Material-didactico-para-la-ensenanza-del-tema--funcion-exponencial

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UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MEXICO 
 
MAESTRÍA EN DOCENCIA PARA LA EDUCACIÓN MEDIA SUPERIOR 
 
 MATERIAL DIDÁCTICO PARA LA ENSEÑANZA DEL TEMA: 
FUNCIÓN EXPONENCIAL. 
 
 
TESIS 
 
 
QUE PARA OPTAR POR EL GRADO DE: 
 
 
MAESTRO EN DOCENCIA PARA LA EDUCACION MEDIA SUPERIOR 
 
 
PRESENTA: 
OTONIEL MARTÍNEZ GONZÁLEZ 
 
 
TUTOR PRINCIPAL 
MTRO. JORGE JAVIER JIMÉNEZ ZAMUDIO 
FES ACATLÁN 
 
 
MIEMBROS DEL COMITÉ TUTOR 
DRA. BEATRIZ TRUEBA RÍOS. FES ACATLÁN 
MTRO. ALFREDO RÍOS RAMIREZ. FES ACATLÁN 
 
ACATLÁN, DICIEMBRE DE 2015 
 
 
 
UNAM – Dirección General de Bibliotecas 
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respectivo titular de los Derechos de Autor. 
 
 
 
 
i 
 
DEDICATORIA 
 
 
 
Dedicado esta tesis a todos 
aquellos que me 
acompañaron en esta gran 
experiencia de realizar una 
investigación educativa 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ii 
 
 
AGRADECIMIENTOS 
 
A mis padres Valois y Delfina 
A mis hermanos Ricardo, Paula, Gregoria, Ildefonso, 
Alejandro y Aníbal 
A mis compañeros de estudio en la MADEMS 
Ximena, Patricia, Carlos, Libier, Luis, Anahi, 
Ileana, Lilian, Enrique, Francisco. 
A mis profesores que me apoyaron en el trabajo de tesis 
Dra. Beatriz, Mtro. Jorge Javier, 
Dr. Roberto, Mtro. Víctor José, Mtro. Alfredo 
A la UNAM por abrir espacios de aprendizaje 
 
iii 
 
Índice Página 
 
Dedicatoria ............................................................................................................................................i 
Agradecimientos .................................................................................................................................. ii 
Lista de figuras ..................................................................................................................................... v 
Lista de tablas ...................................................................................................................................... vi 
Resumen ............................................................................................................................................. vii 
Abstract ............................................................................................................................................. viii 
 
Introducción ........................................................................................................................................ 1 
 
Capítulo 1 MARCO TEÓRICO ........................................................................................................... 6 
1.1. Necesidad de una teoría del aprendizaje .................................................................................... 7 
1.2. La teoría de la asimilación como base del aprendizaje significativo ........................................... 7 
1.3. Aprendizaje significativo ............................................................................................................. 9 
1.4. Condiciones para que se dé el aprendizaje significativo ........................................................... 11 
1.5. Variables del aprendizaje en el aprendizaje significativo ......................................................... 12 
 1.5.1. Materiales didácticos ....................................................................................................... 14 
 1.5.2. Organizadores Gráficos (diagrama de llaves y mapas conceptuales) .............................. 16 
 1.5.3. Registro de representaciones semióticas ........................................................................ 17 
 1.5.4. Tipos de aprendizajes....................................................................................................... 19 
 1.5.5. Características del profesor ............................................................................................ 20 
 1.5.6. El lenguaje ........................................................................................................................ 21 
 1.5.7. La práctica (repetición de la tarea de aprendizaje) ........................................................ 22 
 1.5.8. El salón de clases ............................................................................................................. 22 
 
Capítulo 2 SECUENCIA DIDÁCTICA, CARTAS DESCRIPTIVAS Y MATERIAL DIDÁCTICO ............... 23 
2.1. Importancia del plan instruccional ............................................................................................ 24 
2.2. Programa de estudios ................................................................................................................ 25 
2.3. Ubicación del tema .................................................................................................................... 26 
2.4. Tiempo utilizado para la implementación de la secuencia didáctica ........................................ 27 
2.5. Propósito de la unidad .............................................................................................................. 27 
2.6. Aprendizajes esperados ............................................................................................................. 27 
2.7. Secuencia didáctica .................................................................................................................... 29 
 2.7.1. Cartas descriptivas .......................................................................................................... 29 
 2.7.2. Distribución de las sesiones ............................................................................................ 30 
 2.7.3. Distribución de horas por semana .................................................................................. 31 
 2.7.4. Cartas descriptivas, Elementos del Marco teórico para el diseño del material 
 didáctico y material didáctico de cada sesión ................................................................. 32 
 Sesión 1 ........................................................................................................................... 32 
 Sesión 2 ........................................................................................................................... 37 
 Sesión 3 ........................................................................................................................... 44 
 
iv 
 
 Sesión 4 ........................................................................................................................... 51 
 Sesión 5 ........................................................................................................................... 57 
 Sesión 6 ........................................................................................................................... 61 
 Sesión 7 ........................................................................................................................... 65 
 
Capítulo 3 ANÁLISIS DE RESULTADOS ..........................................................................................66 
3.1. Análisis cuantitativo ................................................................................................................... 67 
 3.1.1. Comparación del pre-test y el pos-test ........................................................................... 70 
 3.1.2. Prueba de hipótesis ......................................................................................................... 73 
3.2. Análisis cualitativo ...................................................................................................................... 76 
 
CONCLUSIONES ................................................................................................................................. 82 
 
ANEXOS ............................................................................................................................................. 84 
 Anexo 1 Cuestionarios aplicado a los alumnos ...................................................................... 84 
 Anexo 2 Cuestionario aplicado a los profesores .................................................................... 89 
 Anexo 3 Pre-test ..................................................................................................................... 97 
 Anexo 4 Pos-test ................................................................................................................... 100 
 Anexo 5 Mapas conceptuales ............................................................................................... 103 
 
REFERENCIAS DOCUMENTALES ..................................................................................................... 109 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
v 
 
LISTA DE FIGURAS 
Capítulo 1 
Figura 1.1. Formas de aprendizaje significativo según la teoría de la asimilación ............................. 8 
Figura 1.2. Proceso de inclusión ......................................................................................................... 9 
Figura 1.3. Aprendizajes por recepción y por descubrimiento ........................................................ 11 
Figura 1.4. Variables de aprendizaje de la teoría del aprendizaje significativo ............................... 13 
Figura 1.5. Material didáctico impreso diseñado en este trabajo ................................................... 15 
Figura 1.6. Diagrama de llaves ......................................................................................................... 17 
Figura 1.7. Aprendizajes procedimental, actitudinal y declarativo .................................................. 20 
 
Capítulo 2 
Figura 2.1. Componentes del plan instruccional propuesta por Kemp ............................................ 24 
Figura 2.2. Componentes del plan instruccional adaptado al plan de estudios del CCH ................. 25 
Figura 2.3. Programa de estudios de matemáticas del CCH (2004) .................................................. 26 
Figura 2.4. Secuencia de unidades por semestre ............................................................................. 26 
Figura 2.5. Distribución del tiempo para el tema 4: Funciones exponenciales y Logarítmicas ....... 27 
Figura 2.6. Aprendizajes por sesión ................................................................................................. 30 
Figura 2.7. Distribución de horas por semana ................................................................................. 31 
Figura 2.8. Carta descriptiva sesión 1 ............................................................................................... 32 
Figura 2.9. Carta descriptiva sesión 2 ............................................................................................... 37 
Figura 2.10. Carta descriptiva sesión 3 ............................................................................................. 44 
Figura 2.11. Carta descriptiva sesión 4 ............................................................................................. 51 
Figura 2.12. Carta descriptiva sesión 5 ............................................................................................. 57 
Figura 2.13. Carta descriptiva sesión 6 ............................................................................................. 61 
Figura 2.14. Carta descriptiva sesión 7.............................................................................................. 65 
 
Capítulo 3 
Figura 3.1. Gráfica de reactivos correctos del pre-test .................................................................... 68 
Figura 3.2. Gráfica de reactivos correctos del pos-test .................................................................... 70 
Figura 3.3. Gráfica de respuestas correctas del pre-test y pos-test ................................................. 72 
Figura 3.4. Región de aceptación y de rechazo para el valor de 2.7 ................................................ 75 
Figura 3.5. Equivocado manejo de división celular .......................................................................... 76 
Figura 3.6. Con un dibujo se obtiene mayor comprensión .............................................................. 76 
Figura 3.7. Obtención de una función lineal en vez de una exponencial ......................................... 77 
Figura 3.8. Respuesta errónea .......................................................................................................... 77 
Figura 3.9. Respuesta correcta ......................................................................................................... 77 
Figura 3.10. Obtención de una representación algebraica a prueba y error ................................... 78 
Figura 3.11. Los alumnos obtienen la representación algebraica a partir de un método ............... 78 
Figura 3.12. Gráfica de una función con base cero y exponente positivo ....................................... 79 
Figura 3.13. Gráfica de una función con base uno y exponente positivo ........................................ 79 
Figura 3.14. El alumno explica sus resultados .................................................................................. 80 
 
vi 
 
Figura 3.15. El alumno se da cuenta de que una base negativa con exponente positivo no 
representa una función exponencial ................................................................................................ 80 
Figura 3.16 El alumno explica frente a sus compañeros .................................................................. 81 
 
LISTA DE TABLAS 
Capítulo 3 
Tabla 3.1. Resultados del pre-test .................................................................................................... 71 
Tabla 3.2. Resultados del pos-test ................................................................................................... 69 
Tabla 3.3. Aumento de respuestas correctas ................................................................................... 71 
Tabla 3.4. Comparación de resultados del pre-test y pos-test ........................................................ 74 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
vii 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESUMEN 
El aprendizaje de las matemáticas es un problema que atañe 
a varios países del mundo, entre ellos México. Asimismo el 
problema se presenta a diferentes niveles educativos, uno 
de ellos es el bachillerato. Algunos objetos matemáticos son 
más difíciles de asimilar que otros, uno de éstos 
corresponde a la función exponencial. Uno de los posibles 
factores que causa este problema es la falta de una teoría 
del aprendizaje que proporcione aprendizajes significativos 
en los alumnos. 
El objetivo de este trabajo es que el alumno obtenga 
aprendizajes significativos sobreel tema de función 
exponencial. Para ello se diseña e implementa un material 
didáctico cuya base teórica es la teoría del aprendizaje 
significativo. 
 
 
 
 
 
viii 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ABSTRACT 
Learning mathematics is a problem involving several 
countries, including Mexico. Also the problem occurs at 
different educational levels, one is the high school. Some 
mathematical objects are more difficult to assimilate other, 
one of these corresponds to the exponential function. One 
factor that probably causes this problem is the lack of a 
theory of learning that provides meaningful learning in 
students. The objective of this work is that the student 
obtains significant learning about exponential function. For it 
is designed and implemented an educational material whose 
theoretical basis is the theory of meaningful learning. 
 
 
 
1 
 
INTRODUCCIÓN 
Las matemáticas son una herramienta necesaria para el desarrollo científico, 
tecnológico y social. Son muy útiles en la mayoría de las actividades sociales, por 
ello es que los conocimientos en esta materia son muy importantes. Una sociedad 
demandante y competitiva reclama personas que tengan actitudes y habilidades 
matemáticas con el fin de resolver los problemas que se presentan. Las 
instituciones educativas a nivel bachillerato incluyen en sus planes de estudio 
asignaturas del área de matemáticas, sin embargo se han detectado 
problemáticas que impiden en los alumnos la obtención de estos conocimientos. 
Entre los factores causantes de la problemática para la enseñanza de las 
matemáticas se encuentran los siguientes: la dificultad de vinculación con otras 
materias, deficiencias en los conocimientos previos, deficiencias en el manejo del 
español, fallas en estrategias de aprendizaje, inadecuado acondicionamiento de 
aulas, carencia de tecnología. Las consecuencias son el bajo desempeño y 
desmotivación hacia el aprendizaje de las matemáticas por parte de los alumnos 
SUMEM (2014). Un referente de esta problemática es la evaluación PISA que 
consiste en la aplicación de exámenes estandarizados a estudiantes cuyo 
promedio de edad es de 15 años. En el año 2012, de 65 países participantes, 
México obtuvo el lugar 53 con 413 puntos de 613 en la evaluación de 
matemáticas. Vargas (2012). 
El Colegio de Ciencias y Humanidades (CCH), que junto con la Escuela nacional 
Preparatoria (ENP) conforman el bachillerato de la UNAM, no escapa a esta 
problemática de las matemáticas, los bajos índices de aprobación, la deserción 
escolar y el ausentismo en el salón de clases son constantes que se dan año con 
año, y una de las materias con mayor índice de reprobación es Matemáticas IV. 
Muñoz Corona y Ávila Ramos (2012). 
En el cuarto semestre del CCH se aborda el tema de función exponencial. Se ha 
detectado, con base a la experiencia como docente y confirmada 
experimentalmente con una prueba que los alumnos no logran un aprendizaje 
significativo del tema función exponencial, no entienden cabalmente qué significa 
un crecimiento o decrecimiento exponencial, ni obtener la representación 
 
2 
 
algebraica, tabular y gráfica, se les complica entender cómo un fenómeno físico 
tiene al inicio un crecimiento “moderado” y de repente crece en forma “brusca”, su 
pensamiento está muy arraigado al crecimiento lineal. Además, se ha observado 
que no tienen algunos aprendizajes previos necesarios para enfrentar el tema. 
Para validar científicamente los aprendizajes obtenidos antes mencionados por el 
alumno se elaboraron y aplicaron dos cuestionarios, uno dirigido a los alumnos 
para observar los aprendizajes obtenidos del tema y otro dirigido a los profesores 
para observar si aplicaban algunas teorías necesarias para que los alumnos 
obtuvieran aprendizajes significativos. De los resultados del cuestionario 1 se 
concluyó que algunos aprendizajes no se lograron, otros no quedaron claros y no 
podían vincular el tema a problemas de la vida real, es decir no hubo 
transferencia. De los resultados del cuestionario 2 se concluyó que la mayoría de 
los profesores no utilizan la teoría correcta para que existan aprendizajes 
significativos en el alumno. Los cuestionarios y el análisis de resultados se 
encuentran en los anexos 1 y 2. 
Bajo este contexto se decide coadyuvar a resolver el problema diseñando y 
aplicando un material didáctico cuyo objetivo es que el alumno obtenga 
aprendizajes significativos del tema función exponencial, el sustento teórico del 
material es la teoría del aprendizaje significativo, esta teoría trata de que el alumno 
vaya construyendo dentro de su estructura cognitiva los conocimientos, generando 
así nuevas redes cognitivas ligadas con otras ya existentes logrando que los 
conocimientos tengan significado y no sólo sean memorísticos. La hipótesis a 
probar en esta investigación es la siguiente: El alumno logrará un aumento de 
aprendizajes entre los niveles de conocimiento previo y posterior al aplicar el 
material didáctico con base en la teoría del aprendizaje significativo. La pregunta 
de investigación que se intenta resolver es la siguiente ¿El alumno logrará un 
aumento de aprendizajes entre los niveles de conocimiento previo y posterior al 
aplicar el material didáctico utilizando la teoría del aprendizaje significativo como 
base teórica? 
 
3 
 
La investigación contiene un enfoque mixto ya que los resultados se analizan de 
forma cuantitativa (con base en la medición numérica y el análisis estadístico) y 
también de manera cualitativa (análisis de aprendizajes que obtiene el alumno). 
La metodología llevada a cabo para lograr el objetivo es la siguiente: 
 Se diseña un material didáctico teniendo como base una teoría del aprendizaje 
que proporcione aprendizajes significativos al alumno. 
 Se implementa el material didáctico a los alumnos en el salón de clases 
realizando una medición de sus conocimientos antes y después de dicha 
implementación. 
 Se realiza un análisis de los resultados y se miden los aprendizajes obtenidos. 
 Se realizan conclusiones finales. 
El presente trabajo beneficia a los alumnos ya que aumenta el conocimiento de 
aprendizajes que no se entendían, logrando aprendizajes significativos y no sólo 
memorísticos. Estos conocimientos le serán útiles para los siguientes temas de 
matemáticas IV, para las siguientes materias de matemáticas que llevará en quinto 
y sexto semestre ya que también se estudia el tema funciones exponenciales 
desde un punto de vista del cálculo. Además por ser un bachillerato propedéutico 
también los aprendizajes obtenidos les serán útiles en la licenciatura. Los 
aprendizajes obtenidos que se logren a través del material didáctico que se 
propone permitirán a los alumnos tener una visión interdisciplinaria ya que en su 
implementación se vinculan a problemas relacionados con otras disciplinas como 
biología, química, demografía, economía y medicina. 
Con este trabajo también se beneficia al profesor ya que podrá contar con un 
material didáctico que proporcione aprendizajes significativos. Dicho material está 
sustentada por un marco teórico y por el análisis de los resultados obtenidos de la 
aplicación a un grupo de alumnos. 
El trabajo está dividido en tres capítulos y dos apartados (uno de conclusiones y 
otro de anexos). 
 
 
 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
En el capítulo uno se expone el marco teórico-conceptual: la teoría del aprendizaje 
significativo que sustenta el material didáctico. Se mencionan las condiciones 
cognitivas, de aprendizajes previos y de motivación que debe tener el alumno para 
que se dé este tipo de aprendizaje. Se sustenta en diferentes autores que han 
aportado elementos sobre esta teoría del aprendizaje. Se comentan las variables 
del aprendizaje significativo que juegan un papel importante para que se concrete 
una comprensión del tema. 
 
En el segundo capítulo se diseña el materialdidáctico. También se diseña una 
secuencia didáctica que contiene ocho sesiones que son las que se aplican a los 
alumnos en el salón de clases, cada una de ellas contiene una carta descriptiva, 
una mención de los elementos tomados del marco teórico para diseñar el material 
didáctico de cada sesión y el material didáctico de cada sesión. 
En cada carta descriptiva se especifican los aprendizajes que ha de obtener el 
alumno, el inicio, desarrollo y cierre de cada sesión y los medios e instrumentos de 
evaluación de los aprendizajes. 
 
El tercer capítulo contiene el análisis de resultados de manera cuantitativa y 
cualitativa. Se elabora un apartado en donde se plasman las conclusiones finales 
y otro apartado de anexos que contiene documentos de los cuales se hace 
referencia a lo largo del trabajo. 
 
 
 
CAPÍTULO 3 
ANÁLISIS 
DE 
RESULTADOS 
CAPÍTULO 2 
DISEÑO E 
IMPLEMENTACIÓN 
 DEL MATERIAL 
DIDÁCTICO 
CAPÍTULO 1 
MARCO 
TEÓRICO 
APARTADO 1 
CONCLUSIONES 
 
APARTADO 2 
ANEXOS 
 
5 
 
La aplicación del material didáctica se instrumentó frente a grupo de alumnos en el 
CCH plantel Vallejo. Estos alumnos cursan el cuarto semestre del bachillerato, con 
una edad que oscila entre 15-17 años. Su nivel económico es medio-bajo, el 
19.4% tiene ingresos de 4 a menos de 6 salarios mínimos, el 40.7% tiene ingresos 
de 2 a menos de 4 salarios mínimos y el 20.1% tiene ingresos de menos de 2 
salarios mínimos. 28.6% de los padres de los alumnos cuentan con licenciatura, el 
22.8% de las madres cuenta con licenciatura. En la mayoría de las familias (75%) 
ambos -padres contribuyen al sostén económico. 95.2% de los estudiantes viven 
con sus padres y 2.9% con otros familiares. El 12.8% de estudiantes trabaja. 
Muñoz Corona y Ávila Ramos (2012). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo1 
MARCO TEÓRICO 
 
En este capítulo se expone el marco teórico que sirve como base para la 
elaboración del material didáctico. Dicho marco es la teoría del aprendizaje 
significativo elaborada por David Ausubel y posteriormente enriquecida por otros 
autores. Además se describen las variables que intervienen en el aprendizaje 
significativo. 
 
7 
 
1.1. Necesidad de una teoría del aprendizaje 
El fundamento teórico para elaborar el material didáctico es una teoría del 
aprendizaje (la teoría del aprendizaje significativo). Las teorías del aprendizaje dan 
cuenta de la manera de cómo aprende el hombre. Al respecto Gagné (1987) indica 
Durante muchos años se ha investigado el proceso del aprendizaje mediante los 
métodos de la ciencia (labor llevada a cabo principalmente por los psicólogos). Como 
científico, el investigador del aprendizaje se interesa fundamentalmente en explicar la 
manera cómo tiene lugar el aprendizaje. Para esto, elabora generalmente teorías 
acerca de las estructuras y los hechos que producen la notable conducta que puede 
observarse directamente como “acto de aprendizaje”. De estas teorías deducen 
ciertas consecuencias que pueden someter a prueba mediante observaciones 
controladas. Los aspectos de la teoría del aprendizaje que atañen a la enseñanza son 
los relacionados con hechos y condiciones controlables. (p.122) 
 
Ausubel (1983) nos indica que no es suficiente con que se conozca la materia de 
estudio para enseñar con eficiencia un tema dado: 
Con un conjunto de principios psicológicos, el profesor ingenioso puede improvisar 
soluciones a problemas nuevos en el momento en que surjan, en lugar de aplicar 
ciegamente reglas empíricas. Es con base en una teoría del aprendizaje como 
podemos establecer nociones defendibles de la manera como los factores decisivos 
de la situación de aprendizaje-enseñanza pueden manipularse efectivamente. (pp. 20-
27). 
 
1.2. La teoría de la asimilación como base del aprendizaje significativo 
El aprendizaje significativo se basa en la teoría de la asimilación que es una teoría 
cognoscitiva del aprendizaje, dicha teoría indica que la nueva información es 
vinculada a los aspectos relevantes y preexistentes en la estructura cognoscitiva, y 
en el proceso se modifican la información recientemente adquirida y la estructura 
preexistente. La teoría de la asimilación al igual que otras teorías rechaza la idea 
de que no se debe especular con lo que pasa en el interior de la mente cuando 
ocurre el aprendizaje ya que dichas teorías indican que sólo basta observar la 
conducta cuando se aplican estímulos para observar los aprendizajes. Esta teoría 
toma en cuenta procesos cognitivos internos como son los procesos de inclusión, 
el aprendizaje supraordinado y el aprendizaje combinatorio. La asimilación de 
 
8 
 
significados ocurre cuando la interacción del nuevo material a aprender tiene una 
interacción con la estructura cognoscitiva existente dando lugar a una estructura 
cognoscitiva más altamente diferenciada. La figura 1.1. muestra las formas de 
aprendizaje significativo según la teoría de la asimilación. 
1. Aprendizaje subordinado: Idea establecida 
A. Inclusión derivativa A 
 
 
 
 
 Nueva → a5 a1 a2 a3 a4 
En la inclusión derivativa, la nueva información a, es vinculada a la idea superordinada A y 
representa otro caso o extensión de A. No se cambian los atributos de criterio del concepto A, 
pero se reconocen nuevos ejemplos como relevantes. 
B. Inclusión correlativa Idea establecida 
 X 
 
 
 
 
 Nueva → y u v w 
En la inclusión correlativa, la nueva información 𝑦 es vinculada a la idea x, pero es una extensión, 
modificación o limitación de X. Los atributos de criterio del concepto incluido pueden ser 
extendidos o modificados con la nueva inclusión correlativa. 
2. Aprendizaje superordinado: Idea nueva A → A 
 
 
 
 Ideas establecidas a1 a2 a3 
En el aprendizaje superordinado, las ideas establecidas 𝑎1, 𝑎2𝑦 𝑎3 se reconocen como ejemplos 
más específicos de la idea nueva A y se vinculan a A. la idea superordinada A se define mediante 
un conjunto nuevo de atributos de criterio que abarcan las ideas subordinadas. 
3. Aprendizaje combinatorio: Idea nueva A → B – C – D 
 Ideas establecidas 
En el aprendizaje combinatorio, la idea nueva A es vista en relación con las ideas existentes B, C 
y D, pero no es más inclusiva ni más específica que las ideas B, C y D. En este caso, se considera 
que la nueva idea A tiene algunos atributos de criterio en común con las ideas preexistentes. 
4. Teoría de la asimilación: 
La nueva información es vinculada a los aspectos relevantes y preexistentes en la estructura 
cognoscitiva, y en el proceso se modifican la información recientemente adquirida y la estructura 
preexistente. Todas las formas anteriores de aprendizajes son ejemplos de asimilación. En 
esencia, la mayor parte del aprendizaje significativo consiste en la asimilación de nueva 
información. 
Figura 1.1. Formas de aprendizaje significativo según la teoría de la asimilación. 
Fuente: Ausubel, D. P. (1983). Psicología Educativa: Un punto de vista cognoscitivo (2a. ed.). 
pág. 71. México: Trillas. 
 
9 
 
La inclusión es el proceso de relacionar la información nueva con la información 
que existe en la estructura cognoscitiva. La figura 1.2. muestra el proceso de 
inclusión. 
 
 
 
 
 
Figura 1.2. Proceso de inclusión. 
 
Cuando las ideas inclusivas se establecen en la estructura cognoscitiva se pueden 
observar las siguientes ventajas: 
1. Tienen pertinenciadirecta para las posteriores tareas de aprendizaje. 
2. Se interpretan detalles factuales con gran fuerza explicatoria y que son 
potencialmente significativos. 
3. Se logra un afianzamiento más firme para los significados recién aprendidos. 
4. Se integran los componentes del conocimiento nuevo con el existente lo que 
organiza nuevos hechos relacionados de un tema común. 
 
1.3. Aprendizaje significativo 
Sobre el aprendizaje significativo Ausubel (1983) indica: “El aprendizaje 
significativo comprende la adquisición de nuevos significados y, a la inversa, éstos 
son productos del aprendizaje significativo. Esto es, el surgimiento de nuevos 
significados en el alumno refleja la consumación de un proceso de aprendizaje 
significativo” (p. 48). Cuando un referente (objeto real que alude al símbolo) dado 
significa realmente algo para un alumno recibe el nombre de significado. Esta es la 
base para la adquisición de nuevo conocimiento, de nuevos significados, las 
nuevas proposiciones las relacionará de modo no arbitrario sino sustancial con 
esa idea base contenida en su estructura cognoscitiva. 
Al respecto Coll (1990) indica 
En términos piagetianos, podríamos decir que construimos significados integrando o 
asimilando el nuevo material de aprendizaje a los esquemas que ya poseemos de 
Información 
Existente en la estructura 
cognitiva del aprendiz. 
Información nueva 
 
10 
 
comprensión de la realidad. Lo que presta un significado al material de aprendizaje es 
precisamente su asimilación, su inserción, en estos esquemas previos. En un caso 
límite, lo que no podemos asimilar a ningún esquema previo carece totalmente de 
significado para nosotros. (p. 194) 
 
Existen dos etapas para que el alumno adquiera un significado: 
1. Percepción. El alumno percibe lo que tiene que aprender, percibe el mensaje 
potencialmente significativo. 
2. Cognición. El alumno entiende lo que percibe, incorpora el contenido a la 
estructura cognitiva. 
El proceso para integrar las ideas menos inclusivas a las más inclusivas es el 
siguiente: primero se procesa la información menos inclusiva (hechos y 
proposiciones subordinados) y segundo ésta es subsumida o integrada por las 
ideas más inclusivas (conceptos y proposiciones supraordinadas). 
El aprendizaje significativo puede darse de dos maneras, por recepción y por 
descubrimiento. 
 Aprendizaje por recepción. 
 El contenido se le da al alumno, él sólo se da a la tarea de 
Aprendizaje relacionarlo con su estructura cognitiva. 
Significativo Aprendizaje por descubrimiento. 
 Antes de la asimilación de contenidos, el alumno debe 
 descubrirlos de manera autónoma o guiada. 
 
Las relaciones entre los aprendizajes por recepción y descubrimiento con respecto 
a los aprendizajes significativo y memorístico se muestran en la figura 1.3. 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
 
Aprendizaje Clarificación de relaciones Instrucción audiotutorial Investigación científica. 
Significativo entre conceptos bien diseñada (música o arquitectura 
 Innovadoras 
 
 Conferencias o Trabajo escolar investigación más 
 presentaciones de la en el laboratorio rutinaria o producción 
 mayor parte de los intelectual 
 libros de textos 
 
 
 
Aprendizaje Tablas de multiplicar Aplicación de formulas Soluciones de acertijos 
por repetición para resolver problemas por ensayo y error 
 
 Aprendizaje por Aprendizaje por Aprendizaje por 
 recepción descubrimiento guiado descubrimiento autónomo 
 
Figura 1.3. Aprendizajes por recepción y por descubrimiento. 
Estos se hallan en un continuo separado del aprendizaje por repetición y el aprendizaje significativo. Fuente: 
Ausubel, D. P. (1983). Psicología Educativa: Un punto de vista cognoscitivo (2a. ed.). pág. 35. México: Trillas. 
 
Antiguamente se creía que el aprendizaje significativo se podía dar sólo por 
descubrimiento, no obstante también se puede dar por recepción, ambos pueden 
ser significativos. Los aprendizajes por recepción y por descubrimiento no sólo 
pueden ser significativos también pueden ser memorísticos. 
Sobre el aprendizaje significativo y el repetitivo (memorístico) Díaz Barriga (2010) 
nos indica: “El aprendizaje significativo es más importante y deseable que el 
aprendizaje repetitivo (memorístico) en lo que se refiere a situaciones académicas, 
ya que el primero posibilita la adquisición de grandes cuerpos integrados de 
conocimiento que tengan sentido y relación” (p. 30) 
 
1.4. Condiciones para que se dé el aprendizaje significativo 
Para que ocurra el aprendizaje significativo deben cumplirse dos condiciones: 
1. La naturaleza del material. 
El material debe ser potencialmente significativo, debe tener: 
a) Relacionabilidad no arbitraria (intencionado) significa que el material o 
contenido de aprendizaje no se realiza al azar, tiene una intencionalidad para ser 
insertado en la estructura cognoscitiva del alumno. 
 
12 
 
b) Relacionabilidad sustancial (no al pie de la letra) significa que al ser el material 
no arbitrario, un mismo concepto o proposición puede expresarse de similar 
manera y deben seguir comunicando el mismo significado. 
 
Ausubel (2002) sostiene que la primera condición indica que el material de 
instrucción (tarea de aprendizaje) se relacione con un contenido existente y 
específicamente pertinente de la estructura cognitiva del alumno, esta puede ser 
una imagen, un símbolo, un concepto, una proposición o con ideas en su 
estructura de conocimiento. 
 
2. Una actitud favorable por parte del alumno hacia el aprendizaje 
significativo. 
El alumno debe responsabilizarse de su propio aprendizaje, debe tener una actitud 
favorable (intencionalidad) hacia el nuevo contenido que va a aprender, no debe 
caer en la idea que sólo va a memorizar el nuevo material. Si el alumno tiene una 
actitud favorable hacia el aprendizaje significativo logrará variadas y múltiples 
relaciones entre lo nuevo y lo previo. 
 
Posada (s. f.) nos indica que también son necesarias las experiencias previas 
(factores inclusores) ya que si no están éstas presentes faltaría un entorno 
experiencial del individuo (que originó las ideas alternativas), aunque existan las 
ideas inclusoras, el alumno puede imaginar que está trabajando en un ambiente 
alejado de la realidad, alejado de la experiencia cotidiana y puede no asociar lo 
que ya sabe con el nuevo conocimiento. Los factores inclusores lograrán cambios 
conceptuales más efectivos. 
 
1.5. Variables del aprendizaje en el aprendizaje significativo 
Las variables de aprendizaje son aquellas que influyen en el aprendizaje en el 
salón de clase. Sobre este punto Gagné (1967) apunta 
Las variables externas no pueden ejercer efectos sin que existan en el alumno ciertos 
estados resultantes de la motivación, del aprendizaje previo y del desarrollo. Tampoco 
las capacidades internas por sí mismas pueden generar el aprendizaje sin la 
 
13 
 
estimulación proporcionada por eventos externos […] Como problema de 
investigación, el del aprendizaje consiste en hallar las relaciones necesarias que 
deben obtenerse entre las variables internas y las externas para que ocurra un cambio 
de capacidad. La enseñanza puede concebirse como el establecimiento y el arreglo 
de las condiciones externas del aprendizaje de manera que interactúen en grado 
óptimo con las capacidades internas del alumno, a fin de que se produzca un cambio 
en estas capacidades.(p. 295) 
 
En el aprendizaje significativo las variables que influyen en el aprendizaje se 
clasifican de la siguiente manera: 
 
 Categorías intrapersonales (factores internos del alumno) 
 - Estructura cognoscitiva 
 - Disposición del desarrollo 
 - Capacidad intelectual 
 - Factores motivacionales y actitudinales 
Variables - Factores de la personalidad 
del Categorías situacionales (factores de la situación de 
aprendizaje aprendizaje) 
 - Materiales didácticos 
 - Organizadores gráficos (diagrama de llaves y mapas 
 conceptuales) 
 - Registro de representaciones semióticas 
 - Tipos de aprendizajes 
 - Características del profesor 
 - El lenguaje 
 - La práctica (repetición de la tarea de aprendizaje) 
 - El salón de clases 
Figura 1.4. Variables de aprendizaje de la teoría del aprendizaje significativo. 
 
A continuación se describen algunas variables que intervienen en el aprendizaje 
significativo. 
 
 
14 
 
1.5.1. Materiales didácticos 
Moreno (2004) indica que “los materiales didácticos son los productos diseñados 
para ayudar en los procesos de aprendizaje”. Son un apoyo para profesor y 
alumno en el proceso enseñanza-aprendizaje. En varias situaciones de la 
enseñanza es necesario emplear materiales didácticos como apoyo para que el 
alumno obtenga los aprendizajes esperados, ya sea materiales impresos, físicos o 
tecnológicos. El profesor tiene la tarea de elegir o elaborar los materiales 
didácticos acordes a la tarea educativa a desarrollar. Fragoso (2012) indica las 
funciones del material didáctico: 
• enriquecer la experiencia sensorial del alumno. 
• orientar la atención, sugerir, dosificar una información. 
• guiar el pensamientos. 
• evocar una respuesta o propiciar su trasferencia. 
• estimular la imaginación y capacidad de abstracción. 
La misma autora nos indica que los materiales didácticos se agrupan en: 
a. Soporte papel: Libros de divulgación, de texto, de consulta, de información, de 
información y actividades, de actividades diversas; cuadernos de ejercicios, 
autocorrectivos; diccionarios, enciclopedias; carpetas de trabajo, folletos, guías, 
catálogos, etc. 
b.Técnicas blandas: Pizarras, rotafolio, paneles, carteles, franelogramas, 
maqueta, etc. 
c. Audiovisuales y medios de comunicación: 
• Sistemas de audio: reproducción, grabación, radio, televisión, vídeo. 
• Imagen: fotografía, diapositivas, retroproyección, vídeo, televisión, cine. 
• Sistemas mixtos: prensa escrita, fotonovelas, fotorrelatos, revistas, carteles, 
diaporamas (diapositiva y grabación sonora). 
d. Sistemas informáticos: 
• Paquetes integrados (procesadores de texto, bases de datos, hojas de cálculo, 
presentaciones, etc.), programas de diseño y fotografía, hipertextos e hipermedia, 
sistemas multimedia, sistemas telemáticos, redes, internet, correo electrónico, 
chat, videoconferencia, etc. 
 
15 
 
Al realizar un material didáctico hay que tomar en cuenta que un factor muy 
decisivo que influye en el aprendizaje son los conocimientos previos del alumno. 
La teoría del aprendizaje significativo sugiere en este punto la construcción de 
organizadores previos (armazón ideativa que hace mejorar la discriminalidad del 
material nuevo con respecto a las ideas ya establecidas en la estructura 
cognoscitiva del alumno), estos organizadores se deben construir de tal manera 
que en ellos se inserten las ideas más generales a las más específicas. Los 
conceptos o proposiciones principales se deben presentar al principio del tema de 
modo que sirvan para afianzar los conocimientos posteriores. Las tareas de 
aprendizaje insertadas en el material didáctico indican qué hacer, de qué manera y 
en qué orden, utilizando enunciados-textos cuya finalidad es lograr que el 
estudiante ejecute una acción determinada, sobre este punto Gagné y Briggs 
(1974) especifican que se debe comenzar con las tareas de aprendizaje más 
sencillas, aquéllas que se muestran en la base de la jerarquía y posteriormente y 
avanzar secuencialmente hasta las más complejas. 
El material didáctico diseñado en este trabajo, cuya finalidad es coadyuvar a los 
alumnos para que obtengan los aprendizajes sobre el tema de función exponencial 
es un material impreso cuya base teórica es la teoría del aprendizaje significativo, 
dicho material se desarrolla en la unidad 3. 
 
Figura 1.5. Material didáctico impreso diseñado en este trabajo. 
 
16 
 
1.5.2. Organizadores Gráficos (diagrama de llaves y mapas conceptuales) 
Díaz Barriga (2010) indica que “un organizador gráfico consiste en 
representaciones visuales que comunican la estructura lógica del material 
instruccional que va a aprenderse” (pág. 140). Son muy empleados en las 
estrategias de enseñanza ya que resumen el conocimiento. Algunas de las 
ventajas es que mejoran los procesos cognitivos de recuerdo y comprensión. 
Preciado Rodríguez (s. f.) enlista algunas ventajas de los organizadores gráficos: 
1.- Ayudan a enfocar lo que es importante porque resaltan conceptos y 
vocabulario que son claves y las relaciones entre éstos, proporcionando así 
herramientas para el desarrollo del pensamiento crítico y creativo (BROMLEY, 
IRWIN DE VITIS, MODLO, 1995). 
2.- Ayudan a integrar el conocimiento previo con uno nuevo. 
3.- Motivan el desarrollo conceptual. 
4.- Enriquecen la lectura, la escritura y el pensamiento. 
5.- Promueven el aprendizaje cooperativo. 
6.- Se apoyan en criterios de selección y jerarquización, ayudando a los 
aprendices a “aprender a pensar”. 
7.- Ayudan a la comprensión, remembranza y aprendizaje. 
8.- El proceso de crear, discutir y evaluar un organizador gráfico es más 
importante que el organizador en sí. 
9.- Propician el aprendizaje a través de la investigación activa. 
10.- Permiten que los aprendices participen en actividades de aprendizaje que 
tienen en cuenta la zona de desarrollo próximo, que es el área en el que ellos 
pueden funcionar efectivamente en el proceso de aprendizaje (Vigotsky, 1962). 
11.-Sirven como herramientas de evaluación. 
 
El diagrama de llaves es un organizador gráfico que contiene información en 
forma jerárquica de izquierda a derecha. Es muy utilizado en temas que tienen 
varias clasificaciones y favorece el ejercicio de la memoria visual. 
La figura 1.5. nos indica como elaborar un diagrama de llaves. 
 
 
17 
 
 - Idea principal - Idea complementaria 
 
Idea general - Idea principal - Idea complementaria 
 
 - Idea principal - Idea complementaria 
 
Figura 1.6. Diagrama de llaves. 
Fuente: Diplomado: “Aplicación de Nuevas Tecnologías en la Educación Superior en Salud” (1ra v., 2011) 
Facultad de Medicina – UMSS. De 
http://ticmedicina.wikispaces.com/file/view/Lectura+sobre+Organizadores+Gr%C3%A1ficos.pdf 
 
Novak (2006) define un mapa conceptual como “una técnica (estrategia, 
herramienta o recurso) para presentar y organizar el conocimiento empleando 
conceptos y frases de enlaces entre estos conceptos” (pág. 1). Las ventajas en el 
alumno al construir mapas mentales son: 
 Obtiene aprendizajes más profundos, no únicamente de memoria o 
superficialmente, aprende a aprender. 
 Logra tener su conocimiento organizado. Construye estructuras cognitivas más 
solidas. Los conceptos se solidifican y se entienden. 
 Se fomenta la creatividad. 
 Se adquieren aprendizajes significativos. 
 
1.5.3. Registro de representacionessemióticas 
Según Martínez Mediano (2009) un objeto matemático designa las cosas 
(elementos) que se emplean en las matemáticas. Existen objetos aritméticos, 
geométricos, del análisis, de la estadística entre otros. Por ejemplo: un número, un 
ángulo, una recta, un intervalo, un diagrama de barras, un paréntesis, el signo de 
igualdad o cualquier otro símbolo, una ecuación o un exponente, se consideran 
objetos matemáticos. Las matemáticas se desarrollan en un contexto simbólico. 
Por registro de representación entendemos a un sistema de signos utilizados para 
representar una idea u objeto matemático y que además cumple con las siguientes 
características: es identificable, permite el tratamiento, esto es, la manipulación y 
transformación dentro del mismo registro y, por último, permite la conversión, 
consistente en la transformación total o parcial en otro registro. 
 
18 
 
D’ Amore (2004) afirma 
El sujeto que aprende debe comprometerse en algo que necesariamente lo lleve a 
simbolizar. Se trata de una necesidad típicamente humana, ¡la única sobre la cual 
todos los autores concuerdan! […] Se puede decir más: que el conocimiento es la 
intervención y el uso de los signos. (pág. 8) 
Las características para la adquisición conceptual de dichos objetos matemáticos 
son: 
1. El uso de más registros de representación semiótica es típica del pensamiento 
humano. 
2. La creación y el desarrollo de sistemas semióticos nuevos es símbolo (histórico) 
de progreso del conocimiento. 
Existen tres tipos de actividades cognitivas ligadas a la semiótica: 
1. Representación de un registro dado. 
2. Tratamiento de una representación al interior de un mismo registro. Los 
sistemas semióticos son utilizados para operar es decir para el tratamiento. 
3. Conversión de la representación de un registro a otro. Sobre este punto Duval 
(2006) escribe “la conversión sería el resultado de la compresión conceptual y 
cualquier problema con la conversión sería indicativo de conceptos erróneos” 
(pág. 157). Este tercer punto es de gran utilidad para el profesor ya que se da 
cuenta cuando el alumno obtuvo el aprendizaje esperado. 
Mientras más registros de representaciones semióticas sean utilizados más fuerte 
será la construcción de los conceptos matemáticos. 
El profesor es el responsable de tener una didáctica para que los registros de 
representaciones tengan un aprovechamiento en el alumno. Sobre el papel que 
desempeña el profesor en el aprendizaje de los alumnos D’ Amore (2004) 
distingue dos tipos: 
 En el primer caso el maestro funge como mediador entre alumno y saber y 
hace que el primero sea activo: consagra las elecciones y los 
“descubrimientos” del alumno quien fue el que construyó. 
 En el segundo caso el maestro funge de mediador totalitario y hace que el 
alumno sea un sujeto pasivo: le pide fe ciega, le promete enseñanza de 
 
19 
 
habilidades y capacidades futuras que nunca llegarán. El alumno cesa de 
construir, cesa de aprender. 
Sobre el trabajo del profesor, Duval (2006) afirma 
La mayoría de los profesores están de acuerdo en que es importante que los 
estudiantes usen tanto símbolos como figuras, representen modelos espaciales y 
numéricos, e identifiquen el mismo patrón en diferentes representaciones y contextos. 
Pero el tipo principal es saber cuáles son los tipos de tareas y actividades para lograr 
este propósito. (pág. 159) 
 
1.5.4. Tipos de aprendizajes 
Los aprendizajes proporcionados al alumno en el material didáctico son 
procedimentales, actitudinales y declarativos. 
Aprendizajes 
Procedimental El saber hacer o saber procedimental es aquel 
conocimiento que se refiere a la ejecución de 
procedimientos, estrategias, técnicas, habilidades, 
destrezas, métodos, etc. Podríamos decir que a 
diferencia del saber qué, que es declarativo y 
teórico, el saber procedimental es práctico, porque 
está basado en la realización de varias acciones u 
operaciones. 
Actitudinal Una actitud es una disposición o tendencia para 
actuar de manera congruente en diferentes 
circunstancias. (tolerancia, el respeto al punto de 
vista del otro, solidaridad, colaboración, equidad de 
género, etc.) 
Declarativo 
El saber qué. 
Es un saber 
que se dice, 
que se 
declara o 
Factual 
 
Es el que se refiere a datos y hechos que 
proporcionan información verbal y que los alumnos 
deben aprender en forma literal (al pie de la letra). 
Nombre de capitales, formulas químicas, nombres 
de épocas históricas, títulos de novelas, etc. 
 
 
20 
 
que se 
conforma por 
medio del 
lenguaje. 
Conceptual Se construye a partir del aprendizaje de conceptos, 
principios y explicaciones, los cuales no tienen que 
ser aprendidos de forma literal, sino a partir de 
abstracción de su significado esencial o por medio 
de la identificación de sus características definitorias 
y sus reglas intrínsecas. 
Figura 1.7. Aprendizajes procedimental, actitudinal y declarativo. 
 
1.5.5. Características del profesor 
Sobre el papel del profesor Ausubel (1983) indica: “el papel más importante y 
distintivo del profesor, en el salón de clase moderno, es el de ser director de las 
actividades de aprendizaje” (p. 432) 
El profesor es una de las variables más importantes en el proceso de aprendizaje. 
Según Ausubel (1983) los tres puntos principales que se deben tomar en cuenta 
para que el profesor sea eficiente en el proceso de aprendizaje son: en primer 
lugar, el conocimiento sobre la materia, en segundo lugar, presentar y organizar 
con claridad la materia de estudio, explicar claramente las ideas y en tercer lugar 
comunicarse con sus alumnos para traducir su conocimiento a formas entendibles 
para el grado de madurez y experiencias previas que aquellos muestran. 
Además del conocimiento de la materia los siguientes puntos influyen para que el 
profesor sea eficiente: 
 Habilidad para enseñar, entusiasmo, imaginación, 
 No poseer personalidad inestable o destructiva. 
 Orientación motivacional hacia el aprendizaje de los alumnos. 
 Estimular y dirigir la actividad de los alumnos. 
 Amabilidad, justicia, imparcialidad, paciencia, entusiasmo, comprensión, 
servicio. 
Sears (1963) realizó pruebas que sugieren que la creatividad de los alumnos va en 
aumento cuando los profesores son cordiales y alentadores. Sobre los resultados 
que ejerce el profesor sobre el alumno Ausubel (1983) nos dice: 
 
21 
 
Es lógico que los profesores que manifiestan habilidad, imaginación y sensibilidad al 
organizar las actividades de aprendizaje y al manipular las variables de éste, 
promuevan superiores resultados de aprendizaje en sus alumnos. Después de todo, 
esta capacidad es característica central del proceso de enseñanza y, por tanto debiera 
ser índice clave de la competencia profesional en la enseñanza. (p. 434) 
 
El estilo de enseñar por medio de conferencia es sugerido cuando la proporción 
entre profesores y estudiantes es muy grande, en el caso contrario se sugiere el 
método de discusión donde el requisito es que el estudiante tenga los 
conocimientos previos sobre el tema, cuando este requisito no está presente la 
discusión se convierte en generalización sin sentido, trivialidad, compartimiento de 
ignorancia. Sobre este punto Ausubel (1983) indica “Aunque se cifre gran 
confianza en el método de conferencia es evidente la necesidad de algo de 
discusión para que los estudiantes reciban adecuada retroalimentación y para que 
el profesor averigüe si los alumnos comprenden el material” (p. 437). 
Con respecto a la intervención del maestro, Pozo (2001) dice: 
Los maestros sólo pueden intervenir sobre las condiciones en que los alumnos aplican 
sus procesos incrementando indirectamente las probabilidades de que estén 
motivados, atiendan, adquieran, recuperen, etc., pero, afortunadamente o 
desdichadamente, no pueden incidir directamente en esos mismos procesos (el 
maestro puedeayudar a que los aprendices este motivados, atiendan o recuperen un 
conocimiento, pero no pueden motivar ni atender ni recuperar por ellos). (p. 114) 
Un aprendizaje es significativo cuando el alumno entiende el porqué de la 
situación, para que esto ocurra se debe cumplir que “el profesor, que trabaja con 
el alumno, ha explicado, suministrado información, interrogado, corregido y hecho 
que el alumno explique Vigosky (1962)” (Ausubel, 1983, p.107) 
 
1.5.6. El lenguaje 
Ausubel (1983) indica que el lenguaje es un facilitador importante de los 
aprendizajes significativos. Aumenta el manejo de conceptos y proposiciones por 
medio de las propiedades representacionales de la palabra, refina los 
conocimientos subverbales surgidos del aprendizaje significativo clarificando tales 
significados y los hace más precisos y transferibles. 
 
22 
 
1.5.7. La práctica (repetición de la tarea de aprendizaje) 
La práctica es la repetición de la tarea de aprendizaje. 
Las ventajas de la repetición de la tarea de aprendizaje son las siguientes: 
 La práctica afecta el aprendizaje y la retención modificando la estructura 
cognitiva. 
 La repetición es necesaria para la retención a largo plazo de significados 
claros, aumenta la fuerza de los enlaces asociativos de los materiales de 
enseñanza con los conceptos en la estructura cognoscitiva. 
 La repetición con que se revisa el material es importante para el dominio de la 
tarea de aprendizaje y para el aprendizaje de tareas nuevas. La revisión 
temprana del material proporciona un afianzamiento en la estructura 
cognoscitiva del alumno, realizando una consolidación, retroalimentación y 
sensibilización en relación con el material. Con respecto a la revisión 
(frecuencia) Ausubel (1983) comenta: 
Faltando disposición para el aprendizaje significativo, [ni aún con] material con 
significado potencial, esfuerzo y atención suficiente, intentos activos por entender, 
intención de integrar el conocimiento y de volver a formularlo en términos propios, y 
pertinencia, retroalimentación e intención (cuando esto sea necesario para el 
aprendizaje), ninguna cantidad de frecuencia [repetición de la tarea] por sí sola podrá 
producir cantidades considerables de aprendizaje significativo. (p. 284) 
La revisión es más efectiva cuando se enfoca a resolver los errores iníciales de 
comprensión detectados, en vez de revisar nuevamente toda la tarea de 
aprendizaje. 
 
1.5.8. El salón de clases 
La disciplina debe permanecer en el salón de clases en contraste con la conducta 
permisiva en exceso. Los alumnos llevan a la práctica un conjunto de reglas que 
permiten que el trabajo avance ordenada y eficazmente. 
Bruner (1997) aclara que para que se den los significados en el ser humano, éste 
tiene que relacionarse con la sociedad, los significados no se dan aisladamente: 
“Aunque los significados están <<en la mente>>, tienen sus orígenes y sus 
significado en la cultura en que se crean” (p. 21) 
 
23 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Capítulo 2 
SECUENCIA DIDÁCTICA, 
CARTAS DESCRIPTIVAS 
Y MATERIAL DIDÁCTICO 
 
Este capítulo contiene la secuencia didáctica, las cartas descriptivas y el material 
didáctico. Estos apartados llevan los elementos del marco teórico para que el 
alumno obtenga los aprendizajes indicados en el plan de estudios. 
Una vez desarrollados, en los capítulos anteriores, el planteamiento del problema 
y el marco teórico, ahora nos daremos a la tarea de construir un plan instruccional 
(análisis de las necesidades y metas educativas a cumplir). Dicho plan contendrá 
los tres apartados antes mencionados. 
 
24 
 
2.1. Importancia del plan instruccional 
Sobre la importancia y necesidad del diseño de una instrucción didáctica, basada 
en una teoría y no en la subjetividad Kemp (1972) indica: 
En tiempos anteriores, los planes para diseño de curriculum y la instrucción didáctica 
se desarrollaban principalmente a base de intuición y se basaban muchas veces en 
objetivos ambiguos y en criterios casuales subjetivos. Pero los nuevos conocimientos 
adquiridos en los últimos años sobre como aprenden los alumnos, los progresos de 
los nuevos materiales pedagógicos y la mayor flexibilidad potencial para ampliar los 
métodos de enseñanza y aprendizaje, han impulsado a los educadores a explorar 
nuevos horizontes para mejorar el planeamiento de los cursos y el aprovechamiento 
del estudiante (p.15) 
 
El diseño de la secuencia didáctica se basa en “El plan de diseño instruccional” 
propuesto por Jerrold Kemp, dicho plan consta de ocho etapas (Figura 2.1). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.1. Componentes del plan instruccional propuesta por Kemp. 
Fuente: Kemp, J. (1972). Planteamiento didáctico. México: Diana. 
 
 
Fines generales 
Características de los estudiantes 
Objetivos didácticos (de aprendizaje) 
Temario 
Actividades y recursos didácticos 
Evaluación 
Prueba previa 
Servicios 
auxiliares 
 
25 
 
El mismo autor nos indica que este diseño es flexible, se puede reorganizar de 
acuerdo a las condiciones particulares del curruculum, del programa de estudios y 
las necesidades del instructor con el fin de mejorar el aprovechamiento del 
alumno. En consecuencia, haciendo una adaptación a nuestros objetivos y 
necesidades con base en el plan de estudios del plantel donde se implementará la 
secuencia didáctica, nuestro plan instruccional queda definido de la siguiente 
forma: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Figura 2.2. Componentes del plan instruccional adaptado al plan de estudios del CCH. 
 
A continuación describiremos cada elemento del plan instruccional. 
 
 
2.2. Programa de estudios 
La secuencia didáctica se diseñó teniendo como base el actual programa de 
estudios de matemáticas del CCH, que fue actualizado en el año 2004. 
 
Programa de estudios de matemáticas IV del CCH 
Ubicación del tema en el programa de estudios 
Tiempo utilizado para la secuencia didáctica 
Aprendizajes 
Secuencia didáctica, cartas descriptivas y 
material didáctico 
Propósito de la unidad 
 
26 
 
 
Figura 2.3. Programa de estudios de matemáticas del CCH (2004) 
Universidad Nacional Autónoma de México. Colegio de Ciencias y Humanidades. (2004). Programa de 
Estudios de Matemáticas. Semestres I al IV. Área de Matemáticas. 
 
2.3. Ubicación del tema. Nuestro tema a desarrollar: Función Exponencial se 
encuentra ubicado en el cuarto semestre del programa de estudios, cuarta unidad. 
 
Figura 2.4. Secuencia de unidades por semestre. 
Fuente: Universidad Nacional Autónoma de México. Colegio de Ciencias y Humanidades. (2004). Programa 
de Estudios de Matemáticas. Semestres I al IV. Área de Matemáticas. 
 
27 
 
2.4. Tiempo utilizado para la implementación de la secuencia didáctica. Se 
observa en la secuencia de unidades por semestre (tabla 2.1) que el tiempo 
destinado al tema de funciones exponenciales y logarítmicas, consta de 20 horas, 
los tiempos se dividen de la siguiente forma: 
 
 Tiempo (horas) 
Tema 4: 
Funciones 
Exponenciales 
y Logarítmicas. 
(20 horas) 
Funciones exponenciales 
crecientes y decrecientes 
(10 horas) 
10 
Funciones logarítmicas 
(10 horas) 
10 
Figura 2.5. Distribución del tiempo para el tema 4: Funciones exponenciales y Logarítmicas. 
 
2.5. Propósito de la unidad. El propósito de la unidad del tema funciones 
exponenciales tomado del programa de estudios es el siguiente: “Continuar el 
estudio de las funciones trascendentes con las funciones exponenciales y 
logarítmicas, cuya forma peculiar de variación, permite modelar diversas 
situaciones de crecimiento y decaimiento. Introducir la noción de función inversa. 
Reforzar la identificación de dominio y rango de una función, así como la relación 
entre parámetros y gráfica”. 
 
2.6. Aprendizajes esperados. Los aprendizajes que están contenidos en el 
programa de estudios y qué se pretende logre el alumno son lossiguientes: 
 Explora en una situación o fenómeno que presente crecimiento o decaimiento 
exponencial, las relaciones o condiciones existentes y analiza la forma en que 
varían los valores de la función respectiva. 
 Reconoce que en este tipo de situaciones, para valores de x igualmente 
espaciados, son constantes las razones de los val 
 Identifica que en la regla de correspondencia de las funciones que ores 
correspondientes de f(x).modelan este tipo de situaciones, la variable ocupa el 
lugar del exponente. 
 
28 
 
 Obtiene, mediante el análisis de las condiciones de una situación o problema o 
bien del estudio del comportamiento de algunos valores que obtenga, la 
expresión algebraica f(x) = a*bx que le corresponda. 
 Explica por qué la base a debe ser mayor que 1, en las funciones del tipo f(x) = 
ax y f(x) = (1/a) x. 
 Recuerda el significado de un exponente negativo, y lo utilizará para manejar la 
equivalencia entre 𝑓(𝑥) = (
1
𝑎
)
𝑥
 𝑦 𝑓(𝑥) = 𝑎? 𝑥 
 Proporciona el dominio y el rango de una función exponencial dada. 
 Traza la gráfica de algunas funciones exponenciales como: 2x, 3x, 10x, ex. Les 
aplica las modificaciones pertinentes que produzcan, en la gráfica, 
traslaciones horizontales y verticales. 
 Compara el comportamiento entre funciones exponenciales y funciones 
potencia. (2X con x2 o con x3 por ejemplo). Obtiene conclusiones al respecto. 
 Identifica que en f(x) = ax (con a>1) un exponente positivo indica crecimiento 
exponencial, mientras que uno negativo, habla de decaimiento. Interpreta este 
hecho tanto en la gráfica de la función como en el contexto de la situación 
dada. 
 Aplica los conocimientos adquiridos respecto a funciones exponenciales, para 
modelar algunas situaciones de diversos contextos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
29 
 
2.7. Secuencia didáctica. 
Peris (2008) en su diccionario de términos clave define una secuencia didáctica 
como “una serie ordenada de actividades relacionadas entre sí. Esta serie de 
actividades, que pretende enseñar un conjunto determinado de contenidos 
(aprendizajes), puede constituir una tarea, una lección completa o una parte de 
ésta.” 
 
2.7.1. Cartas descriptivas. Las cartas descriptivas son un plan de clases, en 
nuestro diseño servirán como orientación para la impartición de las sesiones. 
Sobre las cartas descriptivas Haro del Real (1994) nos indica: 
 
Las cartas descriptivas son la evidencia, la constatación de que el curso ha sido 
concebido y preparado en la perspectiva pertinente, de acuerdo con los educandos, la 
naturaleza de la materia misma, el currículum, la orientación pedagógica institucional, 
el enfoque de la profesión y las necesidades socioeconómicas. Sin cartas 
descriptivas, no se sabe qué se pretende que suceda en el aula. Las cartas 
descriptivas son una guía para orientar los cursos de una manera planeada, aunque 
flexible, hacia un rumbo determinado y con un método definido. (p.2) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
30 
 
2.7.2. Distribución de las sesiones 
 
Figura 2.6. Aprendizajes por sesión. 
 
 
I. DATOS GENERALES 
AUTOR DE LA 
PLANEACIÓN 
Otoniel Martínez González SEMESTRE ESCOLAR Cuarto semestre 
ASIGNATURA Matemáticas IV 
(Cuarto semestre) 
UNIDAD TEMÁTICA UNIDAD 4: Función 
exponencial 
FECHA DE ELABORACIÓN Semestre 2015-2 FECHA DE APLICACIÓN Semestre 2015-2 
SEDE Y LUGAR DE LA 
SESIÓN 
CCH Vallejo 
Salón de clase 
GRUPO 423 B 
II. SESIÓN Y APRENDIZAJES 
Sesión Aprendizajes. El alumno: 
1 
“Aprendizajes 
previos” 
 Aplicación del pre-test 
 Describe aprendizajes previos que son útiles para el tema de función 
exponencial. 
2 
“Función 
exponencial 
creciente” 
 Explora en una situación o fenómeno que presente crecimiento exponencial, las 
relaciones o condiciones existentes y analiza la forma en que varían los valores 
de la función respectiva. 
 Reconoce que en este tipo de situaciones, para valores de x igualmente 
espaciados, son constantes las razones de los valores correspondientes de f(x). 
 Obtiene, mediante el análisis de las condiciones de una situación o problema o 
bien del estudio del comportamiento de algunos valores que obtenga, la 
expresión algebraica 𝑓(𝑥) = 𝑎 ∗ 𝑏𝑥 que le corresponda. 
 Identifica que en la regla de correspondencia de las funciones que modelan 
este tipo de situaciones, la variable ocupa el lugar del exponente. 
 Traza la gráfica de algunas funciones exponenciales. 
 Proporciona el dominio y el rango de una función exponencial dada. 
3 
“Función 
exponencial 
decreciente” 
 Trabaja con ejercicios de función exponencial decreciente que involucren los 
aprendizajes de la sesión 2. 
 Resume las características de la expresión tabular, gráfica y algebraica entre 
una función exponencial creciente y una decreciente. 
4 
“Análisis grafico 
de las funciones 
exponenciales” 
 Explica por qué la base b debe ser mayor que 1, en las funciones del tipo 
 𝑓(𝑥) = 𝑏𝑥 
 Identifica que en 𝑓(𝑥) = 𝑏𝑥 (con b>1) un exponente positivo indica 
crecimiento exponencial, mientras que uno negativo, habla de decaimiento. 
Interpreta este hecho tanto en la gráfica de la función como en el contexto de 
la situación dada. 
 Recuerda el significado de un exponente negativo. 
5 
“Ejercicios” 
 Trabaja con ejercicios que involucran aprendizajes de la sesión 1, 2, 3 y 4. 
6 
“Ejercicios y 
construcción de 
mapa 
conceptual” 
 Trabaja con ejercicios que involucran aprendizajes de la sesión 1, 2, 3 y 4. 
 Construye un mapa conceptual. 
7 
“Pos-test” 
 Aplicación del pos-test. 
 
31 
 
2.7.3. Distribución de horas por semana 
En cuanto a la distribución de horas por semana, las sesiones quedaron 
distribuidas de la siguiente manera: 
Lunes Martes Miércoles Jueves Viernes 
 
Sesión 1 
1 hora 
Sesión 2 
2 horas 
 
Sesión 3 
2 horas 
 
No hubo 
sesión 
Sesión 4 
2 horas 
 
Sesión 5 
2 horas 
 
Sesión 6 
1 hora 
Sesión 7 
2 horas 
 
 
Figura 2.7. Distribución de horas por semana. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
32 
 
2.7.4. Cartas descriptivas, Elementos del Marco teórico para el diseño del 
material didáctico y material didáctico de cada sesión. 
A continuación se realiza, para cada sesión, la carta descriptiva, los elementos del 
marco teórico en los cuales se basa el material didáctico y la elaboración del 
material didáctico. 
 
Sesión 1. Carta descriptiva 
 
 
Figura 2.8. Carta descriptiva sesión 1. 
 
 
 
 
 
SESIÓN 1 (1 de 7) “Aprendizajes previos” 
I. DATOS GENERALES 
AUTOR DE LA 
PLANEACIÓN 
Otoniel Martínez González SEMESTRE ESCOLAR Cuarto semestre 
ASIGNATURA Matemáticas IV UNIDAD TEMÁTICA Unidad 4: Función 
exponencial 
FECHA DE ELABORACIÓN Semestre 2015-2 FECHA DE APLICACIÓN Semestre 2015-2 
SEDE Y LUGAR DE LA 
SESIÓN 
CCH Vallejo 
Salón de clase 
TIEMPO DE LA SESIÓN 1 hora 
GRUPO 423 B, Turno matutino NÚMERO DE ALUMNOS 21 de 22 
II. MATERIALES Y RECURSOS 
PROFESOR: 
MATERIAL DIDÁCTICO IMPRESO, PIZARRÓN, MARCADORES, BORRADOR. 
ALUMNO: 
MATERIAL DIDÁCTICO IMPRESO, CALCULADORA, LÁPIZ. 
III. DESCRIPCIÓN DE ACTIVIDADES 
APRENDIZAJES 
El alumno: 
 Describe aprendizajes previos que son útiles para el tema de función exponencial. 
(Aprendizaje conceptual y factual) 
INICIO 
(10 MIN.) 
 El profesor indica la forma de trabajo, la forma de evaluar, el temario, el material a 
utilizar y la bibliografía. 
DESARROLLO 
(40 MIN.) 
 El profesor aplica el pre-test a los alumnos. Anexo 3 
CIERRE 
(10 MIN.) 
 Tarea: El alumno llena la tabla de conocimientos previos (función, notación f(x), 
variable, variable dependiente, independiente, exponente, dominio, rango, exponente y 
razón.). La tabla está contenida en la sesión 1 del material didáctico. 
IV. EVALUACIÓN 
 La evaluación sobre el pre-test se presenta en el capítulo 3: Análisis de resultados. 
 
33 
 
Sesión 1. Elementos del Marco teórico para el diseño del materialdidáctico 
Inicio 
El profesor indica a los alumnos la forma de trabajo que se llevará en las sesiones, 
los puntos a tocar son: temario, número y tema de las sesiones, bibliografía, 
material didáctico a utilizar, asistencia a clases y evaluación. Conforme a Ausubel 
(1983) y Coll (1990) es muy importante comentar con los alumnos la importancia 
que tiene la disposición por aprender, su actitud favorable hacia un aprendizaje 
significativo, no debe tener la idea de que sólo va a memorizar el nuevo material. 
También es muy importante comentarle sobre la disciplina que debe imperar en el 
salón de clases e indicarle que las tareas que se dejen al final de cada sesión 
servirán como repetición para afianzar los aprendizajes. Conforme a Ausubel 
(1983) y Pozo (2001) el profesor tiene como tarea planificar los materiales de 
enseñanza y ser mediador entre estos y los alumnos, por lo tanto indica que su 
trabajo es de apoyo y guía. Conforme a Gagné (1974) el orden de las actividades 
realizadas en las sesiones irán de las más sencillas a las más complejas. En las 
tres etapas de cada sesión (inicio, desarrollo y cierre) se hace partícipe al alumno 
en las actividades de aprendizaje y no sólo se le trata como un elemento 
receptivo. El profesor lee los aprendizajes para que los alumnos tengan claridad 
de cuál es el objetivo de la sesión. 
Desarrollo 
Se realiza el pre-test para compararlo con el pos-test que se aplicará en la sesión 
7 y así observar los aprendizajes obtenidos en el alumno a lo largo de las sesiones 
(el análisis de los resultados del pre-test y pos-test se realizará en el capítulo 3: 
Análisis de resultados). Ya que la sesión consta de una hora, este será el tiempo 
máximo para resolverlo. 
Cierre 
Al finalizar la sesión se le indica al alumno, que de tarea en casa, llene el cuadro 
sobre aprendizajes previos los cuales serán revisados en la siguiente sesión. 
Sobre el material didáctico, conforme a Díaz Barriga (2010) y Preciado Rodríguez 
(s. f.) al inicio de la sesión 1 se presenta un organizador gráfico (diagrama de 
llaves) que contiene las cuatro unidades del semestre, tres ya las han estudiado 
(funciones polinomiales, funciones racionales y con radicales y funciones 
trigonométricas), la cuarta es la que se comienza a estudiar (funciones 
exponenciales), esto con la intención de recordar las unidades anteriores y que se 
dé cuenta que existe una secuencia, una relación entre ellas, el organizador 
también le sirve para tener en su estructura cognitiva un “lugar” en donde vaya 
“colocando” nuevos aprendizajes. La intención de los aprendizajes previos es que 
el alumno comprenda los nuevos aprendizajes afianzándolos en su estructura 
cognitiva con base a los ya establecidos. 
 
 
 
34 
 
Sesión 1. Material didáctico 
Presentación. 
 Temario y sesiones 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Bibliografía: Rodríguez F. et al. Paquete 
Didáctico para Matemáticas IV. Guía del 
Profesor, CCH Oriente, UNAM, México, 2002. 
 Blog: www.elrincondelestudiante.mex.tl → 
Menú: Apuntes y Formularios → Matemáticas 
IV, Funciones Exponenciales y Logarítmicas. 
 Material: Material didáctico impreso (traerlo 
diario), pluma, lápiz, goma, calculadora, regla. 
 Evaluación 
o Conocimientos de la disciplina (matemáticas) 
 Examen final (teoría básica, los problemas en el examen son muy 
parecidos a los vistos en clase, usar calculadora no celular)….60% 
 Tareas, ejercicios en clase, pasar al pizarrón………………….. 10 % 
o Asistencia…………………………………………:……………………….…10 % 
o Disciplina ……………………………………………………………..………10 % 
o Trabajo en equipo…………………………………………..........................10 % 
 Disciplina: Si un alumno está indisciplinado no tendrá asistencia ni trabajo en 
clase. En cada sesión se evalúa máximo con tres puntos. 
 Asistencia Trabajo en 
clase (T.C.) 
Disciplina Tarea 
Alumno 
 
2: Si llegó 
después 
de media 
hora. 
3: Si llegó 
antes de 
la media 
hora del 
inicio de 
sesión. 
0: Si no 
trabajó. 
2: Si trabajó, 
aunque no 
haya 
terminado. 
3: Si terminó 
su trabajo 
antes de 
terminar la 
sesión. 
0: si no se 
disciplinó. 
3: si se 
disciplinó. 
0: si no 
realizó la 
tarea. 
3: si realizó 
la tarea. 
 Si el profesor no llega después de la media hora los alumnos se pueden retirar. 
 
Unidad Tema 
1 Funciones Polinomiales 
2 
Funciones con Racionales y 
 con Radicales 
3 Funciones Trigonométricas 
4 
Funciones exponenciales y 
Logarítmicas 
Sesiones 
1. “Aprendizajes previos” 
2. “Función exponencial creciente” 
3. “Función exponencial 
decreciente” 
4. “Análisis grafico de las funciones 
exponenciales” 
5. “Ejercicios sobre función 
exponencial” 
6. “Ejercicios y construcción de 
mapa conceptual” 
7. “Pos-test” 
http://www.elrincondelestudiante.mex.tl/
 
35 
 
UNIDAD 4: FUNCIONES EXPONENCIALES. 
 
SESIÓN 1 
APRENDIZAJES PREVIOS 
 
Propósitos de la unidad: 
Continuar el estudio de las funciones trascendentes con las funciones 
exponenciales y logarítmicas, cuya forma peculiar de variación, permite modelar 
diversas situaciones de crecimiento y decaimiento. Introducir la noción de función 
inversa. Reforzar la identificación de dominio y rango de una función, así como la 
relación entre parámetros y gráfica. 
 
Aprendizajes. 
El alumno: 
 Recuerda aprendizajes previos que son útiles para el tema de función 
exponencial. 
 
Aprendizajes previos: 
En este curso de matemáticas IV hemos estado estudiando funciones 
matemáticas, vamos a recordar su representación algebraica y su representación 
gráfica. 
 - constante 
 
 
 - de primer grado 
 
 
Unidad 1: Funciones - de segundo grado 
 polinomiales 
 
 - de tercer grado 
 
 
Unidad 2: Funciones racionales 
 
 
 Funciones con radicales 
 
 
 
 
 
36 
 
Unidad 3: Funciones trigonométricas 
 
 
Unidad 4: Funciones exponenciales - creciente 
 - decreciente 
 Funciones logarítmicas 
 
Antes de comenzar con el tema de funciones exponenciales daremos un repaso a 
los aprendizajes previos necesarios. Indica el significado de los siguientes 
conceptos y da un ejemplo de la vida cotidiana en donde se encuentre cada uno 
de ellos. 
Concepto Significado Ejemplo 
función 
 
 
notación f(x) 
 
 
Variable 
 
 
 
 
 
variable 
dependiente (y) 
 
 
variable 
Independiente(x) 
 
constante 
 
 
dominio 
 
 
 
 
rango 
 
 
 
exponente 
 
 
 
 
Sucesión 
de 
números 
 
 
 
sucesión aritmética: 
 
 
sucesión geométrica: 
 
 
 
 
 
37 
 
Sesión 2. Carta descriptiva 
 
Figura 2.9. Carta descriptiva sesión 2. 
 
 
SESIÓN 2 (2 de 7) “Función exponencial creciente” 
I. DATOS GENERALES 
AUTOR DE LA 
PLANEACIÓN 
Otoniel Martínez González SEMESTRE ESCOLAR Cuarto semestre 
ASIGNATURA Matemáticas IV UNIDAD TEMÁTICA UNIDAD 4: Función 
exponencial 
FECHA DE ELABORACIÓN Semestre 2015-2 FECHA DE APLICACIÓN Semestre 2015-2 
SEDE Y LUGAR DE LA 
SESIÓN 
CCH Vallejo 
Salón de clase 
TIEMPO DE LA SESIÓN 2 horas 
GRUPO 423 B, Turno matutino NÚMERO DE ALUMNOS 21 de 22 
II. MATERIALES Y RECURSOS 
PROFESOR: MATERIAL DIDÁCTICO IMPRESO, PROYECTOR, PIZARRÓN, MARCADORES, BORRADOR. 
ALUMNO: MATERIAL DIDÁCTICO IMPRESO, CALCULADORA, LÁPIZ. 
III. DESCRIPCIÓN DE ACTIVIDADES 
APRENDIZAJES 
El alumno: 
 Explora en una situación o fenómeno que presente crecimiento o decaimiento 
exponencial, las relaciones o condiciones existentes y analiza la forma en que varían los 
valores de la función respectiva. (Aprendizaje factual) 
 Reconoce que en este tipo de situaciones, para valores de x igualmente espaciados, son 
constantes las razones de los valores correspondientes de f(x)(Aprendizaje