CLASE 11 Ecuaciones Matriciales

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Ecuaciones Matriciales: 
 
Ejemplo: 
Dada las matrices [
 
 
 
] 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 
. Halle la matriz X que verifique que: 
 
 
La ecuación matricial pedida es: por lo tanto, la matriz X buscada debe ser de orden 3x3. 
[
 
 
 
] [
 
 
 
] 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 
 
 
[
 
 
 
] [
 
 
 
] 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 
 
[
 
 
 
] 
[
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ]
 
 
 
 
 
Dos matrices son iguales cuando son del mismo orden y los elementos ubicados en la misma posición son 
iguales, por lo tanto: 
I) IV) VII) 
II) V) 
 
 
 VIII) 
III) VI) 
 
 
 IX) 
 
 
 
Sustituimos los valores de d, e y f: 
II) V) 
 
 
 VIII) 
 ( ) 
 
 
 
 
 
 ( 
 
 
) 
 
 
I) IV) VII) 
 
 ( ) 
 
Por lo tanto la matriz [
 
 
 
 
 
 
 
 
] 
 
Actividad: 
1. Resuelva la ecuación matricial: [
 
 
]
 
 [
 
 
] 
2. Dadas las matrices [
 
 
 
] y [
 
 
 
], encuentre la matriz C tal que A.Ct = B 
3. Halle la matriz X de modo que [
 
 
] [
 
 
]. 
4. Dadas las matrices [
 
 
] y [
 
 
], halle la matriz X que verifica 3X – 2A = 5B. 
5. Determine la matriz X sabiendo que [
 
 
 
 
] [
 
 
] 
 
 
Matriz inversa 
Definición: Dada la matriz A, se llama inversa de ella y se simboliza A
-1
 a la matriz que verifica 
 
Teorema: Si una matriz A, admite inversa, ésta es única. 
Demostración: 
Suponga que existen dos inversas B y C, debemos probar que B=C 
Por definición si B es la inversa de A, entonces 
Lo mismo ocurre con C y se debe cumplir que: 
Pero ( ) ⏟
 
 
( ) 
Por lo tanto se prueba que B=C y la inversa de una matriz es única. 
 
 
Inversa de una matriz cuadrada: 
Sean A y B dos matrices de orden nxn. Supongamos que A.B=B.A=I entonces B es la inversa de A. 
 Si A admite inversa decimos que es invertible o “NO SINGULAR” 
 Una matriz cuadrada que no admite inversa se llama “SINGULAR” 
 De la definición podemos concluir que ( ) , si A es invertible, y además, debemos 
tener en cuenta que la definición de matriz NO establece que toda matriz cuadrada tiene 
inversa. Por lo tanto hay dos problemas básicos que debemos tratar de resolver: 
 ¿Qué matrices tienen inversas? 
 Si una matriz tiene inversa ¿Cómo se la puede calcular? 
 
Ejemplo: Halle la inversa de la matriz [
 
 
]. 
- Verificamos que 
 [
 
 
] 
Por lo tanto: [
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
 [
 
 
 [
 
 
]] 
Por igualdad se obtiene: 
I) III) 
II) IV) 
Resolvemos: 
I) III) 
II) ( ) IV) ( ) 
 
 
 
Por lo tanto: 
 [
 
 
] 
 
¿Cómo verificamos que es realmente la inversa de A? 
Realizamos el producto , entonces verificamos si ese producto nos da la matriz identidad: 
[
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
Por lo tanto, la matriz encontrada es la inversa de A. 
 
Ejemplo: 
Determine la inversa de la matriz [
 
 
] 
[
 
 
] [
 
 
] [
 
 
] 
I) II) 
III) IV) 
 
Resolvemos: 
I) III) 
II) ( ) IV) ( ) 
 
 
Como no hay valores de x, y, z, w que verifiquen las ecuaciones, La matriz B NO TIENE INVERSA! 
 
Método del espejo para calcular la inversa de una matriz 
Para hallar la inversa de una matriz con éste método, seguimos el siguiente procedimiento: 
1. Se escribe la matriz aumentada ( ) 
2. Se realizan operaciones elementales por renglones para escribir a A en su forma escalonada 
por renglones. 
3. Se decide si A es invertible: 
a. Si llegamos a transformar A en la identidad, entonces se tiene a la derecha de la línea. 
b. Si la reducción de A conduce a un renglón de ceros a la izquierda de la línea, entonces A no es 
invertible. 
Ejemplo: Determine la inversa de [
 
 
] 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por lo tanto, la inversa de A es [
 
 
 ] 
Ejemplo: Calcule la inversa de [
 
 
], si existe. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como vemos, No es posible que la matriz [
 
 
] pueda transformarse en la matriz I. Por lo tanto la matriz 
B, no es invertible.