Clase12 - Zaida Moreno Páez

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Econometría I- EAE250A:
Modelo Regesión Lineal Multiple: Inferencia
Burcu Eke
25/09/2014
Tabla de Contenidos
1. Test de hipótesis sobre un parámetro
2. Test de hipótesis sobre un conjunto de parámetros
3. Modelo restringido
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Test de hipótesis
I La forma general de las hipótesis es Rβ
∼
= q donde
j es el numero de los hipótesis lineales
R es una matriz de j× (k + 1)
q es un vector de j× 1
I Es decir:  r00 . . . r0k... . . . ...
rj0 . . . rjk

 β0...
βk
 =
 q0...
qk

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Test sobre un parámetro
I Considere el modelo y=β0 + β1x1 + . . . + βkxk + ε
I H0 : βj = β0j
I Test de una cola: H1 : βj > β0j o H1 : βj < β
0
j
I Test de dos colas: H1 : βj = β0j
I Entonces
(
. . . 1 . . .
)
...
βj
...
 = ( β0j )
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Ejemplo 1:
Fuente: Wooldridge, Cap 4.
I H0 : β3 = 0 vs H1 : β3 = 0
I α = 0.5, n− k− 1 = 408− 3− 1 = 404, el valor critico es
−z0.025 = −1.96.
I t =
−0.00020
0.00022
= −0.91
I −0.91 > −1.96 No Rechaza H0, la variable “enroll” es
indivualmente no significativa
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Ejemplo 1: (cont.)
I H0 : β2 = 0.5 vs H1 : β2 < 0.5
I α = 0.5, n− k− 1 = 408− 3− 1 = 404, el valor critico es
−z0.05 = −1.645.
I t =
0.048− 0.5
0.04
= −11.3
I −11.3 < −1.645 Rechaza H0
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Test de hipótesis sobre un conjunto de
parámetros
I Una restricción lineal
I Dos o mas restricciones lineales
I Modelo restringido
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Test con un conjunto de parámetros: Una
restricción lineal
I Considere el modelo
y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + β4x4 + ε
H0 : β1 = β2 ⇒ t =
β̂1 − β̂2
se
(
β̂1 − β̂2
)
H0 : β3 + β4 = 1 ⇒ t =
β̂3 + β̂4 − 1
se
(
β̂3 + β̂4
)
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Ejemplo 2:
I Considere la siguiente función de producción:
Ŷ = 2.37+ 0.632X1 + 0.452X2 n = 31
(0.257) (0.219)
sβ̂1,β̂2 Ĉ(β̂1, β̂2) = 0.055
Y =logaritmo de producción
X1 =logaritmo de trabajo
X2 =logaritmo de capital
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Ejemplo 2 (cont.)
I Considere H0 : β1 + β2 = 1 (Rendimientos constantes a
escala) vs H1 : β1 + β2 6= 1, con α = 0.5
I Bajo H0,
t =
β̂1 + β̂2 − 1
sβ̂1+β̂2
∼ t31−1−2
with
sβ̂1+β̂2 =
√
V̂(β̂1 + β̂2) =
√
V̂(β̂1) + V̂(β̂2) + 2Ĉ(β̂1 + β̂2)
I |t| =
∣∣∣∣∣ 0.632 + 0.452− 1√(0.257)2 + (0.219)2 + 2 ∗ 0.055
∣∣∣∣∣ = 0.177 < t0.025,28
I Por tanto, no se rechaza la hipótesis nula de rendimientos
constantes a escala.
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Test con un conjunto de parámetros: Varias
restricciones lineales
I Considere las siguientes hipótesis:
H0 : β1 = β2 = . . . = βk = 0
H0 : β1 = 0
β2 = 1
H0 : β1 + β3 = 0
β2 = −1
β4 − 2β5 = 1
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Varias restricciones lineales (cont)
I Modelo no restringido: El modelo bajo H1
I Modelo restringido: El modelo H0
I Por ejemplo, considere el modelo siguiente:
y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + ε
Dado H0 : β1 = β2 = 0 y H1 : β1 6= 0 y/o β2 6= 0 (o
H1 : βj 6= 0 para algún j = 1, 2)
Modelo no restringido: y = β0 + β1x1 + β2x2 + β3x3 + ε
Modelo restringido: y = β0 + β3x3 + ε
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Varias restricciones lineales (cont)
I Se define:
Modelo Modelo
no restringido restringido
Coeficiente de
determinación: R2nr R2r
Suma de cuadrados
de los residuos: SSRnr SSRr
I Se define q =el número de las restricciones lineales en H0
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Varias restricciones lineales (cont)
I Bajo H0;
F =
(SSRr − SSRnr) /q
SSRnr/(n− k− 1)
∼ Fq,n−k−1
I Equivalentemente;
F =
(
R2nr − R2r
)
/q
(1− R2nr) /(n− k− 1)
∼ Fq,n−k−1
I Nota que
(SSRr − SSRnr) /q
SSRnr/(n− k− 1)
=
(
R2nr − R2r
)
/q
(1− R2nr) /(n− k− 1)
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Ejemplo 3:
I Considere los siguientes modelos:
̂ln(ingreso) = 11.10+ 0.0689yrs+ 0.0126gamesyr
(0.29) (0.0121) (0.0026)
+ 0.00098bavg+ 0.144hrunyr+ 0.0108rbisyr
(0.0011) (0.0161) (0.0072)
n = 353, SSR = 183.186, R2 = 0.6278
̂ln(ingreso) = 11.22+ 0.0713yrs+ 0.0202gamesyr
(0.11) (0.0125) (0.0013)
n = 353, SSR = 198.311, R2 = 0.5971
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Ejemplo 3 (cont.)
I H0 : β3 = β4 = β5 = 0 vs H1 : βj 6= 0 para algún j = 3, 4, 5
I SSRr = 198.311, SSRnr = 183.186,
F =
(198.311− 183.186/3
183.186/(353− 5− 1) = 9.55
I R2r = 0.5971, R2nr = 0.6278,
F =
(0.6278− 0.5971)/3
(1− 0.6278)/(353− 5− 1) = 9.55
I Con α = 0.05, F3,347 = 2.60
I 9.55 > 2.60, Rechaza la H0, las 3 variables son
conjuntamente significativas al α = 5%.
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Ejemplo 3 (cont.)
I Considere el modelo no restringido para tests de
significancia indivudual
̂ln(ingreso) = 11.10+ 0.0689yrs+ 0.0126gamesyr
(0.29) (0.0121) (0.0026)
+ 0.00098bavg+ 0.144hrunyr+ 0.0108rbisyr
(0.0011) (0.0161) (0.0072)
n = 353, SSR = 183.186, R2 = 0.6278
I α = 5%, t0.025,347 ≈ 1.96
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Ejemplo 3 (cont.)
I H0 : β3 = 0 vs. H1 : β3 6= 0
t =
0.00098
0.0011
= 0.89 < 1.96 no rechaza H0, no significativa
I H0 : β4 = 0 vs. H1 : β4 6= 0
t =
0.144
0.0161
= 8.94 > 1.96 rechaza H0, significativa
I H0 : β5 = 0 vs. H1 : β5 6= 0
t =
0.0108
0.0072
= 1.5 < 1.96 no rechaza H0, no significativa
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Significación Global
I Considere el modelo y=β0 + β1x1 + . . . + βkxk + ε
I Test de significación global
H0 : β1 = . . . = βk = 0 ⇒ La hipótesis nula es que el
modelo no explica y
El modelo restringido: y=β0 + ε, con R2r = 0, ¿Por qué?
I Test de F:
F =
R2nr/q
(1− R2nr)/(n− k− 1)
∼ Fk,n−k−1
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Ejemplo 3 (cont.)
I Considere el modelo no restringido para test de
significancia global: H0 : β1 = . . . = β5 = 0
̂ln(ingreso) = 11.10+ 0.0689yrs+ 0.0126gamesyr
(0.29) (0.0121) (0.0026)
+ 0.00098bavg+ 0.144hrunyr+ 0.0108rbisyr
(0.0011) (0.0161) (0.0072)
n = 353, SSR = 183.186, R2 = 0.6278
I α = 5%, F5,347
F =
0.6278/5
(1− 0.6278)/347 = 117.35
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