slides-clase14 - Luis Disset - Nelson Osorio Arriola

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Derivadas de orden superior
Si f es una función derivable en su dominio (o en parte de
éste), entonces tiene sentido preguntarnos si f ′ es continua o
no, derivable o no, etc. En los puntos en que f ′ es derivable,
diremos que su derivada es la segunda derivada de f , y la
denotaremos por f ′′.
Análogamente definimos la tercera derivada, la cuarta, y así
sucesivamente. Denotamos la tercera derivada de f por f ′′′, la
cuarta por f iv, etc.
Otras notaciones comunes para la “derivadas n-ésima” son f (n)
y
dnf
dxn
.
El teorema de Leibnitz
Sean f , g : [a, b]→ R dos funciones derivables n veces en
(a, b). Entonces su producto también es derivable n veces en
(a, b), y se tiene la siguiente fórmula:
(fg)(n) =
n∑
k=0
(
n
k
)
f (n−k)g(k).
Demostración.
Por inducción sobre n (ejercicio).
Funciones definidas implícitamente
Una fórmula como y = x2 sen x define explícitamente y como
función de x.
Una fórmula como x2 + y2 = 1 define una relación entre x e y,
pero no define a y como función de x.
Sin embargo, dado un punto (x0, y0) tal que |x0| < 1 y
x20 + y
2
0 = 1, esta ecuación “localmente” define y como función
de x: o bien y =
√
1− x2, o bien y = −
√
1− x2.
De hecho, en una vecindad de x0 podemos definir una infinidad
de funciones y = f (x) para las que x2 + y2 = 1, pero las únicas
continuas entre todas ellas son las definidas por y =
√
1− x2, o
bien y = −
√
1− x2 (¿por qué?), y sólo una de ellas satisface
x2 + y2 = 1 y f (x0) = y0.
Funciones definidas implícitamente (cont.)
En general, cuando dada una relación del tipo F(x, y) = 0 y dos
números x0 e y0 tales que F(x0, y0) = 0, es posible definir en
una vecindad de x0 una única función continua y = f (x) tal que
f (x0) = y0 y F(x, f (x)) = 0, diremos que la relación F(x, y) = 0
define implícitamente la función y = f (x) en dicha vecindad de
x0.
Así, por ejemplo, la relación x2 + y2 = 1 define implí citamente,
en una vecindad de x0 = 1/2, la función y =
√
1− x2 si
tomamos y0 =
√
3/2, y la función y = −
√
1− x2 si tomamos
y0 = −
√
3/2.
Funciones definidas implícitamente (cont.)
Más aún: en casos como éstos consideraremos el gráfico de
y = f (x) como un conjunto de puntos en R2, y diremos que la
relación F(x, y) = 0 define implícitamente la función y = f (x) en
una vecindad de (x0, y0).
Así, en el ejemplo anterior, diremos que la relación x2 + y2 = 1
define implícitamente la función y =
√
1− x2 en una vecindad
de (1/2,
√
3/2), y define implícitamente la función y = −
√
1− x2
en una vecindad de (1/2,−
√
3/2).
Derivación implícita
¿Cómo hallar la derivada de una función y = f (x) definida implí
citamente por la relación F(x, y) = 0 en una vecindad de
(x0, y0)?
Para ello derivaremos ambos lados de la igualdad F(x, y) = 0,
teniendo cuidado de considerar, al derivar el lado izquierdo,
que y es función de x (digamos, y = y(x)) y por lo tanto al
derivar una expresión del tipo g(y) debemos aplicar la regla de
la cadena, obteniendo
d
dx
(g(y)) = g′(y) · dy
dx
= g′(y) · y′.
De esta última igualdad, es posible despejar y′ en función de x
e y.
Ejemplo
Para hallar la derivada de y = f (x) cuando f está definida
implícitamente por x2 + y2 = 1, derivamos ambos lados
respecto a x, obteniendo
2x + 2y · y′ = 0,
de donde y′ = −x
y
.
Note que la expresión obtenida para y′ contiene tanto x como y.