Probabilidad y estadistica- ejercicios resueltos bien explicados00044 - Viridiana Heredia Olivares

Vista previa del material en texto

PontificiaUniversidadCat´olicadeChile
FacultaddeCienciasEcon´omicasyAdministrativas
SegundoSemestre2008
Curso:ProbabilidadyEstad´ıstica
Sigla:EAS200A
Pauta:I2
Profesores:OsvaldoFerreiro(Sec.01)yRicardoOlea(Sec.02)
Ayudantes:DanielaMorel-DanielaZ´u˜niga(Sec.01),PabloFlores-SusanaOpazo(Sec.02)
Problema1
(a) Supongaquede2500cuentascomercialesdelBancoInternacionalCATP(ConfianzaaTodaPrueba),
125hansidoalteradasfraudulentamente.Lasalteracionessonlobastantesutilescomoparaques´olo
unaauditor´ıamuydetalladalaspuedadescubrir.Seeligealazar50cuentascomercialesparalarevisi´on
detallada.
(i) Laselecci´onserealiza,comoeshabitual,sinreemplazo.¿Qu´edistribuci´onexactaseguir´ıala
variable“n o decuentasalteradasexistentesentrelasseleccionadas”?¿Cu´aleslaprobabilidadde
quesehayaseleccionadoalmenosunacuentaalterada?
(ii) Adicionalmente,determinelamismaprobabilidadasumiendounaselecci´onconreemplazoesta
vez.Se˜naleexpl´ıcitamentecu´alesladistribuci´onexactaqueutilice.
(b) Uncarterorecorrediariamenteenbicicletaelsectorasignadopararepartircorrespondencia.Ladis-
tancia X enkil´ometrosquedeberecorrerparalograrentregartodalacorrespondenciadeld´ıaesuna
variablealeatoriadelacualsesabequesulogaritmonaturalsedistribuyeNormal(0,1).Determine
expl´ıcitamentelaFunci´ondeDensidadyelRecorridodelavariable X.
Soluci´on
(a) Tenemosunapoblaci´ondetama˜no N =2500decuentascomercialesdelBancoInternacionalCATP,
lacualest´adivididaendosgrupos:(1)Cuentasalteradasfraudulentamente( N1 =125)y(2)Cuentas
Noalteradasfraudulentamente( N2 =2500 −125=2375).Deestapoblaci´onseseleccionaunamuestra
detama˜non =50.
(i) Sea X lavariablealeatoriaquedeterminaeln´umerodecuentasalteradasexistentesentrelas50
seleccionadas.Comolaselecci´onessinreemplazosededuceque
X ∼ Hipergeom´etrica(2500, 125, 50) [0.8ptos ]
Sepide
P (X ≥ 1)=1 − P (X< 1)
=1 − P (X =0) [0.4ptos ]
=1 −
(
125
0
)(
2500− 125
50
)
(
2500
50
) [0.2ptos ]
=1 −
(
2375
50
)
(
2500
50
)
=1 −
2375!
50!2325!
2500!
50!2400!
=1 − 2375! · 2400!
2325! · 2500!
[0.1ptos ]
1
(ii) Si el muestreo es con reemplazo se deduce que
X ∼ Binomial
(
n = 50, p =
125
2500
= 0.05
)
[0.8 ptos]
Luego, la probabilidad solicitada es
P (X ≥ 1) = 1− P (X < 1)
= 1− P (X = 0) [0.4 ptos]
= 1−
(
50
0
)
0.050 (1− 0.05)50−0 [0.2 ptos]
= 1− 0.9550
= 0.923055 [0.1 ptos]
(b) Del enunciado se tiene que Y = lnX ∼ Normal(0, 1). Se pide determinar fX(x).
Alternativa 1
Tenemos que X = g(Y ) = eY , con X > 0 [1.0 ptos]. Como la función g( · ) es invertible en R, por
teorema de cambio de variable la función densidad de X es
fX(x) = fY (g−1(x))
∣∣∣∣ ddxg−1(x)
∣∣∣∣
= fY (lnx)
∣∣∣∣ 1x
∣∣∣∣ [1.0 ptos]
=

1√
2π
1
x
e−
(ln x)2
2 [0.5 ptos], x > 0 [0.5 ptos]
0, en otro caso
Alternativa 2
Tenemos que Y = lnX es una variable aleatoria Normal(0, 1) y X = eY es otra variable aleatoria con
X > 0 [1.0 ptos]. La función distribución acumulada de X por definición es
FX(x) = P (X ≤ x)
= P (eY ≤ x)
= P (Y ≤ lnx)
= FY (lnx). [0.5 ptos]
Luego, derivando FX(x) con respecto a x se obtiene la función densidad de X como sigue:
fX(x) =
d
dx
FX(x) =
d
dx
Fy(lnx) = fY (lnx)
1
x
. [0.5 ptos]
Por lo tanto
fX(x) =

1√
2π
1
x
e−
(ln x)2
2 , [0.5 ptos] x > 0 [0.5 ptos]
0, en otro caso
+ 1 Punto Base
2
Problema 2
Al servidor computacional de una institución, llegan e-mails a una tasa promedio de 34.1 por cada 10
segundos.
(a) Determine la probabilidad de que lleguen al menos dos e-mails en un segundo.
(b) ¿Cuál es la probabilidad de que entre dos mails consecutivos transcurra 1.2 segundos a lo más?
(c) ¿Cuál es el valor esperado del tiempo hasta recibir el décimo e-mail de ahora en adelante? ¿Cuál es la
distribución precisa, con parámetros, que permite determinar dicho valor?
Solución
(a) Sea X la variable aleatoria que determina el número de e-mails recibidos en 10 segundos. Es decir,
X ∼ Poisson(λ = 34.1) [0.5 ptos]
Si consideramos Y como el número de e-mails recibidos en un segundo, de la distribución de X se tiene
que
Y ∼ Poisson
(
λ =
34.1
10
= 3.41
)
[0.5 ptos]
Se pide
P (Y ≥ 2) = 1− P (Y < 2)
= 1− P (Y = 0)− P (Y = 1) [0.4 ptos]
= 1− (3.41)
0 e−3.41
0!
− (3.41)
1 e−3.41
1!
[0.3 ptos]
= 1− 4.41 e−3.41
= 0.8542883 [0.3 ptos]
(b) Sea T el tiempo transcurrido entre la llegada de dos e-mails consecutivos. Es decir,
T ∼ Exp(λ = 3.41). [1.0 ptos]
Se pide
P (T ≤ 1.2) = FT (1.2)
= 1− e−3.41·1.2 [0.6 ptos]
= 0.9832942 [0.4 ptos]
(c) Sea T el tiempo transcurrido desde ahora en adelante hasta la llegada del décimo e-mail. Es decir,
T ∼ Gamma(α = 10, λ = 3.41) [1.0 ptos]
Por lo tanto su valor esperado es
E(T ) =
α
λ
=
10
3.41
= 2.93 segundos [1.0 ptos]
+ 1 Punto Base
3
Problema 3
Ud. bien sabe que por estos d́ıas las Bolsas de Valores están muy “volátiles”. Es muy dif́ıcil predecir si el
ı́ndice correspondiente del valor de las acciones va a subir o bajar. Asuma que la probabilidad de que en un
d́ıa determinado cualquiera suba el ı́ndice es π. Se asume (parece ser cierto por estos d́ıas) que los sucesos
asociados al precio de las acciones en d́ıas diferentes, son independientes.
(a) ¿Qué distribución sigue la variable aleatoria X: no de d́ıas (hábiles) en que el ı́ndice sube en un mes
(de 22 d́ıas hábiles)?
(b) Casi todos los d́ıas están “a la baja”. Por ello, Ud. espera con ansias un d́ıa en que el ı́ndice accionario
suba. Justificando su planteamiento, ¿Qué distribución seguiŕıa la variable aleatoria Y : no de d́ıas de
espera hasta que sube el ı́ndice? Siempre con π = 0.25, determine la probabilidad de que haya que
esperar al menos 3 d́ıas.
(c) La gente corre apresuradamente para llegar a comprar acciones y se ha detectado que el tiempo que usa
en trasladarse a la Bolsa es Normal con media de 24.6 minutos y desviación estándar de 6.0 minutos.
¿Qué valor de tiempo de traslado produce que sólo el 20 % de las personas demoran menos que dicho
tiempo?
Solución
(a) La variable aleatoria X tiene distribución Binomial(n = 22, π). [2.0 ptos]
(b) La variable aleatoria Y tiene distribución Geometrica(π = 0.25) [1.0 ptos]. Luego, la probabilidad
solicitada es
P (Y ≥ 3) = 1− P (Y < 3)
= 1− P (Y = 1)− P (Y = 2) [0.5 ptos]
= 1− π (1− π)1−1 − π (1− π)2−1
= 1− π − π (1− π)
= 1− 2π + π2
= 1− 2 0.25 + 0.252
= 0.5625 [0.5 ptos]
(c) Sea T el tiempo en trasladarse a la Bolsa. Del enunciado se tiene que
T ∼ Normal(µ = 24.6, σ2 = 62)
Se pide encontrar el valor de c tal que P (T ≤ c) = 0.2 [0.5 ptos] que es equivalente a P
(
Z ≤ c−24.66
)
=
0.2 con Z ∼ Normal(0, 1) [0.5 ptos].
De la tabla normal estándar se tiene que
c− 24.6
6
≈ −0.84 [0.6 ptos] ⇔ c ≈ 24.6− 6 · 0.84 = 19.56 minutos [0.4 ptos]
+ 1 Punto Base
4