri1 y S
i a CPm−1 × {w} coinciden. Si
|Ri − Si| < � entonces |r − s| < � y, entonces, |Rit − Si| < 2�.
Para i = 1, ..., r sean Fi las secciones de F
∗(O(Di)), respectivamente, que
definen el mapeo F . Escojamos � > 0 y δ > 0 tales que cualquier mapeo G
de CPm ×W a X dado por secciones Gi de F ∗(O(Di)) con |Fi −Gi| < δ, es
uniformemente � cercano a F . Supongamos que F ′i ∈Mi con |Fi−F ′i | < δ/2.
Aplicando la construcción anterior para Ri = F ′i y S
i = Fi obtenemos una �
aproximación de F la cual coincide con F en CPm−1 ×W y cuya restricción
a cualquier CPm × {w}, después de multiplicar por |z|2k para algún natural
k, es un (pi, qi) polinomio para algunos pi, qi con di = pi − qi.
Por (1.1) las secciones Ri1·|z|2k definen un (p, q) morfismo CPm×{w} → X
para todo w ∈ W . �
Proposición 2.1. El mapeo natural de Pf (d +∞,∞) en el espacio Ω2mX
de todos los mapeos continuos de CPm a X cuya restricción a un hiperplano
fijo coincide con f , es una equivalencia homotópica.
Demostración. Para una variedad riemanniana compacta M y cualquier es-
pacio Z existe � > 0 tal que cualesquiera dos mapeos de Z a M que son
uniformemente � cercanos, son homotópicos. Entonces, haciendo W = Sk en
el Lema 2.2, lo anterior implica que cualquier elemento de πkΩ
2mX puede ser
22 2 EL TEOREMA DE STONE-WEIERSTRASS.
aproximado por una clase en πkPf (d +∞,∞), por lo tanto tenemos que el
mapeo de los grupos de homotoṕıa
πkPf (d+∞,∞)→ πkΩ2mX
es sobreyectivo para todo k. Por otro lado haciendo W = Sk× [0, 1], el Lema
2.2 implica que toda homotoṕıa H : Sk × [0, 1]→ Ω2mX ser aproximada por
una homotoṕıa H̃ : Sk × [0, 1] → Pf (d +∞,∞) donde para cada nivel H̃t
está dado por un (p, q) morfismos con coeficientes en Sk × [0, 1]. �
Caṕıtulo 3
RESOLUCIONES
SIMPLICIALES.
Las resoluciones simpliciales fueron inventadas por Vassiliev y utilizadas
para el estudio topológico dediversos espacios como: espacios de polinomios
con raices múltiples, espacios de configuraciones de hiperplanos, espacios de
nudos, etc. Ejemplos de esto pueden encontrarse en [Vas92]. En la sección
3.1 se definen estas resoluciones y se dan algunas de sus propiedades. La
mayor utilidad de una resolución simplicial asociada a un espacio es que re-
sulta ser un espacio cuya topoloǵıa es comparable con el espacio original, por
ejemplo en ciertos casos es fácil mostrar que la resolución simplicial es ho-
motópicamente equivalente al espacio original, pero con la ventaja de poseer
una filtración natural {Zl}. Dicha filtración permite, por ejemplo, utilizar
sucesiones espectrales, que es el método usado por Vassiliev en [Vas92] y por
Mostovoy en [Mos01]. En la presente tesis utilizaremos las resoluciones sim-
pliciales para demostrar que los mapeos de estabilización entre los espacios
de polinomios Pf (p̄, q̄) definidos en el caṕıtulo anterior inducen isomorfismo
en homoloǵıa. Para esto bastará analizar los espacios Zl, sin necesidad de
usar sucesiones espectrales. Como se verá en el caṕıtulo siguiente, solo se
tiene una buena descripción de los espacios Zl para los primeros términos de
la filtración, por lo que es necesario utilizar resoluciones simpliciales trun-
cadas, como definidas en [Mos11]. La Sección 3.2 contiene la definición de las
resoluciones simpliciales truncadas.
3.1. Resoluciones simpliciales
Sea h : Z → Y un mapeo finito a uno entre espacios topológicos y sea
i un encaje de Z en RN para alguna N con la propiedad de que para cada
y ∈ Y , cualesquiera k puntos en el conjunto i◦h−1(y) generan un subespacio
24 3 RESOLUCIONES SIMPLICIALES.
af́ın de dimensión k− 1 en RN . Una resolución simplicial asociada al mapeo
h es el mapeo proyección
h∆ : Z∆ → Y
donde Z∆ es el espacio de parejas (t, y) ∈ RN × Y con y ∈ Y y t en la
envolvente convexa del conjunto i ◦ h−1(y). Para cualquier y ∈ Y , la fibra
(h∆)−1(y) es un simplejo.
Existe una filtración creciente
Z1 ⊂ Z2 ⊂ ... ⊂ Z∆
en cualquier resolución simplicial asociada al mapeo h : Z → Y dada por
los esqueletos de los simplejos. Esto es, el subespacio Zk ⊂ Z∆ está definido
como la unión de los k − 1 esqueletos de los simplejos (h∆)−1(y) sobre todo
y ∈ Y . En particular Z1 = Z. Las fibras del mapeo proyección h∆ siendo
simplejos son contraibles.
Si el mapeo h no es finito a uno, el encaje i de Z en RN con las propiedades
requeridas puede no existir. Si embargo, la resolución simplicial puede ser
construida eligiendo una sucesión de encajes ik : Z → RNk tal que cua-
lesquiera 2k puntos en el conjunto ik ◦ h−1(y) generen un subespacio af́ın de
RN de dimensión 2k−1. En este caso definimos Zk como el espacio de parejas
(t, y) ∈ RN × Y con y ∈ Y y t en algún k − 1 simplejo cuyos vértices están
en el conjunto ik ◦ h−1(y) en RNk .
Si (t, y) ∈ Zk con t =
∑
αiik(xi), entonces (
∑
αiik+1(xi), y) ∈ Zk+1. Por
lo tanto Zk puede ser identificado con un subespacio de Zk+1 y el espacio Z
∆
es definido como el ĺımite directo de los Zk.
3.2. Resoluciones simpliciales truncadas
En algunos ejemplos ocurre que sólo los primeros términos de la filtración
Zk son sencillos de describir. La siguiente construcción produce un reemplazo
más manejable para la resolución simplicial en estos casos.
Para un entero positivo d denotamos por hd : Zd → Y la restricción de
h∆ a Zd. Las fibras del mapeo hd son el d− 1 esqueleto de las fibras de h∆;
éstas no son simplejos sobre el subespacio
{y ∈ Y |h−1(y) consiste de más de d puntos}.
3.3 Algunos ejemplos 25
Escribimos Y (d) para la cerradura de este subespacio. Modificamos Zd de
tal manera que todas las fibras de hd sean contraibles añadiendo a cada fibra
sobre Y (d) un cono cuya base es esta fibra. Denotamos el espacio resultante
por Z∆(d) y la extensión natural de hd a Z
∆(d) por h∆(d).
Más formalmente, si h es un mapeo finito, Z∆(d) es un subespacio de
R× RN × Y definido como la unión de dos piezas, {0} × Zd y el subespacio
que consiste de todos los intervalos que unen los puntos (1, 0, y) y (0, t, y)
donde y ∈ Y (d) y (t, y) ∈ Zd. En Z∆(d) existe un filtración Zk(d) que
coincide con {0}×Zk para 1 ≤ k ≤ d y que es igual a todo el espacio Z∆(d)
para k > d. Si h no es finito entonces tomando RNd en lugar de RN puede
construirse la resolución simplicial truncada de manera análoga.
Una propiedad importante de las resoluciones simpliciales truncadas que
se utilizará en el siguiente caṕıtulo es el siguiente lema.
Lema 3.1 (Mos11). dim(Zd+1(d)− Zd(d)) = dim(Zd − Zd−1) + 1.
De hecho, cada fibra Zd+1(d)−Zd(d) es un cono abierto sobre la cerradura
del espacio Zd − Zd−1.
3.3. Algunos ejemplos
3.3.1. Ejemplo 1: la figura ocho
La resolución simplicial asociada a la proyección del ćırculo sobre la figura
ocho que identifica dos puntos se muestra en la siguiente figura
26 3 RESOLUCIONES SIMPLICIALES.
3.3.2. Ejemplo 2: la doble cubierta de S1
La resolución simplicial de la doble cubierta S1 → S1 resulta ser la banda
de Moebius.
3.3.3. Ejemplo 3: el simplejo de dimensión infinita
Sea W ⊂ Cm un subconjunto y W → • en mapeo que colapsa todo W a
un punto. Sea kd =
(
m
d
)
y νd : Cm → Ck el encaje de Veronese de grado d, el
cual manda un punto x ∈ Cm al valor en x de todos los posibles monomios
de grado d.
3.3.4 Ejemplo 4: espacios de polinomios con raices múltiples 27
Lema 3.2. Si l ≤ d las imágenes en Ck bajo νd de cualesquiera l puntos
distintos en Cm son af́ın independientes.
Demostración. Sean xi = (x1,i, ..., xm,i) con i = 1, ..., l puntos distintos de
Cm. Mediante un cambio de coordenadas podemos asumir que las coorde-
nadas x1,i de los l puntos son todas distintas, entonces la matriz de Van-
dermonde construida con las potencias de los x1,i es no degenerada. Esto de-
muestra que las imágenes en Ck de los puntos xi son af́ın independientes. �
La filtración de la resolución simplicial W∆ asociada a W → • respecto
a la familia de encajes νl : W → Ckl tiene como términos los espacios
Wl =
⋃
{w1,...,wl}⊂W
EnvolventeConvexa(νl(wi))
Si la cardinalidad de W no es finita, W∆ puede ser pensada como un
simplejo de dimensión infinita cuyos vértices están parametrizados por el
conjunto W .
3.3.4. Ejemplo 4: espacios de polinomios con raices
múltiples
A continuación se expone un ejemplo usado por Vassiliev en [Vas92] para
el estudio de espacios de polinomios con raices múltiples.
Sea Θk, o simplemente Θ, el espacio de polinomios con coeficientes reales
que tienen al menos una ráız de multiplicidad al menos k. Sea Θl el sub-
conjunto de Θ que consiste de polinomios con al menos l ráıces distintas
de multiplicidad al menos k. Estos espacios son singulares y en particular
Θl ⊂ singΘl+1. Construiremos una resolución simplicial de estas singulari-
dades. Denotamos por Cl(R) el espacio de configuraciones de l puntos dis-
tintos en R. Sea Z l el subconjunto de Θl × Cl(R) de parejas de la forma
Z l = {(f, {t1, ..., tl}) |multif ≥ k}.
Fijando t ∈ R una ecuación de la forma
d∑
i=0
ait
i = 0
28 3 RESOLUCIONES SIMPLICIALES.
es una ecuación lineal en el espacio de coeficientes de polinomios de grado
d, entonces el conjunto Z l resulta ser un haz af́ın de rango d − kl sobre el
espacio Cl(R).
Denotamos por [x] el mayor entero más pequeño que x. Sea ι : R →
R[d/k]−1 el encaje de Veronese, el cual está dado por t 7→ (t, t2, ...., t[d/k]−1).
Este mapeo tiene la propiedead de que las imagenes de [d/k] puntos distitos
no están contenidas en ningún subespacio af́ın de diemensión [d/k] − 2 en
R[d/k]−1, y por lo tanto generan un simpejo de dimensión [d/k]− 1.
Para cada r = 1, ..., [d/k] y cualquier punto (f, {t1, ..., tl}) ∈ Z l consider-
amos un simplejo abierto en Θ×R[d/k]−1 de dimensión l−1 cuya proyección a
Θ es el punto f y cuya proyección a R[d/k]−1 es el simplejo abierto con vértices
t1, ..., tl. Denotamos por Z̄l la unión de estos simplejos sobre todos los puntos
de Θl. Escribimos Z∆ para la unión 1 ≤ l ≤ [d/k] de losespacios Z̄l. La
proyección Z∆ → Θ es la resolución simplicial asociada al mapeo proyección
Z → Θk respecto al encaje ι. El espacio Z∆ tiene una filtración natural
Z1 ⊂ Z2 ⊂ ... ⊂ Z∆,
donde el término Zi es la unión de los espacios Z̄l para i ≤ l. Veamos que la
proyección h∆ : Z∆ → Θ es una equivalencia homotópica.
Θ es un espacio estratificado por los espacios Θl para l = 1, ...., [d/k]. Θ
puede ser triangulado de tal manera que la triangulación respete la estratifi-
cación. Sea Bi el i-ésimo esqueleto de esta triangulación. Sea Ui ⊂ Bi+1 una
vecindad abierta de Bi en Bi+1 y r : Ui → Bi retracto por deformación. Da-
do que al hacer variar de manera continua los coeficientes de un polinomio
la variación de sus raices es también continua, r se levanta a un retracto
por deformación r̃ : h−1(Ui) → Bi. Restringiendo r̃ a cada fibra se tienen
aplicaciones r̃f : (h
∆)−1(f)→ (h∆)−1(r(f)) las cuales corresponden a mover
de manera continua los vértices del simplejo (h∆)−1(f) a los del simplejo
(h∆)−1(r(f)). Para todo f ∈ Θ la fibra (h∆)−1(f) es contraible y por lo tan-
to r̃f resulta ser equivalencias homotópica para todo x ∈ Bi+1, por lo tanto
h∆ es una casifibración, usando la sucesión exacta de grupos de homotoṕıa
para casifibraciones se concluye que h∆ : Z∆ → Θ induce isomorfismo en
grupos de homotoṕıa. Por el Teorema de Whitehead h∆ es una equivalencia
homotópica.
Caṕıtulo 4
GRUPOS DE HOMOLOGÍA
ESTABLES
El presente caṕıtulo contiene la demostración del Teorema 0.2, que com-
para la homoloǵıa del espacio de morfismos de CPm a una variedad tórica
compacta y suave, con la homoloǵıa del correspondiente espacio de mapeos
continuos. Para esto basta demostrar que los mapeos de estabilización en-
tre los espacios Pf (p, q) inducen isomorfismo en homoloǵıa, esto junto con los
resultados del Caṕıtulo 2 permite la demostración del Teorema 0.2. La herra-
mienta principal usada en este caṕıtulo será la resolución simplicial truncada
de un espacio. Recordemos que Pf (p, q) es un espacio de mapeos CPm → X
dado por polinomios, donde X es una variedad tórica suave y compacta que
puede escribirse como el cociente X = (Cr − Y )/G.
4.1. Espacios de polinomios
Sean [z0 : ... : zm] coordenadas homogéneas para CPm, denotaremos por
CPm−1 el hiperplano en CPm dado por zm = 0 y por Cm la carta af́ın dada
por zm = 1.
Como antes denotamos por n1, ...,nr los generadores primitivos de las
aristas del abanico asociado a X, recordemos que para p, q ∈ Z un (p, q)
polinomio es un polinomio complejo homogéneo de grado p en variables
holomorfas zj y homogéneo de grado q en variables antiholomorfas z̄j. Para
p̄ = (p1, ..., pr), q̄ = (q1, ..., qr) ∈ Zr tales que
∑
pini =
∑
qini = 0, deno-
taremos por Wpi,qi el espacio de todos los (pi, qi) polinomios. Cada espacio
Wpi,qi puede pensarse como el espacio de coeficientes y por lo tanto como
un espacio complejo af́ın de dimensión
(
pi+m
m
)(
qi+m
m
)
. Denotamos por Wp̄,q̄ el
producto cartesiano de los espacios Wpi,qi y por Np̄,q̄ su dimensión compleja.
Teniendo presente que todo morfismo CPm → X puede ser dado por una
30 4 GRUPOS DE HOMOLOGÍA ESTABLES
r tupla de polinomios, sea f : CPm−1 → X un morfismo fijo y Pf (p̄, q̄),
como antes, el espacio de mapeos CPm → X dados por r tuplas de (pi, qi)
polinomios cuya restricción a CPm−1 coincide con f . Fijando los coeficientes
de estos polinomios se puede definir un encaje del espacio de mapeos Pf (p̄, q̄)
en el espacio Wp̄,q̄, mandando una r tupla de polinomios a los coeficientes
que los definen. Escribiendo X = (Cr − Y )/G podemos ver a Pf (p̄, q̄) como
el espacio de elementos (P1, ..., Pr) en Wp̄,q̄ tales que (P1(z), ..., Pr(z)) /∈ Y
para todo z ∈ Cm.
Sea Vi el espacio vectorial complejo generado por todos los monomios de
grado a lo más pi en las variables zj y a lo más de grado qi en las variables
z̄j. Denotamos por νpi,qi el mapeo tipo Veronesse de Cm a Vi que manda un
punto z = (z0, ..., zm−1) al punto cuyas coordenadas son los valores de los
monomios correspondientes evaluados en z. Por el Lema 3.1 si k ≤ pi las
imágenes en Vi bajo νpi,qi de cualesquiera k puntos distintos en Cm son af́ın
independientes.
4.2. La resolución simplicial
Para estudiar la homoloǵıa de Pf (p̄, q̄) estudiaremos el complemento de
este espacio en el espacio af́ın Wp̄,q̄, el cual denotaremos por Θp̄,q̄, o simple-
mente Θ cuando no haya confusión,
Θ = {(P1, ..., Pr) ∈ Wp̄,q̄|(P1(x), ..., Pr(x)) ∈ Y para algún x ∈ Cm}.
La cohomoloǵıa de Pf (p̄, q̄) está relacionada con la homoloǵıa de Θ
• mediante
la dualidad de Alexander:
H̃ i(Θ•) = H̃Np̄,q̄−i−1(Pf (p̄, q̄)).
Sea Z ⊂ Wp̄,q̄ × Cm el conjunto
{(F1, ..., Fr, x)|(F1(x), ..., Fr(x)) ∈ Y }.
Sea k el ı́ndice para el cual pk = mı́n{p1, ..., pr}. Para simplificar notación
escribiremos V = Vk y ν = νpk,qk . Existe una proyección Z → Θ que olvida
la coordenada x. Denotamos por Z∆ el espacio de resoluciones simpliciales
asociado a este mapeo con respecto al encaje Z ↪→ Wp,q × V el cual manda
(Fi, x) a (Fi, ν(x)).
4.2 La resolución simplicial 31
Para un espacio topológico U usaremos la notación U• para la compacti-
ficación por un punto de U . Se tiene la filtración creciente
Z•0 ⊂ Z•1 ⊂ ... ⊂ (Z∆)•
inducida por la filtración Zl en Z
∆, donde el término (Z0)
• es el punto añadi-
do. En particular para todo l > 0, los espacios Z•l /Z
•
l−1 y Zl/Zl−1 coinciden.
Consideremos el espacio de configuraciones de l puntos en Cm con etique-
tas en Y , el cual denotaremos por Rl:
Rl := {(si, xi) ∈ (Y × Cm)l|xi 6= xj para i 6= j}/Sl
donde el grupo simétrico Sl actúa permutando las coordenadas (si, xi) de los
puntos en (Y × Cm)l. Dado que
Y =
⋃
{ni1 ,...,nis}primitivo
{(xi1 , ..., xis) |xij = 0 para j = 1, ..., s}
Sea k la cardinalidad del subconjunto primitivo más pequeño de {n1, ...,nr}
entonces la dimensión de Rl es igual a 2l(r − k +m)
Sea p = mı́n{p1, ..., pr}, tenemos la siguiente
Proposición 4.1. Para todo l ≤ p el espacio Zl \ Zl−1 es un haz fibrado de
rango 2(Np̄,q̄ − rl) + l − 1 sobre el espacio Rl.
Demostración. Un punto en Zl \ Zl−1 ⊂ Wp̄,q̄ × V puede ser escrito como
(F1, .., Fr, t) donde t está en la envolvente convexa en V de la imagen bajo
ν de l puntos distintos x1, ..., xl ∈ Cm con (F1(xj), .., Fr(xj)) ∈ Y . Exis-
te una proyección Zl → Rl que manda un elemento (F1, .., Fr, t) al punto
((F1(xj), ..., Fr(xj)), xj) ∈ Rl, donde x1, ..., xl son los puntos en Cm para los
cuales la envolvente convexa de sus imágenes bajo ν contiene a t. La imagen
inversa de un elemento fijo (xj, sj) ∈ Rl es el producto cartesiano de dos espa-
cios, uno de ellos es el subespacio deWp̄,q̄ que consiste de elementos (F1, ..., Fr)
tales que (F1(xj), ...., Fr(xj)) = sj, y el otro es el interior de la envolvente con-
vexa de las imagenes bajo ν de los puntos x1, ..., xl. Cada ecuación Fi(xj) = sj
es una ecuación lineal en el espacio de coeficientes Wpi,qi , además por el Lema
3.2 estas ecuaciones son independientes, por lo tanto el subespacio de Wp̄,q̄
de r tuplas de polinomios que satisfacen (F1(xj), ...., Fr(xj)) = sj tiene di-
mensión compleja Np̄,q̄ − rl. El Lema 3.2 también implica que las imágenes
de los puntos x1, ..., xl bajo ν son afinmente independientes en V , entonces
la envolvente convexa de estas imágenes es un l − 1 simpejo. �
32 4 GRUPOS DE HOMOLOGÍA ESTABLES
Para l > p las ecuaciones Fi(xj) = sj dejan de ser independientes y no se
tiene una buena descripción de los espacios Zl\Zl−1. Consideraremos entonces
la correspondiente resolución simplicial truncada, la cual denotaremos por
Z∆(p).
La proyección Z∆(p)→ Θ se extiende a una proyección de las compacti-
ficaciones por un punto ρ : (Z∆(p))• → Θ•. Las fibras de esta proyección son
contraibles, por el Teorema de Viatoris-Begle se tiene que ρ induce isomor-
fismo en grupos de homoloǵıa en todas las dimensiones.
4.3. Resultados de estabilización
El mapeo de estabilización que manda Pf (p̄, q̄) a Pf (p̄ + ā, q̄ + ā) es de
hecho la restricción delmapeo
Wp̄,q̄ −→ Wp̄+ā,q̄+ā
(F1, ..., Fr) 7→ (|z|a1F1, ..., |z|arFr)
el cual también manda Θp̄,q̄ a Θp̄+ā,q̄+ā. Este mapeo induce una aplicación en
la resolución simplicial de los discriminantes, la cual preserva las filtraciones.
Proposición 4.2. Para l ≤ p el espacio Zp̄+ā,q̄+ā es un haz af́ın orientable
sobre Zp̄,q̄ de rango real 2(Np̄+ā,q̄+ā −Np̄,q̄).
Demostración. Sea ∆l(Y × Cm) el l ésimo término de la filtración en la
resolución simplicial del mapeo que colapsa Y × Cm a un punto (véase el
Ejemplo 3.3). Los espacios ∆l(Y × Cm) pueden pensarse como los l − 1
esqueletos de un simplejo cuyos vértices están parametrizados por el espacio
Y × Cm. Existe un mapeo sobreyectivo
πp̄,q̄ : Zl(p̄, q̄)→ ∆l(Y × Cm),
que manda un punto (F1, .., Fr,
∑
αjxj) al punto
∑
αj(Fi(xj), xj). La fibra
sobre un punto
∑
αj(sj, xj) ∈ ∆l(Y × Cm) es el subespacio de Wp̄,q̄ de
elementos tales que (F1(xj), ..., Fr(xj)) = sj, esto es un espacio complejo af́ın
de dimensión Np̄,q̄− l′r donde l′ es el número de α’s distintas de cero. Se tiene
un diagrama conmutativo
Zl(p̄, q̄) ↪→ Zl(p̄+ ā, q̄ + ā)
πp̄,q̄ ↓ πp̄+ā,q̄+ā ↓
∆l(Y × Cm) ' ∆l(Y × Cm)
4.3 Resultados de estabilización 33
donde la flecha superior horizontal es la estabilización y la equivalencia infe-
rior horizontal es inducida por el automorfismo de Cm × Y dado por
((z1, ..., zm), (s1, ..., sr)) 7→ ((z1, ..., zm), (|z|a1s1, ..., |z|arsr)).
Sobre cada punto de ∆l(Cm × Y ) la fibra de πp̄,q̄ es un subespacio complejo
af́ın de la fibra de πp̄+ā,q̄+ā cuya codimensión compleja es exactamente
Np̄+ā,q̄+ā − l′r − (Np̄,q̄ − l′r) = Np̄+ā,q̄+ā −Np̄,q̄
. �
Como corolario de la Proposición 4.2 se tiene que para todo i existe un
isomorfismo de Thom
H̃i(Zl(p̄, q̄)
•) ' H̃i+2(Np̄+ā,q̄+ā−Np̄,q̄)(Zl(p̄+ ā, q̄ + ā)•)
para todo l ≤ p.
Usaremos ahora la resolución simplicial truncada Z∆(p) del espacio Θ(p̄, q̄)•.
Por el Lema 3.1, Z∆(p) puede ser obtienida de Zp(p̄, q̄)
• añadiendo celdas de
dimensión a lo más dim(Zp(p̄, q̄)\Zp−1(p̄, q̄)) + 1. Por la Proposición 4.1, esta
dimensión es igual a
(2(Np̄,q̄ − pr) + p− 1) + dimRp + 1 = 2Np̄,q̄ + p(2m− 2k + 1).
Dado que añadir celdas de cierta dimensión no cambia los grupos de ho-
moloǵıa de dimensiones mayores se tiene que:
H̃i(Zp(p̄, q̄)
•) ' H̃i(Z∆(p)(p̄, q̄)) ' H̃i(Θ(p̄, q̄))
para i > 2Np̄,q̄ + p(2m− 2k + 1).
De manera similar, la correspondiente resolución simplicial truncada para
Θ(p̄+ ā, q̄ + ā)• puede ser obtenida añadiendo celdas de dimensión a lo más
2Np̄+ā,q̄+ā + p(2m− 2k + 1) a Zp(p̄+ ā, q̄ + ā)•.
En particular se tiene un isomorfismo
H̃i(Θ
•
p̄,q̄) ' H̃i+2(Np̄+ā,q̄+ā−Np̄,q̄)(Θ•p̄+ā,q̄+ā)
para todo i > 2Np̄,q̄ + p(2m− 2k + 1).
34 4 GRUPOS DE HOMOLOGÍA ESTABLES
De la dualidad de Alexander se sigue que
H i(Pf (p̄, q̄),Z) = H i(Pf (p̄+ ā, q̄ + ā),Z)
para todo i < p(2k − 2m− 1)− 1.
El hecho de que este isomorfismo es inducido por los mapeos de esta-
bilización se sigue de la definición de la dualidad de Alexander mediante
números de enlace. Si un mapeo induce isomorfismo en cohomoloǵıa con
coeficientes enteros hasta cierta dimensión, entonces también induce isomor-
fismo en homoloǵıa con coeficientes enteros hasta la misma dimensión. Se
tiene entonces la siguiente
Proposición 4.3. El isomorfismo
H̃i(Pf (p̄, q̄),Z)→ H̃i(Pf (p̄+ ā, q̄ + ā),Z)
inducido por el mapeo de estabiliación induce isomorfismo para todo i <
p(2k − 2m− 1)− 1.
Daremos ahora la demostración del Teorema 0.2
Demostración. [0.2] Recordemos que Pf (d̄) es el espacio de morfismos CPm →
X dados por tuplas de polinomios de multigrado d̄, el cual por definición coin-
cide con el espacio Pf (d̄, 0). Entonces el espacio Pf (d̄) se relaciona con los es-
pacios Pf (p̄, q̄) mediante los mapeos de estabilización, recordemos que hemos
denotado por Pf (d+∞,∞) al ĺımite de estos espacios. Por la Proposición 2.1
este espacio es homotópicamente equivalente al espacio correspondiente de
mapeos continuos CPm → X. Por otro lado por la Proposición 4.3 los mapeos
de estabilización inducen isomorfismo en grupos de homoloǵıa para dimen-
siones menores que d(2k − 2m − 1) − 1, donde d̄ = (d1, ..., dr) y d = mı́n di,
lo cual demuestra el Teorema 0.2
�
Referencias
[BHM01] C. P. Boyer, J. C. Hurtubise, and R. J. Milgram. Stability theo-
rems for spaces of rational curves. Internat. J. Math., 12(2):223–
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	Portada
	Índice General
	Introducción
	Capítulo 1. Variedades Tóricas
	Capítulo 2. El Teorema de Stone-Weierstrass
	Capítulo 3. Resoluciones Simpliciales
	Capítulo4. Grupos de Homología Estables
	Referencias