Control 1 2016 I - Cyntia Barrera Cevallos

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PontificiaUniversidadCat´olicadeChile
FacultaddeMatem´aticas
DepartamentodeMatem´atica
01/Abril/2016.
A
MAT210E–C´alculo
Unasoluci´ondelcontrol1
1. Dadaslasfunciones
f(x)=

x2 +1si x ≥− 1
2x si x< −1
y g(x)=
3x−| x|
2
a) Grafique f .
Soluci´on:
b) Grafique g.
Soluci´on:
Como g(x)=
3x−| x|
2
,entoncespordefinici´ondevalorabsoluto,setieneque
g(x)=
{
x si x ≥ 0
2x si x< 0
dedondeelgr´aficode g es:
c) Determine g ◦ f .
Solución:
Se tiene: (g ◦ f) (x) = g
(
f(x)
)
=

g
(
x2 + 1
)
si x ≥ −1
g
(
2x
)
si x < −1
Luego:
Si x ≥ −1 =⇒ x2 + 1 > 0
(g ◦ f) (x) = g
(
x2 + 1
)
= x2 + 1
x < −1 =⇒ 2x < −2 < 0
(g ◦ f) (x) = g
(
2x
)
= 2(2x) = 4x
Aśı ∀ x ∈ R :
(g ◦ f) (x) =

x2 + 1 si x ≥ −1
4x si x < −1
d) Determine el conjunto {x ∈ R / − 4 ≤ f(x) ≤ 2 }
Solución:
Se tienen los siguientes casos:
i) Para x ≥ −1, entonces f(x) = x2 + 1, de donde:
−4 ≤ f(x) ≤ 2 =⇒ −4 ≤ x2 + 1 ≤ 2 =⇒ −5 ≤︸︷︷︸
I)
x2 ≤︸︷︷︸
II)
1
La desigualdad I) es válida ∀ x ∈ R, pues x2 ≥ 0 > −5.
De II), se tiene:
x2 ≤ 1 =⇒ |x| ≤ 1 =⇒ −1 ≤ x ≤ 1
Como por hipótesis x ≥ −1, entonces la solución de I) es
SI) = [−1 , 1]
ii) Para x < −1, se tiene que f(x) = 2x, luego
−4 ≤ f(x) ≤ 2 =⇒ −4 ≤ 2x ≤ 2 =⇒ −2 ≤ x ≤ 1
como en este caso x < −1, entonces la solución de II) es
SII) = [−2 , −1[
Por lo tanto:
{x ∈ R / − 4 ≤ f(x) ≤ 2 } = [−2 , −1[∪ [−1 , 1] = [−2 , 1]
Pontificia Universidad Católica de Chile
Facultad de Matemáticas
Departamento de Matemática
01/Abril/2016.
B
MAT 210E – Cálculo
Una solución del control 1
1. Dadas las funciones
f(x) =

x2 + 1 si x ≤ 1
−2x si x > 1
y g(x) =
3x+ |x|
2
a) Grafique f .
Solución:
b) Grafique g.
Solución:
Como g(x) =
3x+ |x|
2
, entonces por definición de valor absoluto, se tiene que
g(x) =
{
2x si x ≥ 0
x si x < 0
de donde el gráfico de g es:
c) Determine g ◦ f .
Solución:
Se tiene: (g ◦ f) (x) = g
(
f(x)
)
=

2f(x) si f(x) ≥ 0
f(x) si f(x) < 0
Luego:
x ≤ 1 =⇒ f(x) = x2 + 1 > 0
(g ◦ f) (x) = 2(x2 + 1) = 2x2 + 2
Si x > 1 =⇒ f(x) = −2x y como x > 1 =⇒ 2x > 2 =⇒ −2x < −2 < 0
entonces:
(g ◦ f) (x) = g(−2x) = −2x
Aśı ∀ x ∈ R :
(g ◦ f) (x) =

2x2 + 2 si x ≤ 1
−2x si x > 1
d) Determine el conjunto {x ∈ R / − 4 ≤ f(x) ≤ 2 }
Solución:
Se tienen los siguientes casos:
i) Para x ≤ 1, entonces f(x) = x2 + 1, de donde:
−4 ≤ f(x) ≤ 2 =⇒ −4 ≤ x2 + 1 ≤ 2 =⇒ −5 ≤︸︷︷︸
I)
x2 ≤︸︷︷︸
II)
1
La desigualdad I) es válida ∀ x ∈ R, pues x2 ≥ 0 > −5.
De II), se tiene:
x2 ≤ 1 =⇒ |x| ≤ 1 =⇒ −1 ≤ x ≤ 1
Como por hipótesis x ≤ 1, entonces la solución de I) es
SI) = [−1 , 1]
ii) Para x > 1, se tiene que f(x) = −2x, luego
−4 ≤ f(x) ≤ 2 =⇒ −4 ≤ −2x ≤ 2 =⇒ −2 ≤ −x ≤ 1 =⇒ −1 ≤ x ≤ 2
como en este caso x > 1, entonces la solución de II) es
SII) =] 1 , 2 ]
Por lo tanto:
{x ∈ R / − 4 ≤ f(x) ≤ 2 } = [−1 , 1]∪ ] 1 , 2 ] = [−1 , 2]