hoja4[1]

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PROBLEMAS FÍSICA I 
INGENIERÍA DE TELE COMUNICACIONES 
 
HOJA 4 LEY DE COULOMB Y CAMPO ELÉCTRICO 
73. Dos partículas, cada una de masa m y carga q, se suspenden de un punto común por hilos de longitud 
l. Encontrar el ángulo θ formado por cada uno de los hilos con la vertical. 
 
74. Considérese un cubo de arista a con la localización y orientación 
mostrada en la figura. Existe una carga puntual, q, en cada uno de los 
vértices excepto en (a,a,0). Determinar el campo eléctrico E
�
 en el 
vértice vacío. Si , maCq 1 ,10 == µ y se coloca una carga prueba 
CQ µ10−= en el vértice vacío, ¿cuál será la fuerza sobre la carga Q?. 
 
75. Determinar la carga total y encontrar el campo eléctrico E
�
 
para las siguientes distribuciones lineales de carga: 
a) un arco circular de radio a, que descansa sobre el plano XY y 
posee densidad lineal de carga λ constante, estando su centro de 
curvatura en el origen. Encontrar E
�
 en un punto arbitrario del 
eje Z; 
b) un segmento de longitud L (ver figura), de densidad lineal de 
carga 2Ay=λ , siendo A una constante. Encontrar E
�
 en x = a. 
¿Cuáles son las unidades de A?. 
 
76. Calcular el campo eléctrico E
�
 debido a las siguientes distribuciones 
superficiales de carga: 
a) la superficie de un círculo de radio a, que descansa sobre el plano XY y 
cuyo centro está en el origen. La densidad superficial de carga es 
2ρσ A= en coordenadas cil índricas, siendo A una constante. Encontrar 
el campo E
�
 debido a esta distribución de carga en un punto situado 
sobre el eje Z. ¿Cuáles son las unidades de A?. ¿Cuál es la carga total del 
círculo?; 
b) una superficie esférica de radio R cuyo centro se encuentra en el 
origen de coordenadas (ver figura). La densidad superficial de carga es θσσ cos0= . Calcular el campo 
eléctrico en el centro O. 
 
77. Una carga Q se distribuye de forma uniforme sobre el volumen de una esfera de radio R (ver figura 
problema anterior), cuyo centro coincide con el origen de coordenadas. Determinar la fuerza ejercida por 
esta distribución de carga sobre una carga puntual q que se encuentra sobre el eje Z a una distancia z > R 
del centro de la esfera. Expresar el resultado en función de la carga Q. 
 
78. Determinar, usando el principio de superposición, el campo eléctrico debido a las siguientes 
distribuciones de carga: 
a) dos placas paralelas e indefinidas, separadas una distancia d, sobre las que se distribuyen 
respectivamente, de forma uniforme, las densidades superficiales de carga: 
2
2
2
1 /4 ,/2 mCmC µσµσ == , . Calcular el campo entre los dos planos y en el espacio exterior a ambos. 
b) una lámina cargada, de densidad superficial de carga 
2/2 mnC=σ , situada en el plano x=3, y una distribución lineal 
de carga, situada en x = 1, z = 4, y de densidad lineal de carga 
mnC /20=λ . Calcular la magnitud del campo eléctrico en el 
origen, y determinar la dirección de E
�
 en P(4,5,6). 
c) un plano indefinido en el que se distribuye una densidad 
superficial de carga uniforme σ− sobre un círculo de radio R y 
x 
y 
z 
a 
x 
y 
a 
y 
x a 
 
x 
y 
z 
R 
σ 
-σ 
R 
X 
Y 
Z 
otra de signo contrario σ sobre el resto del plano. Calcular el campo eléctrico sobre el eje Z. 
 
LEY DE GAUSS 
79. Una esfera de radio a con centro en el origen posee una densidad de carga dada por 2Ar=ρ , donde A 
es una constante. Otra esfera de radio 2a es concéntrica con la primera. Encontrar el flujo eléctrico a 
través de la superficie de la esfera de radio mayor. 
 
80. Si kjyxiyE
����
533 22 ++= N/nC, encontrar la carga total encerrada en la región 0<(x,y,z)<2, 
evaluando una o más integrales de superficie. 
 
81. El campo eléctrico en la atmósfera sobre la superficie terrestre es aproximadamente 200V/m, dirigido 
hacia abajo. A 1400m, por encima de la superficie terrestre, el campo eléctrico de la atmósfera es sólo de 
20V/m, dirigido también hacia abajo. ¿Cuál es la densidad media de carga en la atmósfera por debajo de 
1400m?. ¿Consiste predominantemente en iones positivos o negativos?. 
 
82. Una distribución volúmica de carga tiene la forma de una plancha de espesor 2a. Las caras de la 
plancha son planos infinitos paralelos al plano XZ. La densidad volúmica de carga está dada por 




−=
a
y
10ρρ para -a < y < a, donde 0ρ es una constante, y 0=ρ en el resto. Calcular el campo )( yE
�
. 
 
83. Una esfera de radio R tiene una densidad volúmica de carga constante. La esfera tiene una cavidad 
esférica sin carga, de radio R1. Los centros de las dos esferas están separados una distancia a, tal que 
a+R1<R. Hallar el campo eléctrico en el interior de la cavidad. 
 
84. Determinar, usando la ley de Gauss, el campo eléctrico en los siguientes casos: 
a) un cilindro infinitamente largo de sección circular de radio a que se rellena con una densidad volúmica 
de carga constante, 0ρ . Encontrar E
�
 para todos los puntos dentro y fuera del cili ndro; 
b) dos cilindros coaxiales infinitamente largos de radios a y b, tales que b > a. La región entre ellos se 
rellena con carga de densidad volúmica nAρρ =vol , donde ρ es la coordenada cil índrica radial, y A, n 
son constantes. La densidad de carga es cero en cualquier otra parte. Encontrar E
�
 para todos los puntos. 
 
85. Sobre una esfera de radio R se tiene una distribución volúmica de carga uniforme 0ρ . Por un cil indro 
diametral, de radio tan pequeño que prácticamente no perturba la distribución de carga, se puede mover 
una carga puntual -q de masa m. Establecer la ecuación que gobierna el movimiento de la carga puntual. 
Resolver dicha ecuación y establecer los puntos del recorrido donde se hace máxima la velocidad y la 
aceleración. 
 
86. Encontrar la densidad volúmica de carga en los siguientes casos: 
a) un campo eléctrico dado en coordenadas cilíndricas por ρ
ρ
u
a
EE �
�
3
0 



= para a<< ρ0 , y 0=E
�
 en 
cualquier otro caso; 
b) un campo eléctrico en la región r<a dado en coordenadas esféricas por 
3
cos
2
r
AE r
θ= , 
3
sen
r
AE
θ
θ = , 
0=ϕE donde A = constante. 
 
POTENCIAL ELE CTROSTÁTICO 
87. ¿Puede el vector kxyjxzixyzE
����
++−= )2( ser un posible campo electrostático?. Sí la respuesta es 
afirmativa, encontrar el potencial V a partir del cual se puede obtener E
�
. 
 
x 
y 
z 
3 
3 
-3 
-3 
(0,0,5) 
88. Obtener el potencial en un punto situado a d metros medidos 
radialmente hacia afuera desde el punto medio de una carga lineal 
finita de L metros de longitud y densidad uniforme de carga 
)/( mCλ . Aplicar este resultado a una carga lineal uniforme de 
densidad mnC /1=λ , arreglada en forma de un cuadrado de 6m de 
lado, como se muestra en la figura, para hallar el potencial en 
(0,0,5) m. 
 
89. a) Demostrar que el potencial creado, en un punto (0,0,z), por 
una carga distribuida uniformemente sobre un círculo en el plano 
XY, con centro en el origen y radio a, es: 
( )[ ]zzaV −+= 2/122
02ε
σ
 
donde σ es la densidad superficial de carga. ¿Cuál será el valor mínimo de z para el cual el potencial 
debido al círculo puede calcularse como si fuera una carga puntual sin cometer un error mayor que el 
1%?; 
b) suponer a=3cm, 25 /104 mC−×−=σ . Si un electrón parte del reposo del punto z=10cm del eje Z, 
experimentando solamente las repulsiones por parte de las cargas del disco, ¿qué velocidad adquirirá el 
electrón?. Si otra partícula de la misma masa y carga del electrón, pero con carga positiva, parte del 
mismo punto z=10cm con velocidad v0 positiva, determinar cuál es el valor mínimo de v0 para que la 
partícula escape del campo creado por el disco (masa del electrón = 9.1x10-31 kg; carga del electrón = 
1.6x10-19C). 
 
90. a) Dados los campos en coordenadas cilíndricas )/()/5( mVuE ρρ
�
�
= para m20 << ρ , y 
)/(5.2 mVuE ρ
�
�
= para m2>ρ , hallar la diferencia de potencial para A(1,0,0)m y B(4,0,0)m; 
b) util izar la expresión de E
�
 para obtener el potencial V debido a un plano infinito cargado con densidadsuperficial σ constante que coincide con el plano XY. 
 
91. Dada la distribución esférica de carga, 2/10 )/( arρρ = para ara <<2/ , y ρ=0 en el resto del 
espacio, calcular el campo eléctrico y el potencial en función de r. Dibujar un gráfico aproximado de E
�
 y 
V en función de r. 
 
 
CONDUCTORES EN EQUILIBRIO ELECTROSTÁTICO 
 
92. La máxima intensidad del campo eléctrico que puede existir en el aire en condiciones normales de 
presión y temperatura, sin que se produzca ruptura, es de 3MV/m. Calcular: 
a) el mayor potencial eléctrico a que puede conectarse una esfera conductora de 20cm de diámetro; 
b) ¿qué sucederá si, manteniendo la fuente de tensión conectada a la esfera, se rodea ésta por una 
superficie esférica conductora concéntrica de radio 20cm y conectada a tierra?. 
 
93. Cuatro placas conductoras (supuestas indefinidas), 
de área S y separadas entre sí una distancia a, están 
conectadas eléctricamente la 1 con la 3, y la 2 con la 4 
(ver figura). Si a la placa 1 se le da una carga q, hallar 
las densidades de carga de cada una de las placas. 
 
94. Tres esferas conductoras concéntricas de radios R1, R2, R3 (R1<R2<R3), están conectadas, 
respectivamente, a tres fuentes de potenciales V1, V2, V3. 
a) calcular las cargas de las tres esferas; 
1 
2 
3 
4 
b) a continuación las esferas se desconectan de sus fuentes y, posteriormente, la esfera de radio R2 se une 
a tierra. En esta situación, calcular la carga y los potenciales de las tres esferas. ¿Qué carga ha pasado de 
la esfera de radio R2 a tierra?. 
 
95. Tres esferas metálicas concéntricas de radios R1, R2, R3 (R1<R2<R3), están inicialmente descargadas. 
Si a la esfera de radio R2 se le da una carga q, ¿qué potencial deberá aplicarse a la esfera de radio R3 para 
que el potencial de la esfera de radio R1 sea cero?. 
 
96. Una esfera conductora de radio R1 está rodeada por una corona esférica conductora de radios R2 y R3 
(R2<R3) concéntrica con la primera. Si ambos conductores se han cargado previamente con cargas Q1 y 
Q2, respectivamente: 
a) determinar la distribución de cargas en el equilibrio en cada uno de los conductores; 
b) calcular el campo eléctrico y potencial en todas las regiones; 
c) contestar a los apartados anteriores suponiendo que la esfera de radio R1 se conecta a tierra. 
 
DIELÉCTRICOS 
 
97. Para fabricar un condensador plano-paralelo, se deposita sobre un electrodo una capa fina de un 
material aislante, de espesor 1µm, constante dieléctrica 1000, y campo de ruptura 1MV/m. En el intervalo 
de tiempo transcurrido hasta que se deposita el electrodo superior, se produce, por el contacto con la 
atmósfera, una oxidación superficial de la capa fina de aislante, que se extiende hasta una distancia de 
100Å por debajo de la superficie del aislante. Estudiar el efecto de esta oxidación sobre la permitividad, 
estimando la permitividad aparente, y determinar el potencial de ruptura del condensador en la nuevas 
condiciones. La constante dieléctrica del óxido es 100, y su campo de ruptura, 1MV/m. 
 
98. Una corona esférica, de radio interior R1 y exterior R2 está llena de un material dieléctrico uniforme, 
homogéneo e isótropo de permitividad ε , polarizado con un valor del vector de polarización 
rurKP
�
�
)/(= , como consecuencia de tener distribuida en su volumen una carga Q. Calcular: 
a) las densidades volumétricas y superficiales de cargas de polarización; 
b) la distribución de carga libre y el valor de Q; 
c) el potencial dentro y fuera de la esfera. 
 
99. Un hilo largo cargado con una carga λ por unidad de longitud está en el eje de una cavidad cil índrica 
de radio R1, practicada dentro de un dieléctrico de permitividad ε. El dieléctrico está limitado por un tubo 
cilíndrico conductor coaxial con el hilo y de espesor d, siendo su radio interior R2 (R2>R1). 
a) hallar el campo eléctrico y el potencial en todas las regiones del espacio; 
b) hallar las cargas de polarización; 
c) si el cilindro conductor se une a tierra, calcular cuál es su carga. 
 
100. Sobre una esfera conductora de radio R1 cargada con una carga de Q culombios se coloca un estrato 
dieléctrico, isótropo y esférico, concéntrico con la esfera conductora, de radios R1 y R2 (R2>R1). Calcular: 
a) la permitividad del estrato para que el campo eléctrico en el dieléctrico sea constante y no exista carga 
de polarización sobre la superficie esférica de radio R2; 
b) la distribución de carga de polarización que aparece en el dieléctrico; 
c) la distribución de campos y potenciales debidos a este sistema en todos los puntos del espacio. 
 
101. Un condensador plano-paralelo de capacidad en vacío 9pF, y distancia entre planos 1cm se carga a 
50V y se aísla. A continuación, se introduce un dieléctrico de permitividad relativa εr que varía con la 
distancia x a una de las placas como 
d
x
r
2
1+=ε . Calcular: 
a) los campos PDE
���
 y , ; 
b) la distribución de cargas de polarización, comprobando que la carga total de polarización es nula; 
c) la diferencia de potencial entre las placas del condensador. 
 
102. Un condensador cilíndrico tiene de radios 1cm y 2cm. El espacio comprendido entre 1 y 1.9cm se 
llena con un material de permitividad relativa 4 y campo de ruptura 20MV/m, quedando el resto al aire, 
cuyo campo de ruptura es 3MV/m. Calcular el potencial de ruptura, indicando en cuál de los dos medios 
se produce. 
 
103. Un condensador esférico de radios R1 y R2 (R2>R1) tiene un dieléctrico de permitividad 
22
20 /)( rRr εε = , siendo r la distancia al centro. Si se conecta a una diferencia de potencial V, calcular: 
a) los campos PDE
���
 y , , y las cargas de polarización; 
b) si después de cargado el condensador, se desconecta de la fuente y se conecta en paralelo con otro 
condensador, descargado, de geometría idéntica al anterior, pero sin dieléctrico, calcular las cargas de los 
dos condensadores después de haber alcanzado el equilibrio. 
 
ENERGÍA ELECTROSTÁTICA. FUERZAS 
 
104. Una carga eléctrica Q se distribuye sobre una esfera dieléctrica de radio R y permitividad ε, de modo 
que las densidades de carga sean: 
Rr
Rr
r
R
>=
<<



=
0
00
ρ
ρρ
 Calcular: 
Calcular: 
a) ρ0 en función de Q y R; 
b) la energía electrostática de las dos formas siguientes: (i) mediante la expresión, ∫ ⋅= dVEDU e 2
1 ��
; (ii ) 
mediante la expresión, ∫= VdVU e ρ2
1
. Comprobar que en ambos casos se obtiene el mismo resultado. 
 
105. Sea una distribución espacial de carga libre correspondiente a una densidad de iones positivos 
)(0 dxd
x
nn <= , en un medio dieléctrico de constante 
dieléctrica εr. La distribución está confinada entre dos placas 
conductoras paralelas conectadas a un potencial V0 y a tierra 
respectivamente (ver figura). La coordenada x es normal a las 
placas. 
a) representar el valor del vector desplazamiento eléctrico D en 
función de x; 
b) calcular la densidad superficial de carga libre en ambas 
placas; 
c) obtener la energía almacenada en la distribución. 
Datos: S = 100cm2, d = 100µm, εr=10, V0=100V, n0 = 1013 
iones/cm3. Cada átomo se encuentra ionizado una sola vez. 
 
106. Calcular la fuerza por unidad de superficie entre las armaduras de un condensador plano si la 
separación entre las armaduras es de 2mm: 
a) cuando la diferencia de potencial entre ellas es de 2000V; 
b) cuando después de cargado con esta tensión se desconecta del generador y se introduce en un baño de 
aceite de εr=2.4; 
c) cuando introducido en este baño se vuelve a conectar al generador a la misma diferencia de potencial. 
 
 
 
εr 
V=0 
V0 
σ1 σ2 
d