Campo elétrico de um disco carregado

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EJERCICIO 3 
Un disco circular de radio “R” tiene densidad superficial de carga uniforme “𝜎”. Encontrar 
el �⃗� en un punto sobre el eje del disco y a una distancia “z” del centro del disco. 
 
Figura 1 
I. Siendo: 
r zk= 
cosir r i rsen j = + 
cosir r zk r i rsen j − = − − 
2 2
ir r z r− = + 
dq rdrd = 
 
II. Se tiene: 
( )
3
i
i
dq r r
E k
r r
−
=
−
 
III.Reemplazamos en los datos obtenidos: 
( )( )
( )
3
2 2
cosrdrd zk r i rsen j
E k
z r
   − −
=
+
 
( )
( )
2
30 0
2 2 2
cosR zk r i rsen j
E k rdrd
z r
  
 
− −
=
+
  
IV. Ahora, separaremos cada componente del vector �⃗� , de modo que: 
( )
2
2
30 0
2 2 2
cosR
i
r
E k drd
z r
 
 = −
+
  
( )
2
2
30 0
2 2 2
cos
R
i
r
E k d dr
z r

  = −
+
  
0= 
V. Dado que la integral del coseno en un periodo es nula, se tiene que campo eléctrico 
no tiene componente según �̂� . Análogamente, sucederá lo mismo al momento de 
calcular jE : 
( )
2
2
30 0
2 2 2
R
j
r sen
E k drd
z r
 
 = −
+
  
( )
2
2
30 0
2 2 2
R
j
r
E k sen d
z r

  = −
+
  
0= 
VI. Posteriormente, nos queda: 
( )
3
2 2 2
k
rdrd
E k z
z r

=
+
 
( )
2
30 0
2 2 2
R
k
r
E k z d dr
z r

 =
+
  
( )
30
2 2 2
2
R
k
r
E k z dr
z r
 =
+
 
 
 A 
VII. Para resolver la integral “A”, utilizaremos la sustitución 2 2a r z= + y 2
da
r
dr
= , nos 
queda: 
30
22
R da
A
a
=  
3
2
0
1
2
R
A a da
−
=  
VIII. Integrando “A”: 
1
2
0
1
R
A
a
= − 
IX. Como 2 2a r z= + , reemplazamos: 
2 2
0
1
R
A
z r
−
=
+
 
2 2 2
1 1
A
z R z
−
= +
+
 
2 2
1 1
A
z z R
= −
+
 
 
X. Finalmente, volvemos a la expresión principal de 
k
E : 
2 2
1 1
2
k
E k z
z z R
 
 
= −  
+ 
 
XI. Por tanto: