CLASE 7-EC SOLUCIONABLES

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ECUACIONES DIFERENCIALES
ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN
ECUACIONES SOLUCIONABLES PARA LA
VARIABLES C Y G
ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
JOE GARCÍA ARCOS
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS - ESPE
CLASE 7
CONTENIDO
Título : Ecuaciones solucionables para la variable C y G
Duración : 120 minutos
Información general : Resolver ecuaciones diferenciales ordinarias respecto a la
variable C y G
Objetivo : Conocer los métodos para resolver ecuaciones diferenciales
ordinarias respecto a la variable C y G
1
Ecuaciones diferenciales de primer orden
0.1 Ecuaciones solucionables para la variable C y G
Mientras que las ecuaciones lineales, separables y exactas tienen métodos de solución listos,
otras ecuaciones de interés pueden no caer en una de estas categorías. En este caso, las alternativas
son conformarse con enfoques numéricos o realizar un cambio inspirado de variable que reduce
el problema a uno de los casos fáciles. En los primeros días de las ecuaciones diferenciales
(es decir, poco después de la invención del cálculo) hubo interés en tales posibilidades, y los
nombres de ciertos matemáticos bien conocidos se asocian con algunas ecuaciones que pueden
resolverse con estos métodos. Vale la pena comprobar si su problema es uno de los tipos más
conocidos susceptibles a este tratamiento.
Una ecuación diferencial general de primer orden es de la forma
� (C, G, G ′) = 0, (1)
o
� (C, G, ?) = 0, G ′ = ?. (2)
En lo que sigue, se consideran los casos en que se pueden resolver C o G:
Caso 1. Ecuación solucionable para la variable G
Supongamos que, a partir de la ecuación (2), la variable G puede expresarse explícitamente
como una función de C y ? para obtener
G = 5 (C, ?). (3)
Diferenciar la ecuación (3) con respecto a C da
3G
3C
=
m 5
mC
+ m 5
m?
3?
3C
=⇒ ? = 5C + 5?
3?
3C
, (4)
que es una ecuación diferencial entre C y ?. Si la ecuación (4) se puede resolver para
obtener la solución general
q(C, ?, 2) = 0, (5)
entonces la solución general de la ecuación (1) se puede obtener de la siguiente manera.
(a). Elimine la variable ? entre las ecuaciones (3) y (5) para obtener la solución en
términos de C y G.
(b). Si es difícil eliminar ? entre las ecuaciones (3) y (5), entonces las ecuaciones (3) y
(5) pueden tratarse como ecuaciones paramétricas con ? siendo el parámetro.
Por ejemplo, considere las ecuaciones paramétricas
C = 0 + A cos \, C = 1 + A sin \,
CLASE 7
donde 0, 1 y A son constantes, y \ es el parámetro. Reescribe las ecuaciones como
C − 0
A
= cos \,
C − 1
A
= sin \,
Usando la identidad trigonométrica cos 2\ + sin 2\ = 1, el parámetro \ puede eliminarse
para producir
cos 2\ + sin 2\ =
( C − 0
A
)2
+
(
C − 1
A
)2
= 1 =⇒ (C − 0)2 + (G − 1)2 = A2,
que es la ecuación de un círculo con centro en (0, 1) y radio A .
Caso 2. Ecuación solucionable para la variable C
Supongamos que, a partir de la ecuación (2), la variable C se puede expresar explícitamente
como una función de G y ? para obtener
C = 6(G, ?). (6)
Diferenciar la ecuación (6) con respecto a G da
3C
3G
=
m6
mG
+ m6
m?
3?
3G
=⇒ 1
?
= 6G + 6?
3?
3G
, (7)
que es una ecuación diferencial entre G y ?. Si la ecuación (6) se puede resolver para
obtener la solución general
k(G, ?, 2) = 0, (8)
entonces la solución general de la ecuación (1) se puede obtener de la siguiente manera.
(a). Elimine la variable ? entre las ecuaciones (6) y (8) para obtener la solución en
términos de C y G.
(b). Si es difícil eliminar ? entre las ecuaciones (6) y (8), entonces las ecuaciones (6) y
(8) pueden tratarse como ecuaciones paramétricas con ? siendo el parámetro.
Ejemplo 0.1
Resuelva la ecuación diferencial
C = G ′ + G ′ 4.
Solución Hacemos G ′ = ?, la ecuación puede escribirse como
C = ? + ?4 = 5 (?),
que es el caso de la ecuación solucinable para C. Diferenciando con respecto a G produce
1
?
=
35
3?
3?
3G
= (1 + 4?3) 3?
3G
,
3C
3G
=
1
?
,
que puede escribirse como
3G = (? + 4?4) 3?.
La integración de ambos lados conduce a
G =
1
2
?2 + 4
5
?5 + 2.
3
CLASE 7
Por lo tanto, la solución general está dada por las ecuaciones paramétricas
C = ? + ?4,
G = 12 ?
2 + 45 ?
5 + 2,
donde ? es un parámetro. �
Ejemplo 0.2
Resuelva la ecuación diferencial
CG ′ 2 − 2GG ′ − C = 0.
Solución Hacemos G ′ = ?, la ecuación puede escribirse como
C ?2 − 2G? − C = 0. (9)
Dado que ? = 0 no es una solución, uno tiene ? ≠ 0. La variable G puede expresarse explícita-
mente en términos de C y ? para obtener
G =
1
2
C
(
? − 1
?
)
= 5 (C, ?). (10)
Diferenciar la ecuación (10) con respecto a C da
? =
m 5
mC
+ m 5
m?
3?
3C
=
1
2
C
(
1 + 1
?2
)
3?
3C
,
que se puede simplificar como
?2 + 1
?
(
C
?
3?
3C
− 1
)
= 0
Como
?2 + 1
?
≠ 0, uno tiene
C
?
3?
3C
− 1 = 0 =⇒ 1
?
3? =
1
C
3C,
que se puede resolver para dar∫
1
?
3? =
∫
1
C
3C + 2 =⇒ ln ? = ln C + ln 2 =⇒ ? = 2C.
Al sustituir en la ecuación (10) se obtiene la solución general
G =
1
2
C
(
2C − 1
2C
)
=⇒ 2G = 2C2 − 1
2
. �
Ejemplo 0.3
Resuelva la ecuación diferencial
G = C
(
G ′ +
√
1 + G ′ 2
)
.
Solución Hacemos G ′ = ?, la ecuación puede escribirse como
G = C (? +
√
1 + ?2) = 5 (C, ?). (11)
Diferenciar la ecuación (11) con respecto a C da
? =
m 5
mC
+ m 5
m?
3?
3C
= ? +
√
1 + ?2 + C
(
1 + ?√
1 + ?2
)
3?
3C
,
4
CLASE 7
que se puede simplificar como
−
√
1 + ?2 = C
(
1 + ?√
1 + ?2
)
3?
3C
=⇒ −1
C
3C =
(
1√
1 + ?2
+ ?
1 + ?2
)
3?
La integración de ambos lados conduce a
−
∫
1
C
3C =
∫ (
1√
1 + ?2
+ ?
1 + ?2
)
3? + 2 =⇒ 1
C
= 2(? +
√
1 + ?2)
√
1 + ?2 (12)
El parámetro ? se puede eliminar entre las ecuaciones (11) y (12). De la ecuación (11), uno tiene
? +
√
1 + ?2 = G
C
(13)
Sustituyendo en la ecuación (12) se obtiene
1
C
= 2
√
1 + ?2 G
C
=⇒
√
1 + ?2 = 2
G
=⇒ ?2 =
( 2
G
)2
− 1.
Sustituir en la ecuación (13) conduce a
? =
G
C
−
√
1 + ?2 =⇒ ?2 =
(
G
C
−
√
1 + ?2
)2
=⇒
( 2
G
)2
− 1 =
(G
C
− 2
G
)2
.
que se puede simplificar aún más
G
C
(
22
G
− G
C
)
= 1 =⇒ C
G
+ G
C
=
2
G
. �
Ejemplo 0.4
Resuelva la ecuación diferencial
G2G ′ 2 + 3CG ′ − G = 0.
Solución Hacemos ? = G ′, la ecuación puede escribirse como
G2?2 + 3C ? − G = 0.
Si ? = 0, uno debe tener G = 0, que es una solución de la ecuación diferencial.
Para ? ≠ 0, la solución por C da
C = −1
3
(
G2? − G
?
)
= 6(G, ?). (14)
Diferenciar la ecuación (14) con respecto a G produce
1
?
=
m6
mG
+ m6
m?
3?
3G
= −1
3
(
2G? − 1
?
)
− 1
3
(
G2 + G
?2
)
3?
3G
.
Multiplicando ambos lados en −3? y arreglando lo obtenido
(G?2 + 1)
(
2 + G
?
3?
3G
)
= 0.
Caso 1. 2 + G
?
3?
3G
= 0. La ecuación puede escribirse como
1
?
3? = −2
G
3G.
Integrando ambos lados ∫
1
?
3? = −2
∫
1
G
3G + 2 =⇒ ? = 2
G2
.
5
CLASE 7
Sustituyendo en la ecuación (14) se obtiene la solución general
32C − G3 + 22 = 0.
Caso 2. G?2 + 1 = 0, entonces ?2 = −1
G
. Sustituyendo en la ecuación (14) resulta en
C2 =
1
9?2
(G2?2 − G)2 =⇒ 9C2 + 4G3 = 0
Esta solución no se puede obtener de la solución general por ningún valor de 2 y, por lo tanto, es
una solución singular. �
Ejemplo 0.5
Resuelva la ecuación diferencial:
G(G − 2CG ′)3 = G ′ 2.
Solución Haciendo G ′ = ?, obtenemos
G(G − 2C ?)3 = ?2
despejamos C
C =
G
2?
− 1
2? 13 G 13
= 5 (G, ?)
como
3C
3G
=
m 5
mG
+ m 5
m?
· 3?
3G
,
entonces
1
?
=
1
2?
+ 1
6? 13 G 43
+
(
1
6
G−
1
3 ?−
4
3 − 1
2
G?−2
)
3?
3G
,
puesto que
− ?
G
=
3?
3G
⇒ 3G
G
= −3?
?
integrando
ln |G | + ln |2 | = ln
���� 1? ���� ⇒ 2G = 1? ⇒ G = 12?
entonces
C =
1
2?
1
2?
− 1
2? 13
2
1
3 ?
1
3 =
1
22?2
− 1
2
2
1
3
La solución está dada por 
C = 122?2 −
1
2 2
1
3 ,
G = 1
2?
.
. �
6
CLASE 7
BIBLIOGRAFÍA
J. García A., Ecuaciones diferenciales ordinarias y aplicaciones, 1ra
edición/Editorial López 2020.
7
	0.1 Ecuaciones solucionables para la variable t y x