Semana8_Estimacion_de_parametros_y_taman_o_de_muestra

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PROBABILIDADES Y ESTADISTICA 
Tema 5: Estimación de parámetros y ta-
maño de muestra 
 
 
 Dra. Patricia Guevara Vallejo 
Docente del DECE 
Universida de las Fuerzas Armadas -ESPE 
 
 
 
Junio 2020 
 
I 
 ÍNDICE 
Capítulo 5. Estimación de parámetros ___________________ 112 
5.1. Conceptos básicos _____________________________________ 112 
5.5.1. Tipos de estimaciones _____________________________________________ 112 
5.6. Propiedades de un estimador __________________________ 112 
5.6.1. Errores de estimación de 𝜽 _________________________________________ 113 
5.2. Distribuciónes muestrales _____________________________ 114 
5.2.3. Distribución del muestreo para la diferencia entre dos medias _____________ 116 
5.3. Estimación por intervalo para una muestra ______________ 117 
5.3.1. Intervalo de confianza bilateral _____________________________________ 117 
5.3.2. Intervalo de confianza bilateral para la media __________________________ 117 
5.3.3. Tamaño de la muestra para estimar la media ___________________________ 119 
5.3.4. Correción del tamaño de la muestra __________________________________ 120 
5.3.5. Tamaño de la muestra corregido para poblaciones finitas _________________ 121 
5.3.6. Intervalo de confianza bilateral para estimar una proporción ______________ 122 
5.3.7. Tamaño de la muestra para estimar la proporción _______________________ 123 
5.3.8. Tamaño de la muestra corregido para poblaciones finitas _________________ 125 
5.4. Ejercicios propuestos, estimaciones sobre una muestra ___ 126 
5.4.1. Deber: Estimaciones para una muestra _______________________________ 128 
Bibliografía _____________________________________ 128 
 
 
 
 
 
II 
 
 
112 
Capítulo 5. Estimación de parámetros 
 
5.1. Conceptos básicos 
 
La inferencia estadística estudia los métodos para tomar decisiones y obtener conclusiones 
sobre una población en base a la información que le proporciona la muestra. Inferencias que se 
pueden hacer con ayuda de la estimación de los parámetros y la prueba de hipótesis. 
 
N 
 
 
 
 
 
n 
𝜃 
Gráfico 5.1. https://seactuario.com/ContMatematicas/PROBABILIDAD01.htm 
 
Un parámetro es una medida descriptiva de la población que en general se denota por , mien-
tras que el estadístico o estimador es la medida descriptiva obtenida en la muestra denotado 
por θ̂ y que sirve para estimar el parámetro poblacional . 
Los parámetros  más conocidos son la media poblacional , varianza poblacional 2, proporción 
poblacional p, estos se estiman respectivamente mediante estimadores θ̂ como la media muestral 
x , varianza muestral s2, proporción muestral p̂ . 
 
5.5.1. Tipos de estimaciones 
Las estimaciones de los parámetros de la población se pueden realizar de forma puntual y por 
intervalo. La estimación puntual determina un único valor para estimar el parámetro, mientras 
que la estimación por intervalo halla un rango de valores dentro del cual ocila el parámetro. 
De acuerdo al valor que toman los estimadores, estos pueden ser sesgados e insesgados. Un 
estimador es insesgado, si E( θ̂ )-=0, caso contrario el estimador es sesgado. 
5.6. Propiedades de un estimador 
Sea  un parámetro (medida descriptiva de la población) y 𝜃 su estimado puntual, este cumple las 
siguientes propiedades: 
https://seactuario.com/ContMatematicas/PROBABILIDAD01.htm
 
113 
- Insesgado si E(𝜃)= , y será sesgado cuando E(𝜃)  
- Eficiente, cuando tiene mínima varianza, es decir si se tienen dos estimadores 𝜃1 será 
más eficiente que 𝜃2, si 𝑉𝑎𝑟(𝜃1) < 𝑉𝑎𝑟( 𝜃2) 
- Robusto, si al no cumplirse un supuesto por ejemplo normalidad, esto no altera la esti-
mación. 
- Consistente, cuando a medida que crece el tamaño de la muestra, el valor del estimador 
tiende al valor del parámetro. Es de utilidad, especialmente cuando no es posible encon-
trar estimadores de mínima varianza. 
- Robusto, si al no cumplirse un supuesto por ejemplo normalidad, esto no altera la esti-
mación. 
- Suficiente, al proporcionar toda la información relevante, sin que exista otro similar que 
proporcione información adicional. 
 
5.6.1. Errores de estimación de �̂� 
- Error estándar 𝜎�̂� = √𝑉𝑎𝑟(𝜃) 
- Error cuadrático medio: MSE= E(𝜃- )2 
Si se disponen de dos estimadores de 𝜃1y 𝜃2 del parámetro , se define la eficiencia relativa 
de como 
𝑀𝑆𝐸(�̂�1)
𝑀𝑆𝐸(�̂�2)
 . Si esta razón es menor que 1, se dice que el estimador 𝜃1 es más eficiente 
que 𝜃2 
Se suele elegir los estimadores que sean insesgados y de mínima varianza. 
Pero en ciertas ocasiones, como ocurre en la regresión, pude ser conveniente un estimador 
sesgado, pues en este caso podría producir un error cuadrático medio, pues el objetivo es 
reducir el MSE. 
 
Ejemplo 5.1. 
La media muestral �̅� es el estimador puntual de la media poblacional . 
Demostración: 
Para que se cumpla lo dicho, �̅� debería ser insesgado, es decir E(�̅�) =. 
Puesto que, �̅� =
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
, se cumple: E(�̅�)= 𝐸 (
∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
𝑛
)= 
1
𝑛
𝐸(∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 )=
1
𝑛
∑ 𝐸(𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1 )= 
1
𝑛
∑ 𝜇𝑛𝑖=1 =
1
𝑛
𝑛𝜇 = 𝜇 
Además de que �̅� es un estimador insesgado de , por el teorema límite central, �̅� tiene aproxima-
damente una distribución normal con media  y varianza 2/n, si n. 
 
114 
5.2. Distribuciónes muestrales 
Definición. X1, X2, …, Xn, se dice que es una muestra aleatoria, si las Xi son v.a. inde-
pendientes y tienen la misma distribución de probabilidad. 
 
Definición. La distribución de probabilidad de un estadístico se denomina distribución 
muestral de . 
 
Si se toman todas las posibles muestras de tamaño k, se halla el estimador del parámetro en 
cada una, y se construye una distribución de probabilidad para el estimador, se observa que, a 
medida que se incrementa el número de muestras, la distribución de probabilidad del estimador, 
se asemeja más a la distribución de probabilidad de la variable en la población, y por lo tanto el 
estimador se acercará más al parámetro en la población. El siguiente gráfico ilustra lo dicho an-
teriormente: 
X θ̂ 
 
5.2.1. Distribución muestral de las medias 
Dada una población con distribución normal con media X y varianza 
2
xσ , si se toma una muestra 
aleatoria X1,X2,..., Xn de tamaño n, donde Xi son v.a. normalmente distribuidas e independientes 
con media i = �̅�i y varianza i2 y se realiza la distribución de muestreo de las medias, �̅�1, �̅�2,…, �̅�n 
ésta también tiene distribución normal con media �̿� = 𝜇 y varianza 
n
σ
σ
2
x2
x  . 
Definición. El error estándar de un estadístico es la desviación estándar de la distribución de 
muestreo. 
En el caso de la distribución de muestreo de medias es 𝜎�̅� = 𝜎𝑥/√𝑛 es el error estándar de esti-
mación de la media. Si no se conoce x el error se dice error estándar estimado. 
 
Ejemplo 5.2 
Tome una población ideal de N = 4 observaciones: X=14, 16, 17, 18. a) Halle las funciones de 
densidad, media y desviación estándar de la v.a. X; b) Halle la distribución muestral de medias de 
muestras tamaño 2 f(�̅�) y la media y desviación estándar de la v.a. �̅�; verificar: �̿� = 𝜇𝑥 y
n
σ
σ
2
x2
x  
 
115 
Solución: 
1. Función de densidad f(x) 
X f(x) 
14 ¼ = 0.25 
16 ¼ = 0.25 
17 ¼ = 0.25 
18 ¼ = 0.25 
 
Sus descriptivas de población son: µ= 16.25  = 1.479  2 = 2.1875 
2. Función de densidad f(�̅�) 
Ω �̅� f(�̅�) 
14, 16 15.0 1/6 
14, 17 15.5 1/6 
14, 18 16.0 1/6 
16, 17 16.5 1/6 
16, 18 17.0 1/6 
17, 18 17.5 1/6 
 
Las posibles muestras de tamaño 2 de la población ideal de 4 elementos se obtien con una 
combinación: N = 4, k=2  el n=4C2 = 6 
De dichas muestras, se obtiene los descriptivos de la distribución muestral: 
 
�̿�= X = 16.25 y 𝜎�̅� = 0,8539 
Verificando: 𝜎�̅� =
𝜎𝑥
√𝑛
=
1,4790
√4
= 0,7395 
Pero: 𝜎�̅� =
𝑠𝑥
√𝑛
=
1,7078
√4
= 0,8539 
 
Ejemplo 5.3 
Realicela distribución muestral de las medias con muestras de tamaño 4, con los siguientes datos: 
3,6; 3,0; 4,0; 2,9; 3,6; 3,2; 3,7; 3,2; 2,2; 2,6; 3,3; 2,9; 3,6; 3,3; 3,4; 4,0; 4,2; 3,4; 4,1; 3,1; 3,1; 3,5. 
 
 
 
116 
5.2.2. Teorema del límite central 
Si X1, X2, ..., Xn es una muestra aleatoria de tamaño n, tomada de una población (finita o infi-
nita) media x y varianza 
2
xσ , y si �̅� es la media muestral entonces la forma límite de la distri-
bución de 𝑍 =
�̅�−𝜇𝑥
𝜎𝑥
√𝑛
 si n, es la distribución normal estándar. 
 
Ejemplo 5.3 
A continuación se ilustra la distribución muestral para la v.a. “Suma de los resultados en el 
lanzamiento de a) 1 dado, b) dos dados, c) 10 dados, . . . . d) k dados”. Como se puede observar a 
medida que aumenta el número de dados, la distribución muestral tiende a una distribución nor-
mal. Gráfico: Box, Hunter y Hunter 1978 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5.2.3. Distribución del muestreo para la diferencia entre dos medias 
Dadas dos poblaciones independientes con media y varianza respectivamente: 1, 12; y 2, 22, y 
si �̅�1, �̅�2, son las medias muestrales de las muestras de tamaños n1 y n2, entonces la distribución 
de muestreo de z es normal, donde 
2
n
2
2
σ
1
n
2
1
σ
 )
2
μ -
1
(μ - 
2
x
1
x
Z


 
x 
x 
x 
k dados 
 1 2 3 4 5 6 
x 
1 dado 
2 dados 
3 dados 
10 dados 
x 
X: suma de resul-
tados observados 
al lanzar k dados 
 
 
117 
5.3. Estimación por intervalo para una muestra 
Al momento de realizar una estimación de un parámetro  es más conveniente hallar un in-
tervalo o rango de valores en el cual oscila  con una probabilidad de ocurrencia, que indicaría la 
confianza de ocurrencia de este evento; esta confianza se puede medir en niveles de porcentaje 
que usualmente se los toma entre 90% y 99%. Luego se pueden determinar dos tipos de intervalos 
de confianza para el parámetro : 
Bilateral:   [li, ls] o también se puede expresar [li  ls] 
Unilateral superior   [l, +∞[ o también se puede expresar  l 
Unilateral inferior   ]-∞, l] o también se puede expresar l 
Donde li, ls, l son los límites de los intervalos. 
 
Los elementos necesarios para hallar este intervalo de confianza son: 
- El nivel de confianza o en su defecto el nivel de significancia 
- Los puntos críticos 
- El error estándar 
- Tamaño de la muestra. 
 
5.3.1. Intervalo de confianza bilateral 
Nivel de confianza, es la probabilidad de que el parámetro  pertenezca al intervalo: 
 (1-)=p(lils) = p(  [li, ls]) 
Nivel de significancia, es la probabilidad de que el parámetro  no pertenezca al intervalo: 
 = p(≤li ls≥) = p( [li, ls]) 
Puntos críticos, son dos puntos en una distribución de probabilidad, que corresponden al nivel de 
confianza. En el caso de los intervalos unilaterales solo será un punto crítico. 
Tamaño de la muestra, que influye en el tamaño del intervalo. 
 
5.3.2. Intervalo de confianza bilateral para la media 
Si X es una v.a. normal y la 𝑍 =
�̅�−𝜇𝑥
𝜎𝑥
√𝑛
 también es normal estándar, donde 
�̅� es la media muestral de una muestra aleatoria de tamaño n. Siendo la media poblacional µ el 
parámetro de interés, entonces se tienen los siguientes casos: 
 
 
118 
Caso 1.1. Intervalo de confianza para , si la varianza poblacional 2 es conocida. 
n
σ
zXμ
n
σ
zX α/2α/2  (1) 
 
Ejemplo 5.5 
 
 
 
 
 
 
 
Caso 1.2. Intervalo de confianza para , si la varianza poblacional 2 es desconocida. 
En este caso se usará la varianza muestral S2, se asume que la distribución es aproximadamente 
normal, por lo que además se usará la distribución t-Student con n-1 grados de libertad. Por lo 
dicho, ahora el estadístico será 𝑇 =
�̅�−𝜇𝑥
𝑠𝑥
√𝑛
 
ns/tXμns/tX 1-nα/2,1-nα/2,  (2) 
 
Ejemplo 5.6 
Hallar el intervalo de confianza al 95% para estimar la longitud media de la muñeca (cm) de es-
tudiantes de Geoespacial-Geográfica. Se conoce que la población estudiantil es N=420 
 
/2 /2 
 -z/2 0 +z/2 
/2 /2 
 -t/2, n -1 0 t/2, n -1 
 
119 
5.3.3. Tamaño de la muestra para estimar la media 
El tamaño de la muestra para estimar la media, se lo obtiene con una confianza del 100(1-)% 
con un error máximo | x -| a partir del intervalo de confianza para la media, caso 1.1. 
2
α/2
e
σz
n 




 
 (3) 
Donde: 
x es el estimador puntual de  
e= |�̅� -| error máximo admisible (error de estimación) 
2 es la varianza poblacional 
Zα/2 es el punto crítico en la distribución normal correspondiente al nivel de significancia α 
Para poder calcular el tamaño de la muestra, se debe fijar el error de muestreo y conocer  es la 
desviación estándar poblacional  o aproximarla. 
 
5.3.3.1. Fijación del error de muestreo e 
Puesto que e= |�̅� -|, se entiende que e tiene las mismas unidades de la variable de estudio X, por 
ejemplo, si X: salario tiene como unidad de medida dólares, de igual forma el error e tendrá como 
unidad de medida dólares. 
Luego para poder fijar e antes del cálculo de la muestra se recomienda que este error no supere el 
5% en términos de porcentaje. Para resolver el problema, se puede partir de una hipótesis, por 
ejemplo, si quiere comprobar que el salario medio es $490, se podría tomar un 5% de este valor 
para fijar el error, luego: e=$490*0.05 = $24.5. 
En términos generales: e=u0*e% [unidades] 
Si, en el ejemplo anterior tenemos se pide calcular el tamaño de la muestra para estimar el salario 
medio con un error de $30, el proceso será inverso para verificar si este valor no supera el 5% en 
términos de porcentaje. Luego, en lugar de multiplicar dividimos: 
e% = $30/$490= 0.061  e%=6.1%, luego $30 no es apropiado, ya que en términos de porcentaje 
supera el 5%. 
En términos generales: e% = e(unidades) / u(unidades) 
Para finalizar, si no se cuenta con una hipótesis acerca de la media, como último recurso se podría 
tomar la media de un estudio anterior o prueba piloto (no muy recomendable) para fijar una hi-
pótesis sobre la media para los cálculos. 
 
 
120 
5.3.3.2. Aproximación de la varianza poblacional 2 
Aunque en la fórmula del tamaño de la muestra, se encuentra la varianza 2, esta puede ser un 
valor teórico conocido, pero no siempre será así, por lo que debe aproximarse. Se tienen tres cri-
terios: 
 Estudios anteriores 
Si se conoce la varianza muestral de estudios similares o anteriores 𝑆∗
2 =
∑ (𝑥𝑖−�̅�)
2𝑛
𝑖=1
𝑛∗−1
, se to-
mará este valor para aproximar la varianza poblacional 2. 
 Prueba piloto 
Se toma una muestra cuyo tamaño n* es mucho más pequeño que la muestra definitiva n, 
(n*<<n), y se halla la varianza muestral 𝑆∗
2 =
∑ (𝑥𝑖−�̅�)
2𝑛
𝑖=1
𝑛∗−1
, la misma que aproximará a 𝜎2 . 
 Regla empirica 
Si no es posible aproximar la varianza por los dos criterios anteriores, se recurre a la regla empí-
rica, sin embargo, es la menos recomendable. El criterio se basa en la normalidad de la distribu-
ción normal, y la posilbildad de hallar intervalos de confianza a una, dos y tres desviaciones es-
tándar de la media. A dos desviaciones estándar de la media, se tiene un intervalo de confianza 
que contiene un poco más del 95% de las observaciones, de modo que: 
p(-2<X<+2)= p(-2<Z<+2)= 0.95450 
Recuerde: p(-zo<Z<+zo)=0.95  z=±1.96 
 
Luego en el rango de variación de los datos contiene aproxiamadamente 4 desviaciones estándar, 
2 a la izquierda de la media y dos a la derecha de la media. 
Rango  4    Rango /4 y esta se reemplaza en la fórmula (3) 
 
5.3.4. Correción del tamaño de la muestra 
La fórmula (3) se utiliza para el cálculo del tamaño de la muestra para poblaciones infinitas 
(N>=6000) 
Como no aparece el tamaño de la población en la fórmula (3), se hace una corrección, la misma 
que permite usarla tanto parapoblaciones finitas o infinitas. 
Criterio de corrección: 
Si n∞/N >=0.05, entonces se debe corregir n∞ con la siguiente fórmula: 𝑛 =
𝑛∞
1+
𝑛∞
𝑁
 (4) 
 
 
121 
Ejemplo 5.7 
Determinar el tamaño de la muestra para estimar la longitud media de la muñeca (cm), con error 
de 0.7 cm, aproxime la varianza usando la muestra piloto de 18 estudiantes, del ejemplo 5.6. Use 
un nivel de confianza del 95%. Se conoce que la población de estudiantes Geo de N=420 
Solución. 
 
 
Ejemplo 5.8 
Recalcular el tamaño de la muestra del ejemplo anterior, pero usando la regla empírica, donde la 
longitud mínima de la longitud mínima y máxima de la muñeca son respectivamente 10 cm y 20 
cm. 
 
 
 
5.3.5. Tamaño de la muestra corregido para poblaciones finitas 
En el proceso anterior, se debía calcular el tamaño de la muestra para luego hacer la correc-
ción; mientras que, conla fórmula siguiente ya se encuentra realizada la corrección con una solo 
paso. 
𝑛 =
𝑍𝛼/2
2 𝜎2𝑁
𝑒2(𝑁−1)+𝑍𝛼/2
2 𝜎2
 (5) 
En el caso del tamaño de la muestra para estimar la media, la varianza poblacional es: 𝜎2 =
∑ (𝑥𝑖−𝜇)
2𝑛𝑖
𝑚
𝑖=1
𝑁
, y en el caso de no ser conocida, se debe aproximar los criterios mencionados ante-
riormente. 
 
122 
5.3.6. Intervalo de confianza bilateral para estimar una proporción 
Dada una muestra aleatoria de tamaño n de una población grande y sea la variable aleatoria dis-
creta binomial X: número de éxitos en la muestra. Entonces p̂ =x/n es un estimador puntual de 
la proporción poblacional p. Se conoce que la distribución de muestreo de p̂ es aproximadamente 
normal con media p y varianza 𝜎𝑝
2 =
𝑝(1−𝑝)
𝑛
, y la distribución de Z es aproximadamente normal 
con forma límite 𝑍 =
�̂�−𝑝
√
�̂�(1−�̂�)
𝑛
 
El intervalo de confianza biltaral al 100(1-)% para la estimación de la proporción poblacional p 
de éxitos es: 
n
)p̂-(1p̂
p̂p
n
)p̂-(1p̂
p̂ α/2α/2 zz  (6) 
La muestra se considera grande si np≥5 
 
Ejemplo 5.9 
Variables aleatorias binomiales 
Número de caras al lanzar una moneda 20 veces, número de varones nacidos en la maternidad 
 
Ejemplo 5.10 
Hallar el intervalo de confianza al nivel del 95% para estimar la proporción de artículos defectuo-
sos. Se toma una muestra de 200 artículos y se encuentra que, 8 son defectuosos. 
Solución: 
Proporción de artículos defectusos en la muestra: �̂� =
𝑥
𝑛
=
8
200
= 0.04 
1-=0.95  =0.05Z/2=±1.96 
�̂� = 1 − 𝑝 = 0.96 
Varianza muestral de la distribución de muestreo de una proporción: 
 𝑆2 = �̂��̂�=0.04*0.96=0.0384 
0.04 ∓ 1.96 ∗ √
0.0384
200
  [0.0128, 0.0672] 
Con una confianza del 95%, la proporción de artículos defectuosos varía entre 0.0128 a 0.0672 
 
 
123 
Ejemplo 5.11 
Hallar el intervalo de confianza al nivel del 99% para estimar la proporción de días lluviosos en el 
año 2019. Se ha tomado una muestra de 120 días, donde llovió en el 25% de las ocasiones. 
Solución: 
�̂� ∓ 𝑍𝛼/2 ∗ √
𝑝∗(1−𝑝)
𝑛
 
Para el nivel de confianza =0.01 se tiene el punto crítico Z0.005=2.575 
0.25 ∓ 2.575 ∗ √
0.25∗0.75
120
  [0.1482, 0.3518] 
Con una confianza del 99%, se estima que entre el 14.82% y 35.18% de los días son lluviosos 
 
5.3.7. Tamaño de la muestra para estimar la proporción 
𝑛∞ = (
𝑍𝛼/2𝜎
𝑒
)
2
=
𝑍𝛼/2
2 𝜎2
𝑒2
 (7) 
donde: 
La varianza poblacional es 2 = pq es 
El error de estimación e = |�̂� − 𝑝| 
Punto crítico correspondiente a una significancia  : Z/2. 
 
Al igual que, el cálculo del tamaño de la muestra para estimar la media, se aplica la corrección en 
la fórmula del tamaño de la muestra. 
 
5.3.7.1. Fijación del error de muestreo e 
Puesto que e = |�̂� − 𝑝| no tiene unidad de medida, este teoricamente toma valores entre cero y 
uno, sin embargo para garantizar un muestreo adecuado, se recomienda usar valores del error 
directamente entre 1% y 5%, es decir 0.01 ≤p≤0.05 
 
5.3.7.2. Aproximación de la varianza poblacional 2=pq 
Aunque en la fórmula del tamaño de la muestra, se encuentra la varianza 2, esta puede ser un 
valor teórico conocido, pero no siempre será así, por lo que debe aproximarse. Se tienen tres cri-
terios: 
 
124 
 Estudios anteriores 
Si se conoce la varianza muestral 𝑆∗
2 = �̂��̂� de estudios similares o anteriores, se tomará 
este valor para aproximar la varianza poblacional 2. 
 Prueba piloto 
Se toma una muestra cuyo tamaño n* es mucho más pequeño que la muestra definitiva n, 
(n*<<n), y se halla la varianza muestral 𝑆∗
2 = �̂��̂� , la misma que aproximará a varianza 
poblacional 2. 
 Regla empirica 
Al no poder aplicar los criterios anterioes, se toma p =q=0.5, es decir se considera que la 
probabilidad de éxitos es igual a la probabilidasd de fracasos; ello evita el sesgo y se en-
cuentra un tamaño de muestra máximo. 
 
Ejemplo 5.12 
Calcular el tamaño de la muestra para estimar la proporción de artículos defecutosos. La produc-
ción esde 200 artículos. Tomar un nivel de confianza del 95%. Un error del 2%. Estime la varianza 
con los tres criterios. 
a. De un estudio anterior, la proporción de éxitos es �̂� = 0.01. 
La varianza del estudio anterior es: 𝑆∗
2 = �̂��̂� = 0.01 ∗ 0,99=0.0099  2. 
Al nivel de confianza del 95%, corresponde un punto crítico: Z/2 =± 
El tamaño de la muestra es: 𝑛∞ =
𝑍𝛼/2
2 𝜎2
𝑒2
=
1.962∗0.0099
0.022
=95.08 = 95 
Correción: n∞/N = 95/200 = 0.475 <0.05 (F), entonces corregir 
𝑛 =
95
1 +
95
200
 
La muestra definitiva es n=64.41  n=64 artículos 
 
b. Se toma una muesra piloto de n*= 20 artículos, donde se determina que 3 de estos tienen 
defectos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
125 
c. No siendo posible aplicar los criterios anteriores, use la regla empírica. 
 
 
 
 
 
Ejemplo 5.13 
Recalcular el tamaño de la muestra del ejercicio 5.13 con los tres criterios, usando un error de 
estimación de 5%. 
 
 
 
 
 
 
 
5.3.8. Tamaño de la muestra corregido para poblaciones finitas 
En el proceso anterior, se debía calcular el tamaño de la muestra para luego hacer la correc-
ción; mientras que, conla fórmula siguiente ya se encuentra realizada la corrección con una solo 
paso. 
𝑛 =
𝑍𝛼/2
2 𝜎2𝑁
𝑒2(𝑁−1)+𝑍𝛼/2
2 𝜎2
 (8) 
Esta fórmula se usa para calcular el tamaño de la muestra cuando se desea estimar la proporción. 
Si la varianza poblacional 2 =pq es desconocida, se debe aproximar los criterios mencionados 
anteriormente. 
 
Ejercicio. 
Calcular el tamaño de la muestra, usando la fórmula (8). ¿Qué diferencia hay con lo hallado en el 
ejemplo 513? 
 
126 
5.4. Ejercicios propuestos, estimaciones sobre una muestra 
 
Intervalo de confianza para la media 
5.1. Halle un intervalo de confianza para estimar la calificación promedio con los siguientes 
datos de la muestra: 
8, 10, 6, 6, 5, 6, 7, 8, 8, 4, 4, 3, 5, 6, 8, 10, 6 
a. Utilice un nivel de confianza del 95% 
b. Utilice un nivel de confianza del 99% 
 
5.2. Halle un intervalo de confianza para estimar el peso promedio de un grupo personas, con 
los siguientes datos muestrales: 
139, 128, 140, 130, 121, 126, 138, 100, 116,164, 153, 106, 117, 108, 128, 144, 124, 133, 135, 
116, 118, 110, 106, 119, 131, 142 
a. Utilice un nivel de confianza del 95% 
b. Utilice un nivel de confianza del 99% 
 
5.3. Se sabe que los ingresos mensuales por las ventas en un mes típico son en promedio 
$3800. Se toma una muestra de 36 locales, obteniéndose que los ingresos son en prome-
dio $3600 con una desviación estándar de $100. Con una confianza del 95% se puede 
afirmar que se está cumpliendo con el valor promedio ocurrido usualmente en ese mes 
típico? 
 
5.4. Se sabe que el peso promedio de las cajas de cereal es 30 gr con una desviación estándar de 
2 gr. El gerente de producción sospecha que no se está cumpliendo con esta norma, por lo 
que estudia una muestra de de 50 cajas, obteniendo una media muestral de 29 gr. Con una 
confianza del 95% se puede afirmar que se está cumpliendo con lanorma? 
 
Intervalo de confianza para la proporción 
5.5. El número de personas de una muestra que votarán por el mismo partido político de la elec-
ción anterior es 180 de una muestra de 490 individuos consultados. Halle un intervalo de 
confianza para la proporción de personas que votarán por el mismo partido en las siguientes 
elecciones, use niveles de confianza de: a) 90%, b) 95% y c) 99% 
 
127 
5.6. El número de artículos defectuosos en una muestra de 600, es 40. Se espera que solamente 
hasta un 5% de artículos presenten defectos, caso contrario se debe. Con una confianza del 
95%, se puede afirmar que se está cumpliendo con lo establecido? 
 
5.7. El número de personas de una muestra que votará por el mismo partido político de la elec-
ción anterior es 180 de una muestra de 490 individuos consultados. Halle un intervalo de 
confianza para la proporción de personas que votarán por el mismo partido en las siguientes 
elecciones, use niveles de confianza de: a) 90%, b) 95% y c) 99% 
 
Tamaño de la muestra para estimar la media 
5.8. La Consejería de Trabajo planea un estudio para conocer el tiempo promedio de trabajo 
semanal de mujeres del servicio doméstico (horas.) La muestra se tomará de una población 
de 10000 mujeres registradas en la Seguridad Social. De una prueba piloto se conoce que 
su varianza es de 9.648. Trabajando con un nivel de confianza de 0.95 y estando dispuestos 
a admitir un error máximo de 20 minutos, ¿cuál es el tamaño de la muestra? 
 
5.9. Halle el tamaño de la muestra para estimar el gasto promedio anual en tecnología multime-
dia por hogar. El tamaño de la población es N=6400 hogares. Utilice un nivel de confianza 
del 95%. Considere los siguientes casos: 
a. De un estudio anterior, el gasto promedio anual fue de $792.15 con una desviación es-
tándar de $261.99. Fije un error adecuado para hallar el nuevo tamaño de muestra. 
b. De una prueba piloto realizada, se tiene que, el gasto promedio anual fue de $810.73 
con una desviación estándar de $272.45. Fije un error adecuado para hallar el nuevo 
tamaño de muestra. 
c. Se conoce que los gastos varían de $300 a $1200. Fije una varianza y error adecuados 
para hallar el nuevo tamaño de muestra. 
 
Tamaño de la muestra para estimar la proporción 
5.10. En el ejercicio 5.8, suponga que ahora se desea estimar la proporción de mujeres que traba-
jan semanalmente 10 horas o más. De una prueba piloto realizada se dedujo que la propor-
ción de mujeres que trabajan 10 horas o más es 0.30, fijamos el nivel de confianza en 95% 
y el error máximo del 2%, ¿Cuál es el tamaño de la muestra? 
 
 
128 
5.11. Halle el tamaño de la muestra para estimar la proporción de personas que están de acuerdo 
con una propuesta. El tamaño de la población es N=12000 personas. Utilice un nivel de 
confianza del 95%, fije un error adecuado. Considerado los siguientes casos: 
a. De un estudio anterior, la probabilidad de que las personas estén de acuerdo con la 
nueva propuesta es p = 0.24 
b. De una una prueba piloto realizada, se tiene que: la probabilidad de que las personas 
estén de acuerdo con la nueva propuesta es p = 0.31 
c. Aplique la regla empírica, suponiendo que no existe la posibilidad de realizar una 
prueba piloto, ni existen estudios anteriores. 
d. Comente los resultados obtenidos. 
 
 
 
5.4.1. Deber: Estimaciones para una muestra 
 
Ingenieros PAFDE 
Ejercicios: 5.1. al 5.7 Ejercicios: 5.1. al 5.7 
 
Bibliografía