problema85[1]

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82. Sobre una esfera de radio R se tiene una distribución volúmica de carga uniforme 
0ρ . Por un cilindro diametral, de radio tan pequeño que prácticamente no perturba la 
distribución de carga, se puede mover una carga puntual -q de masa m. Establecer la 
ecuación que gobierna el movimiento de la carga puntual. Resolver dicha ecuación y 
establecer los puntos del recorrido donde se hace máxima la velocidad y la aceleración. 
 
 
 Campo en el interior de la esfera: ru
r
E �
�
03ε
ρ= 
 
Fuerza sobre la carga –q: rmamu
r
qF rq
�����
�
==−=
03ε
ρ
 
Ecuación del movimiento: 
0
3 0
2
2
=+
m
rq
dt
rd
ε
ρ
 es del tipo del oscilador armónico: 
)cos()( ϕω += tAtr con 
m
q
03ε
ρω = 
 
A y ϕ son constantes de integración que se calculan a partir de las condiciones iniciales: 
 
î


=
=
=
0
0
v
Rr
t 
RA
R
A
A
AR
==⇒>=
=⇒=⇒−=
=
 0 0
cos
0
 0sen sen0
cos
ϕ
ϕ
π
ϕϕϕω
ϕ
 
 
m
tRtr
03
q
 cos)(
ε
ρωω == 
b) Puntos del recorrido donde la velocidad y la aceleración se hacen máximas: 
 
ω
π
ω
π
ππωω
ωω
ωω
2
3
,
2
2
3
,
2
 0cos
0cos
sen
2
=
=→=
=−=
−=
t
tt
tR
dt
dv
tRv
 
En estos tiempos la partícula se encuentra en: 
0
2
3
,
2
cos)( =



= ππRtr . Velocidad máxima en r=0. 
Aceleración máxima: 
î


−
=⇒=⇒=⇒==
R
R
rtttR
dt
da
 ,0 0sen 0sen3 πωωωω 
 
ρ0 
q