Probabilidad y estadistica- ejercicios resueltos bien explicados00061 - Viridiana Heredia Olivares

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PontificiaUniversidadCatólicadeChile
FacultaddeCienciasEconómicasyAdministrativas
PrimerSemestre2019
Curso:ProbabilidadyEstadística
Sigla:EAS200a
Profesores:RafaelÁguila(Sec1-2),MIgnaciaVicuña(Sec3),AlonsoMolina(Sec4),
RicardoOlea(Sec5),VictorCorrea(Sec6)
PautaPrueba2
Problema1
Afinalesdelañopasado,lacadenadesupermercadosWalmartlanzólaprimeratiendadelpaísquees
completamentedeautoservicio,osea,dondelosmismosclientesdebenescanearelpreciodelosproductos,
pagar,yposteriormenteembolsarlos.EllocalescogidoesunLíderExpressquecuentaconcincocajas
deautoserviciodisponibles,todasconunafilacomúndeespera.Enlosmesesquellevaenmarchaseha
registradoqueelnúmeroesperadodepersonasquellegaalascajasdeauto-atenciónenelsupermercadoes
de90personasporcadamediahora.Supongaquelaspersonasnopuedenllegarenelmismoinstantede
tiempoalascajasdeautoservicio.
(a) [3.0Puntos] ¿Quétanprobableesqueeltiempodellegadaentredospersonasconsecutivasalsector
decajasdeauto-atencióndeseamenora3minutos?
(b) [3.0Puntos] SiUd.deseapagarysedirigealascajasdeauto-atenciónyseencuentraquehay9
personasenesperaantesqueUd.Calculelaprobabilidaddequeenalomáscincominutos,hayan
llegadolaspersonasqueestánenlafilaantesqueUd.
Solución:
(a) Sea Xt elNúmerodepersonasquellegaalascajasdeauto-atenciónenelsupermercadoen t minutos.
[0.2Ptos]
Luego Xt distribuyePoisson (λt) [0.5Ptos] donde λ = 9030 =3 minutos. [0.3Ptos]
Sea T eltiempotranscurridoenlallegadadedospersonasconsecutivasalacajadeautoatención(en
minutos). [0.3Ptos] Luego T ∼ exp(3). [0.5Ptos] Deestamanera,
Alternativa1: P (T< 3)=
∫ 3
0
3e−3xdx [0.5Ptos] = −e−3x
∣∣∣2
0
=1 − e−9 [0.7Ptos]
Alternativa2: P (T< 3)=1 − P (T ≥ 3)=1 − P (X3 =0) [0.7Ptos] =1 − e−9 [0.5Ptos]
(b) Sea T9 eltiempotranscurridohastalallegadadelanovenapersonaalacajadeautoatención(en
minutos). [0.5Ptos] Luego T9 ∼ Gamma(9, 3). [0.7Ptos] Así
P (T9 ≤ 5)=1 − P (T9 > 5)=1 − P (X5 ≤ 8) [0.8Ptos]
donde X5 ∼ Poisson(15).BuscandoenlatablaacumuladadelaPoisson(15)seobtieneque
P (X5 ≤ 8)=0 .037446. [0.7Ptos] Porlotanto,
P (T9 ≤ 5)=1 − 0.037446=0 .962554 [0.3Ptos]
EAS200A-ProbabilidadyEstadística 1 PrimerSemestre2019
Problema 2
APEX es una casa de cambios que presta el servicio de cambio de cheques en dólares (US$). Se espera recibir
10 cheques por hora y la probabilidad de que un cheque no tenga fondos es de 0.1.
(a) [2.0 Puntos] ¿Cuál es la probabilidad que el segundo cheque sin fondos se reciba en a lo más en la
cuarta recepción?
(b) [2.0 Puntos] Si en una hora se recibe lo esperado ¿Cuál es la probabilidad de que se haya recepcionado
al menos dos cheques sin fondos en una hora?
(c) [2.0 Puntos] Si se recibieron 6 cheques sin fondos en dos horas. Calcule la probabilidad de que en la
primera hora llegue la misma cantidad de cheques sin fondos que en la segunda hora.
Respuesta:
(a) Sea X Número de cheques recibidos hasta encontrar el segundo cheque sin fondo. [0.3 Ptos]
Se tiene que
X ∼ BinNeg(2, 0.1) [0.5 Ptos]
Luego,
P (X ≤ 4) =
4∑
x=2
(
x− 1
2− 1
)
0.120.9x−2 [0.2 Ptos]
P (X ≤ 4) = 0.010 + 0.022 + 0.037 = 0.069 [1.0 Ptos]
(b) Sea Y Número de cheques sin fondos que se reciben en una hora de un total de 10 cheques. [0.3 Ptos]
Luego Y ∼ Bin(10, 0.1) [0.5 Ptos]. De esta manera,
P (Y ≥ 2) = [0.5 Ptos] 1−P (Y ≤ 1) = 1− 0.7361 = 0.2639 [0.7 Ptos] , donde P (Y ≤ 1) se encuen-
tra en la tabla binomial.
(c) Sea Yt el número de cheques sin fondos que llegan a la casa de cambios t horas. [0.3 Ptos] Luego
Yt ∼ Pois(10 · 0.1t) [0.3 Ptos]
Piden calcular P (Y1 = k, Y2 − Y1 = k |Y2 = 6). De esta manera,
P (Y1 = k, Y2 − Y1 = k |Y2 = 6) =
P (Y1 = 3, Y2 − Y1 = 3)
P (Y2 = 6)
[0.4 Ptos]
=
P (Y1 = 3)P (Y2 − Y1 = 3)
P (Y2 = 6)
[0.4 Ptos]
=
P (Y1 = 3)P (Y1 = 3)
P (Y2 = 6)
=
(
e−10·0.1(10·0.1)3
3!
)2
e−10·0.1·2(10 · 0.1 · 2)6/6!
[0.3 Ptos]
=
0.003759313
0.0120298
= 0.3125 [0.3 Ptos]
EAS200A - Probabilidad y Estadística 2 Primer Semestre 2019
Problema 3
Hoy en día es imprescindible contar con una buena conexión a internet en nuestra casa. El número de aparatos
electrónicos que se conectan a una red de WiFi es cada vez mayor. El problema es que a veces la señal del
router no es la óptima. Es por ello que toma importancia modelar el comportamiento del router. Suponga que
la intensidad de la señal emitida por una red WiFi se puede modelar por una v.a X con distribución Normal
con media µ y desviación estándar σ (ambos desconocidos), pero se sabe que con 97.77% de probabilidad la
intensidad de la señal será menor a 9 y con probabilidad de 15.87% la intensidad de la señal será mayor a 3.
Por otro lado, si la intensidad de la señal de la red WiFi es menor de 2 se considera de intensidad baja.
(a) [2.0 Puntos] Calcule la probabilidad de que la señal la red WiFi sea de baja intensidad.
(b) [2.0 Puntos] Si se observa la intensidad de la señal de la red WiFi por un mes (30 días). Calcule la
probabilidad aproximada de que en a lo más 10 días la señal haya sido de baja intensidad.
(c) [2.0 Puntos] Suponga ahora que X tiene distribución Log-Normal(λ, ζ2). Calcule nuevamente la
probabilidad de que la señal de la red WiFi sea de baja intensidad.
Respuesta:
(a) Por enunciado se tiene que P (X < 9) = 0.9777 y P (X > 3) = 0.6587. A partir de ello se encuentra el
valor de µ y σ.
P (X < 9) = 0.9777 [0.1 Ptos]
P
(
X − µ
σ
<
9− µ
σ
)
= 0.9777 [0.1 Ptos]
Φ
(
9− µ
σ
)
= 0.9777
9− µ
σ
= Φ−1(0.9777) [0.1 Ptos]
9− µ
σ
= 2.01 [0.2 Ptos] (1)
P (X > 3) = 0.6587 [0.1 Ptos]
1− P
(
X − µ
σ
<
3− µ
σ
)
= 0.6587 [0.1 Ptos]
Φ
(
3− µ
σ
)
= 0.3413
3− µ
σ
= Φ−1(0.3413) [0.1 Ptos]
3− µ
σ
= −0.41 [0.2 Ptos] (2)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (1) y (2) se obtiene que µ = 4.017 [0.25 Ptos] y σ = 2.479.
[0.25 Ptos]
Luego la probabilidad de que la señal WiFi sea de baja intensidad está dada por
P (X < 2) = P
(
X − µ
σ
<
2− µ
σ
)
[0.1 Ptos]
= Φ
(
2− 4.017
2.479
)
= Φ(−0.813) [0.2 Ptos]
= 1− Φ(0.813) = 1− 0.7910 [0.2 Ptos]
= 0.209
EAS200A - Probabilidad y Estadística 3 Primer Semestre 2019
(b) Sea Xi una v.a Bernoulli, i = 1, ...., 30 donde Xi = 1 si la intensidad de la señal de la red WiFi por día
es de baja intensidad y Xi = 0 en otro caso. Luego Y =
∑30
i=1Xi ∼ Bin(30, π) donde π = 0.209. [0.7
Ptos]
Luego por TLC se tiene que
Y ≈ N(30π, 30π(1− π)) [0.5 Ptos]
Así
P (Y ≤ 10) ≈ P (Y ≤ 10.5) [0.2 Ptos] (Corrección por continuidad)
≈ P
(
Y − 30π√
30π(1− π)
≤ 10− 30π√
30π(1− π)
)
[0.2 Ptos]
≈ Φ
(
10− 30π√
30π(1− π)
)
[0.2 Ptos]
≈ Φ(1.674) = 0.9525 [0.2 Ptos]
(c) Si X distribuye LogNormal(λ, ζ2), entonces lnX ∼N(λ, ζ2), por lo tanto
P (X < 9) = 0.9777 [0.1 Ptos]
P
(
lnX − λ
ζ
<
ln 9− λ
ζ
)
= 0.9777 [0.1 Ptos]
Φ
(
ln 9− λ
ζ
)
= 0.9777
ln 9− λ
ζ
= Φ−1(0.9777) [0.1 Ptos]
ln 9− λ
ζ
= 2.01 [0.2 Ptos] (3)
P (X > 3) = 0.6587 [0.1 Ptos]
1− P
(
lnX − λ
ζ
<
ln 3− λ
ζ
)
= 0.6587 [0.1 Ptos]
Φ
(
ln 3− λ
ζ
)
= 0.3413
ln 3− λ
ζ
= Φ−1(0.3413) [0.1 Ptos]
ln 3− λ
ζ
= −0.41 [0.2 Ptos] (4)
Resolviendo el sistema de ecuaciones (3) y (4) se obtiene que λ = 1.284 [0.25 Ptos] y ζ = 0.453. [0.25
Ptos]
Luego la probabilidad de que la señal WiFi sea de baja intensidad está dada por
P (X < 2) = P
(
lnX − λ
ζ
<
ln 2− λ
ζ
)
[0.1 Ptos]
= Φ
(
ln 2− 1.284
0.453
)
= Φ(−1.304) [0.2 Ptos]
= 1− Φ(1.304) = 1− 0.9032 [0.2 Ptos]
= 0.0968
EAS200A - Probabilidad y Estadística 4 Primer Semestre 2019