ecuaciones e inecuaciones - Martín Nuñez

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CURSO DE NIVELACION 
Todos los institutos de nivel superior consideran que una de las causas 
determinantes del alto indice de reprobados, en los primeros aries de estudio, 
se debe a la mala preparaci6n de los estudiantes que ingresan a ellos. 
Los Cursos Propedeuticos, los Ciclos Basicos y los Estudios Generales, que, .. 
<se han venido implantando en los primeros semestres de la Educaci6n Supe­
rior, presentan, como uno de sus objetivos fundamentales, proporcionar a los
 
estudiantes los conocimientos y destrezas que por diversas razones no logra­
ron adquirir en sus estudios de bachillerato.
 
EI alto indice de reprobados y repitientes, en estos cursos iniciales, de­
muestran que no han logrado alcanzar el objetivo propuesto. Se sefialan como 
posibles causas del fracaso de estos cursos las siguientes: 
a)	 Son programados y ejecutados por profesores universitarios, sin tornar 
en cuenta la situaci6n real de la Educaci6n Media del Pais. 
b)	 Se aplican por igual a todos los estudiantes que ingresan, sin tomar en 
cuenta la gama de desniveles de conocimientos existentes entre los 
estudiantes que egresan de la Educaci6n Media. 
Para buscar una solucion a estos problemas, el Vice-rectorado Academico 
(1975) de la Universidad Central de Venezuela realiz6 una investigaci6n que 
culmin6 en la elaboraci6n de un programa, el cual fue acogido por la Comi­
si6n Organizadora del Instituto Universitario de Tecnologia del Estado Trujillo. 
Este programa se basa en: 
a)	 Un diagn6stico de los conocimientos que los estudiantes han debido 
adquirir en la Educaci6n Media en las areas de Lengua y Comunica­
ci6n, Matematicas, Fisica, Qufmica e Ingles. 
b) La organizaci6n de dichos conocimientos en Unidades 0 M6dulos.
 
c) La redacci6n de cada Unidad 0 M6dulo.
 
d) Cada M6dulo contiene:
 
Objetivos en terrninos de conducta deseada.
 
Programa modular desarrollado.
 
Recursos de aprendizaje.
 
Ejercicios.
 
Autopruebas.
 
Bi bliografia.
 
e) Edici6n de un numero suficiente de M6dulos, en forma tal que todos 
los estudiantes puedan adquirirlos. 
f) AI iniciarse el curso se les aplica a los estudiantes una prueba que sirva 
para detectar cuales son sus deficiencias, con el objeto de hacerle un 
programa individual de nivelaci6n y organizarlos en grupos homoqe­
neos. 
g) Cada dos grupos de treinta alumnos tendran un profesor guia que les 
ayudara a estudiar el M6dulo, les dara las explicaciones que sean nece­
sarias y los evaluara, EI programa se realizara en dleclsels semanas. 
La Fundaci6n, consciente de la importancia de este Curso de Nivelaci6n, 10 
pone al alcance de profesores y alum nos. 
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Matematicas 
CURSODE 
NIVELACION 
;FUNDAIUTET 
Fundaci6n para el 
'Desarrollo tiel Instituto 
Universitario de Tecnolog 
del Estado Trujillo 
Modulo 7: 
"ECUACIONES EINEC, 
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MODULO 7 
ECUACIONES ... ""E 
INECUACIONES 
@ 1978 
- Edici6n preparada por la Fundaci6n para el Desarrollo del 
Instituto Universitario de Tecnologfa del Estado de Trujillo. 
Valera, Venezuela. AUTORES: , 
- Impreso en Espana - Printed in Spain 
I.S.B.N.: 84-499-2359-X. 
Deposito legal: M. 753-1979. 
- Imprime Novograph, S. A. ING. JORGE E. GUERRERO B. 
Ctra. de lrun, Km. 12,450. Madrid-34. ING. JUAN J. PIZARRO '1:. 
Mm&tmi# $ ;,~....:;~,:.:v,:!" •.~,; 
INDICE 
pag. 
7.1. Concepto de ecuaci6n e inecuaci6n . 7 
7.2. Ecuaciones e inecuaciones de primer y segundo grado . 10 
7.3. Soluci6n de ecuaciones e inecuaciones . 10 
7.4. Sistemas de ecuaciones lineales con dos variables , . 14 
7.5.	 Metodos de soluci6n analitica de un sistema de dos ecuaciones lI­
neales con dos variables . 14 
7.6.	 Ecuaciones que contienen fracciones . 19 
7.7.	 Ecuaciones que contienen radicales . 22 
7.8.	 Soluci6n de un sistema de tres ecuaciones lineales con tres varia­
bles . 23 
7.9~	 Concepto y clases de matriz............. . . 25 
267.10.	 Determinante de una matriz cuadrada .. 
7.11.	 Desarrollo de determinantes por menores . 29 
7.12.	 Soluci6n de sistemas de ecuaciones simultfmeas por determinantes. 30 
337.13.	 Problemas que originan sistemas de ecuaciones simultaneas . 
7.14.	 Concepto y soluci6n de ecuaciones cuadraticas . 34 
357.15.	 Metodos de soluci6n de ecuaciones cuad raticas : 
387.16.	 Discriminante de una ecuaci6n cuadratica . 
417.17.	 Casos especiales . 
APENDICE N.o 1 Ejercicios complementarios .	 45 
A. Ejercicios de apllcacion 
B. Ejercicios de investigaci6n 
APENDICE N.o 2 Auto-Evaluacion , .	 59 
1. 
2. 
3. 
4. 
5. 
6. 
7. 
8. 
9. 
en 
10. 
11. 
r: 
~~;£.t<._.~*'?~'~~~:'~~~~~~?,~~"~~~ 
OBJETIVOS 
Diariamente en el desarrollo de cualquier labor tecnica 0 cientifica, eneon­
tramos que las experiencias de laboratorio, las reglas de la economia, las teorlas 
cientificas estan formuladas como una ecuaci6n 0 una inecuaci6n; de ahl la 
importancia que tiene el hecho, que los estudiantes dominen esta disciplina de 
las matematlcas: bajo este concepto aparece desarrollado el m6duloy se buses 
crear y reafirmar las bases suficientes y necesarlas en el dominic dela soluei6n 
de ecuaciones e inecuaciones; abarcando los diferentes rnetodos de soluclon-
Hallar el conjunto soluci6n de ecuaciones e inecuaciones de primer 
grade con una variable. 
Aprender a resolver problemas que den lugar a ecuaciones e ineeua­
ciones de primer grado. 
Identificar y comprender los conceptos y prlnclplos sobre matrices; dis­
tinguir sus propiedades. 
Resolver ecuaciones aditivas entre matrices. 
Conocer y aprender los conceptos de permutaci6n y factorial. 
Resolver ecuaciones con matrices. 
Analizar las estructuras matematlcas de las matrices. 
Resolver sistemas lineales de ecuaciones utilizando determinant9$,. 
Adquirir habilidad en la apticaclon de propiedades de las desigualdades 
lasoluclon de inecuaciones y determinaciones. 
Solucionar correctamente inecuaciones lineales y cuadraticae, 
Adquirir practlca en el uso del concepto del valor absoluto y sus pro­
piedades como una manera de simplificar el trabajo de expresiOn de las 
desigualdades. 
~~~"J!~i~~~:il;;~~:,i' . 
'/ 
7.1. CONCEPTO DE ECUACION E INECUACION 
EI hombre, debido a su capacldad de observaei6n, eompara eontinuamente 
los heehos de la vida diaria y eoneluye que la mayoria de los sueesos eotidianos 
se repiten; unos oeurren siempre igual y otros de forma diferente. Las cornpara­
ciones sirven para crear las leyes de los eventos que oeurren, naeiendo de esta 
forma los eoneeptos de eeuaei6n e ineeuaei6n. 
A)	 ,.fQ..~ 
Es una igualdad en la que hay una 0 varias eantidades deseonoeidas lIama­
das inc6gnitas. Podemos deeir que una ecuaei6n es una igualdad entre dos 
expresiones. Esas expresiones se lIaman miembros de la eeuaci6n. 
EJEMPLO 
5x	 + 2 = 17 
En esta eeuaei6n la ine6gnita es x. 
B)	 INECUACION 
Es una expresi6n que indica que una eantidad no es igual a otra Si dos 
expresiones son desiguales, tenemos una desigualdad. En las inecuaeiones Ila­
madas tambien desigualdades vamos a utilizar los siguientes simbOlos: 
a)	 >, signifiea mayor que 
<, signifiea menor que 
z , signifiea mayor igual que 
s , signifiea menor igual que 
EJEMPLOS 
5x + 2 > 17 
se lee 5x + 2, mayor que 17. 
3x	 + 1 ~ 5 
se lee 3x + 1, mayor igual que 5. 
r, 
-~	 - ,"j< 
2x < 7 
lee 2x menor que 7.
 
x s 2
 
lee	 x menor igual que 2. 
Las inecuaciones tambien tienen cantidades desconocidas /lamadas incogni­
b)lntervalos 
! Podemos definir un conjunto de puntos en el eje de los numeros reales, 
~tableciendo una cierta propiedad que poseen los elementos de dichocon­
~nto, pero que no poseen otros puntos del eje x, 
1)	 Intervalo cerrado 
Lo podemos definir como un conjunto por extension.
 
{xla $ x $ b}
 
Se leeel con junto de las x, tales .que xes mayor 0 igual a a y x menor 0 
iue! a b. 
. Graficamente 10 podemos representar de la siguiente forma en la recta de los 
urneros reales: 
[I I I I I I I • I I I I I I I I I ] 
a 0 b 
EI intervalo es el conjunto de valores comprendidos entre los dos corchetes; 
se utilizan los corchetes para indicar que los extremos del intervalo a Y b perte­
necen al intervalo. 
EJEMPLO 
Describir el intervalo. 
{x11 s x s 2} 
•	 [ I I I I I ] 
o	 1 2 
Consiste en el conjunto de todos los puntos del segmento de la recta de los 
nurneros reales que estan, entre los puntos (1) Y (2), lncluyendolos. EI intervalo 
Ies cerrado, puesto que estan incluidos ambos puntos terminales. 
I	 . 
2) Intervalo abierto 
Cuando los puntos terminales extremos a y b no se incluyen. Podemos 
definirlo	 como el conjunto: 
{xla < x < b} 
Se lee el conjunto de las x, tales que x es mayor que a y x es menor que b. 
-eRl'fntf>j·;{M.&;YA;".~i~L;'j~;:.L;~ . 
b 
.,;",-./. 
oa 
Es el conjunto de valores comprendidos entre (1) Y (2), incluYEmd~. ~J~. 
Con frecuencia necesitamos referirnos a conjuntos de punto_, 
{xlx > a} 6 {xjx s b} 
• (111111t-­
012 
{X11 < x $ 2} 
Describir el intervalo. 
r I I I I I I I I • I I I I I I I I I ) 
{x11 < x < 2} 
Describir el intervalo. 
_ III I III L_~ 
N6tese que el extrema a pertenece al intervalo y por eso alii aparece un 
corchete. 
f~",~:~,,·c'/~~~~:~~~r\' 
La representaci6n grafica es: 
I I I I I I I I _ I I J ,I I I • \ 
\' I I I II '-"I","rrITITI~/---------
a 0 b 
EI intervalo es el conjunto de valores comprendido entre los dos parentesls; 
se utilizan parentesis para indicar que los extremos (puntos terminales) a y b no 
pertenecen al intervalo. 
EJEMPLO 
EJEMPLO 
• \' I , I I t I r 1 , 
012 
Consiste en el conjunto de todos los puntos del segmento de I~ recta de los 
nurneros reales que sstan entre los puntos (1) y (2), exciuyendolos. 
3) Intervalo semiablerto .' 
Cuando se incluye un punto terminal (extremo) y el otro no en el lntervsto, 
10 podemos definir como el conjunto: 
{xla $ x < b} 
Se lee el conjunto de las x, tales que xes mayor igual que a y menor que b. 
La representaci6n gratica es: 
\':,,,'{, 
Donde a y b son numeros reales fijos. Estos conjuntos corresponden, respec­
'vamente, al eje real entero a la derecha del punto (a) y al eje real entero a la 
quierda del punta (b), incluyemdoloS. Tales intervalos se lIaman semiinfinitos. 
Esimportante hacer notar al estudiante que la soluci6n de una ecuaci6n son 
alores determinados, mientras que todas las soluciones de las inecuaciones se 
resentan en forma de intervalos. 
.2.	 ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO 
Una ecuaci6n 0 inecuaci6n es de primer grado cusruio la mayor potencia a 
cual esM elevada la incognita es uno. 
JEMPLO 
2x + 1 = 4 ; x > 2 
Tanto en la ecuaci6n como en la inecuaci6n la inc6gnita es x y esta elevada 
a la potencia uno. 
Una ecuaci6n 0 inecuaci6n es de segundo grado cuenao la mayor potencia a 
ra cuet esta elevada la incognita es -dos. 
\ 
EJEMPLO 
x2 + 2x + 1 = 0 ; x2 + 2 < 5x + 3 
La inc6gnita en la ecuaci6n, como en la inecuaci6n, es x Y su mayor expo­
nente es dos. 
7.3. SOLUCION DE ECUACIONES E INECUACIONES 
Antes de conocer la forma de solucionar una ecuaci6n 0 inecuaci6n defina­
mos el concepto de miembro mediante un ejemplo. 
}
EJEMPLO c­
3x - 5 = 2x - 3 
EI primer miembro de la ecuacion es 3x - 5, porque se eneuentra antes del 
signo de te igualdad. 
EI segundo miembro de la ecuaci6n es 2x - 3, porque se eneuentra despue« 
del signo de la igualdad. ­
A)	 SOLUCION DE ECUACIONES 
Solucionar una ecuaci6n consiste en hallar los valores de la inc6gnita que 
cumpla con la ecuaci6n, y para poder hacerlo hay que observar las siguientes 
reglas: . 
a)	 Si a los dos miembros de una ecuaci6n se suma una misma cantidad 
positiva 0 negativa, la igualdad no se attera.> 
lI:.i~»"kM"~;~l,,c..., .., 
b)	 Si a los dos miembros de una ecuaci6n se resta una misma cantidad 
posit iva 0 negativa, la igualdad no se altera. 
e)	 Si los dos mlembros de una ecuaci6n se multiplican por una misma 
cantidad, posit iva 0 negativa, la igualdad no se altera. 
d)	 Si los dos miembros de una ecuaci6n se dividen por una misma canti­
dad, positiva a negativa, la igualdad no se altera. 
e)	 Si los dos miembros de una ecuaci6n se elevan a una misma potencia a 
si a los dos miembros se extrae una misma ralz, la igualdad substste. 
EJEMPLO 
Resolver la siguiente ecuaci6n: 
3x	 - 5 == x + 3 
3x - 5 + 5 = x + 3 + 5 Sumamos a ambos miembros de la 
3x == x + 8 igualdad 5. 
3x - x = x + 8 - x Restamos a ambos mlemoros de la 
2x == 8 igualdad x. 
2x 8 Dividimos ambos mlernoros de la -=­
2 2 igualdad entre 2.
 
a	 4 es el valor de la incognita que cumple con la ecuaci6n. 
B)	 SOLUCION DE INECUACIONES 
Como en las ecuaciones, en las inecuaciones tarnbien existe el primer y 
segundo miembro. 
EJEMPLO 
2x + 5 > x + 3 
EI primer miembro de la inecuaci6n es 2x + .5, porque esM antes del signo 
de te desigualdad, > (mayor que). 
La soluci6n de una inecuaci6n consiste en hallar los valores de la inc6gnita 
que cum pIe con la inecuaci6n. Para poder solucionar una inecuaci6n debemos 
observer las siguientes reglas: 
a)	 Si a los dos rnlembros de una desigualdad se suma 0 reste una misma 
eantidad, el signo de la desigualdad no varia. 
b)	 Si los dos miembros de una desigualdad se multiplican 0 oiviaen por 
una misma eantidad positive, el signo de la desigualdad no ~aria. 
e)	 Si los dos miembros de una desigualdad se munlptlcen por una misma 
eantidad negativa, el signo de la desigualdad varia. 
EJEMPLO 
a> ba> b 
1 . 1 
a x (-~ < b x (-~ a x (-c) < b x (-c) c C' 
a b <-­-ac < -be	 c C 
~.\ 
I
 
d) -Srse cambia el orden de los miembros, la desigualdad cambia de signo.
 
a>tl b<a
 
et SI se invierten los dos miembros, la desigualdad cambia de signo.
 
1 1 
a>b -<­
a b
 
f) Si los miembros de una desigualdad son positivos y se elevan a una
 
misma potencia positiva, el signa de la desigualdad no cambia.
 
g) _Si los dos miembros 0 uno de ellos es negativo y se elevan a una poten­
cia impar positiva, el signa de la desigualdad no cambia.
 
h) Si los dos miembros son negativos y se elevan a una misma potencia par
 
positiva, el signo de la desigualdad cambia.
 
-3 > -5 (-3)2 < {-5)2
 
9 < 25
 
Si un miembro es positivo y otro negativo, y se les extrae una:misma raiz
 i) 
posit iva, el signo de la desigualdad no cambia. 
EJEMPLO 
Resolver la inecuaci6n: 
3x - 4 > 5x + 2 
Sumamos a ambos miembros de la 3x - 4 + 4 > 5x + 2 + 4
 
desigualdad 4.
 3x > 5x + 6 
Restamos a ambos miembros de la 3x - 5x > 5x + 6 - 5x
 
desigualdad -5x.
-2x> 6 
Dividimos por - 2, una' cantidad negativa -ax 6--<- y la desigualdad cambia de sentido. 
-2 -2 
I x < -3 I
, 
EJEMPLO 
Resolver la desigualdad. 
sx + 7 > 3x + 15 
5x > 3x + 15 - 7 
sx - 3x > B 
zx » BEJ 
l,Por que? 
l,por que? 
l,Por que? 
I 
~~~~i?~j>'7':';~'~'_j,~,I'\"-', ""~ -v-. ;~:' ,~> "-~':_'"--;\~'~~':1'!~)~1f~p~~>u~:~-t;.."fi4 
y 
y 
(x + 2) < 0 --+ x < -2 
-00 
00 
(x - 6) < 0 --+ x < 6 
(x - 6) > 0 --+ x > 6 ' 
(x + 2) > 0 --+ x > -2 
2.8 ALTERNATIVA 
EJEMPLO 
Resolver la desigualdad. 
x2 - Bx - B > 4 - 4x 
x2 - Bx - B - 4 + 4x > 0 
x2 - Bx - 12 + 4x > 0 
x2 - 4x - 12 > 0 
Analizando las soluciones de todas las inecuaciones posibles trataremos de 
despejar la inc6gnita. 
En este ejemplo la x no se puede expresar expllcltarnente, por 10 tanto de­
bernos solucionarla mediante el algebra como: 
(x - 6) (x + 2) > 0 
Mediante las leyes de los signos del algebra podemos encontrar la sotuclon: 
1.8 ALTERNATIVA 
"'\ 
\ Tode pareja ordenada en la representaci6n de un interva/o, se caracter;za 
porque el primer valor siempre es el extremo menor y el segundo es el mayor. 
Esta soluci6n podemos representarla en la recta de los reales. . 00 
I I I I I( -, 
[) 1 2 3 4 
Podemos ver que los valores entre 4 y 00 son la soluci6n y podemos darla en 
forma de parejaorclenada. 
(4,00 ) 
I	 
4x 
'''';t:ffl~~~)~,?'i~~'1;,);"r/rt~ieP",a;~ 
1
6.-- 8y == -3
2 
3 - By == -3 
18x - 22 + 8x = - 9 
3 - 8y - 3 == -3 - 3 
lucian 
A partir de la eeuaei6n (1) despejemos la 
4x + 12y == 11 
12y == 11 - 4x 
{ 
3x -
6x + 3y 
( 
11 - 4x ) 
6x - 8 12 == -3 
( 3 == -3 
11 - 4x ) 
6x - 2 
18x - 2(11 - 4x) == -3 
3 
Ahorareemplaeemos este valor de x 
dadas, en fa (2) por ejemplo. Entonees se tiene: 
Luego el par ordenado (x, 
Comprobaci6n 
Reemplaeemos los valores eneontrados 
Sea el sistema: 
1 3 
4·- + 12·- == 11 
2 4 
1 ,3
6·- - 8·- == -3
2 4 
B) METODO DE IGUALACION 
"~-
.1; /" 1\};')"j,,"- ,""'.1 
~ sol~ci6n total de esta desigualdad sera la union de las dos alternativas y ;'
 
Ia escribiremos como: r.
 
variable y: 
/[ X E (6,.xl) U (-00, -2) I --> 4x + 12y - 4x ==
 11 ­
--> 12y == 11 - 4x 
12 12 
11 - 4x 
y == 7.4.	 SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES 12
 
Detinamos los conceptos de variable y de ecuaci6n lineal. Reemplaeemos, ahora, este valor de yen terrninos de x, en la eeuaei6n (2):
 
VARIABLE I 26x - 22 == -9 
Es una cantidad que puede tomar varios valores. En una ecuaci6n, la 
inc6gnita es 10 mismo que la variable. 
I 26x- 22 + 22 == -9 + 22 
EJEMPLO 
I 26x == 13 
2x+3==5 
En esta ecuaci6n la variable es x. 26x 13 
--== 
26 26
ECUACION L1NEt\L: 
1 
Es una ecuaci6n donde la variable esta elevada a la potencia uno. En el x == 2 
ejemplo anterior la ecuaci6n es lineal. == '/2 en eualquiera de las eeuaeiones 
DEFINICION 
-8y == -6Dos ecuaciones lineales con dos variables torman un sistema. En general
 
se escribe de la siguiente manera:
 -8y == _ -6 
a,x + b, Y + ci == 0 (a,,,, 0) 0 (b, ", 0) -8 -8
{a2X + b2y + C2 == 0 (&1", 0) 0 (b2 ", 0) 3 
y ==­
En donde los coeticientes y las variables pertenecen al sistema de los mime­
ros reales.
 G,	 
4 
y) == ~) es la solucion del sistema. 
7.5.	 METODOS DE SOLUCION ANALITICA DE UN SISTEMA DE DOS
 
ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES
 en ambas eeuaeiones: 
La soluci6n de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables es el 
en eteeto, 2 + 9 == 11par de valores (x, y) que satistace simultaneamente a ambas ecuaeiones. De ahi
 
que cuando el sistema tiene solucion (mica se le-denomina sistema de eeuaeio­
nes slrnuttaneas.
 en eteeto, 3 - 6 == -3 
A) METODO DE SUSTITUCION 
Consideremos el sistema: 
4X + 12y == 11 (1)
{	 2y == -7 
6x - By == -3 (2) == 21 
~i'C,i~~,~>". 
'..... , ~ I' 
/ 
~~n ) 
Des~jemos en ambas ecuaciones una misma inc6gnita, x por ejemplo: ;' 
De Is ecuaci6n (1) se tiene:
 
y::
3x - 2y = -7 -> 3x = 2y - 7 -> x = 2 7 (1') 
De la ecuaci6n (2) se tiene: 
6x + 3y = 21 -> 6x = 21 - 3y -> x = 21 - 3y (2') 
6 
Igualando (1') Y (2') resulta una ecuaci6n lineal con una sola variable.
 
2y - 7 = 21 - 3y
 
(3)
3 6 
Resolvamos la ecuaci6n (3). 
~ (2Y ; 7 ) = 6( 21 ~ 3y ) 
2(2y - 7) = (21 - 3y)
 
4y - 14 = 21 - 3y
 
7y = 35
 
Y = 5
 
Para calcular x reemplazamos el valor de y en cualquiera de las dos ecuacio­
nes dadas y se resuelve la ecuaci6n resultante. Reemplacemos en la ecuaci6n (1). 
3x-2·5=-7
 
3x - 10 = -7
 
3x = 3
 
x = 1
 
Este par de valores satisface simultaneamente al sistema dado, luego la
 
soluci6n (mica es el par (x, y) = (1, 5).
 
C) METODO DE LA COMBINACION LINEAL 
Consiste en la eliminacion de una incognita por adici6n 0 sustracci6n. 
Sea el sistema: 
2x + 3y = 3 (1)
{ 5x - Y = 16 (2) 
Solucl6n 
EI coeficiente de y en la ecuaci6n (1) es 3 y el coeficiente de y en la ecuaci6n 
(2) es -1. 
~	 .·106 
;;'t':~;b"'j>tw';.j~; ]'jt •.J:"~i;~ :;:~,.',;.l,~ \ _ 
-~;"-~j;-'·"'·ii""" 
resurtante. 
sistema dado, 
2, asi: 
(2').	 
~ 
Si muhiplicamos la ecuaci6n (2) por 3, se igualan los coeficientes de y en el 
por 10 tanto resulta un sistema equivalente: 
2x+3Y=3 
3 . 5x - 3 . Y = 3 . 16 
2X+3Y=3} 
15x - 3y = 48 
Sumemos miembro a miembro las ecuaciones del «nuevo» sistema: 
2x + 3y = 3 
15x - 3y = 48 
17x = 51 
x = 3 
Para encontrar el valor de y se reemplaza el valor de x = 3 en cuafquiera de 
las ecuaciones dadas: en la (1), por ejemplo, y luego se resuelve la ecuaci6n 
2 . 3 + 3y = 3 
6+3y=3 
3y=3-6 
3y = -3 
Y = -1 
Hemos igualado los coeficientes de y. Tambien se puede resolver el sistema, 
igualando los coeficientes de x, asi: como los coeficientes de x en el sistema 
dado son 2 y 5, eneontremos el m.e.m. de estos eoefieientes. EI m.c.m. de 2 y 5 
es 10; por tanto, debemos muftlpttcar la ecuaci6n (1) por 5 y la ecuaci6n (2) por 
2x + 3y = 3 (1) 5 . 2x + 5 . 3y = 5 . 3 
{ 5x - Y = 16 (2) 2 . 5x - 2 . Y = 2 . 16 
J10x + 15y = 15 (1') 
]10x - 2y = 32 (2') 
Puesto que 105 coeficientes de x en el sistema «nuevo" son de igual signa. 
Restamos una ecuaci6n de otra; por ejemplo, de la ecuaci6n (1'J restamos la 
lOx + 15y = 15 
-lOx + 2y = -32 
17y ~ -17 
Y = -1 
Para calcular el valor de x, reemplacemos el valor de y en cUjllquJeqlctE!~~$. 
ecuaciones del sistema original, por ejemplo, la ecuaci6n (2). 
·$J.'4ili!\%,;\~I\C""~' ..:»,,'[>"<"(~>~,~~-r:~"+#~l11::J;;Jl}##1' 
5x - (-1) = 16
 
5x + 1 = 16
 
5x = 16-1
 
5x = 15
 
x = 3
 
EI par (x, y) = (3, -1) es la solucion (mica del sistema dado. 
D) SISTEMA DE ECUACIONES CON VARIABLES EN LOS DENOMINADORES 
Sea el sistema: 
10 
- -
2 
- = 1 , x =f 0 (1) 
x Y 
15 
- + 
B 
-= 7 , Y =f 0 (2) 
x Y 
Las ecuaciones del sistema dado no son lineales en x e y; perc si escribimos 
el sistema de la siguiente manera: 
1
10 .-.!.. -2·- = 1 
x Y 
1
15'-.!.. + B·- = 7 
x Y 
y convenimos que: 
-.!.. = t 
x 
y, 
1 - = v 
y 
es decir, cambiando variables, logramos que las ecuaciones sean lineales en t y 
en v, entonces resulta un nuevo sistema. 
10t - 2v = 1 (1') 
15t + 8v = 7 (2') 
Ahora podemos resolver el nuevo sistema por cualquiera de los metodos 
descritos anteriormente. Resolvamoslo por el metodo de combinaci6n lineal. 
lOt - 2v = (1') {40t - 8v = 4 (1") 
15t + Bv = 7 (2') -+ 15t + 8v = 7 (2") 
~ 
Sumando las ecuaciones (1") y (2") eliminamos la variable v. 
40t - Bv = 4 
15t + 8v = 7 
55t = 11 
1 
t =­
5 
Reemplazando este valor de t en (1') resulta: 
1
10·- - 2v = 
5 
2-2v=1 
-2v = -1 
1 v =­
2 
Anora, como: 
t = -.!.. 
x 
se tiene que: 
1 
- = 
5 x 
o sea, 
x = 5 
y como: 
v =-.!.. 
y 
resulta: 
1 1 
- =­
2 Y 
o sea, 
y = 2 
Entonces la soluci6n del sistema dado, es el par (5, 2); se puede comprobar, 
reemplazando estos vaJores en el sistema original. 
7.6. ECUACIONES'QUE CONTIENEN FRACCIONES 
Una ecuaci6n es fraccionaria, cuando algunos de sus termlnoa 0 toeos, 
tienen denominadores, como: 
x 3 - = 3x - ­
2 4 
A) SUPRESION DE DENOMINADORES 
Esta operaci6n consiste en convertir una ecuaci6n fraccionaria en unaeCU8­
ci6n equiva/ente entera, es decir, sin denomlnadoras, 
La supresi6n de denominadores se fundamenta en la proPjed:aq,~;".c;Q~O. 
cida de las iguaJdades: una igualdad no varia st sus dos miembrfJS;"ec(~H' 
can par una misma cantidad. '." . ' . 
~';.~•• J.."'."I,. 
.;{ 
18 
---
- --
REGLA 
Para suprimir denominadores en una ecuaci6n, se multiplican 
todos los terminos de la ecuaci6n por el rnlnlrno comun multiple 
de los denominadores. Y luego se simplifica la ecuaciQn resultante, 
dando una ecuacion entera ya estudiada anteriormente. 
"~. 
EJEMPLO 
Suprimir denominadores en la ecuaci6n: ~... 
x x 1 
- ==- - -­
264 
EI minimo comun multiple de 2, 4 Y 6 es 12. Multiplicamos todos los terrninos 
por 12 y tendremos: 
12x 
--= 
2 
12x 
6 
12 
4 
Simplificando estas fraeciones, queda: \ .. 
6x = 2x - 3 (1) 
Eeuaei6n equivalente a la ecuaei6n dada yentera, que es 10 que buscamos, 
porque la soluci6n de ecuaciones enteras ya la hemos estudiado. 
La operaei6n que hemos efectuado de rnultlplicar todos los terminos por el' 
m.c.m. de los denominadores equivale a dividir el m.c.m. de los denominadores 
entre cada denominador y multipliear cada cociente por el numerador respec­
tivo. 
En efecto.	 en la ecuaci6n anterior: 
x x 1 
2 6 4 
el m.c.m. de los denominadores es 12.Dividiendo 12 entre 2, 4, 6 Yrnultjplicando 
cada cociente por su nurnerador respectivo, tenemos: 
6x = 2x - 3 
Ecuaci6n identica a la que obtuvimos antes en (1). 
Podemos decir, entonces, que:
 
Para suprimir denominadores en una ecuaci6n:
 
a) Se halla el rn.c.rn. de los denominadores. 
b) se divide este m.c.m. entre cada denominador y cada co­
ciente se multiplica por el numerador respectivo. 
c) 
Resolver la ecuaci6n: 
a) 
b) 
lente. 
c) 
a) 
b) 
B) 
MONOMIOS 
EJEMPLO 
EI valor x 
la soluci6n. 
C) 
COMPUESTOS 
EJEMPLO 
-r'" ,,- "i. },I 
."j -. ;,x:,'i.~'~j\'f'l>·~1··W~ 
SOLUCION DE ECUACIONES FRACCIONARIAS CON DENOMINADORES 
La soluci6n consta de tres pasos:
 
Se busca el rn.c.rn. de los denominadores.
 
Se convierte la ecuaci6n fraccionaria en una ecuaci6n entera equlva. 
Se soluciona la ecuaci6n entera por cualquier rnetodo, 
Resolver la ecuaci6n: 
x 73x - ~ 
5 10 4 
EI m.c.m. de 5, 10 Y 4 es 20.
 
Dividimos el 20 entre 1, 5, 10 Y 4 Y muttlpucamos cada cociente por el
 
numerador respectivo.
 
3x· 20 2x· 4 x·2 7·5 
20 20 20 20 
60x - 8x 2x - 35 
Resolvemos la ecuaci6n entera: 
52x = 2x - 35 
50x = -3q 
35 7x = --= 
50 10 
7
-10 satisface la ecuaci6n original y, por 10 tanto, es 
SOLUCION DE ECUACIONES FRACCIONARIAS CON DENOMINADORES 
La soluci6n es exactamente igual a las ecuaciones fraccionarias con deno­
minadores monomios, perc en este caso vamos a utilizar.los casos especiales 
de factorizaci6n cuando hallemos el m.c.m. 
3 2 
2x + 1 2x - 4x
x + 3
- 12 
.) EI rn.c.m. de los denominadores es 4x2 - 1, porque: 
(2x + 1) . (2x - 1) = 4x2 - 1 
b) Dividimos 4x2 - 1 entre cada denominador Y multiplicamos por el nume­
rador respectivo el cociente resultante. 
3(2x - 1) _ 2(2x + 1) _ 1(x + 3) o 
4x2 - 1 4x2 - 1 4x2 - 1 
3(2x - 1) - 2(2x + 1) - (x + 3) = 0 
6x - 3 - 4x + 2 - x - 3 = 0 
6x - 4x - x = 3 + 2 + 3 
c) Resolvemos la ecuaci6n entera:
 
x = 8
 
x = 8
 
EI valor x = 8 es la soluci6n de la ecuaci6n original.
 
7.7. ECUACIONES QUE CONTIENEN RADICALES 
L1amadas tarnbien ecuaciones irraciona/es, como su nombre 10 indica, son 
ecuaciones que contienen raices de una cantidad. 
EJEMPLO 
fiX - V4X = J2 
Soluci6n 
Tarnblen en este caso vamos a necesitar de los productos notables. Para 
solucionar estas ecuaciones seguiremos los siguientes pasos: 
a)	 Hallamos el minimo cornun indice de los radicales cuando las raices no 
son iguales. 
b)	 Colocamos todos los terrnlnos bajo el minimo cornun indice (no utiliza­
remos estos dos pasos en nuestros desarrollos de los ejemplos). 
c)	 Elevamos ambos miembros de la ecuaci6n a la potencia del minima 
cornun indice. 
d)	 Solucionamos la ecuaci6n, por cualquiera de los metodos, Cuando ha­
yamos quitado todos los radicales. 
Antes de solucionar un ejemplo, estudiaremos la soluci6n de una ecuaci6n 
de segundo grado. 
Soluci6n de una ecuaci6n de segundo grado 
La forma general de una ecuaci6n de segundo grado es: 
ax2 + bx + c = 0 
r­
~:,' 
~~.-
Sin hacer la demostraci6n, la f6rmula general de la soluci6n es: 
x = - b = } b2 - 4ac 
2a 
Observese que en la f6rmula aparece el coeficiente del 2. 0 termino de I. 
ecuaci6n, b, con signa distinto al que aparece en la ecuaci6n. 
EJEMPlO 
Solucionar la siguiente ecuaci6n: 
} 4x - 3 -~ = j3x - 5
 
Elevamos ambos miembros de la igualdad al cuadrado:
 
()4x - 3 - ~)2=(j3x - 5)2
 
(j4x - 3)2 - 2j(4x - 3)(x - 2) + (jX'='2')2 = (J3x - 5)2
 
4x - 3 - 2)4x2 - 11x + 6 + x - 2 = 3x - 5
 
-2)4x2 - 11x + 6 = 3x - 5 - 4x + 3 - x + 2
 
- 2}4x:l - 11 x + 6 = - 2x
 
} 4x2 - 11x + 6 = x
 
Como todavia aparece la raiz cuadrada, elevamos de nuevo al cuadrado: 
(j 4x2 - 11x + 6y = (X)2 
4x2 - 11x + 6 = x2 
4x2 - 11x + 6 = x2 
3x2 - 11x + 6 = 0 
Va tenemos una ecuaci6n de segundo grado de la forma ax2 + bx + c = 0, la 
solucionamos: 
3x2 - 11x + 6 = 0 
11 = ) (11)2 - 4· 3 .6 11 = ) 121 - 72x = = 
2·3 6 
11 + 7
Xl 3 
x= 11=/49 11 = 7 6 
6 6 11 - 7 4
X2= 
6 6' 
Sea el sistema: 
2X - 3y + 4z = - 23 (1) 
x + y - 3z = 16 (2)
13x - 4y - 5z = 1 (3) 
22 
~.;:\t"k,,!IC' F/
I.. '" : / ';~< -"'" ",,'.ij'~f) ,/"" .~ 
Nos proponemos encontrar una terna de valores respectivos x, y, z. que
 
simultaneamente satisfagan al sistema dado. Para 10 cual reduciremos el sistema
 
de tres ecuaciones a un sistema de dos ecuaciones, eliminando una cualquiera
 
de las variables y luego resolviendo el sistema de dos ecuaciones por cualquiera
 
de los metodoe descritos anteriormente, aunque casi siempre se prefiere el de la
 
combinaci6n lineal. Combinando las ecuaciones (1) Y (2) obtenemos el sistema.
 
j2x - 3y + 4z = -23 { 2x - 3y + 4z = -23 
,.-'1 x + y - 3z = 16 3x + 3y - 9z = 3 . 16 
J 2x - 3y + 4z = -23 (1')
13x + 3y - 9z = 48 (2') 
Sumando (1') Y (2') eliminamos la variable y. 
2x - 3y + 4z = - 23 
3x + 3y - 9z = 48 
5x - 5z = 25 
x - z = 5 (4) 
Combinando las ecuaciones (2) Y (3) obtenemos el siguiente sistema: 
{ x + y - 3z = 16 -+ {4x + 4y - 4 . 3z = 4 . 16 -+ 
\ 3x - 4y - 5z = 1 \ 3x - 4y - Sz = 1 
4X + 4y - 12z = 64 (2')
 
{ 3x - 4y - 5z = 1 (3')
 
Sumando (2') con (3') tarnbien eliminamos la variable y. 
4x + 4y - 12z = 64 
3x - 4y - 5z = 1 
7x - 17z = 65 (5) 
Ahora con las ecuaciones (4) Y (5) tormarnos el sistema: 
(4')X - z = 5 I 7x - 7z = 7 . 5 { 7x - 7z = 35 
{ 7x - 17z = 65 -+ 17x - 17z = 65 -+ 7x - 17z = 65 (5') 
Restando la ecuaci6n (5') de la ecuaci6n (4'), resulta: 
7x - 7z = 35 
-7x + 17z = -65 
10z = -30 
z = -3 
B = [~ ~] 
... .. 
1.8 columna ~ '---- 2.8 columna 
Consideremos los nurneros 1, 3, 5 Y -2. 
Si los colocamos en un par de corchetes en forma ordenada, 
como aparecen a continuaci6n nos resultaun arreglo de numeros que 
lIamaremos matriz. 
NOTA: Un sistema de tres ecuaciones en tres variables puede 
no tener soluci6n, entonces el sistema se lIama!ncomPfJ!ij:J1e. 
B = [a bJ +--1. 
8 
fila 
c d ...--2.8 fila 
A = [~ _~] 
Las matrices las denotaremos por las letras A, B, C, D, etc. Los numeros que las 
componen se Ilaman terminos 0 elementos de la matriz. As[ que 1,'3, 5 Y -2 son 
terminos de la matriz A. 
En la matriz A, 1 Y 3 constituyen la primera fila de la matriz, los terminos 5 
y - 2, la segunda fila de la matriz. 
Los terrninos 1 y 5 forman la primera columna de la matriz A, 3 Y ~2 la 
segunda columna de la matriz A. 
La matriz B tiene dos filas y dos columnas, por eso decimos que es una 
matriz de 2 x 2, que escribimos asl: B2x2. En general diremos que una matriz 
tiene n filas y m columnas. As[ que Cnxm es una matriz de n numeros de filas y 
m numeros de filas. 
A) CONCEPIO 
7.9. CONCEPTO Y CLASES DE MATRIZ 
de y. Generalmente se reemplaza en la ecuaci6n mas sene ilia. Entonces reem­
plazamos en la ecuaci6n (2): x + y - 3z = 16, resulta: 
2 + Y ­ 3(-3) = 16 -+ 2 + Y + 9 = 16 -+ Y + 11 = 16 -+ Y = 5, 
o sea, que la terna (x, y, z) = (2, 5, -3) es la soluci6n del sistema dado. 
Reemplazando z = -3en la ecuaci6n (4) resulta: 
x - (- 3) = 5 -+ x + 3 = 5 -+ x = 2 
Como ya son conocidos los valores de x y z podemos reemplazar estos 
:l9teS ert oualqulera de las ecuaciones del sistema original para hallar el valor 
~~~;),.(~?J'~'~/!~~~~~~j'1,'f~:~~.~'·•• 
Observemos que cada termlno de una metriz pertenece a una fila y una 
columna simultlineamente. De manera que en la matriz 82x2 el tsrmlno: 
a pertenece a la 1.- fila y 1.- columna y 10 notamos all
 
b pertenece a la 1.- fila y 2.- columna y 10 notamos 1>12
 
c pertenece a la 2.- fila y 1.- columna y 10 notamos C21
 
d pertenece a la 2.- fila y 2.- columna y 10 notamos d22
 
En general un tsrmlno x de una matriz se nota XijY se lee: «x 
sub i, j" con 10 que quiere significar que x pertenece a la fila i, 
columna j de una matriz. 
8)	 CLA5E5 DE MATRIZ 
a)	 Matriz cuadrada: Consideremos la matriz C Y D. Notemos que ambas 
tienen igual numero de filas que de columnas (2 Y 3) (respectivamente). 
1/2 3 ]
C2x2 = [ 1/4 -1/5 
Diremos que una matriz es cuadrada, cuando el namero de filas es 
igual al numero de columnas. Es decir, n = m. 
[3-1 -4]D3x3 = 6 2 O.- 7 1/3 -2 
b)	 Matriz rectangular: 
Una matriz sera rectangular, cuando el numero de filas no es igual al 
namet» de columnas, como la matriz E. Entonces n 1·m. 
E	 - [5 1/2 617J 2x3	 - 3 2 0 
7.10.	 DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA 
Consideremos la matriz A de orden 2. 
12JA	 = [all a
821 822 
Llamamos determinante de una matriz A al polinomio. 
al l a12Jdet A =	 = all . 822 ­[ 821 822 
EI desarrouo de este polinomio es un numero real. 
EJEMPLO 
.	 = [3 2J = [3 2J = ­
a12	 . 821 
5. 8 5 6 ; det 8 5 6 (3 . 6) (5 . 2) = 8 
, ... 
,,~~ 
·.i,. 
....,,~. 
.... ~, ~':.', 
;.1., 
';\~;J~ "f' ...., , :~:'b\ 
Consideremos lamatriz cuadrada M de orden 3. 
al l	 a12 a13] 
M = 821 822 823 
[ 831	 832 833 
L1amamos detenninante de la matriz al polinomio: 
(all	 . 822 . 833) - (all . 832 . 823)- (821 . a12 . 833) + 
+	 (a21 . 832 . a13) + (831 . a12 . 823) - (831 . 822 . a13) 
que	 notamos asl: det M y cuyo desarrollo es un numero real. 
EJEMPLO 
[153J	 [1 53J5i la matriz P =	 2 6 0 ; el det P = det 2 6 0 =
 
431 431
 
= (1 ·6· 1) - (1 ·3· 0) - (2·5,1) + (2·3· 3) + (4·5. 0) - (4.6. 3) = 
= 6 - 0 - 10 + 18 + 0 - 72 = -58 
Observemos ahora	 los determinantes de las matrices A y M. 
Iall	 a121A = = all . 822 - a12 . 821821	 822 . 
I
all a12 a'3/ (
=	 all' 822.' 833) - (a" . 832 . 823) - (82' . a12 . 833) +M =	 821 822 823 ) 
83, 832 832 + (82" 832 . a13) + (83, . a,2 . 823) - (83, . a:z2 . a13 
Notemos que: 
a)	 Cada termtno de los polinomios de los determinantes de A y M es UJ 
producto cuyos factores son un solo elemento de cada fila y de cea. 
columna. 
. b)	 EI namer« de factores de cada termlno del determinante es igual s 
nomero de orden de la matriz. 
c)	 EI namero de terminos del determinante es igual al factorial del namen 
de orden de la matriz. 
d)	 Formar todos los productos posibtes, tomando como factores un sok 
elemento de cada fila y cada columna de la mamz. 
e) Anteponer a ceae producto el signa + 0 - segun que el numero dl 
inversiones de los primeros subindices (fiIas) sea par 0 impar. 
f)	 Este resultado sera el determinante de la matriz A. 
Cuando la matriz es de orden 3 0 superior a 3 el proeese sthac:emll) 
diffcil, hay necesidad de estudiar otro metodo, . . .•.. 
26 
~trr~~~~:¢i*:""'''J:~~i,~:~~~<lT'''''~'''''C... '1' ...... , , 
EJEMPLO 
Identificar las filas. las columnas y decir si la siguiente matriz es euadrada 0 
rectangular. 
al l a12 St3 a14] 
A = 821 822 823 824 
[ S31 S32	 S33 S34 
Solucl6n 
FUas: 
1.8 a" a12 a13 a14 
2.8 821 822 823 824 
3.8 S31 832 S33 S34 
Columnas: 
1.8	 2.8 3.8 4.8 
a" a12 a13 a14 
821 822 823 824 
S31 S32 S33 S34 
Si comparamos el numero de filas con el nurnero de columnas, apreciamos 
que no soniguales y. por 10 tanto, esta es una matriz rectangular. 
EJEMPLO 
Identificar las filas, las columnas y decir si la siguiente matriz es cuadrada 0 
rectangu lar. 
1 4 1/2 7]
B =	 2 0 3 -6 
3 6 -1 5[
-5	 9 -2/3 1/2 
Soluci6n 
FUas: 
1.8 1 4 1/2 7 
2.8 2 0 3-6 
3.8 3 6 -1 5 
4.8 -5 9 -2/3 1/2 
Columnas: 
1.a 2.a 3.a 4.8 
1 4 1/2 7 
2 0 3 -6 
3 6 -1 5 
-5 9 --2/3 1/2 
Como el numero de filas y el de columnas es de 4, la matriz es cuadrada. 
I"	,
• "').'.~?:.:,: ,c :-;-'fl:' '; :,\:_:~'.~r~~·:;" >t'V -;;':S''''-:':'!.(l~ 
;f _ 
','i') 
/'
/ .::. 
l	 1 7.11. DESARROLLO DE DETERMINANTES POR MENORES 
;( -,' 
" 
Este rnetodo se utiliza para hallar determinantes de matrices de orden n, 
cuando n ~ 3. 
Sea A una matriz de orden 3. EI determinante de A se halla mediante el 
siguiente proceso: 
a)	 Se multiplica cada elemento de una fila 0 una columna por el 
determinante que resulta de eliminar la respectiva fila y co­
lumna a que pertenece el elemento que sa multiplica. 
'. Asl:.. 
",." . 
821 al 31 I	 I I I Iall	 S22a12 823 = all 822 823 _ 821 a12 a13 + S31 a12 a131 
S31	 S32 a33 S32 S33 S32 S33 822 823I
Hemos hecho el desarrollo con los elementos de la 1.8 columna. 
all se rnultiplica por el determinante que resulta de eliminar su fila y su 
columna. 
,821 sa multi plica por el determinante que resulta de eliminar su fila y su 
columna. 
S31 se multiplica por el determinante que resulta de eliminar su fila y su 
columna. 
b)	 EI producto se precede del signo + 0 -, sequn que sea par 0 
impar la suma de los subindices del elementt'f)que aparece 
como primer factor de cada producto. 
Asi: 
822 8231 Ia12 a131+all ,1 i\/~ a32 a33	 a32 S33 
1 + 1 = 2 (par) se 2 + 1 = 3 (impar) sa 
precede del signa + precede del signo ­
+a31 Ia12 a13\ 
/'\S22 823 
3 + 1 = 4 (par) se precede del signo + 
c)	 Sa desarrollan los determinantes mdlcados 
' 
y se efectu~Ja 
suma algebraica de los facto res.' 
,,:,~;.' ~: r·-_ji~ .. '... -.. ~ 
28 
Despejando Y obtenemos: 
Asr:
 
all(822 . l!33 - 1123 . aJ2) - 821(a12 . l!33 - a13 .aJ2) +
 
+ a31(a12 . 823 - a13' 1122) I y= an-em I
Este proceso puede extenderse a determinantes de orden 4, 5, 6, 1;\, ad - be
 
repitiendo el proeedimiento hasta obtener determinantes de orden_ ?
 
Este rnetodo se llama: Desarrollo del determinante por menores. Observemos que x e y sonel desarrollo de los eoeientes de los siguientes 
...... 
J., 
determinantes de orden 2. 
EJEMPLO ....
 
Hallar el determinante de la matriz A.
 I~ ~I I~ ~I x = y = 
3 2 1 ] 13211 {A = 4 2 6 ; det A = 4 2 6	 .> I~ ~I; I~ ~ I
[ 315 315 ~	 en donde el determinante de los denominadores es igual y corresponde al 
determinante formado por los coeficientes del sistema. 
det A = 31~ ~I- 41~ ~I + 31~ ~I 
Los determinantes de los numeradores se obtienen sustituyendo en el
det A = 3(10 - 6) - 4(10 - 1) + 3(12 - 2) determinantedeloscoeficientes,loscoeficientesdelainc6gnita quesedespeja ,por 
det A = 12 - 36 + 30 = 6 los termino« constantes del sistema. . 
7.12. SOLUCION DE SISTEMAS DE ECUACIONESSIMULTANEAS POR EJEMPLO 
DETERMINANTES 
Resolver por determinante el siguiente sistema:
 
A) ECUACIONES SIMULTANEAS EN DOS VARIABLES
 2x + 3y = 8} EI determinante de los eoefieientes del siste­
3x - y = 1 ma es: -+ I~ -~IConsideremos el sistema: 
Se reemplazan en el anterior determinante los eoefieien­
tes de x por los terrnlnos eonstantes -+ I~ -~Iax + by = m y ex + dy = n 
Desarrollemos el sistema por el metodo de eombinaei6n lineal. 
Se reemplazan en el primer determinante los eoefieien­
-+ax + by = m; adx + bdy = dm (se ha multiplieado por d) I; ~Ites de y por los termlnos eonstantes 
ex + dy = n; bex + bdy = bn (se ha multiplieado por b)
 
Finalmente, se despejan x e y
 
adx + bdy = drn De la primera eeuaei6n se
 
-(bex + bdy) = - bn resta la segunda
 
-8 - 3 -11I~ -~Iadx - bex = dm - bn x = = = --= 
x(ad - be) = dm - bn Se saea factor cornun x -2 - 9 -11 
del primer miembro. I; -~I 
Despejando x tenemos: 
24 -22I~ ~I 2 ­y = = = -- = 2 
-2 - 9 -11 
\ x ~ dm - On I I~ -~I 
ad - be 
B) ECUACIONES SIMULTAN'EAS EN TRES VARIABLES (REGLA DE CRAMER) 
Mediante un proeeso similar despejamos a y.
 
Consideremos el sistema:
 
ax + by = m: aex + bey = em (se ha multiplieado por c)
 
ex + dy = n; aex + ady = an (se ha multiplieado por a)
 a1X + b1Y + e1Z = d1
 
y(ad - be) = an - em ( se resta de la 2.8 eeuaei6n la prl ­
 82X + b2y + e2Z = d2 
mera y se saea factor eomun) aJX + b3Y + e3Z = d3 
~';-',\) 
30 
f'·1,· •• 
'i' . 
Despejando x, y. Z, segun el metodo visto en el apartado anterior, obtenemos: 
'\.."	 
x+ 
x =
y =
, x =
Soluci6n 
7.13. 
A) 
15 km
recorri6
';' 
Los numeradores de cada inc6gnita se obtienen sustituyendo sus respecti­
vo'" coeficientes por los terminos constantes del sistema. As!: 
b:lc2dl - b2c3dl - b3Cld2 - blC2d3 + blC3d2 + b2cld3 2	 3 -21
X = 2	 4-3 4 -31 ',I 3 -21 3-2\b3c2al - b2c3al - b3cla2 - b,C28J + b,c3a2 + b2Cl8J 15 -3 2 _ 2 I-3 2 =-~1-3 2d3c2al - d2c3al - d3Cl82 - dlC28J + dlC382 + d2Cl8J x =	 + 5 14-3 -7 -	 -7Y = b3c2al - b2c3al - b3Cl82 - blC283 + blC382 + b2cla3 
2(-1) - 2(0) + 5(-1) -7b:ld2al - b2d3al - b:ldl a2 - bl d2a3 + b1 d382 + b2dl83 -- =1
-7 -7b3c2al - b2c3al - b:lcl82 - blC28J + blC382 + b2Cl83Z =	 .,," 
2 2 21 
3 2 -3 2Notemos que cadainc6gnita es el cociente de los siguientes determinantes "'1 - 2 -31 r: 1 -21 12 -21
 
de orden 3. Y = --::- ­
5 5 2 2 5 21'::) 5 2 + 5 2 - 3 
-7 -7 
1 
dl bl Cl al dl c11 al bl d11
 
d2 b2 C2
 2(19)- 3(14) + 5(-2)82 d2 C2 aa b2 d2 ~=2 
d3 ba C3 .. l83 d3 C3 . I83 b:l d3 -7	 -7 y = Z =
 
b1 c11'
 
x = 
al bl c11' al bl c11
 
b2 C2 82 b2 C2 82 b2 C2
 2 3 213 4 2
 
b3 C3 a3 b:l C3 83 b3 C3
 2\ 4 21 (~~I 3 21 + 513 21IE l	 l 15 -,3 5 -3 5 "_-' -3 5 4 2 Z = 
-7 -7
 
2(26) - 3(21) + 5(-2) = ~ = 3
 
Observemos que:
 -7	 -7 
Asi que la soluci6n del sistema as: x = 1, Y = 2. Z = 3.
 
a) EI determinante de los denominadores esta formado por los
 ;-' Cuenoo el determinante de uno de los numeradores es 0, el sistema no
coeficientes del sistema. tiene soluci6n (mica. 
b)	 Cualquiera que sea la inc6gnita que se despeje. su numerador
 
se obtiene sustituyendo en el determinante de los coeficientes.
 Cuando el determinante del denominador es 0, et sistema no tiene solu­
sus coeficientes, por los termlnos constantes. ' ci6n, es decir, es inconsistente 0 dependiente. 
~ 
Si et determinante de los d~nominadores es cero, el sistema es inconsis­ PROBLEMAS QUE ORIGINAN SISTEMAS DE ECUACIONES SIMULTA­
tente 0 linea/mente dependiente.	 NEAS~. 
EN DOS VARIABLES
 
EJEMPLO
 
Un cazador fue a un bosque y luego regres6 por otro camino que era 
Resolver el siguiente sistema por determinantes: mas largo que el de ida. Si en total recorri6 265 km, "que distancia 
en cada camino? 
2x + 3y - 2z = 2
 
3x + 4y - 3z = 2
 
5x - 3y + 2z = 5
 
distancia recorrida en el camino de ida. 
distancia recorrida en el camino de regreso. EI denominador es el determinante de los coeficientes. asl:
 
Planteamos las siguientes ecuaciones:
 
[2 3 -213 4-3 21 4-3\ (":::;'\ 3-21 13 -21	 y - 15 (Distancia camino de ida igual distancia camino de regflj)SQ-3 2 ,,- -3 2 + 514 -35 -3 2 menos 15 km.) 
2(-1) - 3(0) + 5(-1) = -7 Y 265 (Distancia de los dos caminos, recorrido total.) 
32 
.<~" 
\'"~.<:~..:,,,,:,:, 
"'.,;' , 
/
\ " " 
~
Este es un sistema slmultaneo de dos variables. 
Resolviendo et sistema por combinaci6n lineal: 
x = y - 15 -+ x - y = -15 
x+y= 265 I 
2x = 250 
250 
x = -- = 125 
2 
Y = 265 - 125 = 140 
Son las soluciones buscadas. Tembien puede desarrollarse por aeterminen­./ 
tes. 
B) EN TRES VARIABLES 
La suma de los angulos de un trlanquto es 180°. La suma del mayor y del 
mediano es 135°, y la suma del mediano y el menor es 1100. 
Solucl6n 
. .:- .~ 
x = angulo mayor; y = angulo mediano; z = angulo rnenor,
 
Planteamos las siguientes ecuaciones:
 
(1) x + Y + Z = 180° (La suma de los tres anqutosj, 
(2) y + z = 110° (Angulo mediano mas angulo menor). 
(3) x + v = 135° (Angulo mayor mas angulo mediano). 
Este es un sistema simunsne« en tres variables: 
x + Y = 135 -+ y = 135 - x (Despejando Y ,en la 
ecuaci6n (3).) . 
y + Z = 110 -+ 135 - x + Z = 110 (Reemplazando yen la 
- x + Z = -25 ecuaci6n (2).) 
x + Y + Z = 180 -+ x + 135 - x + Z = 180 (Reemplazando enla 
z = 180 - 135 -+ z = 45° ecuaci6n (1).) 
-x + Z = -25 -+ -x + 45 = -25 -+ -x = -25 - 45 = -70 
x = 700 
Y = 135 - x -+ y = 135 - 70 -+ Y = 6~ 
Asi que la soluci6n del sistema es: 
x = 700 , Y = 650 , z = 450 
que es la respuesta del problema. Tarnbien puede desarrollarse por determi­
nantes. 
7.14. CONCEPTO Y SOLUCION DE ECUACIONES CUADRATICAS 
CONCEPTO DE ECUACION CUADRATICA 
Recoi"demos que una expresi6n de la forma: 
2I ax + bx + c I 
.,- . 
un potinomio oraeneao do ver;o.,o x y grado 2, aonae 0, • Y c """~~\stantes reales y x e IR (a '=t 0). 
~i este polinomio 10 igualamos acero, obtenemos: 
. [ ax2 + bx + C = 0 I 
que lIamaremos ecuaci6n cueareuce, en la cual distinguimos los siguientes 
terminos: 
a) Inc6gnita: la variable x del polinomio cuadrattco,
 
b) Coeticiente del termino 8(1 x2 : la constante a.
 
c) Coeticiente del termino en x: la constante b.
 
d)irermino independiente: la constante c.
 
EJEMPLO 
En la ecuaci6n cuadratlca - x2 + -..!.- x - 3 0, el coeficiente del ter­
3 
rnlno en x2 es: - 1. 
, EI coeficlente del termino en xes: -, y el termlno independiente" ). '~" 3 
.' es -3. 
7.15. METODOS DE SOLUCION DE ECUACIONES CUADRATICAS 
'Una ecuaci6n cuedrstic« tiene soluci6n en IR, si existe por 10 menos un 
namero real por el que, al sustituir la variable, satistace la igualdad. Los numeros 
reales que dan soluci6n a la ecuaci6n se lIaman ralces de la ecuaci6n, y el 
coniunto de las ralces se llama conjunto soJuci6n oet« ecuaci6n. 
EJE~PLO 
La ecuaci6n x2 - 5x + 6 = 0 tiene soluclon en IR, 'porque x = 3 y x = 2 
satisfacen la igualdad. Adernas, 2 y 3 son las raices de laecuaci6n. 
A) METODO DE FACTORIZACION 
Consideremos la expresi6n (x + a)(x + b) = O. "Es esta una ecuacion 
"cuadratica? (a y b, consideradas constantes.) 
AI etectuar el producto de binomios del primer miembro, obtenemos: x2 + 
ax + bx + ab = 0, factorizamos los terminos en x: 
2[ x + (a + b)x + ab = 0 I 
10 cuat, como se observa, tiene la forma ordinaria de una ecuaci6n cuadratica, 
siendo 1 el coeticiente de x2, a +b el coeffciente del termino en x y a . b el 
termino independiente. :' " " 
Una propiedad importante del producto de numeros reales establec&: 
I si' n, m e ~. n . m = 0 -+ n = 0 6 m = 0 I 
fi;..-:-.2: 
34 
~;'F"!¥,"'1"":"" -:l'I~jl~~"':;'i!!'} ',,' 
Aplicando esta propiedad a la forma original de la ecuaci6n Hallamos la soluci6n de la ecuacion, aplicando la propiedad del pro­
(x + a)(x + b) = 0 ducto nulo de facto res: 
Deducimos que	 (x + 1)(x + 2) = 0 --+ x = -1 0 x = - 2i 
ix+a=O 0 x+b=O La soluci6n es: x = -1 Y x = -2.
 
De esta ultima propostcion se obtiene:
 
x = -a y x = -b	 METODO DE SOLUCION POR FORMULA 
Con 10 anterior hemos demostrado que las raices de la ecuaci6n dada son Consideremos la forma general de la ecuaclon cuadratica ax2 + bx + c = 0, 
-a y -b, Y saran raices tambien de x. y apliquemos el metoda de solucion par completaci6n del cuadrado perfecto. 
x2 + (a + b)x + a . b = 0	 b c x2 + -'-x + - = 0 
porque son ecuaciones equivalentes.	 a a 
b	 Completando el trinomio EI anterior amilisis nos permite establecer et metoda de factorizaci6n para. x2 + -x + (~r + ~ = (2~) 2dar soluci6n a ecuaciones cueat« tic as.	 a 2a a cuadrado perfecto 
(x + ~r + ~ = 
2a a c:r
-
~ '., b r -cConsiste en obtener por factorizaci6n una forma equivalente fie .:lC+- =-+ 
" , . 2a a ~2:rla ecuaclon, donde se tenga un producto de binomios iguales a , 
cero y cada factor contenga la incognita x como sumando. Es b2 - 4ac 
(x + 2~) 2 = 4a2decir, se debe obtener la forma: 
b Jb2 - 4ac b -jb2 - 4ac(x + a)(x + b) = 0 x + - =	 y x + - = 
2a 2a	 2a 2a 
Solucionando las ecuaciones lineales obtenidas, se encuentran las raices 
+ bx + c = 0, y son: 
EJEMPLO
 
- b + J,-b2-:----4-a-c - b - ) b2 - 4ac
 
Encontrar, por el metoda de factorizacion, la soluclon de: 
2a y 2a 
3x2 + 9x + 6 = 0 
La sotuclon. de una ecuacion cuadratica es: 
Desarrollo -b	 ::':: Jb2 - 4ac 
x = (F6rmula cuadratica ), 
a) Se busca una ecuaclon equivalente, en la cual el coeficiente oetter­ 2a 
mine en x2 sea 1. . 
x es la inc6gnita;
Asi, al multiplicar ambos miembros por +, obtenemos: es el coeficiente del termino en x2 ; 
b es et coeficiente del termino en x; 
x2 + 3x + 2 = 0 c es el termino independiente. 
b)	 Buscamos un par de numeros que, de acuerdo al analisis necno, deben
 
sumar 3 (coeficiente del termino en x) y su producto debe
 
(termino independiente).
 Dar la soluclon por la formula a: X2 - 3x + 2 o 
Los nurneros buscados son: 1 y 2, porque: a = 1 
-(-3) ::':: )(-3)2 - 4 x 1 x 2 b = -31 + 2 = ~ 1 x 2 = 2 x =	 , c = 22 x 1 l
c)	 Escribimos la ecuaci6n factorizada, de acuerdo-con los nurneros halla­ 3 + 1 3 - 1 
dos:	 x = y x = - ­
2 2 
(x + 1)(x + 2) = 0 x = 2y x = 
'. 
b). 
c} 
d) 
, 
e)' 
f) 
, 'Donde: 
. a 
EJEMPLO 
de ax2 
~~ 
B) 
a) 
' 
ser 2 
, 
36 
7.18. DISCRIMINANTE DE UNA ECUACION CUADRATICA 
La soluci6n de ax2 + bx + c = 0 es: 
- b ± .jr-b-:-2---4-a-c 
x = ---'7--_':"::':" 
2a 
Conocemos. porel estudio de la radicaci6n, que la ralz cuadrada de 
numero real puede tener dos, uno 0 ningun valor real. En igual forma, 
soluci6n de una ecuaci6n cuadrcHica depende del valor de: 
b2 - 4ac L1amado discriminante. 
Este valor determina la naturaleza de las rafces de la ecuaci6n, 
acuerdo a las siguientes consideraciones: 
a)	 b2 - 4ac > 0 ~ Jb2 - 4ac es un real positive.
 
En este caso, ax2 + bx + c = 0 tiene dos raices rea/es:
 
-b ± Jb2 - 4ac -b - Jb2 - 4ac x = ------"-:----- y x =
 
2a 2a
 
b) b2 - 4ac o ~ J b2 - 4ac = 0 tiene una raiz real.
 
b
 x =-­
2a
 
c) b2 - 4ac < 0 ~ J b2 - 4ac no es un namero real.
 
En este caso, ax2 + bx + c = 0 no tiene soluci6n.
 
EJEMPLO 
l.Cuantas ralces tiene la siguiente ecuaci6n cuadratica? 
3x2 + 2x + 24 = 0 
Soluci6n 
b2 - 4ac = 4 - 4 x 3 x 24 = 4 - 288 = - 284
 
Como b2 - 4ac < 0, la ecuaci6n no tiene soluci6n.
 
EJEMPLO 
Encontrar los valores de x, que cumplen con la ecuaci6n: 
x2 + 18x + 72 = 0 
Por el metoda de factorizaci6n y mediante la f6rmula. 
Solucl6n
 
A) METODO DE FACTORIZACION.
 
x2 + 18x _+ 72 = 0 
38 
,'0". 
EJEMPLO 
B) 
En este 
un 
la 
de 
caso, para hallar los dos numeros que al sumarse den 18 y 81 
multiplicarse 72, descomponemos el 72 en sus facto res primos: 
72 2 
36 2 
18 2 
9 3 
3 3 
1 
Si -hacemos:
 
a = 2 x 2 x 3 = 12
 
b=3x2=6
 
a + b = 12 + 6 = 18
 
a . b· = 12 . 6 = 72
 
EI resultado es:
 
(x + 12)(x + 6) o
 
Esto se cumple si:
 
x + 12 = 0 6 x + 6 = 0
 
I x = - 12 1 I x = -6 I
 
Luego los valores de -12 y -6 son los que cumplen con esta ecuaci6n. 
POR LA FORMULA 
x2 + 18x + 72 = 0
 
De la ecuaci6n, deducimos que:
 
a = 1
 
b = 18
 
c = 72
 
-18 ± J(18)2 - 4(1)(72) -18 ± J324 - 288
 
x =	 = 
2 . 1 2 
-18 ± j36 -18 ± 6 
x = -+ x = - ­
2 2
 
-18	 + 6 
Xl = = -6 
2
 
-18 - 6
 
X2 = = -12 
2
 
La soluci6n para esta ecuaci6n son los valores de -6 y -12.
 
Hallar los valores de x, que cumplan con la ecuaci6n:
 
20x2 + 7x - 6 = 0
 
_'(:\.T~'r',~~~ .~;,~,,,,~..;;', 
Multiplicamos toda la ecuaci6n por 20. 
20 . 2Ox2 + 7 . 20x - 6 . 20 o . 20
 
(20X)2 + 7(20x) - 120 o 
(2Ox ) (20x ) = o 
Para hallar los dos valores hay que descomponer 120 en sus 
primos. 
120 2
 
60 2 a = 2 x 2 x 2 = 8
 
30 2 b = 3 x 5 = 15
 
15 3
 
5 5
 
1
 
Si hacemos: 
a = -8
 
b = 15
 
tendremos: 
a + b = -8 + 15 = 7
 
a b=-8x15=-120
 
Luego los facto res nos quedan: 
(20x - 8)(20x + 15) = 0 
Esto se cumple, sl: 
20x - 8 = 0 6 20x + 15 = 0 
Ix=~1 Ix=-:I 
Los valores de x, que cumplen con la ecuaci6n, son: 
Ix=~lylx=-:1 
B) POR LA FORMULA 
20x2 + 7x - 6 = 0 
De la ecuaci6n deducimos: 
a = 20
 
b = 7
 
c = -6
 
-7 ± J (7)2 - 4(20)(-6) -7 ± J529 x = 
2 . 20 40
 
-7 + 23 2
 
-7 ± 23 40 5
 
X = = \ Xl ~ 
40 -7 - 23 -3
X2 ­
40 4
 
.#d*'!&irfe,ri';m-6j,);~~~,_.-~,."~ ",... 
Tomemos: 
Los 
Soluci6n 
EJEMPLO 
7.17. 
la misma, 
,,2 3
 
I
va ores de X que cumpIen con la acuacron son: - y --. 
5 4
 
CASaS ESPECIALES 
A), . ECUACIONES BICUADRADAS V
 
Se sigue el mismo procedimiento que en las ecuaciones cuadraticas. Sola­
.mente utilizaremos el rnetodo de factorizaci6n. Como la teoria que se utiliza es 
se vera la soluci6n mediante ejemplos. 
Hallar los valores de x, que cum plan con la ecuaci6n: 
x" - 5x2 - 50 = 0 
2.EI primer termlno de cada factor sera la raiz de x4 , 0 sea, x
x4 - 5x2 - 50 = (x2 ) (x2 
Buscarnos dos nurneros que al sumarse den -5 y al multiplicarse - 50. 
50 I 2
25 5 a = 2 x 5 = 10
 
5 5 b = 5
 
1
 
a = -10 
b = 5 
a + b = -10 + 5 = -5 
a . b = -10 x 5 = -50 
(x2 - 10)(x2 + 5) = 0 
Esto se cumple, si: 
x2 - 10 = 0 6 x2 + '5 = 0 
x2 = 10 x2 = -5 
x = ±j1O x = -:::.R 
Como estamos solucionando estas ecuaciones en el sistema nurnerlco de 
los reales, los valores que cumplen con esta ecuaci6n son: 
x == ±j1O 
Descomponer en dos factores la siguiente expresi6n: 
,~ ':F~? 
x!' + 7x3 - 44 
Notamos que el ultimo terrnmo es 0, lueg,? esta cantidad es ralz,
SolucJ6n 
6
EI primer termlno de cada factor sera la ralz de x , 0 sea, x3 . La ecuaci6n la podremos escribir como:
 
(x3 ) (x3
 (x + 1) (x3 -2x -4) 
Para hallar las cantidades que van como segundo terrnlno en cada factor, Probemos con 2 para reducir el polinomio de orden 3: 
descompondremos 44 en sus facto res primos. 
-2 -4 LL 
4 4­2
441 2
2 
a =22 11
 
11 11 b=2x2=4
 2 2 0
 
1
 
Como elresto de esta divisi6n tamblen es cero 
Si tomamos: 
Luego la ecuaci6n la podemos escribir como: a = 11
 
b = -4
 (x - 2)(x + 1)(x2 + 2x + 2) = 0 
tendremos: EI polinomio de segundo grado 10 podernos' resolver mediante la tormula: 
a + b = 11 - 4 -= 7 x2+2x+2=0 
a . b = 11 . (-4) = -44 -2 :': J4 - 4(1)(2) -2 :': 0 
x = = 
( (x3 + 11)(x3 - 4) = 0 1 2 2
 
-2 + 2i
 
= -1 + 
-2 :': 2i = iXl = 2
B) SOLUCION DE ECUACIONES DE ORDEN MAYOR DE 2
 x = 
2 -2 - 2i = -1 ­Se trata de dar una idea al estudiante de la forma en que se solucionan las X2= 2
ecuaciones de orden mayor de 2. Lo haremos mediante ejemplos.
 
Luego las raices seran;
 
EJEMPLO
 x = 2; x = -1 + 
Hallar las raices de la ecuaci6n: x = -1; x = -1 ­
:.-;'
x" + x3 _g'x2 - 6x - 4 = 0 
SoJuci6n .';' 
-. 
Lo primero que haremos es reducir de orden la ecuaci6n; para ello, utiliza­
remos la divisi6n sintetic«, la cual consiste en dividir los coeficientes de la .­
ecuaci6n entre los facto res primos del terrnlno independiente.
 
Probemos con 1: 
1 1 -2 -6 -4l.! ­
1 2 0 -6
 
2 0 -6 -10
 
Como el resultado del ultimo termino es -10, esta cantidad 1, no es raiz de
 
la ecuac i6n.
 
Probemos con -1:
 
1 -2 -6 -4l..=..! ­
-1 0 2 4
 
o -2 -4 0
 
42
 
'<'dO',,"":'"""'''''. :;'_.:.::••;.;.."L,&..1t-,rrt,e rcli.fWM '~;j. 
http:��;.;.."L
, 
" 
~ t 
APENDICE 1 
EJERCICIOS
 
COMPLEMENTARIOS
 
A. EJERCICIOS DE APLICACION 
B. EJERCICIOS DE INVESilGACION 
rr ; "", 
If.t.M ttfi§:t;:i¥*i1y4§:zl+"~·t:%.:it.-~~,L, 
1. 
2. 
2. 
1. 
8.1. 
A.1. 
Soluci6n 
a) 
b) 
Soluci6n 
a) 
b) 
" 
CONCEPTO DE ECUACION E INECUACION . 
En la ecuaci6n: 
6x + 3 = 7x 
a) loPor que es una ecuaci6n? 
b) loCuel es la inc6gnita? 
Porque es una igualdad. (talso) 
La inc6gnita es x. 
La expresi6n: 
2x + 5 > 4 
a) loEs una inecuaci6n? 
b) loCuel es la inc6gnita? 
Sl, porque nos indica que 2x + 5 es mayor que 4. 
La inc6gnita es x. 
CONCEPTO DE ECUACION E INECUACION 
En la ecuaci6n: 
x + 10 = 4x
 
a) loPor que es una ecuaci6n? _
 
b) loCuel es la inc6gnita? -- ­
La expresi6n: 
3y + 5 < 4
 
a) loEs una inecuaci6n? --:-_........,-'-;­
b) (,Cuel es la inc6gnita?
 '. .. .. ~''§.i 
\,.,,' 
A.2.	 ECUACIONES E INECUACIONES DE PRIMER Y SEGUNDO GRADO 
1. La ecuaci6n: 3x + 2 = O. 
a) (,De que grado es?
 
b) (,Por que?
 
Solucl6n 
a) Es de primer grado.
 
b) Porque el mayor exponente a la cual esta elevada la inc6gnita es 1.
 
2. La inecuaci6n: 3x2 + 2x + 3 ::; 2. 
a) (,De que grade es?
 
b) (,Por que?
 
Soluci6n 
a) Es de sequndo grado.
 
b) EI mayor exponente de la inc6gnita es 2.
 
B.2. 
1. La ecuaci6n: 3x2 + 3x + 3 
a) (,De que grade es? 
b) (,Por que? 
= O. 
_ 
_ 
2. La inecuaci6n: x + 5 ::; x + 3. 
a) (,De que grade es?
 
b) (,Por "que?
 
A.3.	 SOLUCION DE ECUACIONES E INECUACIONES 
a) Solucionar la ecuaci6n: 
8x -	 4 + 3x = 7x + x + 14 
Soluci6n 
11x - 4 = 8x + 14 
11x = 8x + 18 
3x = 18 
18 
x =-" x = 63 . 
b) Resolver la inecuaci6n: 
sx +	 5 ~ 4x + 11 
\ 
\
 
\ 
Solucl6n
 
6x ~ 4x + 11 - 5
 
6x ~ 4x + 6
 
2x ~ 6; x ~ 3
 
B.3. 
a) Resolver la ecuaci6n: 
8x -	 4 + 3x = 7x + x + 14 
b) Resolver la inecuaci6n: 
x - 5 < 2x - 6 
A.5.	 METODO DE SOLUCION ANAUTICA DE UN SISTEMA DE DOS 
ECUACIONES LINEALES CON DOS VARIABLES 
a) . Resolver el sistema: 
7x + 4y = 13 (1) 
{ 5x - 2y = 19 (2) 
Solucl6n
 
Lo haremos por el metoda de combinaci6n lineal.
 
7x + 4y = 13 
10x - 4y = 38 
17x = 51 
51 
x = -' x = 3
17 ' 
Sustituimos x en (2). 
5 . 3	 - 2y = 19 -+ 15 - 2y = 19; - 2y = 4 
Y = -2
 
b) Resolver el sistema:
 
~ + ~= 2 
x Y 
7 - -	 ~ = 11 
x Y 
Solucl6n 
'LI 1 1amemos: v = - Y t = ­
x y 
.r s , 
10v + 9t = 2 (1) multiplicamospor 2 
{ 7v - 6t = 11. (2) multiplicamos por 3 
20v + 18t = 4 
21v - 18t = 33 
41v = 37 
37 
V·=·­
41 
_."",.l::.,'.. 
48 
Reemplazando en (1): 
37 370 + 9t = 2; 9t = 2 _ 37010 x - + 9t = 2'41 • 41 41 
82 - 370 -288 t = -288
9t	 = 9t = ~ 
41	 369 
37 . 41 . 1 -288 -369 
41'	 -y = 369 y 288x	 = 37'x 
B.S. 
a) Resolver el sistema: 
6x - 18y = - 85 
{ 24x - 5y = - 5 
b) Resolver el sistema: 
9 
- + ~ = 27 
x Y 
5 
- + ~ = 22 
x Y 
A.6. ECUACIONES QUE CONTIENEN FRACCIONES 
a) Resolver la ecuaci6n:
 
1 1 1 1
 
-+----=­
2x 4 10x 5 
1 1 1 1
-+------=0 
2x 4 10x 5 
Soluci6n 
EI minimo comun multiple de 2x, 4, 10x y 5 es 20x. 
10 + 5x - 2 - 4x = 0 
20x 
10 + 5x - 2 - 4x = 0 
x + 8 = 0; x = -8 
b) Resolver la ecuaci6n: 
3 
x + x2 ­
x -r- 1 y x2 - 1 es x2 - 1. 
3(x -1) ­
= 0
 
xL 1 
3x-3-1=0 3x-4=0 
4 x	 =­
3 
5 7 3
-+x 10 2x 
5 
x2 - 1 x ­
jX+4+~=5 
~ ; (J x + 4 )~ (5 - JX="""1)2 
(x - 1); x + 4 - 25 - x + 1 = -1~ 
(2)2 = (Jx - 1Y; 4 = x - 1 
x = 5 
J 4x2 - 15 - 2x = -1 
SOLUCION DE UN SISTEMA DE TRES ECUACIONES LINEALES CON 
' 
+	 4y - z = 6 (1)
 
5y - 7z = -9 (2)
 
2y + Z = 2
 (3) 
2 
3x 
a) Resolver la ecuaci6n 
b) Resolver la ecuaci6n. 
j 
x 
2x + 
3x -
Resolver el sistema. 
Resolver la ecuaci6n. 
Resolver la ecuaci6n. 
Solucl6n 
EI minimo cornun rnulttplo de 
B.6 
jX+4 = 5 -
x + 4 = 25 - 10jX=1 + 
-20 = -10~; 
B.7. 
A.8. 
TRES VARIABLES 
A.7. ECUACIONES QUE CONTIENEN RADICALES 
Solucl6n 
\ 
\ 
\ 
50 
• ~ 1;.,. .'> ._/" 
Combinamos las ecuaciones (1) Y (2), eliminamos la x multiplicando la ecua­
ciOn (1) par 2. 
a)
A.12.
A.10. 
B.10. 
Soluclon
!
/ "~ \ 
iI'~t 
\ 
i;~ , 
B.9. 
s)
b) 
c) 
Hallar 7! _2x + 8y - 2z = 12
 
-2x - 5y + 7z = 9
 Hallar 11! 
3y + 5z = 21 (4) l.Cuantas permutaciones tiene el conjunto {a, b, c, d, e, f}? 
Combinamos (1) Y (2). Multiplicando (1) por 3. 
3x + 12y - 3z = 18
 
-3x + 2y - Z = -2
 
14y - 4z = 16 (5) DETERMINANTE DE UNA MATRIZ CUADRADA
 
7y - 2z = 8 (5)
 
Resolver el determinante:
 
Las ecuaciones (4) y (5) forman un sistema, vamos a eliminar Z, multipli ­
1 -2 -3cando la ecuaci6n (5) por 5 y la ecuaci6n (4) por 2. 
A =1 -4 2 1
1 3y + 5z = 21 (4) 6y + 10z = 42
 5 -1 3
1 7y - 2z = 8 (5) 35y - 10z = 40
 
41y = 82
 
Y = 2
 1 -2 -31 11 -31 1-2 -3I 2 1-2
 Det. A = 1-4 2 1 = 1 -(-4) + 5
 
Sustituyendo y en (5).
 . 5 -1 3 -1 3 -1 3 I 2
 
7(2) - 2z = 8 14 - 2z = 8 -2z = -6 Det. A = 1(6 + 1) + 4(-6 -3) + 5(-2 +6) =
 
z = 3
 7 + 4(-9) + 5(4) = 7 - 36 + 20 = -9 
Sustituyendo y, z en (1):
 
x + 4(2) - 3 = 6 x+8-3=6 x + 5 = 6
 
x = 1
 Hallar el valor del determinante. 
1 2 1
 
B = 11 3 4
 
B.8. Resolver el sistema. 
x+y+z=6 102
 
x-y+2z=5
 
x - Y - 3z = 10
 
SOLUCION DE ECUACIONES SIMULTANEAS POR DETERMINANTES
 
A.10. CONCEPTO DE FACTORIAL Y PERMUTACION Resolver el sistema: i. 
a) Hallar 8! 
{5X + 3y = 5
 
8! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 = 40.320
 4x + 7y = 27
 
a) Hallar 12! 
12~ ~I 35 ­ 81 46
12! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6 x 7 x 8 x 9 x 10 x 11 x 12 = 479.001.600 x= - . = -- =-2 
35 - 12
 
c) i,Cuantas permutaciones tiene el conjunto? I ~ ~I 23 • 
{a, b, c, d, e} 
I~ 2~1 135 - 20 ~=5Soluclon 
35 - 12 23
 
Como el conjunto tiene 5 elementos, sus permutaciones son: I~ ~I 
5! = 1 x 2 x 3 x 4 x 5 = 120 ~Los valores que satisfacen al sistema son x = - 2, Y = 5. 
• 'i'r~/~~Si';i:'>.'~;;;';-~_;; .: ... :-,j...)~~~:lia~i:;_'i;!:i-;,.1t_;~;~~,~.:d_~:_ ~""~.,,:.- :..;.2L~-·:· ...~ ,;.·,,'·t;};,~Ji:.f~!ti 
b) Resolver el sistema. 
x + Y + Z = 4 
j2x ­ 3y + 5z = -5 
3x + 4y + 7z = 10
 
Soluel6n 
EI determinante del denominador es: 
3 5 1 11 1 11
~-~ ~I 1 1
3 4 7 = 1 1-4 7 - 2 14 7 + 3 -3 5
 
= 1(-21 -20) -2(7 -4) +3(5 + 3) = -41 -6 +24 = -23
 
4 1- 1)
-5 -3 5 1 1
 
4 - 43 751 -(-5)14 17 I + 10 1-3 511
10 4 7 1
x = I
 
-23 -23 
4(-21 -20) +5(7 - 4) +10(5 +3) -164 +15 +80 -69 
x = 
-23 -23 -23 
x = 3
 
1 4 1
 
2 -5 5
 
3 10 7 111~ 751 -2 I104 "711 +3 I~54 511"
 
-23 -23
 
1(-35 -50) -2(28 -10) +3(20 +5) -85 -2(x8) + 3(25)
y = 
-23 -23 
-46 = 2 
Y = -23
 
1 1 41
2 -3 -5 1
 
- 3 -51 1 41 ~ 41
3 4 10 11 4 10 -2 4 10 +~ -5
 z = ----,-'-----=­
-23 -23
 
1(-30 +20) -2(10 -16) +3(-5 +12) -10 +12 +21 23
 z = 
-23 -23 -23 
z = -1 
B.ll. 
a) Resolver el sistema.
 
J 7x + 8y = 29
 
15x + 11y = 26
 
b) Resolver el sistema.
 
2x + 3y + Z = 1
 
6x - 2y - z = -14
 
3x + Y - z = 1
 
D 
8) Dos boxeadores han noqueado a 190 rivales entre ambos, pero l,1noste 
""," ellos ha noqueado 4 rivales menos que el otro. i,Cuantos nvales h«,n. 
queado cada uno? 
A.13. PROBLEMAS QUE ORIGINAN SISTEMAS DE ECUACIONES 
SIMULTANEAS 
a) un bateador de grandes ligas ha dado dos jonrones, uno de ellos reco­
rri620 pies mas que el otro. Y ambos jonrones recorrieron una distancla 
total de 700 pies. i,Cuantos pies recorri6 cada jonr6n? 
Solucl6n 
x = los kil6metros recorridos el primer dia. 
y = los kil6metros recorridos el segundo dia. 
z = los kil6metros recorridos el tercer dia. 
x + y + Z = 2.000 (1) 
x + Y = 900 (2) 
Y + Z = 1.500 (3) 
x = 900 - Y 
z = 1.500 - Y 
Reemplazando en la ecuaci6n (1). 
900 - Y + Y + 1.500 - Y = 2.000 
2.400 - Y = 2.000 Y = 400 km 
x = 900 - 400 x = 500 km 
z = 1.500 - 400 x = 1.100 km 
Solool6n 
x = es el jonr6n que mas distancia recorri6 
y = es el jonr6n que menos distancia recorri6 
{ 
X = y + 20 (1) 
x + Y = 700 (2) 
establecemos este sistema de ecuaciones. 
Reemplazando la ecuaci6n (1) en (2) 
y + 20 + Y = 700 2y = 680 Y = 340 pies 
x = 340 + 20 = 360 x = 360 pies 
b) Cecotto recorri6 2.000 kil6metros en motocicleta en 3 dlas: de la si­
guiente forma: entre el primer y segundo dia recorri6 900 kil6metros, 
entre el segundo y tercer dia recorri6 1.500 kil6metros. i,CUantos kil6me­
tros recorri6 en cada dia? 
, B.12. 
b)	 Se quiere saber de tres estudiantes cual es el mejor. La suma de las 
notas de los tres es 57. La suma de las notas entre el mejor y el peor es 
de 38~ y entre el mejor y el regular es 39. i,.cuales son {as notas de cada 
uno? . 
A.15. SOLUCION DE ECUACIONES CUADRATICAS 
a) Hallar los valores de x en la ecuaci6n:
 
x2 + 23x + 60 = 0
 
(x + 20) (x + 3) = 0
 
x + 20 = 0 x = -20
 
x + 3 = 0 x = -3
 
b) Hallar los valores de x en la ecuacion: .
 
3x2 + 7x + 2 = 0
 
-7 ± /49 - 4(3)(2) -7 ± /49 - 24
 x = 
6 6 
x = -7 +5 = 1 - ­
x 
-7 ±5 
6 
x = 
6 
-12 _-6-­ -2 
3 
8.14. 
a) Hallar los valores de x en:
 
x2 + 5x + 6 = 0
 
b) Hallar los valores de x en:
 
32x2 + 18x - 17 = 0
 
A.16. DISCRIMINANTE DE UNA ECUACION CUADRATICA 
a) i,Cuantas rafces tiene	 la ecuaci6n?
 
x2 + 3x - 6 = 0
 
Solucl6n 
~'(: .~~:~ 
~--
I 
b) i,Cuantas raices tiene la ecuaci6n? 
9x2 - 12x + 4 = 0 
b2 ­ 4ac = 4 - 4 x 1 x 6 = 4 - 24 = - 20 
No tiene ninguna raiz real porque el discriminante b2 - 4ac < O. 
c) i,Cuantas raices tiene la ecuaci6n? 
2x2 + x + 5 = 0 
a) Hallar cuantas raices tiene la ecuaci6n: 
3x2+9x-6=0 
b2 - 4ac = 36 - 4 . 1 . (9) = 36 - 36 = 0 
Tiene una raiz real porque el discriminante b2 - 4ac = 0 
c) i,Cuantas raices tiene la ecuaci6n? 
_x2+2x+6=0 
8.15. 
Soluci6n 
Solucl6n 
b2 - 4ac = 9 - 4 . 1 . (- 6) = 9 + 24 = 33 
Tiene dos ralces reales porque el discriminante b2 - 4ac > O. 
b) (,Cuantas raices tiene la ecuaci6n? 
x2 + 6x + 9 =0 
pti'hi"ti At "it{;'<,ai:i~~.~,~\.~:L1'<;"c:~&/,': 
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m
 
Z
 c - o m I\) 
o z
 
"-, 
\'" 
;I!" 
-, : 
;." 
1.	 Incognita es el valor _ 
en una eeuaei6n 0 ineeuaei6n. 
2.	 Los simbolos siguientes, signifiean: 
a) >, es que 
, b) <, es que 
3. " Si se " 0 se eleva 
una por una misma eantidad, la igualdad subsiste. 
4.	 Si se 0 una misma eantidad a ambos miem­
bros de una ineeuaei6n, esta subsiste. 
·5.	 Si multiplieamos por una eantidad • la desigualdad varia. 
6.	 Resolver la inecuaclon; 
7
3x -4 ;?: x2 + ~ 
2 
7.	 Un bote navega un rio, y reeorre 15 kilometros en 1 '/2 horas a favor de 
la eorriente y 12 kil6metros en 2 horas contra la eorriente. Hallar la 
veloeidad del bote en agua tranquilay la veloeidad del rio (nota: tlernpo 
= espaeio/veloeidad). 
8.	 Resolver el sistema: c
..', 
9 
-+ ~ = 11	 "'.' x Y	 (. 
... \
7	 v ~ =-4 
x Y 
9.	 Para suprimir denominadores en una eeuaei6n, se multipliean todos los 
rerminos de la eeuaei6n por el . " 
10.	 Repartir 150 bolivares entre A y B de modo que si los 3/8 de la parte de 
A, se dividen entre el quinto de la de B, se obtiene 1 de eoeientey 16 de 
residuo. 
11.	 Resolver la siguiente eeuaei6n: 
.j3X + ;fiX = 4 
12. Cuando una matriz es cuadrada, el numero de :::} 
.~ ,. 
f 13. Defina factorial y de un ejemplo .;.,... 
•14. (.Es correcto -3/4? l.Por que? 
15. EI numero de permutaciones de un conjunto de n elementos es igual a. 
16. Resolver el determinante: 
'/2 o -3/8 
o 7 516 
2 3 0 
17. Resolver el sistema, por determinantes. 
3
x+-y-z=1
2 
4 2 
x+-y-z=­
3 3 
3 2 x - - y + -z = 
5 5 
18.	 Si a los termlnos de una fracci6n se anade 3, el valor de la fracci6n es 
'/2 y si a los terminos se les resta 1, el valor de la fracci6n es '/3, Hallar la 
fracci6n. 
19.	 Los gastos de una excursi6n son Bs 900. Si tres personas dejan de ir, 
cada uno tend ria que pagar Bs 10 mas. l.Cuantas personas hacen el 
viaje y cuanto paga cada una? 
20.	 Cuando el dlscrlminante de una ecuaci6n cuadratlca es mayor que 
cero, la ecuaci6n posee raices reales. ' 
21.	 Cuando el discriminante de una ecuaclon cuadratica es igual acero, .ta 
ecuaci6n posee raices reales. 
22.	 Cuando el discriminante de una ecuaci6n cuedratica es menor que 
cero, la ecuaci6n posee raices. 
t',.. ­
,,0 • 
BIBLIOGRAFIA 
DEPARTAMENTO DE INVESTIGACION EDUCATIVA DE VOLUNTAD EDITORES: 
Matematicas-Educaci6n creativa. 1.& edici6n. Bogota-Colombia. Voluntad Edi­
tores, S. A. 1977. 
PETERS, MAX, Y SCHAAF, WILLIAM: Algebra y Trigonometria. 1.& edici6n. Me­
xico. Editorial Reverte. 1972. 743 pp. 
BALOOA, A. Algebra elemental. 2.& edici6n. Espana. Editorial Mediterraneo. 
1970. 574 pp. 
PAP Y GI;ORGES. Matematica moderna. 2.& edici6n. Argentina. Editorial Univer­
sitaria de Buenos Aires. 1970. I, II, III tomos. 
Texto recomendado: 
CURSO BASICO DE MATEMATICAS. Editorial Schroedet, Madrid, 
1979, Editecnica Suramericana, C. A.