2 - Aritmética - Laura Blanco Carmona (2)

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ARITMÉTICA
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo : Anual Virtual UNI
Docente: Ramiro Díaz
ESTADISTICA II
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
Objetivos 
• Definir lo que es una frecuencia
y las clases de frecuencia.
• Elaborar tablas de frecuencias,
con la finalidad de observar
características de la variable
analizada.
• Presentar un diagrama que
permita un entendimiento
sencillo de lo que sucede
con la variable analizada.
Con tarjeta CHIPLEY
John Wilder Tukey (1915-2000)
“Un gráfico puede valer mas que mil palabras,
pero puede tomar muchas palabras para 
hacerlo”
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
INTRODUCCIÓN 
La estadística es una ciencia y un arte;
que tiene un desarrollo por sí misma.
Como toda ciencia ha desarrollado
teorías, teniendo gran cantidad de
investigación en líneas propias y como
arte ha permitido plasmar mediante
diagramas y gráficos una percepción
acerca de la realidad . Está en pleno
progreso siendo frecuente la creación
de nuevas metodologías.
Arte Gótico o Ojival
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
NOCIONES PREVIAS
EJEMPLO
Se entrevista a 20 amas de casa sobre
tres posibles marcas de balón de gas de
su preferencia (A, B o C); siendo sus
respuestas las siguientes:
• Cinco amas de casa prefieren A
• Doce amas de casa prefieren B
• Tres amas de casa prefieren C
Frecuencia Absoluta
Se refiere al número de veces que se repite la
variable para un atributo o en un cierto intervalo
y se denota por 𝑓𝑖. Para nuestro ejemplo.
Frecuencia Relativa
Es la fracción de datos por categoría o
intervalo con respecto al total de datos. Se
denota por ℎ𝑖 ; donde ℎ𝑖 =
𝑓𝑖
𝑛
; para nuestro
ejemplo, 𝑛 = 20
Frecuencia Absoluta acumulada
Se obtiene al sumar todas las frecuencias inferiores o
iguales al atributo o intervalo en mención se denota
por 𝐹𝑖.Para nuestro ejemplo.
¿Qué es la frecuencia estadística?
La frecuencia estadística es la cantidad
de veces que se repite una observación
durante la realización de un muestreo.
Se observa que la suma de las frecuencias
estadísticas de cada preferencia, es igual al
total de personas encuestadas. Esto significa
que la frecuencia estadística es la manera
como se distribuyen en este caso las
respuestas de las personas.
Tipos de frecuencia estadística
Marca 𝑓𝑖
A
B
C
5
12
3
Marca
A
B
C
𝑓𝑖
5
12
3
𝒏 = 𝟐𝟎
ℎ𝑖
5
20
= 0,25
12
20
= 0,60
3
20
= 0,15
෍ℎ𝑖 = 1
Marca
A
B
C
𝑓𝑖
5
12
3
𝐹𝑖
5
17
20
Frecuencia Relativa acumulada
Se obtiene al sumar todas las frecuencias relativas
inferiores o iguales al atributo o intervalo en mención
se denota por 𝐻𝑖 .Para nuestro ejemplo.
Marca
A
B
C
ℎ𝑖
5
20
= 0,25
12
20
= 0,60
3
20
= 0,15
𝐻𝑖
5
20
= 0,25
17
20
= 0,85
20
20
= 1
https://enciclopediaeconomica.com/muestra-estadistica/
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
Tener en cuenta
Lo observado anteriormente básicamente
se realiza para una variable discreta,
pudiendo agregar en estos casos el tanto
por ciento que representa cada categoría
respecto al total.
Marca
A
B
C
𝑓𝑖
5
12
3
ℎ𝑖
5
20
= 0,25
12
20
= 0,60
3
20
= 0,15
100%ℎ𝑖
25%
60%
15%
100%
5
12
3
0
5
10
15
A B C
Preferencias según Marca
Gráfico de barras
A
25%
B
60%
C
15%
PREFERENCIAS
SEGÚN MARCA
Diagrama Circular
𝟏𝟎𝟎% <> 𝟑𝟔𝟎°
𝟗𝟎°
𝟓𝟒°
𝟐𝟏𝟔°
5; 25%
12; 
60%
3; 15%
Preferencias 
según Marca
A B C
EXAMEN UNI 2009 -II
Del gráfico
Tasa de aprobación en los cursos A, B, C, D y E de un grupo de 
estudiantes.
Se afirma:
I. El porcentaje promedio de 
desaprobación es 36%
II. El porcentaje de aprobación del 
curso D es el 60% del 
porcentaje de aprobación del 
curso B
III. La tasa de desaprobación del 
curso E es el 60% de la tasa de 
aprobación en el curso C.
¿Cuáles de las afirmaciones son verdaderas?.
A)Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y II E)Solo I y III
Tengamos en cuenta
Del gráfico que nos proporciona el problema, se
puede elaborar una tabla resumen de aprobados y
desaprobados por curso
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Resolución
Elaborando la tabla Resumen
CURSO APROBADOS DESAPROBADOS
A 60%
B 80%
C 50%
D 60%
E 70%
40%
20%
50%
40%
30%
Analicemos las proposiciones
I. El porcentaje promedio de desaprobación es 36%
P: porcentaje promedio de desaprobación
𝑃 =
40% + 20%+ 50%+ 40%+ 30%
5
=
180%
5
= 𝟑𝟔%
…….(V)
II. El porcentaje de aprobación del curso D es el 60% del
porcentaje de aprobación del curso B
Según lo planteado 60% = 𝑥%(80%)
𝑥% = 75%
…….(F)
III. La tasa de desaprobación del curso E es el
60% de la tasa de aprobación en el curso C.
Según lo planteado 30% = 𝑥%(50%)
𝑥% = 60%
…….(V)
Clave : E
EXAMEN UNI 2004 -I
En el gráfico se presenta la distribución del
número de pacientes atendidos diariamente en
un Centro de Salud de la zona Norte de Lima. La
muestra fue de 50 días de atención.
Determine la validez de las afirmaciones
siguientes:
I. En el 20% de los días el Centro de Salud
atendió a los más 39 pacientes.
II. En el 90% de los días el Centro de Salud ha
atendido un mínimo de 36 pacientes.
III. En más del 50% de los días el Centro de
Salud atendió al menos 38 pacientes.
A)FVV B) VFF C) FVF D) FFV E) VVF
Resolución Analicemos las proposiciones
I. En el 20% de los días el Centro de Salud atendió a los más 39 
pacientes.
35 36 37 38 39
5 8 10 125
Total de días:5040
𝑥% =
40
50
. 100%
𝒙% = 𝟖𝟎%
…….(F)
II . En el 90% de los días el centro de salud ha atendido un mínimo de 
36 pacientes
36 37 38 39 40
5 10 12 108 𝑥% =
45
50
. 100%
𝒙% = 𝟗𝟎%
…….(V)
III . En más del 50% de los días el centro de salud atendió al menos 38 
pacientes
38 39 40
10 1012 𝑥% =
32
50
. 100%
𝒙% = 𝟔𝟒% …….(V)
Clave : A
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
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DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS DE VARIABLES 
CONTINUAS
Es un resumen de un conjunto de datos que consiste
en presentar para cada categoría (clase) el
número de elementos (frecuencia) que la componen.
Los tres pasos necesarios para definir en una
distribución de frecuencias con datos
cuantitativos son los siguientes:
Determinar el 
número de clases
Determinar el ancho 
de cada clase
Determinar los límites 
de cada clase
EJEMPLO EXPLICATIVO
A continuación se presenta la recopilación de los jornales
diarios en soles de un grupo de 40 trabajadores de
construcción civil, escogidos al azar de todos aquellos que
forman parte de una empresa Constructora.
22 24 24 28 30 30 31 31 33 34
38 39 40 40 42 42 43 45 45 46
47 47 48 49 50 51 52 52 54 55
57 58 58 59 60 62 65 68 68 70
ELEMENTOS DE LA TABLA DE DISTRIBUCIÓN DE 
FRECUENCIAS
Alcance (𝑨)
Es el intervalo cerrado que considera como
límites al menor y al mayor de los datos
𝐴 = ሾ22 ; ሿ70
𝑀𝑒𝑛𝑜𝑟 𝑑𝑎𝑡𝑜 𝑀𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑑𝑎𝑡𝑜
Rango (𝑹)
Es la amplitud del alcance. Se calcula como la
diferencia del mayor y el menor de los datos.
𝑅 = 70 − 22 = 48
Número de Intervalos de clase (𝒌)
Para obtener un valor adecuado aproximado
se emplea la regla de Sturges
𝑘 = 1 + 3,322 log𝑛
𝑘: 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑣𝑎𝑙𝑜𝑠
𝑛: 𝑡𝑜𝑡𝑎𝑙 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠
𝑘 = 1 + 3,322 log40 ≈ 6,32
Se escoge un número entero alrededor 
de este número; es decir 5, 6 o 7.
Escogemos; K=6 
Hoy en día generalmente es el estadista quien
decide el número de intervalos que va haconsiderar ; el cual se considera que no debe
ser menor de 5 ni mayor de 20. Básicamente
se utilizan programas estadísticos que realizan
la organización de los datos.
Intervalo de clase (𝑰𝒊)
Es una partición del alcance (A).
𝐼3 = ሾ38 ; 46 >
𝐿í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝐼𝑛𝑓𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑳𝒊 𝐿í𝑚𝑡𝑒 𝑆𝑢𝑝𝑒𝑟𝑖𝑜𝑟 𝑳𝒔
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Ancho de clase (𝒘)
Es la longitud de un intervalo de clase;
generalmente se considera ancho de clase
constante. Y se determina:
𝑤 =
𝑅
𝐾
𝑨𝒏𝒄𝒉𝒐 𝒅𝒆
𝒄𝒍𝒂𝒔𝒆 𝒄𝒐𝒎ú𝒏
Para nuestro ejemplo: 𝑤 =
48
6
= 8
Marca de clase (𝒙𝒊)
Es el punto medio de un intervalo de clase (valor
más representativo); Es decir la semisuma de los
limites inferior y superior.
Para : 𝐼3 = ሾ38 ; 46 > 𝑥3 =
38 + 46
2
𝑥3 = 42
𝑰𝒊 𝒙𝒊
ሾ22 ; ۧ30 26
ሾ30 ; 38 > 34
ሾ38 ; ۧ46 42
ሾ46 ; 54 > 50
ሾ54 ; ۧ62 58
ሾ62 ; ሿ70 66
Tendríamos
Anteriormente ya habíamos hablado de las frecuencias , con lo cual ya podemos 
elaborar nuestra tabla de distribución de frecuencias.
𝑰𝒊 𝒙𝒊 𝒇𝒊 𝑭𝒊 𝒉𝒊 𝑯𝒊 𝟏𝟎𝟎%𝒉𝒊 𝟏𝟎𝟎%𝑯𝒊
ሾ22 ; ۧ30 26
ሾ30 ; ۧ38 34
ሾ38 ; ۧ46 42
ሾ46 ; ۧ54 50
ሾ54 ; ۧ62 58
ሾ62 ; ሿ70 66
𝒏 = 𝟒𝟎 1 100%
4
6
9
9
7
5
4
10
19
28
35
40
0,1
0,15
0,225
0,225
0,175
0,125
0,1
0,25
0,475
0,7
0,875
1
10 %
15 %
22,5 %
22,5 %
17,5 %
12,5 %
10 %
25 %
47,5 %
70 %
87,5 %
100 %
Algunas Conclusiones
• 6 trabajadores ganan más de 30 pero 
menos de 38 soles por jornal
• 19 trabajadores ganan menos de 46 
soles por jornal
• 12 trabajadores ganan 54 soles o más 
por jornal
• El 22,5% de los trabajadores ganan más de 
38 pero menos de 46 soles por jornal
• El 70% de los trabajadores ganan menos de 
54 soles por jornal
• El 75% de los trabajadores ganan más de 38 
soles por jornal
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I AC U R S O D E A R I T M É T I C A
HISTOGRAMA DE FRECUENCIAS
Póligono
de 
frecuencias
S
S: Área por debajo del polígono de frecuencias .
Donde:
S= 𝑤. 𝑛
𝑤: 𝑎𝑛𝑐ℎ𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑙𝑎𝑠𝑒
𝑛: 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑎𝑡𝑜𝑠
𝑓𝑖
𝐼𝑖
Son diagramas de barras rectangulares cuyas bases son
los intervalos de clase y las alturas son las fi o las hi
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
F1 F2 F3 F4 F5 F6
DIAGRAMA ESCALONADO
Son diagramas de barras rectangulares cuyas bases son los intervalos de
clase y las alturas son las Fi o las Hi
𝐹𝑖
𝐼𝑖
Ojiva
C R E E M O S E N L A E X I G E N C I A
La siguiente tabla muestra el número de bebés
atendidos por enfermedad respiratoria en una posta del
cono sur de Lima, durante los últimos 60 días .
Trabajando con cada pregunta
Determine
I. En qué tanto por ciento del total de días hubo entre 6 y 14
bebés atendidos
II. Cuántos días en total fueron atendidos de 6 a 23 bebes
𝑵. ° 𝒅𝒆 𝒃𝒆𝒃é𝒔 𝑵. ° 𝒅𝒆 𝒅í𝒂𝒔
ሾ0 ; ሿ4 10
ሾ5 ; ሿ7 18
ሾ8 ; ሿ10 12
ሾ11 ; ሿ15 10
ሾ16 ; ሿ20 5
ሾ21 ; ሿ25 5
5
APLICACIÓN Resolución:
6 7 11 12 13
I. Entre 6 y 14 bebés atendidos
14 15
6 6 6 2 2 22 2
8 10
12
24
5 6 7 21 22 23
II. De 6 a 23 bebés
24 25
6 6 6 1 1 11 1
8 20
27
42
Tener en cuenta
Que dado que la variable es discreta (nro. de bebés); se 
trabajará punto por punto en cada intervalo.
(al decirnos entre no toma los extremos)
Número
de bebés
atendidos
Número
de días
∴ % =
24
60
𝑥100% =40%
(al decirnos de … , a … si toma los extremos)
C U R S O D E A R I T M É T I C A
Número
de días
Número
de bebés
atendidos
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APLICACIÓN
Se muestra la distribución de los sueldos
en soles de 200 colaboradores de una
tienda por departamento. Los cuales
trabajan medio tiempo. Determine que
tanto por ciento de empleados ganan por
los menos 680 soles.
Sueldo en 𝒇𝒊 𝒉𝒊 𝑭𝒊
ሾ500; > 20 0,10
ሾ600; 700 > 30 0,15 50
56 0,28
44 0,22
ሾ ; 1000 > 50 0,25
Resolución:
Piden el tanto por ciento de los que ganan por lo menos 680 soles
De la tabla ubicamos en el alcance los intervalos que necesitamos
𝟑𝟎
<
𝟔𝟖𝟎 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟔𝟎𝟎 𝟕𝟎𝟎
𝟐𝟎
𝟏𝟓𝟎
. 𝟔. 𝟔
𝟖𝟎
𝟒 𝟏
Se reparten los 
datos proporcional 
a las distancias
156
% =
156
200
𝑥100%
Luego :
= 𝟕𝟖%
∴ 𝑬𝒍 𝟕𝟖% 𝒅𝒆 𝒍𝒐𝒔 𝒆𝒎𝒑𝒍𝒆𝒂𝒅𝒐𝒔 𝒈𝒂𝒏𝒂 𝒂𝒍 𝒎𝒆𝒏𝒐𝒔 𝟔𝟖𝟎 𝒔𝒐𝒍𝒆𝒔
w w w . a c a d e m i a c e s a r v a l l e j o . e d u . p e