Probabilidad y estadistica- ejercicios resueltos bien explicados00018 - Viridiana Heredia Olivares

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PontificiaUniversidadCat´olicadeChile
FacultaddeCienciasEcon´omicasyAdministrativas
SegundoSemestre2019
Curso:ProbabilidadyEstad´ıstica
Sigla:EAS200a
Profesores:Mar´ıaIgnaciaVicu˜na(Sec1),CristianV´asquez(Sec2)
PautaExamen
Problema1:
Unminimarketquierepotenciarasusclienteselusodetarjetasbancariasparadisminuirlacantidadde
efectivoensuscajasparabrindarlemayorseguridadasusempleados.Estudioshist´oricosdelcomportamiento
delosclientesmuestraqueeln´umerodeventasdiariasquetieneelminimarketpuedesermodeladoporun
procesoPoisson,dondeenpromediohay900ventasdiarias.Adem´asdelestudiosedesprendequeun20%
pagacontarjetabancaria.Porotrolado,losmontosdelasventasenelminimarketdistribuyenNormal
dondesesabequelamedianaesde$10550pesosyel25%delosmontosdelasventassoninferioresa$6120.
Laestrategiautilizadaparaaumentarlasventascontarjetabancaria,ser´adeaplicarleundescuentodeun
3%alosclientescuyascomprasexcedenalos$15000pesosyqueutilicenestemediodepago.
(a) [1.5Ptos] Calculelaprobabilidaddequeelmontodeunaventasuperelos$15000pesos.
(b) [1.5Ptos] Calculelaprobabilidaddequeenalom´aslaterceraventadeld´ıasealaprimeraventa
conmontosuperioralos$15000pesos.
(c) [1.5Ptos] ¿Cu´antosminutossedebeesperarhastaqueocurralaquintaventaconpagodetarjeta
bancaria?
(d) [1.5Ptos] Calculelaprobabilidaddequeenmediahoraalom´asdosventasselesapliqueun
descuentode3%alvalortotaldesucompra.
Respuesta:
(a) Sea X elmontodelaventaenelminimarket,donde X ∼ N(µ,σ 2).Adem´as,ladistribuci´onNormal
alsersim´etricasetienequelamedianaesigualalamedia.As´ı
µ =10550 [0.2Ptos]
P (X ≤ 6120)=0 .25 [0.2Ptos]
P
(
X − µ
σ
≤ 6120− µ
σ
)
=0 .25 ⇒ Φ
(
6120− 10550
σ
)
=0 .25
6120− 10550
σ
=Φ −1(0.25) [0.2Ptos]
6120− 10550
σ
= −Φ−1(0.75) [0.2Ptos]
6120− 10550
σ
= −0.67
σ =6611 .94 [0.2Ptos]
Porlotanto,
P (X> 15000)=1 − P
(
X − µ
σ
≤ 15000− 10550
6611.94
)
=1 − Φ(0.673)=1 − 0.7486=0 .2514 [0.5Ptos]
EAS200A-ProbabilidadyEstad´ıstica 1 SegundoSemestre2019
(b) Sea W el número de ventas hasta encontrar la primera venta del d́ıa con monto superior a $15000.
Luego W ∼ Geom(π), donde π = 0.2514. [0.8 Ptos] Aśı
P (W ≤ 3) = P (W = 1) + P (W = 2) + P (W = 3) [0.4 Ptos]
= 0.2514 + 0.2514(1− 0.2514) + 0.2514(1− 0.2514)2
= 0.5804831 [0.3 Ptos]
(c) Sea Yt el número de ventas con pago de tarjeta bancaria en el minimarket en t minutos. Luego
Yy ∼ Poisson(λt) [0.4 Ptos]
donde λ = 900·0.224·60 = 0.125 [0.4 Ptos] Sea T el tiempo transcurrido hasta que ocurra la 5ta venta con
pago de tarjeta bancaria (minutos). Luego
T ∼ Gamma(5, 0.125) [0.4 Ptos]
Por lo tanto, E(T ) = 50.125 = 40 minutos. [0.3 Ptos]
(d) Sea Zt el número de ventas que pagan con tarjeta bancaria y se les aplica un 3 % de descuento en la
compra en t minutos. Luego
Zt ∼ Poisson(λπt)⇒ Zt ∼ Poisson(0.031425t) [0.8 Ptos]
P (Z30 ≤ 2) =
2∑
z=0
e0.03·300.03z
z!
= 0.4019892 [0.7 Ptos]
Observaciones: Error de Arraste.
(a) El alumno que no encontró los parámetros µ y σ de la distribución Normal y trabajó con otros valores
el cálculo de P (Y > 15000). Si lo hizo correctamente con sus valores asignar puntaje máximo de [0.5
Ptos].
(b) Error de arrastre al calcular mal π en parte (a). Si todo lo demás está correcto salvo el valor de π
asignar puntaje máximo de [1.0 Ptos].
(d) El alumno que calculó mal π en (a) y todo lo demás está correcto, asignar puntaje máximo de
[1.0 Ptos].
El alumno que calculó mal λ en (c) y todo lo demás está correcto, asignar puntaje máximo de
[1.0 Ptos].
El alumno que calculó mal π en (a) y calculó mal λ en (c) y todo lo demás está correcto, asignar
puntaje máximo de [0.7 Ptos].
EAS200A -Probabilidad y Estad́ıstica 2 Segundo Semestre 2019
Problema 2:
La cadena de centros comerciales Mall Plaza ha estado analizando si cambia su poĺıtica de tarifa de arriendo
mensual para sus locatarios. Actualmente posee una estructura de ingresos fijos (denótelo por xo) más una
componente adicional (denótela por c) en el caso que los locatarios superen cierto monto de ventas mensuales.
De esta manera la tarifa de arriendo mensual (en miles de pesos) para sus locatarios está expresada por
Y1 = xo + cX
donde X es una variable aleatoria Bernoulli, que toma el valor 1 con probabilidad p = 0.1 si las ventas men-
suales superan cierto monto y cero sino. La propuesta del nuevo gerente comercial es eliminar la componente
fija, a cambio de una tarifa de arriendo mensual correspondiente al 10 % de las ventas mesuales (denótela
por Z) de los locatarios. Aśı con la propuesta, la tarifa de arriendo mensual (en miles de pesos) para sus
locatarios estaŕıa dada por
Y2 = 0.1Z
donde Z tiene distribución LogNormal(λ, ξ2).
(a) [3.0 Puntos] Encuentre la función de probabilidad de la tarifa actual de arriendo y la función de
densidad de la tarifa propuesta por el nuevo gerente comercial. ¿Reconoce algún modelo? En caso
afirmativo menciónelo y especifique sus parámetros.
(b) [3.0 Puntos] Suponga que x0 = 1000, c = 875, λ = 9.29, ξ = 0.18. Para la tarifa actual y para la tarifa
propuesta, calcule la probabilidad de que la tarifa mensual de arriendo supere al millón de pesos. En
base a lo anterior, ¿Cuál de los dos modelos de tarifas le conviene más a los locatarios?
Respuesta:
(a) Para la tarifa actual de arriendo, vemos que Y1 es una v.a Bernoulli [0.5 Ptos] que toma dos posibles
valores Y1 = x0 o Y1 = x0 + c, cuya función de probabilidad está dada por
P (Y1 = x0) = P (X = 0) = 0.9 [0.5 Ptos]
P (Y1 = x0 + c) = P (X = 1) = 0.1 [0.5 Ptos]
Para la tarifa propuesta, Y2 = 0.1Z ⇒ Z = Y20.1 [0.2 Ptos] ⇒
dZ
dY2
= 10.1 . [0.3 Ptos] Luego por
teorema de transformación se tiene
fY2(y2) =
∣∣∣∣ 10.1
∣∣∣∣ fZ ( y20.1) [0.3 Ptos]
=
1√
2πξy2
exp
{
−1
2
(
ln y2 − (λ+ ln(0.1))
ξ
)2}
, y ≥ 0 [0.3 Ptos]
Lo que se concluye que Y2 ∼ LogNormal(λ+ ln(0.1), ξ2). [0.4 Ptos]
(b) Ambas tarifas están en miles de pesos. Piden calcular P (Y1 > 1000) y P (Y2 > 1000).
Para la tarifa actual de arriendo, se tiene que P (Y1 = 1000) = 0.9 y P (Y1 = 1875) = 0.1. Por lo tanto,
P (Y1 > 1000) = 0.1. [1.0 Ptos]
Para la tarifa propuesta de arriendo se tiene que ln(Y2) ∼ Normal(λ+ ln(0.1), ξ2), [0.5 Ptos] luego
P (Y2 > 1000) = 1− P
(
lnY2 − λ ln(0.1)
ξ
≤ ln(1000)− λ− ln(0.1)
ξ
)
[0.3 Ptos]
= 1 = Φ
(
ln(1000)− 9.29− ln(0.1)
0.18
)
[0.2 Ptos]
= 1− Φ(−0.44) [0.3 Ptos]
= Φ(0.44) = 0.67 [0.2 Ptos]
Dado que con la tarifa actual la probabilidad de superar el millón de pesos es menor, a los locatarios
les favorece continuar con el modelo actual de tarifas de arriendos. [0.5 Ptos]
EAS200A -Probabilidad y Estad́ıstica 3 Segundo Semestre 2019
Observaciones: Error de Arraste.
(b) Si en parte (a) se calculó mal fY2(y2) y se utilizó esa función para calcular P (Y2 > 1000). Si
el procedimiento está completamente correcto con la f(y2) utilizada asignar puntaje máximo de
[1.0 Ptos] al cálculo de P (Y2 > 1000). Además si la conclusión es coherente a sus cálculos asignar
puntaje de [0.3 Ptos].
Si en parte (a) se calculó mal P (Y1 = y1) y se utilizó esa función de probabilidad para calcular
P (Y1 > 1000). Si el procedimiento está completamente correcto con ella asignar puntaje máximo
de [0.5 Ptos] al cálculo de P (Y1 > 1000).Además si la conclusión es coherente a sus cálculos
asignar puntaje de [0.3 Ptos]
Si tanto P (Y1 = y1) y fY2(y2) fueron mal calculadas en (a) y el cálculo de P (Y1 > 1000) y
P (Y2 > 1000) están correctamente con las funciones utilizadas, asignar puntaje de [1.2 Ptos].
Además si la conclusión es coherente a sus cálculos asignar puntaje de [0.3 Ptos]
EAS200A -Probabilidad y Estad́ıstica 4 Segundo Semestre 2019
Problema 3:
Sea Y1 el tiempo total que transcurre desde el instante que un cliente llega a un importante retail nacional
hasta que abandona el Servicio al Cliente (una vez atendido), y sea la variable aleatoria Y2 el tiempo de
espera en Servicio al Cliente antes de ser atendido. El departamento de Servicio al Cliente entrega la siguiente
función de densidad conjunta para ambos tiempos:
f(y1, y2) =
{
e−y1 , 0 ≤ y2 ≤ y1 <∞,
0,en otro caso.
(a) [1.5 Ptos] Determine el tiempo total esperado desde que un cliente llega a este importante retail hasta
que abandona el Servicio al Cliente.
(b) [1.5 Ptos] Determine la densidad marginal de Y2. Calcule la esperanza de Y2 y entregue una interpre-
tación.
(c) [1.0 Ptos] ¿Son independientes Y1 con Y2?
(d) [2.0 Ptos] Determine la covarianza de Y1 con Y2. ¿Qué mide la covarianza?
Respuesta:
(a) Piden calcular E(Y1). Para ello se debe calcular previamente fY1(y1).
fY1(y1) =
∫ y1
0
e−y1 dy2 = e
−y1
∫ y1
0
dy2 = e
−y1y2
∣∣∣∣∣
y1
0
= e−y1y1 [1.0 Ptos]
Aśı fY1(y1) = y1e
−y1 , y1 ≥ 0, lo que se reconoce que Y1 ∼ Gamma(2, 1). Por lo tanto E(Y1) = 21 = 2.
[0.5 Ptos]
(b) fY2(y2) =
∫∞
y2
e−y1 dy1 = −e−y1
∣∣∣∣∣
∞
y2
= e−y2 [0.8 Ptos]
Aśı fY2(y2) = e
−y2 , y2 ≥ 0, lo que se reconoce que Y2 ∼ exp(1). Por lo tanto E(Y2) = 1. [0.5 Ptos]
El tiempo medio en la espera para ser atendido en el Servicio al Cliente es de 1 unidad. [0.2 Ptos]
(c) fY1(y1)fY2(y2) = y1e
−y1e−y2 6= f(y1, y2). Por lo tanto Y1 e Y2 no son independientes. [1.0 Ptos]
(d) Cov(Y1, Y2) = E(Y1Y2)− E(Y1)E(Y2). De parte (a) y (b) se tiene que E(Y1) = 2, E(Y2) = 1.
E(Y1Y2) =
∫ ∞
0
∫ y1
0
y1y2e
−y1 dy2 dy1 =
∫ ∞
0
y1e
−y1
∫ y1
0
y2 dy2 dy1
=
∫ ∞
0
y1e
−y1
(
y22
2
) ∣∣∣∣∣
y1
0
dy1 =
∫ ∞
0
y1e
−y1 y
2
1
2
dy1
=
1
2
∫ ∞
0
y31e
−y1 dy1 [1.0 Ptos]
Viendo el formulario se reconoce que
∫∞
0
y31e
−y1 dy1 = Γ(4). Aśı E(Y1Y2) =
1
2Γ(4) =
3!
2 = 3 [0.3 Ptos]
Por lo tanto Cov(Y1, Y2) = 3− 2 · 1 = 1. [0.2 Ptos]
La covarianza entre dos variables aleatorias mide el grado de asociación lineal entre ambas variables.
Valores grandes positivos de la covarianza indican asociación lineal positiva entre Y1 e Y2 y valores
grandes negativos indican asociación lineal negativa entre las variables. [0.5 Ptos]
EAS200A -Probabilidad y Estad́ıstica 5 Segundo Semestre 2019
Observaciones: Error de Arraste.
(c) Si en parte (a) calculó mal f(y1) y utilizó esa función para comprobar si fY1(y1)fY2(y2) = f(y1, y2),
si su conclusión es coherente a sus cálculos asignar puntaje máximo de [0.7 Ptos].
Si en parte (b) calculó mal f(y2) y utilizó esa función para comprobar si fY1(y1)fY2(y2) = f(y1, y2),
si su conclusión es coherente a sus cálculos asignar puntaje máximo de [0.7 Ptos].
Si en parte (a) calculó mal f(y1) y en (b) calculó mal f(y2) y utilizó esas funciones para comprobar
si fY1(y1)fY2(y2) = f(y1, y2), si su conclusión es coherente a sus cálculos asignar puntaje máximo
de [0.5 Ptos].
(d) Si en parte (a) calculó mal E(Y1) y utilizó ese valor para el cálculo de Cov(Y1, Y2), asignar puntaje
máximo de [1.3 Ptos] al cálculo de Cov(Y1, Y2).
EAS200A -Probabilidad y Estad́ıstica 6 Segundo Semestre 2019