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MAT1610 — Cálculo I
Luis Dissett
Facultad de Matemáticas
Pontificia Universidad Católica de Chile
Clase 24 — Teorema del valor medio para integrales.
Teorema Fundamental del Cálculo.
El Teorema del Valor Medio para Integrales (TVMI)
Dada una función f : [a, b]→ R, integrable en [a, b], definimos
su valor medio en el intervalo [a, b] como
M(f , a, b) =
1
b− a
∫ b
a
f (x)dx.
Esto es una generalización de la idea de “promedio de una
cantidad finita de valores”.
En general, una función f no tiene por qué tomar su valor
medio (del mismo modo que el promedio de un conjunto finito
de números no tiene por qué ser elemento de dicho conjunto).
Sin embargo, si f es continua en [a, b] podemos decir algo más:
Teorema (del valor medio para integrales)
Si f : [a, b]→ R es continua (y por lo tanto integrable, por el
teorema de existencia) en [a, b], entonces existe x0 ∈ (a, b) tal
que f (x0) = M(f , a, b).
Demostración del TVMI
Ya que f es continua en [a, b], es acotada en [a, b]. Así, existen
m,M ∈ R tales que m ≤ f (x) ≤ M para todo x ∈ [a, b]. Sin
perder generalidad, podemos tomar
m = inf
a≤x≤b
f (x), y M = sup
a≤x≤b
f (x).
Por una propiedad demostrada anteriormente, se tiene
m(b− a) ≤
∫ b
a
f (x)dx ≤ M(b− a),
de donde
m ≤
∫ b
a f (x)dx
b− a
≤ M.
Si m = M, entonces la función es constante en [a, b], su valor
medio es igual a dicha constante, y cualquier x0 ∈ (a, b)
satisface la condición deseada. Así, pues, supondremos que
m < M.
Demostración del TVMI (cont.)
Como f es continua, existen x1, x2 ∈ [a, b] tales que f (x1) = m,
f (x2) = M. Como hay una vecindad de x1 tal que f (x) < m+M2 en
ella, vemos que ∫ b
a f (x)dx
b− a
< M
(¿por qué?) y análogamente,∫ b
a f (x)dx
b− a
> m.
O sea:
∫ b
a f (x)dx
b−a es un número estrictamente comprendido entre
f (x1) = m y f (x2) = M.
Por el TVI, existe x0 entre x1 y x2 (que es 6= x1 y 6= x2, y por lo
tanto ∈ (a, b)) tal que
f (x0) =
∫ b
a f (x)dx
b− a
,
El teorema fundamental del cálculo
Nos es imposible calcular todas las integrales definidas usando
la definición y/o las propiedades que hemos enunciado
anteriormente. Desde ahora en adelante, nuestra herramienta
más útil a la hora de calcular integrales será el Teorema
Fundamental del Cálculo
Enunciado del teorema fundamental del cálculo
(i) Si f : [a, b]→ R es una función integrable, y F : [a, b]→ R
es tal que F′(x) = f (x) para x ∈ (a, b), entonces∫ b
a
f (x) dx = F(b)− F(a).
(ii) Si f : [a, b]→ R es una función continua, entonces la
función F : [a, b]→ R definida por
F(x) =
∫ x
a
f (t) dt
es tal que, para todo x ∈ (a, b), F′(x) = f (x).
Demostración del Teorema Fundamental del Cálculo
(i) Sean xi = a + i h, h =
b− a
n
, i = 1, · · · , n, entonces:
F(b)− F(a) = F(xn)− F(x0) =
n∑
i=1
(F(xi)− F(xi−1)) .
Por T.V.M., como F es derivable, entonces:
F(xi)−F(xi−1) = F ′(αi)(xi−xi−1) para algún αi ∈ (xi, xi−1)
=⇒ F(b)− F(a) =
n∑
i=1
F ′(αi)(xi − xi−1) =
n∑
i=1
f (αi) ∆xi
Tomando límite uando n→∞, (f es integrable) se tiene:
F(b)− F(a) =
∫ b
a
f (x) dx.
Demostración del Teorema Fundamental del Cálculo
(cont.)
(ii) Sea x ∈ I, arbitrario pero fijo. Entonces:
F′(x)= lim
h→0
F(x + h)− F(x)
h
= lim
h→0
1
h
(∫ x+h
α
f (t) dt −
∫ x
α
f (t) dt
)
= lim
h→0
1
h
∫ x+h
x
f (t) dt T.V.M.I= lim
h→0
f (ch),
donde ch (un número que depende de h) es tal que
x < ch < x + h.
Así,
F′(x) = lim
h→0
f (ch).
Como f es continua, y lim
h→0
ch = x, tenemos
F′(x) = lim
h→0
f (ch) = f (x). O sea,
F′(x) = f (x).
Corolario
Si f es continua en [a, b], entonces:
F(x) =
∫ x
a
f (t) dt es continua en [a, b].
Demostración.
Inmediata, pues F es derivable en [a, b].
Aplicaciones del Teorema Fundamental del Cálculo
1. Calcular f ′(x) si f (x) =
∫ x
0
sen2 t3
t2 + 1
dt.
2. Demuestre que si f es continua y periódica de período T,
entonces ∫ T
0
f (t) dt =
∫ a+T
a
f (t) dt.
3. Demuestre la regla de Leibniz: si F(x) =
∫ g(x)
a
f (x) dx,
entonces
F′(x) = f (g(x))g′(x).
4. Demuestre la regla generalizada de Leibniz: si
F(x) =
∫ h(x)
g(x)
f (x) dx, entonces
F′(x) = f (h(x))h′(x)− f (g(x))g′(x).
Más aplicaciones
5. Calcule f ′(x) si f (x) =
∫ x2
x
cos2(t) dt. En particular,
considere los casos en que x = 0 y x = 1.
6. Sea f la función que tiene por gráfico:
1
f(x)
2
Y
X3
Se define F(x) =
∫ x
1
f (t) dt. Graficar F.
Soluciones
1. Por el TFC, segunda parte,
f ′(x) =
sen2 x3
x2 + 1
.
2. Usando el TFC, es posible demostrar que, si f es continua
en todo R y periódica de período T, entonces∫ T
0
f (t) dt =
∫ a+T
a
f (t) dt.
En realidad, esto es cierto incluso si f es sólo integrable
(no continua), pero en ese caso no podemos ocupar el
TFC . . .
La demostración (cuando f es continua) es como sigue:
Sea
g(x) =
∫ x+T
x
f (t) dt =
∫ x+T
0
f (t) dt −
∫ x
0
f (t) dt.
Soluciones (cont.)
Aplicando propiedades ya demostradas (o fáciles de
demostrar), tenemos
g(x) =
∫ x
−T
f (t + T) dt −
∫ x
0
f (t) dt
=
∫ 0
−T
f (t + T) dt +
∫ x
0
f (t + T) dt −
∫ x
0
f (t) dt.
Ya que
∫ 0
−T
f (t + T) dt es constante, su derivada es 0.
Así, llegamos a que la derivada de g(x) es
g′(x) = f (x + T)− f (x),
y por la periodicidad de f esto es 0.
Ejercicio
Demuestre esta propiedad en el caso en que f es integrable
pero no continua (deberá recurrir a particiones, sumas de
Riemann, etc.).
La regla de Leibnitz
3. Sea a ∈ Dom f cualquiera, y consideremos la función
G(u) =
∫ u
a
f (t) dt. Por TFC, G′(u) = f (u).
Además, F(x) = G(g(x)), por lo que —por la regla de la
cadena—
F′(x) = G′(g(x))g′(x).
O sea,
F′(x) = f (g(x))g′(x).
La regla generalizada de Leibnitz
3. Sea a ∈ Dom f cualquiera. Ya que
F(x) =
∫ h(x)
g(x)
f (x) dx =
∫ h(x)
a
f (x) dx−
∫ g(x)
a
f (x) dx,
vemos que
F′(x) =
d
dx
(∫ h(x)
a
f (x) dx
)
− d
dx
(∫ g(x)
a
f (x) dx
)
= f (h(x))h′(x)− f (g(x))g′(x).