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UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACION A DISTANCIA
MECÁNICA Y ONDAS (C.C. FÍSICAS) Cod. Asig. 072244
PRIMERA PRUEBA PERSONAL, SEGUNDA SEMANA, FEBRERO, 2002
INSTRUCCIONES
No se puede utilizar ningún tipo de material auxiliar(ni calculadora). La calificación del examen
será global, pero de manera orientativa se comunica que la puntuación de cada problema es de 3.5
puntos y 1.5 puntos cada cuestión.
PROBLEMAS
1. Se deja caer una bola sin velocidad inicial desde una altura h sobre una cuña de
ángulo α (Véase la figura). Demostrar que la distancia sobre el plano inclinado entre
el primer y el segundo bote es la mitad de la distancia entre el segundo y el tercero.
Considerar que los choques entre la bola y la cuña son completamente elásticos.
Figura 1:
Solución:
Es más fácil resolver el problema usando el sistema de coordenadas, cuyo eje X está colocado a lo
largo de la superficie de la cuña y el eje y está perpendicular a ella.
Las proyecciones de la aceleración de la bola son: ax = gx = g sinα y ay = gy = −g cosα. La velocidad
de la bola en el momento del primer choque con la cuña es v0 =
√
2gh. La velocidad inicial de la bola
después de primer choque es igual a v0 y forma un ángulo α con el eje y.
La distancia entre los puntos del primer y del segundo choque es:
l1 = (v0 sinα)t1 +
(g sinα)t21
2
,
donde t1 es el tiempo entre los choques. Este tiempo se determina a partir de la condición de que la
altura sobre el plano sea cero, es decir, que:
y(t1) = (v0 cosα)t1 − (g cosα)t21/2 = 0.
De aquí t1 = 2v0/g y l1 = 8h sinα.
La velocidad de la bola en el momento del segundo choque se determina a partir de las ecuaciones:
v1x = v0x + axt1 = v0 sinα+ (g sinα)t1 = 3v0 sinα,
v1y = v0y + ayt1 = v0 cosα− (g cosα)t1 = −v0 cosα.
1
Después del choque estas velocidades son: v2x = v1x y v2y = −v1y.
La distancia entre el segundo y el tercer choque es:
l2 = (3v0 sinα)t2 + (g sinα)t
2
2/2,
donde t2 es el tiempo del vuelo. Como la velocidad inicial a lo largo de la eje y es la misma como en
el caso del primer choque, entonces t2 = t1. Por eso l2 = 16h sinα. De la misma manera se puede
demostrar que l3 = 24h sinα y entonces la relación l1 : l2 : l3... = 1 : 2 : 3....
2. Se lanza un cilindro hueco de masa M , radio interior R1 y radio exterior R2 , sobre
una superficie horizontal de forma que inicialmente desliza sin rodar con velocidad
~v0 perpendicular al eje del cilindro. Transcurrido un cierto intervalo de tiempo
∆t el cilindro comienza a rodar sin deslizar, siendo en ese instante la velocidad del
centro de masas ~v .
(a) Demostrar que el momento de inercia del cilindro con respecto a su eje es
I0 =
M
2 (R
2
2 +R
2
1).
(b) Calcule ~v.
Solución:
(a) El momento de inercia de un objeto uniforme está dado por
I =
Z
r2dm =
Z
ρr2dV
donde ρ es la densidad del cilindro. Tomaremos como elemento de volumen una corteza cilíndrica
delgada de altura h, circunferencia 2πr, y espesor infinitesimal dr, de forma que su volumen sea
dV = 2πrhdr. Sustituyendo dV en la expresión del momento de inercia tenemos
I = 2πρh
Z R2
R1
r3dr =
1
2
πρh(R42 −R41)
Que puede expresarse como
I =
1
2
πρh(R22 −R21)(R22 +R21)
Consideremos a continuación que el volumen del cilindro hueco es V = πh(R22 −R21) de tal forma que
su masa es M = ρV = πρh(R22 −R21) y por lo tanto el momento de inercia se puede escribir como
I =
1
2
M(R22 +R
2
1)
(b) Cuando el cilindro desliza, sobre él actúa una fuerza de fricción Fr que se opone al movimiento
y tiende a frenarlo con una desaceleración a = Fr/M . Si la velocidad inicial del cilindro es v0, la
velocidad del centro de masa en un instante posterior ∆t viene dada por
v(t) = v0 − at = v0 − Fr
M
t.
Sin embargo, la fuerza de fricción también produce un momento respecto al centro de masas del
cilindro, que hace girar al mismo con una aceleración angular α.
N = R2Fr = Iα
de donde se deduce que α es constante. Como la velocidad angular inicial es nula se tiene que
ω(t) = αt
Cuando el cilindro comienza a rodar sin deslizar dicho momento satisface la ecuación
N =
Iω
∆t
=
Iv
R2∆t
,
2
en donde hemos utilizado la expresión v = wR2 que representa la condición de rodadura sin desliza-
miento. Por lo tanto, a tiempo ∆t se satisface el sistema de ecuaciones
v = v0 − Fr
M
∆t
v =
2R22
R22 +R
2
1
Fr
M
∆t
De donde se deduce que
~v =
2
(R1R2 )
2 + 3
~v0
CUESTIONES
1. Considérese un par de sistemas inerciales S y S’ con los ejes X paralelos y cuyos
orígenes coinciden en t = t0 = 0. El sistema S’ se mueve con velocidad v con respecto
a S. Probar que existe un punto en el eje X en el que los relojes de los dos marcan
el mismo tiempo y calcular su posición en ambos sistemas de coordenadas. Probar
que dicho punto se desplaza con una velocidad u menor que v.
Solución:
Sea un punto de coordenadas (x, t) en el sistema S, si el reloj marca lo mismo en el sistema S0 deberá
cumplirse que
t0 = γ
µ
t− vx
c2
¶
= t (1)
con lo cual (γ − 1)t = vc2 γx, y operando con γ = (1− v
2
c2 )
−1/2 se encuentra
xP =
c2
v
·
1−
q
1− β2
¸
t
x0P = γt
Ã
c2(γ − 1)
vγ
− v
!
= −xP (2)
La velocidad con la que se desplaza dicho punto P en el sistema S será simplemente
u =
dxP
dt
=
c2
v
·
1−
q
1− β2
¸
(3)
Vamos a ver que esta velocidad es menor que v
c2
v
·
1−
q
1− β2
¸
< v (4)
si es así entonces
q
1− β2 > 1− β2, lo cual es en efecto cierto ya que 0 < β < 1.
2. Cuatro partículas idénticas de masa m están unidas por varillas rígidas y sin masa
formando un cuadrado de lado l. El sistema gira con velocidad angular ω alrededor
de un eje perpendicular al plano del cuadrado que pasa por el centro del mismo. Si
las partículas se atraen gravitatoriamente, ¿Cual debe ser ω para que las varillas no
estén sometidas a ningún tipo de tensión? A la luz de este problema, ¿es posible que
existan galaxias autogravitantes en forma de anillo circular de radio arbitrario?
Solución: En un instante de tiempo dado, elegimos ejes de coordenadas de manera que la partícula
1 está en el origen, la 2 está en la posición (0, l), la 3 en la (l, l) y la 4 en la (l, 0).
La fuerza gravitatoria que siente una masa m en el origen debido a la presencia de otra masa M
ubicada en r es FG = GMm
r3
r.
3
Por tanto, la fuerza total sobre la partícula 1 estará dada por
FG = Gm2
"
1
l3
(0, l) +
1
l3
(l, 0) +
1
(
√
2l)3
(l, l)
#
=
Gm2
l2
"
(0, 1) + (1, 0) +
1
(
√
2)3
(1, 1)
#
=
Gm2
l2
"
1 +
1
(
√
2)3
#
(1, 1)
Esta fuerza está dirigida por tanto al centro del cuadrilátero.
Por otra parte, la fuerza centrífuga que siente la partícula 1 está dirigida a lo largo de −(1, 1), porque
el punto de giro está en el centro del cuadrilátero, y su módulo está dado por F c = mrω2 donde ω es
la velocidad angular de rotación de las masas y r = 1/
√
2 es la distancia de la masa 1 al centro del
cuadrilátero. Como la fuerza centrífuga y la gravitatoria resultan ir en direcciones opuestas, podemos
restar simplemente sus módulos para obtener el módulo de la fuerza resultante, que es
Gm2
l2
√
2
"
1 +
1
(
√
2)3
#
−m ω√
2
Vemos que siempre podemos elegir una velocidad angular ω de forma que consigamos que esta fuer-
za resultante se anule, de manera que las distancias relativas entre las cuatro masas se mantengan
constantes.
En una galaxia en forma de anillo circular que rota y en un sistema no inercial que gira con la
galaxia, sobre cada estrella actuan dos fuerzas, la gravitatoria debida a las demás estrellas, que por
simetría está dirigida al centro del anillo, y la centrífuga debido a la rotación de la galaxia. Podemos
extender el argumento del problema del cuadrilátero a este caso sin más problema, y vemos que, en
principio, siempre podemos encontrar una velocidad angular y un radio tal que la fuerza gravitatoria,
que haria colapsar la galaxia hacia el centro del anillo, se compense con la fuerza centrífuga. Sin
embargo, hay que notar que la configuración de equilibrio no es estable. Si para una velocidad angular
dada, aumentamos ligeramente el radio de la galaxia, simultáneamente aumenta la fuerza centrífugay
disminuye la fuerza gravitatoria, con lo que la galaxia se dispersaría hacia el universo. Si disminuimos
ligeramente el radio, entonces aumenta la fuerza gravitatoria y disminuye la centrífuga, con lo cual la
galaxia colapsaría
hacia el centro del anillo.
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