Probabilidad y estadistica- ejercicios resueltos bien explicados00006 - Viridiana Heredia Olivares

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PontificiaUniversidadCat´olicadeChile
FacultaddeCienciasEcon´omicasyAdministrativas
PrimerSemestre2012
Curso:ProbabilidadyEstad´ıstica
Sigla:EAS200A
Pauta:Examen
Profesores:Rafael Águila(Sec01),VictorCorrea(Sec02),
OsvaldoFerreiro(Sec03)yRicardoOlea(Sec04)
Problema1
Ustedinvierteenunfondodeinversi´onaprimerahoradeund´ıacualquiera,esdecir,ustedcompraalprecio
decierredeld´ıaanterior.Supongaqueestefondotienehist´oricamenteun p×100%ded´ıasconrentabilidad
positivaconrespectoalcierredeld´ıaanterioryquelarentabilidadd´ıaad´ıapuedenconsiderarsecomo
independientes.Sidefinecomo X alavariablealeatoriaquerepresentaelprimerd´ıaenquealcierreobtiene
unarentabilidadpositivae Y alsegundod´ıaconrentabilidadpositiva.
(a) [2.0Ptos.] Identifiqueladistribuci´onusualde X e Y .
(b) [4.0Ptos.] Determinelafunci´ondeprobabilidadconjuntade X e Y .(Utilice p =1 /2)
Soluci´on:
(a) Ladistribuci´onusualpara X esGeom´etrica(p) [1.0Ptos.] ,mientrasquepara Y esBinomial-Negativa( r =
2,p ),tambi´enllamadaPascal [1.0Ptos.] .
(b) Tenemosqueelsoporte(orecorrido)conjuntodelvectoraleatorio( X,Y )es
ΘX,Y = {(x,y ) |x =1 , 2,... ; y =2 , 3,... ; y>x } [1.0Ptos.]
Mientrasque
Alternativa1
pX,Y (x,y )= P (X = x,Y = y)
= P (X = x,Z = y − x), por( ∗) [0.5Ptos.]
= P (X = x) · P (Z = y − x), porindependenciaentrelosd´ıas [1.0Ptos.]
=
[
1
2
·
(
1− 1
2
)x−1]
×
[
1
2
·
(
1− 1
2
)(y−x)−1]
[0.5Ptos.]
=
1
2y
, con( x,y ) ∈ ΘX,Y [0.5Ptos.]
(∗) Z representaaln´umeroded´ıastranscurridodespu´esdel1erd´ıaconrentabilidadpositivahasta
queseobservael2dod´ıaconrentabilidadpositiva,esdecir, Z ∼ Geom´etrica(p =1 /2). [0.5Ptos.]
Alternativa2
X\Y 234 ··· y ···
1 1/41 /81 /16 ··· 1/2y ···
2 01 /81 /16 ··· 1/2y ···
3 001 /16 ··· 1/2y ···
... 000
. . .
... ···
x 00001 /2y ···
... 00000
. . .
[3.0Ptos.]
+1PuntoBase
EAS200A-ProbabilidadyEstad´ıstica 1 PrimerSemestre2012
Problema 2
Últimamente se ha comentado mucho sobre la capacidad de ciertas personas para predecir la ocurrencia de
un terremoto y según la información que se tiene desde el 8 de febrero de 1570 al 27 de febrero del 2010, han
ocurrido 26 sismos con 8 o más grados en la escala de Richter en 441 años de registros. Suponga que estos
sismos ocurren de manera independiente.
(a) [3.0 Ptos.] Calcule la probabilidad que en una año hayan uno o más sismos de 8 o más grados.
(Justifique su modelo y proponga supuestos si fuese necesario)
(b) [3.0 Ptos.] Cuál es la probabilidad aproximada que hayan al menos 6 años con al menos un sismo de
8 o más grados en los próximos dos siglos.
Solución:
(a) Definamos como X el número de sismo de 8 o más grados en la escala de Richter en un año. Por la
independencia de los sismos y bajo el supuesto que el número esperado de estos permanece es el mismo
cada año, entonces
X ∼ Poisson(26/441) [1.5 Ptos.]
Se pide
P (X ≥ 1) = 1− P (X = 0) = 1− e−26/441 = 0.05725261 [1.5 Ptos.]
(b) Definamos X1,. . . , X200 variables aleatorias independientes Bernoulli(p = 0.05725261), donde Xi es
igual a uno si es que ocurren uno o más sismos de 8 o más grados en un año. [0.5 Ptos.]
Alternativa 1: Sin corrección por continuidad
Se pide
P
(
200∑
i=1
Xi ≥ 6
)
= 1− P
(
200∑
i=1
Xi < 6
)
[0.5 Ptos.]
≈ 1− Φ
(
6− 200 · p√
200 ·
√
p · (1− p)
)
, Por Teorema del Ĺımite Central [0.5 Ptos.]
= 1− Φ(−1.658929) [0.5 Ptos.]
= 1− [1− Φ(1.658929)] [0.3 Ptos.]
= Φ(1.658929) [0.3 Ptos.]
≈ Φ(1.66) [0.2 Ptos.]
= 0.9515 [0.2 Ptos.]
EAS200A - Probabilidad y Estad́ıstica 2 Primer Semestre 2012
Alternativa 2: Sin corrección por continuidad
Se pide
P
(
200∑
i=1
Xi ≥ 6
)
= 1− P
(
200∑
i=1
Xi ≤ 5
)
[0.5 Ptos.]
≈ 1− Φ
(
5− 200 · p√
200 ·
√
p · (1− p)
)
, Por Teorema del Ĺımite Central [0.5 Ptos.]
= 1− Φ(−1.96329) [0.5 Ptos.]
= 1− [1− Φ(1.96329)] [0.3 Ptos.]
= Φ(1.96329) [0.3 Ptos.]
≈ Φ(1.96) [0.2 Ptos.]
= 0.9750 [0.2 Ptos.]
Alternativa 3: Con corrección por continuidad
Se pide
P
(
200∑
i=1
Xi ≥ 6
)
= 1− P
(
200∑
i=1
Xi < 5.5
)
[0.5 Ptos.]
≈ 1− Φ
(
5.5− 200 · p√
200 ·
√
p · (1− p)
)
, Por Teorema del Ĺımite Central [0.5 Ptos.]
= 1− Φ(−1.81111) [0.5 Ptos.]
≈ 1− [1− Φ(1.81111)] [0.3 Ptos.]
= Φ(1.81111) [0.3 Ptos.]
≈ Φ(1.81) [0.2 Ptos.]
= 0.9649 [0.2 Ptos.]
+ 1 Punto Base
EAS200A - Probabilidad y Estad́ıstica 3 Primer Semestre 2012
Problema 3
Datos históricos (CONASET, Peŕıodo 1999-2011) indican que en un d́ıa de celebración de fiestas patrias el
número de accidentes de tránsito promedio (esperado) son 143 en todo el páıs. Si estos accidentes ocurren
según un Proceso de Poisson,
(a) [3.0 Ptos.] ¿Cuál es la probabilidad que el martes 18 de septiembre de este año entre las 07:00 y 09:00
horas ocurran por lo menos cinco accidentes de tránsito en el páıs?
(b) [3.0 Ptos.] ¿Cuál es la probabilidad que el tiempo transcurrido entre dos accidentes durante la cele-
bración de fiestas patrias sea inferior a 30 minutos?
Solución:
(a) Tenemos que número de accidentes en t horas, Xt, se comporta como una variable aleatoria Poisson(ν t),
donde ν corresponde al número esperado de accidentes en una hora, es decir, para las fiestas patrias
ν =
143
24
= 5.958333 [1.5 Ptos.]
Se pide
P (X2 ≥ 5) = 1− P (X2 < 5) [0.2 Ptos.]
= 1− P (X2 ≤ 4) [0.3 Ptos.]
= 1−
[
(2ν)0 e−2ν
0!
+
(2ν)1 e−2ν
1!
+
(2ν)2 e−2ν
2!
+
(2ν)3 e−2ν
3!
+
(2ν)4 e−2ν
4!
]
[0.3 Ptos.]
= 1− [0.0000 + 0.0001 + 0.0005 + 0.0019 + 0.0056] [0.3 Ptos.]
= 0.9919 [0.2 Ptos.]
Por lo tanto, la probabilidad que el próximo sábado 18 de septiembre entre las 07:00 y 09:00 horas
ocurran por lo menos cinco accidentes de tránsito en el páıs es de 0.9919. [0.2 Ptos.]
(b) Si Xt corresponde al número de accidentes en t minutos durante las fiestas patrias. Bajo el supuesto
que estos se comportan como una variables aleatoria Poisson(ν t), con ν igual al número esperado de
accidentes en un minuto, es decir,
ν =
143
24 · 60
= 0.09930556 [1.5 Ptos.]
Alternativa 1
Se tiene entonces que el tiempo (en minutos) entre accidentes se comporta como una variable aleatoria
T ∼ Exponencial(ν). [0.5 Ptos.]
Se pide
P (T < 30) = 1− e−30·ν [0.5 Ptos.]
= 0.9491648 [0.5 Ptos.]
Por lo tanto, la probabilidad que durante las fiestas patrias ocurran dos accidentes en menos de 30
minutos es 0.9492.
EAS200A - Probabilidad y Estad́ıstica 4 Primer Semestre 2012
Alternativa 2
Por la propiedad de carencia de memoria podemos poner el origen cuando ocurre un accidente cual-
quiera, entonces Xt representa al número de accidentes que ocurren t minutos después de la ocurrencia
de una accidente en particular. [0.3 Ptos.]
Se pide entonces que
P (X30 ≥ 1) = 1− P (X30 = 0) [0.3 Ptos.]
= 1− (30 · ν)
0 e−30·ν
0!
[0.3 Ptos.]
= 1− e−30·ν [0.3 Ptos.]
= 0.9491648 [0.3 Ptos.]
Por lo tanto, la probabilidad que durante las fiestas patrias ocurran dos accidentes en menos de 30
minutos es 0.9492.
+ 1 Punto Base
EAS200A - Probabilidad y Estad́ıstica 5 Primer Semestre 2012