CLASE-7

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Departamento de Ciencias Económicas 
 
2400 - Matemática I 
 
 
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DOCUMENTO DE CLASE 
 
Clase N° 7 
1. Objetivos de la clase: 
Que el alumno: 
• Comprenda las características de cada una de las funciones económicas 
explicadas. 
• Interprete económicamente las funciones económicas marginales y las 
funciones económicas medias. 
• Sea capaz de representarlas gráficamente. 
• Interprete económicamente el concepto de elasticidad. 
• Resuelva problemas económicos relacionando los conceptos anteriores. 
 
2. Mapa conceptual de la clase: 
 
 
 
 
Funciones 
Económicas 
Totales de 
una variable
Función 
Marginal y 
Función Media 
Elasticidad de 
la Demanda 
Elasticidad
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3. Desarrollo: 
Definición de Funciones Económicas 
Las funciones económicas son relaciones entre conceptos económicos expresadas 
mediante una ecuación en la cual una variable depende de otra u otras. 
En el caso de las funciones económicas de una variable, la variable dependiente 
representa a la función económica considerada y la variable independiente ( o variable 
simplemente) representa generalmente el precio o la cantidad de un determinado bien o 
servicio. 
Los valores de las variables y de las funciones económicas se consideran siempre no 
negativas o positivas según el caso (ya que carecen de sentido para valores negativos), 
por lo tanto su gráfico quedará representado en el primer cuadrante. 
 Dichas funciones pueden ser polinómicas, hiperbólicas, exponenciales, etc. 
 
Podemos destacar las siguientes funciones económicas: 
Función Demanda: Representa la cantidad de un bien o servicio requerida por los 
consumidores. 
Esa cantidad (demanda) requerida por los consumidores puede depender del precio del 
producto, del ingreso del consumidor, del precio de los productos sustitutos, etc. Por lo 
tanto que la demanda dependa de esos factores significa que al variar los valores de 
alguno de ellos, también variará la cantidad demandada. Entonces, dicha función 
expresa las cantidades requeridas de un producto al variar alguno de esos factores. 
En general, la función demanda que depende del precio es decreciente(comportamiento 
normal) , pues al aumentar el precio de un determinado bien, los consumidores llevarán 
menor cantidad de dicho bien (es el caso de los bienes típicos). 
Por convención en economía, el precio se grafica en el eje de las ordenadas (eje vertical) 
aunque es considerada la variable independiente. Esto fue planteado por el economista 
Alfred Marshall1. Sin embargo, graficarlo de una u otra manera es indistinto desde el 
punto de vista matemático. Nosotros consideraremos en la mayoría de las aplicaciones, 
a la variable independiente en el eje de las abscisas (eje horizontal). 
 
1Marshall en su análisis de la oferta encaro la cantidad como la variable ajustada por la empresa, respondiendo a 
precios de mercado dados. Al definir la demanda, para ser coherente, aplico el mismo criterio. 
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 Respecto de la función tendremos: 
Dominio de la función demanda: 𝐷𝑜𝑚𝐷 = {𝑝 ∈ [0; 𝑏) / 𝐷 > 0} 
Imagen de la función demanda: 𝐼𝑚𝑔𝐷 = {𝐷 ∈ (0; +∞) 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑝 ≥ 0 ∧ 𝐷 =
𝑓(𝑝)} 
Las funciones de demanda se consideran continuas 
Existen casos donde no se cumple este comportamiento normal de la demanda: 
a) Bienes Giffen. 
Alfred Marshall, a fines del siglo XX, sostenía que en casos limites como por ejemplo 
una guerra, se produce el aumento de la demanda de algunos bienes de primera 
necesidad. Por volverse imprescindibles, su precio aumentará con la demanda. 
Representan un caso teórico extremo, donde la demanda es creciente. 
b) Bienes Suntuarios. 
 Estos son bienes especiales, consumidos por determinados sectores de la sociedad que 
los demandará siempre, independientemente de su precio. La demanda se considera 
constante. 
Observación: Su fórmula se puede expresar de las siguientes formas: 
𝑫 = 𝒇(𝒑)𝑜 𝒑 = 𝒇(𝑫) 
𝑿 = 𝒇(𝒑)𝑜 𝒑 = 𝒇(𝒙) 
𝑸𝒅 = 𝒇(𝒑)𝑜 𝒑 = 𝒇(𝒒)tal que: D, X o Q: Demanda y p:precio 
 
Función Oferta: Representa la cantidad de un bien o servicio que ofrecen los 
productores, fabricantes o comerciantes. 
La cantidad ofrecida (Oferta) depende del precio del producto, por lo tanto la función 
Oferta es creciente, ya que el comerciante está dispuesto a aumentar la cantidad de 
artículos para la venta cuando aumenta el precio de dicho artículo. 
Respecto de la función tendremos: 
Dominio de la función oferta:𝐷𝑜𝑚𝑂𝑓 = {𝑝 ∈ [0; 𝑏) / 𝑂𝑓 > 0} 
Imagen de la función oferta:𝐼𝑚𝑔𝑂𝑓 = {𝑂𝑓 ∈ (0; +∞) 𝑡𝑎𝑙 𝑞𝑢𝑒 𝑒𝑥𝑖𝑠𝑡𝑒 𝑝 ≥ 0 ∧ 𝑂𝑓 =
𝑓(𝑝)} 
Las funciones de oferta se consideran continuas. 
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𝑶 = 𝒇(𝒑)𝑜 𝒑 = 𝒇(𝑶) 
𝑿 = 𝒇(𝒑)𝑜 𝒑 = 𝒇(𝒙) 
𝑸𝒔 = 𝒇(𝒑)𝑜 𝒑 = 𝒇(𝒒)tal que: O, X o Q: Oferta y p:precio 
 
Equilibrio de Mercado: Se dice que un mercado está en equilibrio cuando la Oferta y 
la Demanda son iguales, y el precio de equilibrio es el precio existente en un mercado 
en equilibrio. 
Geométricamente es el punto de intersección entre la función oferta y la función 
demanda, o sea es aquel en el cual la Oferta y la Demanda son iguales para un 
determinado precio y se lo conoce como punto de equilibrio o punto de Cournot. 
 
Ejemplo: 
Dadas las siguientes funciones de Oferta y Demanda: 
𝑂(𝑝) = 3𝑝 − 30 𝐷(𝑝) = −2𝑝 + 70 
 Se pide hallar el punto de equilibrio. 
Solución: 
Se comienza igualando las funciones Oferta y Demanda 
3𝑝 − 30 = −2𝑝 + 70 
3𝑝 + 2𝑝 = 70 + 30 
5𝑝 = 100 
 𝑝 = 20 𝑢. 𝑚. 
Luego: 𝑂(20) = 𝐷(20) = 30 𝑢𝑛𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 (cantidad de equilibrio) 
 
Respuesta: El mercado está en equilibrio cuando p= 20 u.m.(unidades monetarias) 
puesO(20) = D(20) = 30 unidades. 
 
 
Función Costo Total: Representa los gastos totales de una empresa, fábrica o de un 
comerciante. 
Esos gastos totales o costos totales pueden ser fijos o variables. 
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Los costos fijos (CF) son los gastos que no dependen de la cantidad demandada, por 
ejemplo el pago de servicios, del alquiler, etc. 
Los costos variables (CV) son los gastos que dependen de la cantidad demandada, por 
ejemplo los gastos que tiene un fabricante para en materia prima para producir cierta 
cantidad de artículos según la cantidad demandada, los gastos que tiene un comerciante 
al comprar cierta cantidad de bienes para venderlos, etc. 
Generalmente el Costo Total se expresa en función de la demanda(x). 
Su fórmula lineal es: 
𝐶𝑇(𝑥) = 𝐶𝑉(𝑥) + 𝐶𝐹 (𝐶𝐹 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 ) 
 El costo variable es:𝐶𝑉(𝑥) = 𝑝. 𝑥 
 𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝒑 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 y 𝒙 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 
Por lo tanto la función Costo Total es creciente, ya que cuando aumenta la cantidad 
demandada también aumenta el costo. Dicha función puede ser no lineal también. 
 
Función Ingreso Total: Representa la suma de dinero obtenida por la venta de 
determinada cantidad de artículos. 
En general, el Ingreso Total se expresa en función de la cantidad (x). 
Su fórmula es: 
𝐼𝑇 (𝑥) = 𝑝. 𝑥 
𝑠𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝒑 𝑒𝑙 𝑝𝑟𝑒𝑐𝑖𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 𝑑𝑒 𝑣𝑒𝑛𝑡𝑎 y 𝒙 𝑙𝑎 𝑐𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 
La función Ingreso Totales creciente ya que al aumentar la cantidad vendida también 
aumenta el ingreso. Dicha función puede ser no lineal también. 
 
Función Beneficio Total: Representa la ganancia total obtenida por la venta de 
determinada cantidad de artículos. 
El Beneficio se obtiene por la diferencia entre el Ingreso Total y el Costo Total. 
Generalmente, el Beneficio Total se expresa en función de la cantidad. 
Su fórmula es: 
𝐵𝑇(𝑥)= 𝐼𝑇 (𝑥) − 𝐶𝑇(𝑥) 
 
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La función Beneficio Total , en general , es creciente pues al aumentar la cantidad de 
artículos vendidos también aumentará la ganancia. 
 
Ejemplo: 
Se sabe que una empresa tiene costos fijos de $30000 y que cada artículo tiene un costo 
unitario de $120 y se venden a $150 cada uno. 
Se pide: 
a) Hallar la función Costo Total 
b) Hallar la función Ingreso Total 
c) Hallar la función Beneficio total y cuál será su ganancia cuando vende 2500 
artículos. 
Solución: 
a) 𝐶𝑇(𝑥) = 𝐶𝑉(𝑥) + 𝐶𝐹 
El costo variable es: 𝐶𝑉(𝑥) = 𝑝. 𝑥 
Entonces:𝐶𝑇(𝑥) = 120𝑥 + 30000 (Función Costo Total) 
b) 𝐼𝑇 (𝑥) = 𝑝. 𝑥 entonces: 𝐼𝑇 (𝑥) = 150𝑥( Función Ingreso Total) 
c) 𝐵𝑇(𝑥) = 𝐼𝑇 (𝑥) − 𝐶𝑇(𝑥) 
 𝐵𝑇(𝑥) = 150𝑥 − (120𝑥 + 30000) 
𝐵𝑇(𝑥) = 150𝑥 − 120𝑥 − 30000 
𝐵𝑇(𝑥) = 30𝑥 − 30000 
𝐵𝑇(2500) = $45000 
Respuesta: Su ganancia será de $45000. 
Función Económica Media: Representa el valor promedio de la función económica por 
cada unidad y ese depende de la cantidad de unidades considerada. 
Se calcula mediante el cociente entre la función económica total y la cantidad de 
unidades (x). 
Su fórmula es: 𝑦𝑚𝑒(𝑥) =
𝑓𝑇(𝑥)
𝑥
 
 
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 Funciones económicas medias: 
• Función Costo Medio:𝐶𝑚𝑒(𝑥) =
𝐶𝑇(𝑥)
𝑥
 
 
• Función Ingreso Medio: 𝐼𝑚𝑒(𝑥) =
𝐼𝑇(𝑥)
𝑥
 
 
Función Beneficio Medio: 𝐵𝑚𝑒(𝑥) =
𝐵𝑇(𝑥)
𝑥
 
Observación: 
“Las funciones económicas medias carecen de sentido para x=0”. 
Ejemplo: 
Un artículo tiene la siguiente función de Costo Total: 
𝐶𝑇(𝑥) =
1
2
𝑥2 − 5𝑥 + 300 y la siguiente función de Demanda: 𝑥 = −5𝑝 + 500. 
Se pide hallar: 
a) La función Ingreso Total. 
b) La función Beneficio Total y Beneficio Medio. 
c) El Beneficio y el Beneficio Medio para x=100 unidades. 
d) Interpretar económicamente los resultados anteriores. 
 
Solución: 
a) 𝐼𝑇 (𝑥) = 𝑝. 𝑥 
Despejando p de 𝑥 = −5𝑝 + 500 
Se obtiene: 𝑝 =
500−𝑥
5
 
Reemplazando p en la función ingreso se obtiene: 
𝐼𝑇 (𝑥) =
500−𝑥
5
𝑥 => 𝐼𝑇(𝑥) =
500𝑥−𝑥2
5
 (Función Ingreso Total) 
 
 
b) 𝐵𝑇(𝑥) = 𝐼𝑇 (𝑥) − 𝐶𝑇(𝑥) 
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𝐵𝑇(𝑥) =
500𝑥 − 𝑥2
5
− (
1
2
𝑥2 − 5𝑥 + 300) 
Realizando las operaciones se obtiene: 
 𝐵𝑇(𝑥) = −
7
10
𝑥2 + 105𝑥 − 300(Función Beneficio Total) 
𝐵𝑚𝑒(𝑥) =
𝐵𝑇(𝑥)
𝑥
 => 𝐵𝑚𝑒(𝑥) = −
7
10
𝑥 + 105 −
300
𝑥
 (Benef. Medio) 
c) 𝐵𝑇(100) = 3200 𝑢. 𝑚. 
𝐵𝑚𝑒(100) = 32 𝑢. 𝑚. 
d) Interpretación económica: 
- Al vender 100 unidades, el Beneficio Total es de 3200 u.m. 
- Al vender 100 unidades, el Beneficio Medio por cada unidad vendida es de 32 u.m. o 
bien :si todas la unidades dieran el mismo beneficio, seria de 32 u,m, 
 
Función económica marginal: Representa la variación aproximada de la función 
económica total cuando la variable se incrementa en una unidad a partir de determinada 
condición inicial. 
Esta variación aproximada de la función económica total en un determinado valor de la 
variable se obtiene mediante la derivada de dicha función total. 
 
Su fórmula es: 𝑦𝑚𝑔(𝑥) = 𝑓𝑇
′ (𝑥) 
 
Dicha fórmula se obtiene a partir de la interpretación geométrica de la derivada de una 
función, pues la variación aproximada de la función se calcula en un punto o sea 
cuando ℎ → 0 ( lo mismo es ∆𝑥 → 0), entonces resulta: 
 
lim
ℎ→0
(
𝑓(𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
) = 𝑙𝑖𝑚
∆𝑥→0
(
∆𝑓(𝑥)
∆𝑥
) = 𝑓′(𝑥) = 𝑦𝑚𝑔(𝑥) 
 
 Funciones económicas marginales: 
• Función Costo Marginal: 𝐶𝑚𝑔(𝑥) = 𝐶𝑇
′ (𝑥) 
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• Función Ingreso Marginal:𝐼𝑚𝑔(𝑥) = 𝐼𝑇
′ (𝑥) 
• Función Beneficio Marginal: 𝐵𝑚𝑔(𝑥) = 𝐵𝑇
′ (𝑥) 
Ejemplo 1: 
Dada la función de Costo Total 𝐶𝑇(𝑥) = 𝑥
2 + 4𝑥 + 10 de elaboración de barbijos, se 
pide: 
a) Hallar las funciones de Costo Marginal y de Costo Medio. 
b) Determinar el costo aproximado de elaborar el barbijo n°71y el costo medio 
considerando los 71 barbijos. Interpretar los resultados obtenidos y comparar dichos 
valores. 
c) Determinar su costo real y compararlo con el aproximado. 
 
Solución: 
a) 𝐶𝑚𝑔(𝑥) = 𝐶𝑇
′ (𝑥) => 𝐶𝑚𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 4 
𝐶𝑚𝑒(𝑥) =
𝐶𝑇(𝑥)
𝑥
 => 𝐶𝑚𝑒(𝑥) =
𝑥2 + 4𝑥 + 10
𝑥
 
 
b) 𝐶𝑚𝑔(70) = 2(70) + 4 => 𝐶𝑚𝑔(70) = 144 𝑢. 𝑚. 
𝐶𝑚𝑒 =
712 + 4.71 + 10
71
 => 𝐶𝑚𝑒(71) = 75,14 𝑢. 𝑚. 
El costo aproximado de elaborar el barbijo n°71 es 144u.m., o sea el costo aumenta 144 
u.m. cuando a partir del barbijo n° 70 se elabora uno más. 
Considerando el costo total de elaborar los 71 barbijos, el fabricante tiene un costo 
medio (promedio) de 75,14 u.m. por cada uno. 
Al comparar ambos valores, se puede observar que el costo aproximado de elaboración 
de cada barbijo no es constante, esto significa que el costo unitario va aumentando a 
medida que aumenta la cantidad producida. 
 
c) Costo real de elaborar el barbijo n°71: 
𝐶𝑟𝑒𝑎𝑙(𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑎𝑏. 𝑛°71) = 𝐶𝑇(71) − 𝐶𝑇(70) 
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𝐶𝑟𝑒𝑎𝑙(𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑎𝑏. 𝑛°71) = 5335 − 5190 = 145 𝑢. 𝑚. 
El costo marginal (144 u.m.) es una aproximación del costo real (145 u.m.) al elaborar 
el barbijo n° 71. 
 
Ejemplo 2: 
Dada la función de costo medio 𝐶𝑚𝑒(𝑥) = 𝑥 + 5 +
8
𝑥
 correspondiente a la fabricación 
de lavarropas expresada en miles de pesos, se pide: 
a) Obtener la función de Costo Marginal. 
b) Hallar el costo marginal en x=4. 
c) Interpretar económicamente el resultado obtenido y verificarlo. 
 
Solución: 
a) Para obtener la función de Costo Marginal se necesita la función de 
Costo Total, entonces: 
b) 𝐶𝑚𝑒(𝑥) =
𝐶𝑇(𝑥)
𝑥
 => 𝐶𝑇(𝑥) = 𝑥. 𝐶𝑚𝑒(𝑥) 
𝐶𝑇(𝑥) = 𝑥. (𝑥 + 5 +
8
𝑥
) => 𝐶𝑇(𝑥) = 𝑥
2 + 5𝑥 + 8 
𝐶𝑚𝑔(𝑥) = 𝐶𝑇
′ (𝑥) => 𝐶𝑚𝑔(𝑥) = 2𝑥 + 5 
Por lo tanto el costo marginal en x=4 es: 
𝐶𝑚𝑔(4) = 2.4 + 5 => 𝐶𝑚𝑔(4) = 13 (𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠) 
 
c) El costo aumenta aproximadamente $13000 cuando a partir de fabricar 
4 lavarropas se fabrica uno más, lo mismo es decir que el costo aumenta $13000 al 
fabricar el lavarropas n°5. 
Para verificar dicho resultado se debe calcular el costo real de fabricar el lavarropas n°5: 
𝐶𝑟𝑒𝑎𝑙(𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑎𝑏. 𝑛°5) = 𝐶𝑇(5) − 𝐶𝑇(4) 
𝐶𝑟𝑒𝑎𝑙(𝑑𝑒 𝑒𝑙𝑎𝑏. 𝑛°5) = 58 − 44 = 12 (𝑚𝑖𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑝𝑒𝑠𝑜𝑠) 
 
El costo marginal ($13000) es una aproximación del costo real ($12000) al elaborar el 
lavarropas n° 5. 
 
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Nota aclaratoria: En estos dos ejemplos se consideró la función costo, si se hubiesen 
considerado cualquiera de las otras funciones económicas se procede análogamente. 
 
Elasticidad de una función: 
El concepto de elasticidad de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥), introducido por el economista 
inglés Alfred Marshall, se utiliza para medir el grado del cambio de una variable 
dependiente ante un cambio de la variable independiente. 
 
Antes de definir el concepto: “Elasticidad de una función” se recordaran los siguientes 
conceptos: 
 
Considerando la función 𝑦 = 𝑓(𝑥), se define: 
• La variación porcentual de la función es: 
∆𝑦
𝑦
=
∆𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥)
= %∆𝑦 
• La variación porcentual de la variable es: 
∆𝑥
𝑥
= %∆𝑥 
El resultado de ambas variaciones es un número sin unidad que multiplicado por 100 
expresa la variación porcentual(∆%). 
Por ejemplo, si consideramos una función costo total cuyo valor fuera $5000 y se 
incrementa en $500 cuando la cantidad aumenta de 20 a 25 unidades decimos que: 
La variación porcentual de la función es: 
∆𝐶
𝐶
=
$500
$5000= 0,1 => 𝑣𝑎𝑟í𝑎 𝑢𝑛 10% (∆%𝐶) 
Y la variación porcentual de la variable es: 
∆𝑥
𝑥
=
5
20
= 0,25 => 𝑣𝑎𝑟í𝑎 𝑢𝑛 25% (∆%𝑥) 
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Podemos afirmar que cuando las variables se incrementan un 25%, la función se 
incrementa un 10%. 
Ahora, si queremos saber en qué porcentaje se incrementa la función cuando las 
variables se incrementan en un 1% bastaría con resolver una regla de tres simple: 
25%-------10% 
1%---------∆%𝐶 =
1% . 10%
25%
= 0,4% 
Dicho resultado significa que la función C se incrementa en un 0,4% cuando la variable 
x se incrementa en un 1%. 
Con este simple ejemplo se podrá interpretar la definición y fórmula de la Elasticidad. 
Definición de Elasticidad: Se denomina Elasticidad de una función al cociente entre 
la variación porcentual de la función y la variación porcentual de la variable, su fórmula 
es: 
 𝐸 =
%∆𝑦
%∆𝑥
= 
∆𝑓(𝑥)
𝑓(𝑥)
∆𝑥
𝑥
=
𝑥0
𝑦0
.
∆𝑓(𝑥)
∆𝑥
 
𝑥0 𝑒 𝑦0 representan los valores iniciales de la variable y de la función 
respectivamente. 
Su resultado expresa la variación porcentual de la función cuando la variable se 
incrementa en un 1%. 
Aplicando dicha fórmula en el problema anterior: 
 𝐸 =
𝑥0
𝑦0
.
∆𝑓(𝑥)
∆𝑥
 => 𝐸 =
20
5000
.
500
5
= 0,4 
 (Que es el resultado obtenido anteriormente) 
Interpretación: 
La función C se incrementa en un 0,4% cuando la variable x se incrementa en un 1%. 
 
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Elasticidad de una función en un punto: Para obtener la fórmula de la elasticidad en 
un punto se debe aplicar en la fórmula anterior límite con ∆𝑥 → 0: 
𝐸(𝑥0;𝑦0) = 𝑙𝑖𝑚∆𝑥→0
(
𝑥0
𝑦0
.
∆𝑓(𝑥)
∆𝑥
) 
𝐸(𝑥0;𝑦0) =
𝑥0
𝑦0
 . 𝑙𝑖𝑚
∆𝑥→0
(
∆𝑓(𝑥)
∆𝑥
) 
𝐸(𝑥0;𝑦0) =
𝑥0
𝑦0
 . 𝑓(𝑥0)
′ 
La elasticidad puede interpretarse como la variación porcentual de la función, obtenida por 
una variación del 1% en la variable independiente. 
 
Elasticidad de la Demanda: 
Sea la función demanda, 𝐷 = 𝑓(𝑝) donde p es el precio por unidad y D la cantidad 
demandada. Si la función demanda es normal, será creciente, por lo tanto cada vez que 
se produzca un incremento en el precio, se producirá una disminución en la cantidad 
demandada y la elasticidad será siempre negativa. Pero para trabajar con una elasticidad 
positiva se puede trabajar con el módulo. Tenemos entonces: 
𝐸(𝑥0) = |
𝑥0
𝑦0
 . 𝑓′(𝑥)| => 𝐸𝑑 = |
𝑝0
𝑞0
 .
𝑑𝑞
𝑑𝑝
| = |
𝑝0
𝐷(𝑝0)
 . 𝐷′(𝑝0)| 
Distintos casos de a elasticidad de la demanda: 
• La demanda es perfectamente inelástica si 𝐸𝑑 = 0 
Esta situación se da cuando la demanda nunca varia frente a cualquier variación del 
precio. Por ejemplo: un medicamento absolutamente imprescindible. 
 
• La Demanda es inelástica si 𝐸𝑑 < 1 
Esta situación se da cuando frente a una variación en el precio, la cantidad demandada 
varia menos que proporcionalmente, con respecto a la variación del precio. 
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Por ejemplo: los bienes esenciales como ciertos alimentos tienen demanda inelástica, 
puesto que, aunque el precio aumente, el consumidor no puede prescindir de ellos y 
debe seguir comprándolos. 
 
• La demanda es unitaria si 𝐸𝑑= 1 
En este caso la cantidad demandada varía en la misma proporción que el precio. 
 
• La Demanda es elástica si 𝐸𝑑 > 1 
Esta situación se da cuando frente a una variación en el precio, la cantidad demandada 
varia más que proporcionalmente, con respecto a la variación del precio. Por ejemplo: 
para los bienes de lujo la demanda es muy elástica, puesto que frente a un aumento de 
precio, podemos dejar de adquirirlos ya que son prescindibles 
 
• Demanda es perfectamente elástica si 𝐸𝑑 = (→ ∞) 
Esto sucede cuando a un determinado precio los consumidores están dispuestos a 
comprar cualquier cantidad y frente a un aumento de precio, ya no están dispuestos a 
comprar nada. Se puede aplicar a bienes de lujo que sean totalmente prescindibles. 
 
Ejemplo: 
La función de demanda de un fabricante de heladeras es: 
𝑞 = 32 − 4𝑝. 
Se pide: 
a) Hallar la elasticidad de la demanda en 𝑝 = 6. 
b) Interpretar económicamente el resultado obtenido. 
c) Clasificar a la demanda. 
Solución: 
a) 𝐸𝑑(𝑝0) = |
𝑝0
𝑞0
 .
𝑑𝑞
𝑑𝑝
| => 𝐸𝑑(𝑝0) = |
𝑝
32−4𝑝
. (−4)| => 𝐸𝑑(6) = |
6
8
. (−4)| = 3 
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b) La demanda disminuye aproximadamente en un 3% cuando a partir de 𝑝 = 6 el 
precio aumenta en un 1%. 
 
c) La demanda es elástica. 
 
Observación: 
Si tenemos que calcular la elasticidad en un punto (𝑥0; 𝑦0) reemplazamos: 
𝑬(𝒙𝟎;𝒚𝟎) =
𝒙𝟎
𝒇(𝒙𝟎)
∙ 𝒇´(𝒙𝟎) = 
𝒇´(𝒙𝟎)
𝒇(𝒙𝟎)
𝒙𝟎
=
𝒇𝒎𝒈(𝒙𝟎)
𝒇𝒎𝒆(𝒙𝟎)
 
Por lo tanto podemos definir la elasticidad como el cociente entre el valor marginal y el 
valor medio de la función en un punto. 
Además si tenemos en cuenta que 𝒇´(𝒙) =
𝒅𝒚
𝒅𝒙
 podemos escribir: 
𝑬(𝒙) =
𝒙
𝒇(𝒙)
∙ 𝒇´(𝒙) =
𝒙
𝒚
∙
𝒅𝒚
𝒅𝒙
→ 𝑬(𝒙) =
𝒅𝒚
𝒚
𝒅𝒙
𝒙
=
𝒅(𝒍𝒏𝒚)
𝒅(𝒍𝒏𝒙)
 
 
La elasticidad también puede definirse como el cociente entre dos derivadas. 
Se podría utilizar estas fórmulas para calcular elasticidad de distintas funciones 
económicas 
 
Ejemplo: 
Dada la función ingreso 𝐼(𝑥) = 18𝑥 − 3𝑥
2 de un fabricante de bicicletas, se pide: 
a) Hallar la elasticidad del ingreso en 𝑥 = 2. 
b) Interpretar económicamente el resultado obtenido. 
 
Solución: 
 
a) 𝐸𝐼 =
𝑦𝑚𝑔
𝑦𝑚𝑒
 => 𝐸𝐼 =
18−6𝑥
18−3𝑥
 => 𝐸𝐼(2) =
6
12
= 0,5 
b) El ingreso aumenta aproximadamente en un 0,5% cuando a partir de x=2 la cantidad 
demandada se incrementa un 1%. 
 
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4. Bibliografía: 
[12] AVERNA, C.; RUTENBERG, E. (2007), Nociones de Cálculo, Tomos 1 y 2, Buenos Aires – 
Ed. Prometeo, 4ª edición cap. 11 
 
5. Actividad pedagógica: 
Resolver los siguientes problemas económicos, estos pertenecen a la guía de Trabajos 
Prácticos de la cátedra. Los ejercicios obligatorios son: 
1) b,c,f 2) a,f,g,h 4) 5) 6) 7) 10) 13) 14) 15) 18) 20) 21) 22) y 23). 
Funciones: 
1) Definir cuáles de las siguientes ecuaciones representa una función de oferta, cual de demanda 
y cual ninguna de ellas, donde 𝑝 es precio y 𝑄 oferta o demanda. Graficar las funciones 
𝑎)𝑝 = 3𝑄 𝑏) 2𝑝 + 3𝑄 − 12 = 0 𝑐) 3𝑝 − 5𝑄 + 4 = 0 
𝑑) 2𝑄 + 5𝑝 + 7 = 0e)4𝑝 + 3𝑄 − 13 = 0 f) 2𝑝 + 5𝑄 =0 
2) Determinar las cantidades intercambiadas y el precio de equilibrio, para los mercados en los 
cuales se verifican las siguientes leyes de oferta y demanda.Graficar ambas funciones. 
a) {
𝑄𝑑 = −2𝑝 + 30
𝑄𝑠 = 2𝑝 − 10
 b) {
𝑄𝑑 = −10𝑝 + 200
𝑄𝑠 = 6𝑝 − 40
 c) {
𝑄𝑑 = −3𝑝 + 630
𝑄𝑠 = 𝑝 − 170
 
 
𝑑) {
𝑝 = 10 − 2𝑄
3
2
𝑄 = 𝑝 − 3
 e) {
𝑄 = −2𝑝 + 6
𝑄 = 3𝑝 + 1
 f) {
2𝑝 + 3𝑄 = 10
𝑄 − 4𝑝 = −6
 
g) {
𝑄 = 16 − 2𝑝
4𝑄 = 4𝑝 + 𝑝2
h) {
𝑄 = 3𝑝2 − 3𝑝 − 2
𝑄 = 10 − 𝑝 − 𝑝2
 
3) ¿Cuál es la función oferta en un cierto mercado, si se sabe que es lineal y cuando el precio es 
$50 hay disponibles 50 artículos y cuando el precio es de $ 75 se ofrecen 100 artículos? 
4) Supongamos que la demanda semanal de un producto es de 100unidades cuando el precio es 
de $58 por unidad y de 200 unidades con precio de $51 cada una. 
a) Hallar la función demanda, suponiendo que es lineal. 
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b) Calcular 𝑄(65). ¿Qué representa? 
5) Una empresa vende un producto a $65 por unidad. Los costos variables por 
unidad en concepto de materiales y mano de obra ascienden a $37 . Los costos fijos mensuales 
ascienden a $10.000 . 
a) Expresar el costo total en funciónde 𝑥unidadesproducidas. 
b) Expresar el ingreso total en función de 𝑥unidades vendidas. 
6) La función de demanda para el producto de un fabricante es 𝑝 = 1200 − 3𝑄 
donde 𝑝es el precio (en pesos) por unidad cuando se tiene una demanda semanal de Q unidades. 
a) Expresar el ingreso total en función de la demanda. 
b) Graficar ambas funciones. 
7) Un artículo tiene la siguiente ley de costo total: 𝐶𝑇(𝑥) = 𝑥
2 + 6𝑥 + 8 , donde 𝑥 representa la 
cantidad de artículos. 
a) Indicar cuál es el costo fijo y que representa. 
b) Calcular 𝐶𝑇(5) e interpretar. 
c) Hallar la cantidad de artículos que genera un costo total de 63 . 
g) Graficar la función. 
 
8) Dada la siguiente función de ingresos totales: 𝐼𝑇(𝑥) = 𝑥
2 + 8𝑥 . Si la venta de x unidades 
produce un ingreso de 560 , calcular el valor de 𝑥. Graficar la función. 
9) El costo de fabricar una cierta cinta de video es C(x) 20000 5x= + , donde x es el número 
de cintas fabricadas. El Costo promedio por cinta, denotado por C(x)o 𝐶𝑚𝑒(𝑥) se encuentra 
dividiendo C(x) entre x. Encontrar: 
a)C(1000) b) (10000)C c) (x)Clim
100000x→
 d) 
x
lim C(x)
→+
 
10) La función Costo medio está dada por 𝐶𝑚𝑒(𝑥) =
6𝑥+120
𝑥
, donde q es la cantidad de artículos 
producidos: 
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 Determinar el costo fijo y el precio de costo unitario. 
 
 
 
11) Un negocio vende un determinado artículo en$40 pesos la unidad y se estima un 
costo fijo en $300. Con estos datos: 
 a) Escribir las funciones de Ingreso y de Costo total sabiendo que ambas 
 coinciden en 𝑞 = 20. 
 b) Encontrar el o los valores de q para que el negocio sea rentable. 
 c) Si q aumenta indefinidamente, ¿en qué valor se estabiliza el Beneficio 
medio? 
12) La función Oferta está dada por la función: 
 1 pe(p) Q −= donde p es el precio del bien, y q 
la cantidad ofertada, en decenas de miles. La función Demanda está dada por la función: 
( ) ( )= − +Q p 7 ln p 1 ,donde p es el precio del bien, y q la cantidad demandada, en decenas de 
miles.Usando el teorema de Bolzano halla el precio y la cantidad de equilibrio. 
13) La función Demanda de un producto es: 𝑝(𝑥) =
1000
𝑥+5
. Encontrar la función Ingreso 
marginal y calcularla en x= 45 ¿Cuál es el Ingreso adicional por vender la unidad 
número 46? Interpretar los resultados. 
 
14) Si la función Demanda de un cierto artículo está representada por la función 50𝑝 +
𝑥
3
2 = 1000 y además la función de Costo Total es 𝐶𝑇(𝑥) = 50 + 𝑥
3
2. 
Se pide evaluar el Beneficio marginal cuando la producción es de 25 unidades. 
Interpretar los resultados. 
15) Se analiza la demanda de un periódico mensual mediante la0 función X =
−2000𝑝 + 6000 siendo X la cantidad de periódicos vendidos mensualmente a un 
determinado precio p. Editar el diario tiene un costo de $0,50 por ejemplar y un costo 
fijo de $2000 mensualmente. Teniendo en cuenta estos datos se pide hallar la función 
Beneficio marginal y el precio que hace a éste igual a cero. 
16) Suponga que una ecuación de Demanda está dada por 𝑥 = 5000 − 100𝑝. 
Encuentre el Ingreso marginal para los siguientes niveles de producción: 
a) 1000 unidades; b) 2500 unidades; c) 3000 unidades. 
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Sugerencia: Comience expresando la función de Demanda: 𝑝 = 𝑓(𝑥)y luego halle la 
función Ingreso: 𝐼𝑇(𝑥) = 𝑝. 𝑥 
17) Determinar el Ingreso marginal cuando 𝑥 = 225 si la ecuación de Demanda es 𝑥 +
90𝑝 = 900. Interpretar el resultado. 
18) El Ingreso Total por la venta de un cierto artículo está dada por: 
𝐼𝑇(𝑥) = 10. √300𝑥 − 2𝑥2 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 150 . Se pide: a) Hallar la función Ingreso 
marginal, b) calcularla en 𝑥 = 30 ; 60 ; 90 𝑦 120 c) Interpretar los resultados anteriores. 
19) Una compañía produce cierta cantidad de artículos y el Costo Total está de 
 Elaboración está dado por 𝐶𝑇(𝑥) = 600 + √50 + 15𝑥2 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 200. 
 Se pide hallar la función Costo marginal. 
 20) El Costo Total (en miles de pesos) de fabricar x botes está dado por: 
𝐶𝑇(𝑥) = 600 + 𝑥 + 42𝑥
2
3 , 0 ≤ 𝑥 ≤ 100. Se pide: 
a) Encuentre la función de Costo marginal. 
b) ¿Cuál es el costo marginal en x = 40? 
c) ¿Cuál es el costo real de fabricar el bote número 41? 
d) ¿Es el costo marginal en x = 40 una aproximación razonable del costo 
real de fabricar el bote n° 41? 
 
21) Dada la función Costo Total: 𝐶𝑇(𝑥) = 0,02𝑥
2 + 50𝑥 + 400 . Se pide: 
a) Hallar las funciones: Costo medio y Costo marginal. 
b) Compare el Costo marginal en x = 130 con el costo real de producir la 
unidad n° 131. Interpretar. 
c) ¿A partir de que cantidad el 𝐶𝑚𝑔(𝑥) comienza a ser mayor que el 𝐶𝑚𝑒(𝑥)? 
 22) Dada la función 𝑦 = 𝑥2 − 3𝑥 + 5 , se pide calcular: 
 a) La elasticidad de la función “y” con respecto a “x”. 
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b) La elasticidad para x = 5. Interpretar el resultado. 
c) La elasticidad para x = 1. Interpretar el resultado. 
23) La demanda de bebidas destiladas está dada por :𝑞 = −0,00375𝑝 + 7,87 , 
donde p es el precio al menudeo (en pesos) de una caja de licor y q es el 
 número promedio de cajas compradas por año por un consumidor. 
a) Calcule e interprete la elasticidad de la demanda cuando p = $118 por caja y 
cuando p = $1200 por caja. 
b) Determine el precio por caja para que la demanda tenga elasticidad unitaria 
(es decir E = 1). ¿Cuál es el significado de este precio? 
24) Dada la demanda: 𝑙𝑛 (√
2
𝑥
4
) − 𝑝 = 0 , se pide hallar el precio y la cantidad 
demandada para que la demanda resulte unitaria o sea E = 1. 
25) Dada la función 𝑞 = 10 − ln(𝑝) , se pide: 
a) Calcular la elasticidad de la demanda respecto al precio para p = 1. 
b) Hallar los intervalos para los cuales la demanda es inelástica, elástica o 
unitaria. 
Respuestas: 
Respuestas: 
1) Demanda: b, e . Oferta: a, c Ninguno: d, f 
2) a) 𝑝 = 10 , 𝑄 = 10 b) 𝑝 = 15 , 𝑄 = 50 c) 𝑝 = 200 , 𝑄 = 30 
d) 𝑝 = 6 , 𝑄 = 2 e) 𝑝 = 1 , 𝑄 = 4 f) 𝑝 = 2 , 𝑄 = 2 g)𝑝 = 4 , 𝑄 = 8 
h) 𝑝 = 2 , 𝑄 = 4 
3) 𝑝 −
1
2
𝑄 = 25 4) 𝑝 + 0,07𝑄 = 655) 𝐶𝑡(𝑥) = 37𝑥 + 10.000 𝐼𝑡(𝑥) = 65𝑥 
6)𝐼𝑡(𝑥) = 1200 𝑄 − 3𝑄
2 7) a) 𝐶𝑓 = 8 b) 𝐶(5)=63 c) 5 8) 𝑥 = 20 
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9) a) 25 b) 7 c) 5,2 d) 5 
10)a) cf: 120 precio de costo unitario: 6 b) Es el precio de costo unitario c) 150 
11) a) I(q) = 40 q C(q) = 300 + 25 q b) q > 20 c) 15 
 
13) 𝐼𝑚𝑔(45) = 2 , 𝐼𝑛𝑔𝑟𝑒𝑠𝑜𝑎𝑑𝑖𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑜𝑟𝑒𝑎𝑙 = 1,96 
14) 𝐵𝑚𝑔(𝑥) = 20 −
1
20
𝑥
3
2 −
3
2
𝑥
1
2 ; 𝐵𝑚𝑔(25) = 6.25 
15) 𝐵𝑚𝑔(𝑥) = −
𝑥
1000
+ 2,5 ; 𝑝 = $1,75 
16) a) 30; b) 0; c) -10 
17) 𝐼𝑚𝑔(225) = 5 
18) b) 10,61 ; 2,89 ; -2,89 ; -10,61 
19) 𝐶𝑚𝑔(𝑥) =
15𝑥
√50+15𝑥2
 
20) a)𝐶𝑚𝑔(𝑥) = 1 + 28𝑥
−
1
3 ; b) $9187 ; c) $9154 ; d) Sí 
21) a) 𝐶𝑚𝑒(𝑥) = 0,02𝑥 + 50 +
400
𝑥
 ; 𝐶𝑚𝑔(𝑥) = 0,04𝑥 + 50 
b) 𝐶𝑚𝑔(130) = $55,20 ; ∆𝐶𝑇 = 𝐶𝑇(131) − 𝐶𝑇(130) = $55,22 
 c) A partir de 142 unidades. 
 22) a) 𝐸(𝑥) =
2𝑥2−3𝑥
𝑥2−3𝑥+5
 ; E(5) = 2,33 ; E(1) = -0,33 
 23) a) 0,06; 1,34 ; b) $1049,33 
 24) p = 0,25 u.m. x = 0,73 
 25)a) E=0,1; 
 b)(𝑒9; 𝑒0) 𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 ; (0; 𝑒9) 𝑖𝑛𝑒𝑙á𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎 ; 𝑝 = 𝑒9 𝑢𝑛𝑖𝑡𝑎𝑟𝑖𝑜 
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6. Material complementario de la clase: 
 
Se sugiere mirar los siguiente videos explicativos de los temas de esta clase: 
https://www.youtube.com/watch?v=w6DrXQRqqxg&t=13s 
https://www.youtube.com/watch?v=BmMot6fsKsg&t=283s 
https://www.youtube.com/watch?v=5CwbeP1IrKYhttps://www.youtube.com/watch?v=hcvkJOvuG4Q 
https://www.youtube.com/watch?v=E9hZtf_xzx8 
 
 
 
 
 
 
 
https://www.youtube.com/watch?v=w6DrXQRqqxg&t=13s
https://www.youtube.com/watch?v=BmMot6fsKsg&t=283s
https://www.youtube.com/watch?v=5CwbeP1IrKY
https://www.youtube.com/watch?v=hcvkJOvuG4Q
https://www.youtube.com/watch?v=E9hZtf_xzx8