PPT Curvas de nivel

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CÁLCULO II
FUNCIONES REAL DE VARIAS 
VARIABLES 
Tema: Curvas de nivel
Unidad I
Semana 02
Objetivo
Trazar las curvas
de nivel.
Curvas de Nivel
Definición
 
  conjuntoalyxfzfunciónladeC
niveldecurvaladefinesefRangoknúmeroelyDffunciónlaDada
k ,
,,: 2


      kyxfDyxkfCk 
 ,:,1
Curvas de Nivel
A partir de las curvas de nivel rotuladas con su valor o “altura” de función, se puede inferir la
gráfica de la función elevando mentalmente cada curva de nivel a la altura apropiada. Es
decir, si se dibujan curvas de nivel de una función y se visualizan como si se elevaran hasta
el nivel que indica k, es posible trazar mentalmente una gráfica aproximada. Por ejemplo
Curvas de Nivel
¿Qué ejemplos conocemos de curvas de nivel?
En los mapas topográficos, por ejemplo, se trazan curvas de nivel de regiones
montañosas. En este caso las curvas de nivel unen puntos de la región que
tienen la misma altura respecto del nivel del mar. Otro ejemplo son las
isotermas correspondientes a una región. Si pensamos en un mapa
meteorológico del mundo que indique por ejemplo las temperaturas promedio
del mes de enero, las isotermas son curvas imaginarias en un planisferio que
van conectando los lugares del mundo que tienen la misma temperatura
promedio en ese mes. Del mismo modo, las isobaras conectan sitios de igual
presión.
Ejemplo 1
Grafique algunas curvas de nivel de la función dada 
por: 
 2: Df
  xyyxf 32, 
Solución
Sea   kyxfz  ,
Luego, la curva de nivel 
kC
está representada por familia de rectas.
.,
22
3
32  k
k
xykxy
 
 
  2
2
3
2
4
2
3
4
2
3
0
2
2
3
2
4
2
3
4



x
y
x
ykSiiii
x
ykSiii
x
y
x
ykSii
Ejemplo 2
Grafique algunas curvas de nivel de la función dada 
por: 
 2: Df
Solución
Sea   kyxfz  ,
Luego, la curva de nivel 
kC
está representada por familia de parábolas.
  2, xyyxf 
 kkxykxy ,22
 
 
  22
0
22
2
2
2



xykSiiii
xykSiii
xykSii
Ejemplo 3
Grafique algunas curvas de nivel de la función dada 
por: 
 2: Df
Solución
Sea   kyxfz  ,
Luego, la curva de nivel kC
está representada por familia de elipses.
  224, yxyxf 
.0,4 22  kkyx
     
 
  1
164
16416
1
4
444
0,0,00
22
22
2
222
22



yx
yxkSiiii
y
xyxkSiii
yxyxkSii
Ejemplo 4
Grafique algunas curvas de nivel de la función dada por 
para los valores 
Solución
Sea   cyxfz  ,
Luego, la curva de nivel está 
representada por familia de circunferencias
kC
    0,0: 2f  
22
2
,
yx
x
yxf


4
1
,
3
1
,
2
1
,1c
Por conveniencia consideramos 
c
yx
x



22
2
n
c
1

  222
22
22
22
02
2
12
nynx
ynxx
yxnx
nyx
x






   
   
   
    164
4
1
93
3
1
42
2
1
111
22
22
22
22




yxcSiiv
yxcSiiii
yxcSiii
yxcSii
Ejemplo 4
Bibliografía: