slides-clase18 - Luis Disset - Nelson Osorio Arriola

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El teorema de Rolle
Teorema (de Rolle)
Sea f : [a, b]→ R una función continua en [a, b] y diferenciable
en (a, b), tal que f (a) = f (b). Entonces existe un punto
ξ ∈ (a, b) tal que f ′(ξ) = 0.
Demostración.
Sabemos que, ya que f es continua en [a, b], f alcanza su
supremo y su ínfimo en [a, b]. Si ambos valores son iguales,
entonces f es constante en todo [a, b], y por lo tanto f ′ = 0 en
todo (a, b).
Así, supondremos que el ínfimo y el supremo de f en [a, b] son
distintos, por lo que, o bien sup f > f (a) = f (b), o bien
inf f < f (a) = f (b).
Sin perder generalidad, consideraremos el caso en que
sup f > f (a) = f (b); el caso en que inf f < f (a) = f (b) es
completamente análogo.
El teorema de Rolle (cont.)
.
Sea c ∈ (a, b) el punto en que f alcanza su supremo; estamos
suponiendo que f (c) > f (a) = f (b). Por estar c ∈ (a, b), existe
f ′(c). Demostraremos que f ′(c) = 0.
Ya que existe f ′(c), existe
lim
h→0
f (c + h)− f (c)
h
,
por lo que los límites laterales
lim
h→0+
f (c + h)− f (c)
h
y lim
h→0−
f (c + h)− f (c)
h
deben existir y ser iguales entre sí.
El teorema de Rolle (cont.)
.
Como f (c) = sup f , se tiene que f (c + h)− f (c) ≤ 0 para todo
valor de h, por lo que, si h > 0, se tiene
f (c + h)− f (c)
h
≤ 0, y si h < 0 se tiene f (c + h)− f (c)
h
≥ 0.
Pero la primera desigualdad implica que
lim
h→0+
f (c + h)− f (c)
h
≤ 0,
y la segunda implica que
lim
h→0−
f (c + h)− f (c)
h
≥ 0.
El teorema de Rolle (cont.)
.
Como ambos límites laterales deben ser iguales entre sí, la
única posibilidad es que
lim
h→0+
f (c + h)− f (c)
h
= lim
h→0−
f (c + h)− f (c)
h
= 0,
de donde
f ′(c) = lim
h→0
f (c + h)− f (c)
h
= 0,
que es lo que queríamos demostrar.
El teorema del valor medio
El teorema de Rolle tiene el siguiente corolario:
Teorema (del valor medio)
Sea f : [a, b]→ R una función continua en [a, b] y diferenciable
en (a, b). Entonces existe un punto ξ ∈ (a, b) tal que
f ′(ξ) =
f (b)− f (a)
b− a
.
Demostración.
Sea g : [a, b]→ R definida como
g(x) = f (x)− (x− a)(f (b)− f (a))
b− a
.
Así, g′(x) = f ′(x)− f (b)−f (a)b−a , g(a) = g(b) = f (a), g es continua
en [a, b] y diferenciable en (a, b), por lo que existe ξ ∈ (a, b) tal
que g′(ξ) = 0.
El teorema del valor medio generalizado
Una forma más elaborada del teorema del valor medio es la
siguiente:
Teorema (del valor medio generalizado)
Sean f , g : [a, b]→ R dos funciones continuas en [a, b] y
diferenciables en (a, b). Entonces existe un punto ξ ∈ (a, b) tal
que
f ′(ξ)(g(b)− g(a)) = g′(ξ)(f (b)− f (a)).
El teorema del valor medio generalizado (cont.)
Demostración.
Ejercicio. Ayuda: Considere la función
h(x) = f (x)(g(b)− g(a))− g(x)(f (b)− f (a)),
y aplique el Teorema de Rolle.
Observación: Note que el resultado es más fuerte que el
simple uso del T.V.M., pues si se aplica éste a las funciones f y
g en el intervalo [a, b], vemos que existen ξ1 y ξ2 tales que
f (b)− f (a) = (b− a)f ′(ξ1)
g(b)− g(a) = (b− a)g ′(ξ2)
}
=⇒ f (b)− f (a)
g(b)− g(a)
=
f ′(ξ1)
g ′(ξ2)
,
pero en este caso ξ1 y ξ2, no son necesariamente iguales.
Corolario 1
Sea f : [a, b]→ R continua en [a, b] y diferenciable en (a, b), y
sean m,M ∈ R.
Si m ≤ f ′(x) ≤ M para todo x ∈ (a, b), entonces para todo
x1, x2 ∈ [a, b] se tiene
m ≤ f (x2)− f (x1)
x2 − x1
≤ M.
Corolario 2
Sea f : [a, b]→ R continua en [a, b] y diferenciable en (a, b).
Si f ′(x) = 0 para todo x ∈ (a, b), entonces f (x) es constante en
[a, b].
Corolario 3
Sean f , g : [a, b]→ R continuas en [a, b] y diferenciables en
(a, b).
Si f ′(x) = g′(x) para todo x ∈ (a, b), entonces f (x)− g(x) es
constante en [a, b].
Corolario 4
Sea f : [a, b]→ R continua en [a, b] y diferenciable en (a, b).
Si f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), entonces f (x) es estrictamente
creciente en [a, b].
Ejercicio
1. Un móvil recorre 1m. en 1 segundo, partiendo en el
reposo y terminando en el reposo.
Demuestre que en algún minuto su aceleración absoluta
es ≥ 2m/seg2.
Relación entre derivadas y crecimiento de una función
Teorema
Sea f : [a, b]→ R una función continua en [a, b] y diferenciable
en (a, b), y sea x0 ∈ (a, b). Si f ′(x0) > 0, entonces existe una
vecindad de x0 tal que, dado x en dicha vecindad de x0, se tiene
f (x) < f (x0) si x < x0 y f (x) > f (x0) si x > x0.
Demostración.
Supongamos que no. Entonces, toda vecindad de x0 tiene
algún x 6= x0 tal que
f (x)− f (x0)
x− x0
≤ 0. Pero esto implica que
f ′(x0) = lim
x→x0
f (x)− f (x0)
x− x0
≤ 0,
lo que contradice la hipótesis.
Optimización: los dos problemas fundamentales
Sea f : [a, b]→ R. Definimos dos problemas, muy relacionados
entre sí.
Problema de maximización: Nos interesa encontrar (si es que
existe) un valor x0 ∈ [a, b] tal que f (x0) ≥ f (x) para
todo x ∈ [a, b]. A esto lo llamamos hallar el
máximo de f (x) en [a, b].
Problema de minimización: Nos interesa encontrar (si es que
existe) un valor x0 ∈ [a, b] tal que f (x0) ≤ f (x) para
todo x ∈ [a, b]. A esto lo llamamos hallar el mínimo
de f (x) en [a, b].
Relación entre maximización y minimización
Note que el problema de maximizar f (x) en [a, b] es equivalente
al de minimizar −f (x) en [a, b], por lo que da lo mismo estudiar
uno de los problemas o el otro.
En lo que sigue, plantearemos los problemas indistintamente
como de maximización o minimización, y se entenderá que lo
dicho acerca de uno puede aplicarse al otro.