Variables Aleatorias

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Unidad 4
VARIABLES ALEATORIAS Y DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD.
¿Qué es una distribución de probabilidad?
Es el listado de todos los resultados de un experimento y la probabilidad asociada con cada resultado. (Es similar a una distribución de frecuencias relativas)
Retomemos el ejemplo de los 3 lanzamientos de una moneda, nos interesa el número de soles que aparecen en estos. ¿Cual es la distribución de probabilidad del número de soles? 
	No. De soles	Probabilidad del resultado
	0	 
	1	 
	2	 
	3	 
1
En la distribución de probabilidad discreta está permitido considerar sólo un número limitado de valores. Ejemplo: la probabilidad de que alguien haya nacido en un mes dado es discreta, puesto que sólo hay 12 posibles valores.
Variables aleatorias
Una variable es aleatoria si toma diferentes valores como resultado de un experimento aleatorio. Una variable aleatoria es una especie de valor o magnitud que cambia de una ocurrencia a otra sin seguir una secuencia predecible. Cada valor de la variable aleatoria se relaciona con una probabilidad que indica la posibilidad de un resultado determinado. Pueden ser cuantitativas o cualitativas
(Cantidad que resulta de un experimento que, por azar,
puede adoptar diferentes valores)
VARIABLE ALEATORIA DISCRETA: Variable aleatoria que adopta solo valores claramente separados.
- Si pesamos tres lingotes de acero, los pesos pueden ser de 2 492 libras, 2 497 libras, 2 506 libras. El peso es una variable aleatoria.
- En una clínica no se tiene manera de saber con exactitud cuántas mujeres van a ser atendidas en un día cualquiera, de modo que el número de mujeres del día siguiente es una variable aleatoria.
Número de mujeres
examinadas diariamente
durante 100 días
Valor esperado (Media)
Para obtener el valor esperado de una variable aleatoria discreta, multiplicamos cada valor que la variable puede tomar por la probabilidad de ocurrencia de ese valor y luego sumamos los productos.
¿Qué significa esto? Significa que en un periodo largo, el número de mujeres examinadas diariamente deberá tener un promedio de aproximadamente “ “
Recordemos que un valor esperado de “ “ no significa que mañana “ “ mujeres asistan a la clínica.
La persona encargada de la clínica podría basar sus decisiones en el valor esperado del número de mujeres examinadas diariamente debido a que éste es un promedio ponderado de los resultados que espera en el futuro. Conforme van cambiando las condiciones, se podría recalcular el valor esperado de los exámenes diarios y utilizar el nuevo resultado como base para tomar decisiones.
Uso del valor esperado en la toma de decisiones
Combinación de probabilidades y valores monetarios
Ejemplo: Hay un vendedor al mayoreo de frutas y legumbres que comercia con frambuesas. Este producto tiene una vida útil muy limitada: si no se vende el día que llega, ya no tiene valor. Una caja de frambuesas cuesta $20 y el vendedor recibe $50 por ella. Éste no puede especificar el número de cajas que un cliente pedirá en cualquier día dado, pero su análisis de registros pasados ha producido la información siguiente:
Ventas durante 100 días
El vendedor al mayoreo ha sufrido dos tipos de pérdidas: 1) pérdidas por obsolescencia, ocasionadas por tener en existencia demasiada fruta en un día y tener que tirarla al siguiente, y 2) pérdidas de oportunidad, ocasionadas por no tener en existencia el producto al momento en que un cliente lo solicita (los clientes no esperan más allá del día en que solicitan una caja de frambuesas).
Tabla de perdidas condicionales
Las cifras que se encuentren por encima de un cero cualquiera representan las pérdidas sufridas al tener que tirar la fruta.
Los valores que se encuentran debajo de los ceros representan las pérdidas de oportunidad derivadas de pedidos que no se pueden cumplir.
Perdida esperada al tener en existencia 10, 11, 12 o 13 cajas
La distribución binominal
Una característica de una distribución binomial consiste en que solo hay dos posibles resultados en determinado intento de un experimento, que son resultado de un experimento conocido como proceso de Bernoulli. Los resultados son mutuamente excluyentes. 
Se clasifican los dos posibles resultados como éxito y fracaso. Sin embargo, esta clasificación no implica que un resultado sea bueno y el otro malo.
Por ejemplo, un producto se clasifica como aceptable o inaceptable por el departamento de control de calidad; un trabajador se clasifica como empleado o desempleado, y una llamada da como resultado que el cliente compre el producto o no lo compre.
Otra característica de la distribución binomial es el hecho de que la variable aleatoria es el resultado de conteos. Es decir, se cuenta el numero de éxitos en el numero total de pruebas.
Por ejemplo: selecciona 10 trabajadores y enlista cuantos tienen mas de 50 años, o selecciona 20 cajas de Kellogs y cuenta el número de cajas que pesan mas de lo que indica el paquete.
Una tercera característica de una distribución binomial consiste en que la probabilidad de éxito es la misma de una prueba a otra.
Por ejemplo: La probabilidad de que adivine la primera pregunta de una prueba de verdadero o falso (éxito) es de un medio. Esta constituye la primera prueba. La probabilidad de que adivine la segunda pregunta (segunda prueba) también es de un medio; la probabilidad de éxito en la tercera prueba es de otro medio, y así sucesivamente.
La ultima característica de una distribución de probabilidad binomial consiste en que cada prueba es independiente de cualquiera otra. Que sean independientes significa que no existen patrones en las pruebas. El resultado de una prueba en particular no influye en el resultado de otra prueba.
Proceso de Bernoulli
Podemos utilizar el resultado del lanzamiento de una moneda un cierto número de veces como ejemplo:
Cada intento (cada lanzamiento, en este caso) tiene solamente dos resultados posibles: sol o águila, sí o no, éxito o fracaso.
La probabilidad del resultado de cualquier intento (lanzamiento) permanece fijo con respecto al tiempo. Con una moneda, la probabilidad de obtener sol siempre es 0.5 para cada lanzamiento, independientemente del número de veces que se lance la moneda.
Los intentos son estadísticamente independientes, es decir, el resultado de un lanzamiento no afecta el resultado de cualquier otro lanzamiento.
Para construir una probabilidad binomial en particular se necesita:
1) el número de pruebas;
2) la probabilidad de éxito de cada prueba.
Por ejemplo, si un examen al termino de un seminario de administración incluye 20 preguntas de opción múltiple, el numero de pruebas es de 20. Si cada pregunta contiene cinco elecciones y solo una de ellas es correcta, la probabilidad de éxito en cada prueba es de 0.20.
p = probabilidad de tener éxito
q = 1- p probabilidad de fracaso
r = número de éxitos deseados
n = número de intentos hechos
Ejemplo:
Las máquinas de rellenado están diseñadas para trabajar de manera eficiente y con una alta confiabilidad. Estos mecanismos pueden llenar tubos de pasta dental con una escala de precisión de 0.1 onzas el 80% de las veces. Un visitante de la planta que observa cómo los tubos ya llenos son empaquetados en una caja (6 piezas), pregunta: ¿Cuáles son las posibilidades de que exactamente la mitad de los tubos de una caja seleccionada al azar esten llenos con una precisión de 0.1 onzas del nivel deseado? 
Ejercicios:
1. US Airways tiene cinco vuelos diarios de Pittsburgh a Bradford, Pennsylvania. Suponga que la probabilidad de que cualquier vuelo llegue tarde sea de 0.25. ¿Cual es la probabilidad de que ninguno de los vuelos llegue tarde hoy? . Cual es la probabilidad de que exactamente uno de los vuelos llegue tarde hoy?
2. Es frecuente que los empleados lleguen tarde a trabajar a una farmacia y hay siete empleados en ella. El propietario ha estudiado la situación durante cierto periodoy determinó que hay una probabilidad de 0.4 de que cualquier empleado llegue tarde y que las llegadas de los mismos son independientes entre sí. ¿Cuáles son las probabilidades de que 0, 1, 2, 3, 4 o 5 empleados lleguen tarde simultáneamente?
Uso de las tablas de probabilidades binomiales
¿Cuál es la probabilidad de que 4 de 15 votantes empadronados no puedan votar en las elecciones preliminares, si la probabilidad de que cualquier individuo no pueda votar es de 0.30, y si las personas deciden de manera independiente si votan o no?
Encontrar la probabilidad de que cuatro o más votantes empadronados no voten.
hallar la probabilidad de que menos de cuatro votantes no voten.
Distribución de probabilidad hipergeométrica
Por ejemplo, si la población consta de 20 elementos, la probabilidad de seleccionar un elemento de dicha población es de 1/20. Si el muestreo se realiza sin reemplazos, solo quedan 19 elementos después de la primera selección; la probabilidad de seleccionar un elemento en la segunda selección es de 1/19 solamente. En la tercera selección, la probabilidad es de 1/18, etc. Esto supone que la población es finita
Play Time Toys, Inc., tiene 50 empleados en el departamento de ensamble. Cuarenta empleados pertenecen a un sindicato, y diez, no. Se eligen al azar cinco empleados para formar un comité que hablara con la empresa sobre los horarios de inicio de los turnos. ¿Cual es la probabilidad de que cuatro de los cinco empleados elegidos para formar parte del comité pertenezcan a un sindicato?
Obtener la probabilidad para 0,1,2,3,4 y 5 empleados sindicalizados en el comité.
Una empresa hace planes para contratar este año a 5 analistas financieros. Hay un grupo de 12 candidatos aprobados, y el propietario, decide elegir al azar a quienes va a contratar. De los solicitantes aprobados, 8 son hombres y 4 mujeres. .Cual es la probabilidad de que 3 de los 5 contratados sean hombres?
Distribución de probabilidad de Poisson
La distribución de Poisson se utiliza para describir ciertos tipos de procesos, entre los que se encuentran la distribución de llamadas telefónicas que llegan a un conmutador, las solicitudes de pacientes que requieren servicio en una institución de salud, las llegadas de camiones y automóviles a una caseta de cobro, y el número de accidentes registrados en cierta intersección.
La distribución de probabilidad de Poisson describe el número de veces que se presenta un evento durante un intervalo especifico. El intervalo puede ser de tiempo, distancia, área o volumen.
La distribución se basa en dos supuestos. El primero consiste en que la probabilidad es proporcional a la longitud del intervalo. El segundo supuesto consiste en que los intervalos son independientes. En otras palabras, cuanto mas grande sea el intervalo, mayor será la probabilidad, y el número de veces que se presenta un evento en un intervalo no influye en los demás intervalos.
En la mayoría de los vuelos no se pierden maletas; en algunos se pierde una, etc. Supongamos que una muestra aleatoria de 1000 vuelos arroja un total de 300 maletas perdidas. De esta manera, la media aritmética del número de maletas perdidas por vuelo es de 0.3, que se calcula al dividir 300/1000.
¿Cuál es la probabilidad de que no se pierda ninguna maleta?
¿Cuál es la probabilidad de que se pierda exactamente una maleta?
Supongamos que estamos investigando la seguridad de una peligrosa intersección. Los registros policiacos indican una media de cinco accidentes mensuales en esta intersección. El número de accidentes está distribuido de acuerdo con una distribución de Poisson, y el Departamento de Seguridad de Tránsito desea que calculemos la probabilidad de que en cualquier mes ocurran exactamente 0, 1, 2, 3 o 4 accidentes
Distribuciones de Probabilidad Continuas 	
En los temas anteriores se vieron tres distribuciones de probabilidad discreta: binomial, hipergeometrica y de Poisson. Estas distribuciones se basan en variables aleatorias discretas, que solo adoptan valores claramente separados. Además, el resultado se determina al contar el numero de éxitos.
Una distribución de probabilidad continua resulta de medir algo, como la distancia de un dormitorio, el peso de un individuo, etc. Una variable aleatoria continua tiene un numero infinito de valores dentro de cierto intervalo particular.
Características de la distribución normal de probabilidad
1. Tiene forma de campana y posee una sola cima en el centro de la distribución. La media aritmética, la mediana y la moda son iguales, y se localizan en el centro de la distribución. El área total bajo la curva es de 1.00. La mitad del área bajo la curva normal se localiza a la derecha de este punto central, y la otra mitad, a la izquierda.
2. Es simétrica respecto de la media. Si hace un corte vertical, por el valor central, a la curva normal, las dos mitades son idénticas.
3. Desciende suavemente en ambas direcciones del valor central. Es decir, la distribución es asintótica. La curva se aproxima mas y mas al eje X, sin tocarlo en realidad. En otras palabras, las colas de la curva se extienden indefinidamente en ambas direcciones.
4. La localización de una distribución normal se determina a través de la media, μ. La dispersión o propagación de la distribución se determina por medio de la desviación estándar, σ. No solo existe una distribución de probabilidad normal, sino una familia. La mayor parte de las poblaciones reales no se extienden de manera indefinida en ambas direcciones; pero para estas poblaciones, la distribución normal es una aproximación conveniente.
La gráfica muestra la distribución de los pesos de las cajas de tres cereales. Los pesos tienen una distribución normal con diferentes medias e idénticas desviaciones estándares.
En la gráfica se comparan la distribuciones de probabilidad del tiempo de servicio de los empleados de tres diferentes plantas. Las medias son las mismas, pero las desviaciones estándares difieren.
La gráfica muestra tres distribuciones. Estas muestran la distribución de fuerzas de tensión, medidas en libras por pulgada cuadrada (psi) para tres clases de cables.
No importa cuáles sean los valores de la media y la desviación para una distribución de probabilidad normal, el área total bajo la curva es 1.00, de manera que podemos pensar en áreas bajo la curva como si fueran probabilidades. Matemáticamente es verdad que:
No es posible ni necesario tener una tabla distinta para cada curva normal posible. En lugar de ello podemos utilizar una distribución de probabilidad normal estándar para encontrar áreas bajo cualquier curva normal. Con esta tabla podemos determinar el área o la probabilidad de que la variable aleatoria distribuida normalmente esté dentro de ciertas distancias a partir de la media. Estas distancias están definidas en términos de desviaciones estándar.
Uso de la tabla de distribución de probabilidad normal estándar
En la tabla se muestra el área bajo la curva normal entre la media y cualquier valor de la variable aleatoria normalmente distribuida. El valor de z se deriva de la fórmula:
donde,
x = valor de la variable aleatoria que nos preocupa
 = media de la distribución de la variable aleatoria
 = desviación estándar de la distribución
z = número de desviaciones estándar que hay desde x a la media de la distribución.
Las variables aleatorias normalmente distribuidas tienen muchas unidades diferentes de medición: pesos, pulgadas, partes por millón, kilogramos, segundos. Como vamos a utilizar la tabla, hablamos en términos de unidades estándar (que en realidad significa desviaciones estándar), e identificamos a éstas con el símbolo z. Da los valores de únicamente la mitad del área bajo la curva normal empezando con 0.0 en la media. Como la distribución normal de probabilidad es simétrica los valores correspondientes a una mitad de la curva corresponden también a la otra.Ejemplo
Tenemos un programa de entrenamiento diseñado para mejorar la calidad de las habilidades de los supervisores de línea de producción. Debido a que el programa es autoadministrado, los supervisores requieren un número diferente de horas para terminarlo. Un estudio de los participantes anteriores indica que el tiempo medio para completar el programa es de 500 horas, y que esta variable aleatoria normalmente distribuida tiene una desviación estándar de 100 horas.
- ¿Cuál es la probabilidad de que un participante elegido al azar requiera más de 500 horas para completar el programa?
- ¿Cuál es la probabilidad de que un participante elegido al azar se tome entre 500 y 650 horas para completar el programa de entrenamiento?
- ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato elegido al azar se tome más de 700 horas en completar el programa?
- Supongamos que el director del programa de entrenamiento desea saber la probabilidad de que un participante escogido al azar requiera entre 550 y 650 horas para completar el trabajo requerido en el programa.
- ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato elegido al azar se tomará menos de 580 horas para completar el programa?
- ¿Cuál es la probabilidad de que un candidato escogido al azar se tome entre 420 y 570 horas para completar el programa?
Se ha fabricado un nuevo neumático, los directivos piensan que la garantía de duración será un factor importante en la aceptación del neumático. De acuerdo con las pruebas realizadas al neumático, los ingenieros estiman que la duración media en millas es μ =36 500 millas y que la desviación estándar es σ = 5000. Además, los datos recogidos indican que es razonable suponer una distribución normal.
¿cuál es la probabilidad de que la duración de los neumáticos sea superior a 40 000?
Se está considerando una garantía que dé un descuento en la sustitución del neumático original si éste no dura lo que asegura la garantía. ¿Cuál deberá ser la duración en millas especificada en la garantía si se desea que no más de 10% de los neumáticos alcancen la garantía?
ejercicios
La compañía Quickie Sales acaba de recibir dos estimaciones de ventas para el trimestre que se avecina contradictorias entre sí. La estimación I dice que las ventas (en millones de dólares) estarán normalmente distribuidas con = 325 y = 60. La estimación II dice que las ventas estarán normalmente distribuidas con = 300 y = 50. El consejo directivo encuentra que cada estimación parece, a priori, ser igualmente fidedigna. Con el fin de determinar cuál estimación deberá utilizarse para hacer predicciones, la junta ha decidido reunirse al final del trimestre y utilizar información actualizada sobre las ventas para tomar una determinación sobre la credibilidad de cada estimación.
a) Suponiendo que la estimación I es precisa, ¿cuál es la probabilidad de que la compañía tenga ventas trimestrales mayores a 350 millones de dólares?
b) Rehaga el inciso anterior suponiendo que la estimación II es la correcta.
Distribución de probabilidad exponencial
La distribución de probabilidad exponencial se aplica a variables como las llegadas de automóviles a un lavado de coches, los tiempos requeridos para cargar un camión, las distancias entre dos averías en una carretera, etc.
Como ocurre con cualquier distribución de probabilidad continua, el área bajo la curva correspondiendo a un intervalo da la probabilidad de que la variable aleatoria tome algún valor en ese intervalo.
La fórmula aporta la probabilidad acumulada de obtener un valor de la variable aleatoria exponencial que sea menor o igual que algún valor específico denotado por x0. La distribución exponencial tiene la propiedad de que la media de la distribución y la desviación estándar de la distribución son iguales.
Supongamos que x representa el tiempo que se necesita para cargar un camión en un área de carga, y que este tiempo de carga sigue una distribución exponencial. Si el tiempo de carga medio o promedio es 15 minutos (μ = 15)
¿Cuál es la probabilidad de que cargar un camión necesite 6 minutos o menos P (x <=6)?
¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de carga sean 18 minutos o menos P (x <=18)? 
¿Cuál es la probabilidad de que el tiempo de carga esté entre 6 y 18 minutos P (6<= x <=18)? 
Ejemplo
El tiempo requerido para pasar por la inspección en los aeropuertos puede ser molesto para los pasajeros. El tiempo medio de espera en los periodos pico es de 12.1 minutos. Supongamos que los tiempos para pasar por la inspección de seguridad tienen una distribución exponencial.
¿Cuál es la probabilidad de que durante los periodos pico se requieran menos de 10 minutos para pasar la inspección de seguridad?
¿De que durante los periodos pico se requieran más de 20 minutos para pasar la inspección de seguridad?
¿De que durante los periodos pico se requieran entre 10 y 20 minutos para pasar la inspección de seguridad?
Son las 8 de la mañana (periodo pico) y usted se acaba de formar en la fila para la inspección de seguridad. Para alcanzar su avión, tiene que estar en la puerta de arribo en no más de 30 minutos. Si necesitara 14 minutos una vez pasada la inspección de seguridad para llegar a la puerta de arribo, ¿cuál es la probabilidad de que pierda el avión?