Ejercicios Sistemas Dinamicos - Bárbara Bautista Aguilar

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ECOMAT
Ejercicios sobre sistemas dinámicos (ecuaciones diferenciales primer orden)
He puesto algunas respuestas para que puedan controlar sus resultados. Por favor, si alguien
detecta algún error que me avise. gracias!
1. (Para practicar un poco la obtención de soluciones). Para cada una de las siguientes ecuaciones
diferenciales, encuentre: (i) la solución general; (ii) la expresión general para la familia de
soluciones particulares, y (iii) la solución particular para las condiciones iniciales dadas.
(a) dUdt = 4t ln (t), (t0; U0) = (0; 0)
R: (i) U (t) = 2t2 ln t � t2 + C; (ii) U (t) = 2
�
t2 ln t� t20 ln t0
�
�
�
t2 � t20
�
+ U0; (iii)
U (t) = 2t2 ln t� t2.
(b) t3 dxdt = x, (t0; x0) = (1; 2)
R: (i) x (t) = Ce�
1
2t2 ; (ii) x (t) = x0e
1
2
�
1
t20
� 1
t2
�
; (iii) x (t) = 2e
1
2
�
1� 1
t2
�
.
(c) dydt + 2ty = t, (t0; y0) = (0; 1)
R: (i) y (t) = 12 + e
�t2C; (ii) y (t) = 12 + e
�(t2�t20)
�
y0 � 12
�
; (iii) y (t) = 1+e
�t2
2 .
(d) ddt
�
x (t) e3t
�
= e�t, (t0; x0) = (0; 3)
R: (i) x (t) = �e�4t + e�3tC; (ii) x (t) = �e�4t + e�3t
�
x0e
3t0 + e�t0
�
; (iii) x (t) =
�e�4t + 4e�3t.
2. Considere las siguientes ecuaciones diferenciales y veri�que si las soluciones propuestas efec-
tivamente lo son.
(a) d
2y
dt2
� 5dydt + 6y = 0, soluciones propuestas: y1 (t) = e
2t y y2 (t) = e3t
R: ambas son soluciones.
(b) d
3x
dt3
+ d
2x
dt2
= 10dxdt � 8x, soluciones generales propuestas: x1 (t) = c1e
t + c2e
2t + c3e
�4t y
x2 (t) = c1e
2t + c2e
�2t + c3e�4t; donde c1; c2 y c3 son constantes arbitrarias.
R: solo x1(t) lo es.
(c) dzdt =
z2
1�zt , solución general propuesta: zt = ln z+c (note que el lado izquierdo es z� t).
R: sí lo es (es una solución implícita).
3. Encuentre la función g(t) de�nida para t > �1 que tiene pendiente igual a ln(1 + t) y pasa
por el origen.
R: g (t) = (t+ 1) [ln (t+ 1)� 1] + 1
4. ¿Cuáles de las siguientes ecuaciones diferenciales tienen con seguridad solución única (por lo
menos en algún intervalo pequeño) para cualquier condición inicial en t0 = 0 no negativa (es
decir, x (0) � 0)?
(Ayuda: veri�que si se cumplen las condiciones su�cientes del correspondiente teorema de
existencia y unicidad. Si no se cumplen, entonces no se sabrá con seguridad si la solución es
única o no).
(a) dxdt = x
�
1� x2
�
(b) dxdt = x
3
(c) dxdt = x
1
3
1
(d) dxdt = x
1
2 (1 + x)2
(e) dxdt = (1 + x)
3
2
R: tienen solución única con seguridad las ecuaciones (a), (b) y (e).
5. Para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales de primer orden autónomas: (i)
gra�que aproximadamente la ecuación diferencial; (ii) si existen, encuentre el o los puntos
de equilibrio o puntos estacionarios; (iii) determine formalmente qué tipo de puntos son; (iv)
gra�que el diagrama de fase mostrando los resultados de (ii) y (iii).
(a) dxdt = �x+ 1
(b) dxdt = x (2� x)
(c) dxdt = �x (1� x) (2� x)
(d) dxdt = x
2 � x4
6. Para las siguientes ecuaciones diferenciales y teniendo en cuenta los posibles valores del
parámetro k (rangos relevantes): (i) realice el grá�co de la ecuación diferencial; (ii) encuentre
todos los puntos estacionarios; (iii) determine analíticamente su naturaleza y (iv) dibuje el
diagrama de fases.
(a) dxdt = x
2 � k
R:
(i) El grá�co de la ecuación diferencial será distinto según k sea estrictamente
positivo, igual a cero o estrictamente negativo. Así, tendríamos tres casos distintos.
- k < 0, grá�co aproximado
donde se observa que no hay puntos estacionarios, pues dxdt > 0 para todo valor de x.
2
- k = 0, dxdt = x
2 y el grá�co es
donde se observa que hay un único punto estacionario.
- k > 0, el grá�co aproximado es
donde se aprecian dos puntos estacionarios.
(ii) puntos estacionarios
- k < 0, no hay
- k = 0, un punto: dxdt = x
2 = 0 () x� = 0
- k > 0, dos puntos: dxdt = x
2 � k = 0 () x�1 =
p
k o x�2 = �
p
k
(iii) naturaleza de los puntos estacionarios
- k < 0, no hay
- k = 0, un punto x� = 0 este punto es semi-estable, pues ddx
�
dx
dt
�
= 2x y cuando
x ! 0� por izquierda, la derivada es negativa; pero cuando x ! 0+ por derecha, la
derivada es positiva.
- k > 0, dos puntos: x�1 =
p
k o x�2 = �
p
k. Evaluando en ddx
�
dx
dt
�
= 2x, concluimos que:
x�1 es inestable o repulsor y x
�
2 es atractivo (y por lo tanto, estable).
3
(iv) diagramas de fase
0
x
k < 0
k = 0
k > 0
0
0
= punto estacionario
x1x2
(b) dxdt = kx� x
2
(c) dxdt = � (1 + x)
�
x2 � k
�
(d) dxdt = sinx+ k
7. Para cada uno de los siguientes sistemas de ecuaciones diferenciales: (i) encuentre los puntos
estacionarios y (ii) analice grá�camente en el plano de fase (mediante los vectores de fuerza)
la estabilidad de dichos puntos.
(a)
� dx
dt = 8x+ 14y
dy
dt = 7x+ y
(b)
� dx
dt = 4x� y
dy
dt = 2x+ y
(c)
�
dx
dt =
2x+y
2
dy
dt = 2x+ y
(d)
� dx
dt = x� 3y
dy
dt = x+ 2y
4