MIT - EYRM - APUNTE RECOPILACIÓN

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ESTÁTICA Y
RESISTENCIA DE
MATERIALES
 
MOVIMIENTO DE
INCLUSIÓN TOTAL 
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APUNTES - RECOPILACIÓN
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Tema : Introducción 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tema : INTRODUCCIÓN 
 
 
 
 
 
 
F
 FLEXIÓN 
M
TORSIÓN
TRACCIÓN
F F F 
CORTADURA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1 
Tema: Introducción 
I.1.- INTRODUCCIÓN A LA RESISTENCIA DE MATERIALES 
 
La MECÁNICA estudia los SÓLIDOS RÍGIDOS 
 
La RESISTENCIA DE MATERIALES estudia los SÓLIDOS DEFORMABLES 
 
Se propone el siguiente ejemplo: 
 
Se quiere levantar un cuerpo de 100 Kg de peso y para hacer menor el esfuerzo a realizar, se 
utiliza una barra, que a través de un apoyo intermedio O, se usará como una palanca. Se desea 
en un principio calcular el esfuerzo P que se deberá aplicar en el extremo de la barra 
 
 
P 
 
 
100 Kg 
 O 
 
 
 1 m 2 m 
 
 Fig. I.1.a 
 
Suponiendo la barra utilizada, como rígida, es la Mecánica la que resuelve el problema. Así 
por la ecuación de equilibrio: 
 
KgPPMO 501.1002.0 =→==∑ 
 
Pero la barra, en realidad, es un sólido deformable y como tal, podría ocurrir que se rompiese 
o que se deformase demasiado y por tanto no nos sirviese para elevar el peso de 100 Kg. 
 
 100 Kg La barra se rompe O P 
 
 
 1 m 2 m 
 
 Fig. I.1.b 
 
 100 Kg 
 O 
La barra se deforma demasiado
P 
 
 1 m 2 m 
 Fig. I.1.c 
 
Será precisamente la RESISTENCIA DE MATERIALES la que nos ayude a dimensionar la 
barra a utilizar, para evitar que se rompa o que se deforme demasiado 
2 
Sección I1: Introducción a la Resistencia de Materiales 
 
¡ Que no se rompa la barra ¡
 
Las fuerzas exteriores que aplicamos sobre los cuerpos, provocan en ellos fuerzas interiores 
o tensiones que se oponen a las exteriores. Ello es debido porque las fuerzas exteriores alteran 
las posiciones de reposo que mantenían las partículas elementales del interior del cuerpo y se 
desarrollan entonces fuerzas internas que tratan de recuperar las posiciones iniciales de las 
mismas 
 
 Fint Fint Fext Fext
 
en reposo 
 Fig. I.2 
 
Al aumentar el valor de las fuerzas exteriores aumentará el valor de las fuerzas interiores y 
ello sucederá así hasta que éstas llegan a su valor límite y ya no pueden crecer más. A partir 
de aquí el sólido romperá. 
 
 F1int
F1ext 
 
F2int>F1int 
F2ext>F1ext 
 
 F3int=Fint max>F2int F3ext>F2ext 
 
 
La barra se rompe F4ext>F3ext 
Fig. I.3 
 
Se denomina resistencia mecánica de un cuerpo: “a las fuerzas internas máximas o 
tensiones que es capaz de desarrollar dicho cuerpo”. Dependerá de las dimensiones del 
mismo y del material del que esté hecho. 
 
¡ Que no se deforme demasiado la barra ¡
 
En el ejemplo gráfico anterior, se observa que a medida que se va aumentando la fuerza 
externa, el cuerpo se va deformando más. Se tendrá que controlar que los sólidos no se 
deformen demasiado y dejen de ser útiles. 
 
Se denomina rigidez de un cuerpo: “a la resistencia que presenta a dejarse deformar” 
 
Conclusión final:
La RESISTENCIA DE MATERIALES permitirá calcular: 
• Las fuerzas internas o tensiones. (A través de ellas se controlará que los cuerpos no se 
rompan) 
• Las deformaciones. (A través de ellas se controlará que los cuerpos no se deformen 
demasiado) 
3 
Tema: Introducción 
I.2.-PRINCIPIOS GENERALES EN LOS QUE SE VA A BASAR LA RESISTENCIA 
DE MATERIALES 
 
A continuación se enunciarán tres Principios que aplicaremos en la mayor parte de la 
Resistencia de Materiales y que servirán para simplificar los cálculos 
 
Principio de los Pequeños Desplazamientos 
 
Según este Principio, se admite que al aplicar las fuerzas exteriores sobre los cuerpos, los 
desplazamientos que se originan, son en la mayoría de los casos pequeños en relación con las 
dimensiones de los mismos. Ello nos permitirá que las ecuaciones de equilibrio de la Estática 
las podamos aplicar sobre el cuerpo en su posición inicial, es decir sin haberse deformado. 
 
Ejemplo: Sea una estructura formada por dos cables que soportan una carga. Se desea calcular 
las tensiones en los cables 
 
 
 β
 α
 
 
 O
 
 P 
 Fig. I.4.a 
 
Al considerar la estructura deformable, las ecuaciones de equilibrio de fuerzas, se deberían 
plantear, en rigor, en la estructura ya deformada. Es decir cuando los extremos inferiores de 
las cuerdas y por tanto la carga P se ha trasladado al punto O´. 
 
Estableciendo pues, las ecuaciones de equilibrio en el punto O´ se tendría: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Con estas ecuaciones de equilibrio no se podrán obtener los valores de F1 y F2 pues se 
desconocen las variaciones ∆α y ∆β que han sufrido las inclinaciones de los cables. 
 
 
O 
P 
α+∆α 
β-∆β 
O´ 
Fig. I.4.b 
PFFF
senFsenFF
y
x
=∆++∆−=
∆+=∆−=
∑
∑
)cos(.)cos(.0
)(.)(.0
12
12
ααββ
ααββ
P 
α+∆α
β-∆β F2
F1
O´
Fig. I.4.c 
4 
Sección I.2: Principios Generales 
Si se supone ahora que las deformaciones de los cables van a ser pequeñas y aplicamos el 
“Principio de los Pequeños Desplazamientos”, las ecuaciones de equilibrio se aplicarán ahora 
a la estructura de cables aún sin deformar (en el punto O) y se podrá resolver fácilmente el 
valor de las tensiones en ambos cables. 
 
 β
F2 α
β F1α 
 O
 
O Fig. I.4.e P 
 
PFFF
senFsenFF
y
x
=+=
==
∑
∑
αβ
αβ
cos.cos.0
..0
12
12P 
Fig. I.4.d 
 
Con estas dos ecuaciones se obtienen los valores de F1 y F2
 
Observaciones: 
 
Los valores obtenidos de F1 y F2 no serán exactamente los reales, pero tendrán una 
aproximación suficiente pata considerarlos como válidos. A partir de ellos se podrá estudiar la 
deformación de la estructura. 
 
Si los desplazamientos de la estructura no fuesen tan pequeños, los resultados así obtenidos 
no serían válidos y no se podría aplicar este Principio. 
 
Este Principio se podrá aplicar en la mayor parte de los problemas que resuelve la Resistencia 
de Materiales, ya que generalmente se trabajará con pequeñas deformaciones 
 
 
 
Principio de la Superposición de los Efectos 
 
Este Principio dice que: “ Los efectos producidos por varias cargas actuando sobre un 
cuerpo (fuerzas internas o tensiones y deformaciones), se pueden obtener, siempre que las 
deformaciones producidas sean pequeñas, como suna de los efectos producidos por cada 
una de las cargas actuando separadamente” 
 
 
 
 += 
 (1) (2) 
 
 tensiones (2) + tensiones tensiones (1) = deformaciones (2) +deformaciones = deformaciones (1) Fig. I.5 
 
5 
Tema: Introducción 
Observaciones: 
 
Este Principio es de gran utilidad y se aplicará también en muchos problemas de la 
Resistencia de Materiales, dado que permite dividir el caso de una solicitación general de 
cargas, que puede ser compleja, en casos sencillos que resultan haciendo actuar por separado 
dichas cargas y así en muchos casos poder utilizar los Prontuarios que dan soluciones para 
dichos casos simples de cargas. 
 
Si las deformaciones producidas fuesen grandes este Principio no se podría aplicar. Éste sería 
el caso, por ejemplo, de una viga de “gran esbeltez” (vigas de longitudes grandes y pequeñas 
secciones) sometida a una carga de compresión y otra de flexión 
 
F F P P + ≠ 
 
 
 Fig.I.6.b Fig.I.6.c Fig. I.6.a 
 
P actuando sola → acorta la viga (Fig. I.6.b) 
F actuando sola → flexiona la viga (Fig. I.6.c) 
P y F actuando juntas → F (flexiona la viga) y P (acorta la viga y la flexiona aún más) 
(Fig. I.6.a) 
 
 
Principio de Saint Venant 
 
Este Principio dice: “Si se sustituye el sistema de fuerzas que está actuando sobre un cuerpo 
por otro equivalente a él, los efectos que ambos sistemas producen (tensiones y 
deformaciones) serán similares en todos los puntos del cuerpo, salvo en aquellos que se 
encuentran en la zona próxima a donde estaban aplicadas las fuerzas” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Según este Principio las tensiones y deformaciones producidas por las cargas en (Fig. I.7.a), 
son las mismas que las que aparecerán en (Fig. I.7.b), salvo en lazona rayada, próxima a 
donde actúan las cargas, que serán diferentes: 
 
En la zona rayada: tensiones y deformaciones (Fig. I.7 a) ≠ tensiones y deformaciones (Fig. 
I.7.b) 
En el resto: tensiones y deformaciones (Fig. I.7.a) = tensiones y deformaciones (Fig. I.7.b) 
F1 
F2 R = F1 +F2 +F3 
F3 
Fig. I.7.b Fig. I.7.a 
6 
Sección I.2: Principios Generales 
Así, se podrá aplicar este Principio a problemas de Resistencia de Materiales en donde la 
superficie donde actúa la carga, es pequeña en relación con las dimensiones de la pieza, pues 
en este caso la zona afectada por el cambio (zona rayada) tendría poca consideración. 
 
 
 R = Σ FSI 
 
 
→
 
 
 
 Fig. I.8.a 
 
 
 
 
R = Σ F NO 
 →
 
 
 
 Fig. I.8.b 
 
 
 
Como se observa en (Fig. I.8.a), la zona rayada (donde se van a producir las alteraciones en el 
estado de tensiones y deformaciones), es pequeña, con lo cual la sustitución del sistema de 
fuerzas por su resultante, apenas va a suponer alteración de dicho estado en la viga. No ocurre 
lo mismo en el caso de (Fig. I.8.b), donde la zona rayada es grande y por tanto la zona donde 
se van a dar las alteraciones en el estado de tensiones y deformaciones, al sustituir el sistema 
de fuerzas por su resultante, es muy amplia, con lo cual no se podrá hacer dicha sustitución, 
pues se cometerían errores graves en los cálculos. 
 
7 
 Tema 1: Tensiones 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tema 1 : TENSIONES 
 
 
 
 
 
 
 
F1 
 S 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
∆F O
F2 
F4 
∆S σ nS u
ρ τ 
Tema 1: Tensiones 
1.1.- CONCEPTO DE TENSIÓN 
 
Consideremos un sólido sometido a un sistema de fuerzas: F1, F2, F3, ..,Fn y que esté en 
equilibrio estático (no se mueve) y en equilibrio elástico (ya está deformado). 
 
 F3 
F1 
 
 
S Fn F5 F4 
F2 
 
 
 Fig. 1.1.a
 
Debido a las fuerzas exteriores aparecen en el interior del sólido las fuerzas 
interiores, que se oponen a la acción de las exteriores y tratan de llevar al sólido a la 
posición que tenía inicialmente de reposo. Para ponerlas de manifiesto seccionemos el 
sólido por la superficie S. 
F3 F1 
S S 
∆F 
2 
 
Las dos partes en que ha quedado dividido el sólido no estarían ahora en equilibrio. Para 
reproducir dicho equilibrio se tendría que restablecer las acciones que cada parte del 
sólido ejercía sobre la otra. Estas acciones son las fuerzas interiores (∆F), fuerzas que 
las partículas de un lado de la superficie S ejercían sobre las del otro lado 
 
Se denomina: 
 
 
Tensión media en el punto O: 
 
 
 
Tensión en el punto O: 
 
 
 
 
 
∆F 
O 
F2 
F4 
∆S ∆S 
Fn O F5 
Fig. 1.1.b Fig. 1.1.c
S
F
med ∆
∆
=
r
r
ρ
S
F
S ∆
∆
= →∆
r
r
0limρ )1.1(
Sección 1.2: Tensiones normales y cortantes 
1.2.- TENSIONES NORMALES Y CORTANTES
 
 
 F1 
 S 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tensión en el punto O: 
 
es un vector de la misma dirección y sentido que F
r
∆ pero de menor módulo (va 
dividido por ∆S) 
 
Tensión normal )(σr : es la componente de la tensión ρ
r
 sobre la dirección normal a la 
superficie S. 
 
Se obtendrá: 
 
∆F O
F2 
F4 
∆S σ 
ρ τ 
nS u
Fig. 1.2
S
F
S ∆
∆
= →∆
r
r limρ 0
ur
r
.ρσ = )2.1(.uσ σ=r r
S
siendo el vector unitario normal a la suu
r
perficie 
3 
 
 
Tensión cortante )(τr : es la componente de la tensión ρ
r
 sobre la propia superficie S 
 
Se cumplirá que: 
 
con lo cual: 
 
 
1.3.- ESTADO DE TENSIONES EN UN PUNTO
 
Si se hubiese seccionado el sólido por diferentes superficies S que pasen por el punto O 
se hubiesen obtenido diferentes valores de la tensión ρ
r
 en dicho punto, puesto que las 
acciones que se estaban ejerciendo sobre el punto O por parte de los que le rodean no 
serían las mismas 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
22 τσρ +=τσρ
rrr
+= )3.1(
τ ρ σ= −rr r 2 2τ ρ σ= − )4.1(
F3 
F1 
ρ2 
ρ3 ρ1 Fn F5 F4 
ρ4 F2 ρn 
Fig. 1.3
Tema 1: Tensiones 
Al conjunto de todos los valores de las tensiones ρ en un punto O, correspondientes a 
todas las superficies que pasen por él, se le denomina: ESTADO DE TENSIONES DEL 
PUNTO O 
Así, según se ve en (Fig. 1.4.a y b), si seccionásemos por la superficie S1 actuaría la 
tensión ρ1, si seccionásemos por la superficie Sn actuaría la tensión ρn, etc..Luego cada 
tensión va asociada a una Superficie 
 
 
 
4 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
COMPONENTES DEL ESTADO DE TENSIONES EN UN PUNTO 
 
De todas las tensiones que puede haber en un punto, se verá cómo, si seleccionamos 6 
de ellas, a las que denominaremos “Componentes del estado de tensiones en un 
punto”, a partir de ellas, se podrán conocer todas las demás. 
 
Sea O un punto del sólido cuyo “Estado de tensiones” se quiere conocer. Aislemos un 
elemento de volumen diferencial, en forma de paralelepípedo recto, con vértice en O, 
origen de un sistema de ejes coordenados: x,y,z, coincidentes con las aristas del 
paralelepípedo. Al ir reduciendo las dimensiones del paralelepípedo, manteniéndole 
semejante a sí mismo, en el límite, el paralelepípedo tiende al punto O y todas sus caras 
pasan por O, con lo cual se podrá considerar las tensiones sobre sus caras como 
tensiones en el punto O. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
F1 F1 
F2 
F4 
ρ1 
S1 
Fig. 1.4.a
F2 
F4 
ρn 
Sn 
Fig. 1.4.b
F3 
F1 
y
O Fn x F5 F4 
zF2 
Fig. 1.5
 Sección 1.3: Estado de tensiones en un punto 
 
Ampliemos el paralelepípedo y por lo visto en 1.2., sobre cada una de las caras de dicho 
paralelepípedo habrá una tensión normal σ y una tensión cortante τ. Si descomponemos 
ésta a su vez, en sus dos componentes sobre las direcciones de los ejes respectivos, se 
tendrán 3 tensiones en cada una de las caras y por tanto 18 tensiones sobre el 
paralelepípedo completo. 
 
σ´yy 
 
 τ´yx
 τ´yz σz 
 τ´xyτzx dy τxz σx σ´x τ´zy τzy
 
τ´xzτ´zxσ´z τxy
dx x O 
 τyx τyzdz 
 
 
z σy Fig. 1.6
 
Nomenclatura utilizada 
 
Para las tensiones normales: σx → el subíndice “x”, indica que esta tensión está sobre 
una superficie normal al eje X 
 
Para las tensiones cortantes: τxy → el primer subíndice “x”, indica que está sobre una 
superficie normal al eje X y el segundo subíndice “y”, indica que lleva la dirección del 
eje Y 
 
Observación: en las caras del paralelepípedo paralelas a las que contienen a los ejes 
coordenados, las tensiones se las distingue con un “prima” en la parte superior: σ´x, τ´xy
 
Convenios de signos para las tensiones 
 
Para las tensiones normales: σ → se consideran positivas, (σ > 0), cuando van 
dirigidas en el mismo sentido que la normal saliente a la superficie donde está aplicada. 
(Si se observa en (Fig. 1.6), todas las tensiones normales dibujadas en las diferentes 
caras del paralelepípedo serían positivas). 
 
Para las tensiones cortantes: τ → se consideran positivas, (τ > 0), cuando las que están 
aplicadas sobre las caras del paralelepípedo que pasan por O llevan sentido contrario al 
de los ejes positivos y las que están aplicadas en las caras que no pasan por O llevan el 
mismo sentido que los ejes positivos. (Si se observa en (Fig. 1.6), todas las tensiones 
cortantes dibujadas en las diferentes caras del paralelepípedo serían positivas). 
5 
Tema 1: Tensiones 
Las tensiones en las tres caras del paralelepípedo que no pasan por O ( σ´x, σ´y, σ´z, τ´xy, 
τ´yz, τ´zx ) se podrían expresar matemáticamente en función de las tensiones en las otras 
tres caras que pasan por O ( σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx ) por desarrollo de Tylor: 
 
 
 
dx
x
dx
x
dx
x
xz
xzxz
xy
xyxy
x
x ...
´´
∂
∂
+=
∂
∂
+=
∂
∂
+
τττ
τ
ττσσ x
´σ =
 
 
dy
y
dy
y
dy
y
yz
yzyz
yx
yxyx
y
y ...
´´
∂
∂
+=
∂
∂
+=
∂
∂
+
τ
ττ
τ
ττ
σ
σy
´σ = )5.1(
 
 
dz
z
dz
z
dz
z
zy
zyzy
zx
zxzx
z
z ...
´´
∂
∂
+=
∂
∂
+=
∂
∂
+
τ
ττ
τ
ττ
σ
σz
´σ = 
 
 
Si reduciésemos las dimensiones del paralelepípedo, manteniéndose semejante a sí 
mismo, el paralelepípedo tendería al punto O y en el límite todas sus caras pasarían por 
O, con lo cual se podría considerar que: 
 
 xzxzxyxyx ττττσ ==
´´
yzyzyxyxyττττσ ===
´´
zyzyzxzxz ττττσ ===
´´
xσ =
´
yσ
´
zσ
´
 
 )6.1(
 
 
 
 
Así pues, en este caso, serán sólo 9 las tensiones distintas que actúan sobre las caras de 
dicho paralelepípedo: 3 tensiones normales y 6 tensiones cortantes. 
 
Por último si establecemos las ecuaciones de equilibrio del paralelepípedo:Σ F = 0, 
Σ M = 0, se obtendría que: 
 
 )7.1(xzzxzyyzyxxy ττττττ ===
 
 
Conclusión: Serán sólo 6 las tensiones distintas que actúan sobre las caras del 
paralelepípedo, que serán: 
 
 
zxyzxyzyx τττσσσ 
 
 
a estas 6 tensiones se las denomina:Componentes del estado de tensiones del punto O 
 
 
 
 
 
 
 
6 
 Sección 1.3: Estado de tensiones en un punto 
TENSOR DE TENSIONES 
 
Supuestamente conocidas las 6 componentes del estado de tensiones en un punto O 
cualquiera: σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx , vamos a desarrollar una fórmula que permita conocer 
las tensiones sobre cualquier superficie que pase por O. 
 
Para ello tracemos una superficie S que cortará al paralelepípedo diferencial en un plano 
de área dS y aislemos del cuerpo el elemento de volumen diferencial que en forma de 
tetraedro con vértice en O se nos ha formado. 
 
F3 
F1 y 
7 
 
O
dS
Fn x F5 F4 
 zF2 
 Fig. 1.7
 
 
Ampliando dicho tetraedro y situando las tensiones sobre las caras del mismo será: 
 
y 
 σz
 
 
 
 
 
 
 
Estableciendo las ecuaciones de equilibrio del tetraedro: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ecuaciones que expresadas en forma matricial quedará: 
 
u 
n 
x
z 
O 
ρ 
τ 
dS
τzxτxz
( )
siendo en general : . . .
y estando la superficie definida por :
cos ,cos ,cos
x y zi j
dS
u
kρ ρ ρ ρ
α β γ
= + +
rr rr
r
σx στzy
τxy
τyzτyx
σy Fig. 1.8
0 . . .cos . .cos . .cos
dividiendo por : .cos .cos .cos
y haciendo lo mismo en los otros ejes :
0 .cos .cos .cos
0 .cos .cos .cos
0 .co
x x x yx zx
x x yx zx
x x x yx zx
y y xy y zy
z z xz
F ds ds ds ds
ds
F
F
F
ρ σ α τ β τ
ρ σ α τ β τ γ
ρ σ α τ β τ γ
ρ τ α σ β τ γ
ρ τ
= = + +
= + +
= = + +
= = + +
= =
∑
∑
∑
∑ s .cos .cosyz zα τ β σ γ+ +
)8.1(
γ
Tema 1: Tensiones 
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
γ
β
α
σττ
τστ
ττσ
ρ
ρ
ρ
cos
cos
cos
.
zyzxz
zyyxy
zxyxx
z
y
x 
 )9.1(
 
 
 
 
uT r
r
.=ρ )10.1(y en forma abreviada: 
 
siendo: 
"" TensionesdeTensorT
zyzxz
zyyxy
zxyxx
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
σττ
τστ
ττσ
 )11.1( 
 
 
Conclusión: 
 
Conocidas las componentes del Estado de Tensiones en un punto: σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx 
y dada una superficie S cualquiera que pase por dicho punto, definida por su vector 
normal unitario: u (cosα, cosβ, cosγ ), se podrá conocer, por la ecuación obtenida (1.9) 
la tensión ρ sobre dicha superficie. 
 
Una vez conocida la tensión ρ, se podrá obtener por las ecuaciones (1.2) y (1.3): 
 
22
..
σρτσρτ
σσρσ
−=−=
==
rrr
rrrr uu 
)12.1( 
 
 
 
 
 
Caso Particular: TENSIONES PLANAS:
 
Se considera que un estado de tensiones es plano cuando se cumpla: 
 
 σz = 0, τxz = 0, τyz = 0 
 
(Este es un caso que se presenta con mucha frecuencia) 
 
La ecuación matricial (1.9) sería: 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
γ
β
α
στ
τσ
ρ
ρ
ρ
cos
cos
cos
.
000
0
0
yxy
yxx
z
y
x
 
 
 
 
o lo que es lo mismo: 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
β
α
στ
τσ
ρ
ρ
cos
cos
.
yxy
yxx
y
x )13.1(
 
 0=zρ 
 
 
8 
Sección 1.4: Tensiones Principales 
 
 
1.4.- TENSIONES PRINCIPALES
 
De las infinitas Tensiones que puede haber en un punto de un sólido, relativas a las 
infinitas superficies S que pasen por él, habrá unas que tengan los valores máximo y 
mínimo, a las que se denominará: TENSIONES PRINCIPALES. A las superficies S 
correspondientes se las denominará : SUPERFICIES PRINCIPALES y a las 
direcciones de los vectores normales a dichas superficies se las denominará: 
DIRECCIONES PRINCIPALES. 
 
Para su cálculo se tendrá e
Principales se cumplirá: 
 
 Existirán pues muchas superficies, como la dS
n cuenta, aunque no se demostrará, que en las Superficies 
.9 a), en las cuales habrá 
nsiones normales (σ ) y cortantes (τ ) y habrá algunas, como la dS , (Fig.1.9 b), en las 
 
 
 
ÁLCULO DE LAS TENSIONES PRINCIPALES
1, (Fig.1
0 con lo cual :τ ρ σ= =rr r
te 1 1 2
que no habrá tensiones cortantes y por tanto sólo habrá tensiones normales (σ2), con lo 
cual, en estos casos, la tensión total (ρ2) coincidirá con la tensión normal 
 
 
 F1 
F2 
F3 
F4 5 
F1 
2 
F3 
F4 F5 
 
y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C 
e Tensiones en un punto O: 
, σ , σ , τ , τ , τ y sea S una Superficie Principal que pasa por O, definida por su 
ir: 
 llevando est
 
Supongamos conocidas las 6 componentes del Estado d
σx y z xy yz zx
vector normal unitario: u (cosα, cosβ, cosγ ). 
 
En función de lo dicho antes, se deberá cumpl
 
 
 
 
y as expresiones a la ecuación (1.8) que da el valor de 
 
 
 
F
O x
y
z
dS
ig. 1.9.a
ρ1 
 
σ1 
u1 1 
F
τ1 F
O x
z
dS2
ig. 
u2 ρ2 = σ2 
τ
F 1.9.b 
2 = 0
dS1: Superficie cualquiera dS2: Principal 
u
 Superficie
rr .ρρ = : 
γρρβρραρρ cos.cos.cos. === yx z
con lo cual
9 
ρ, quedará: 
)14.1(
Tema 1: Tensiones 
 
 
10 
 
 
 
 
operando
 para que este sistema de ecuaciones homogéneo, tenga solución no nula, tendrá que 
erificarse que el determinante formado por los coeficientes sea nulo, es decir: 
esolviendo este determ ación de tercer grado, se 
btendrán las Tensiones Principales : ρ1, ρ2, ρ3
 PRINCIPALES
: 
 
 
 
 
 
 
 
Y
v
 
 
 
 
 
 
R inante, que da lugar a una ecu
o
y se cumplirá: ρ1 = σ1, ρ2 = σ2, ρ3 = σ3
 
CÁLCULO DE LAS DIRECCIONES 
ra conocer las direcciones en 
s que éstas aparecen: direcciones principales, se resolverá el sistema de ecuaciones 
 para q
e auxiliará con la euación: 
as direcciones principales a de ecuaciones 
rmado por (1.17.a) y (1.17.b): 
 
.cos .cos .cos ( 1.14) .cos
.cos .cos .cos ( 1.14) .cos
.cos .cos .cos ( 1.14) .cos
x x yx zx
y xy y zy
z xz yz z
por
por
por
ρ σ α τ β τ γ ρ α
ρ τ α σ β τ γ ρ β
ρ τ α τ β σ γ ρ γ
= + + = =
= + + = =
= + + = =
0cos.cos.cos).( =++− γτβταρσ
0cos).(cos.cos.
0cos.cos).(cos.
=−++
=+−+
γρσβτατ
γτβρσατ
zyzxz
zyyxy
zxyxx
0=
−
−
ρσττ
τρστ
zyzxz
zyyxy
− ττρσ zxyxx
 
Una vez obtenidas las tensiones principales: ρ1, ρ2, ρ3, pa
la
(1.15) obtenido anteriormente, sustituyendo en él la tensión ρ, para cada uno de los 
valores obtenidos de las tensiones principales. Así será: 
 
 
)15.1(
)16.1(
0cos).(cos.cos.
0cos.cos).(cos.
=−++
=+−+
0cos.cos.cos).( =++− izxiyxiix
iiziyzixz
izyiiyixy
γρσβτατ
γτβρσατ
γτβταρσ
 
 
 
 
y ue la dirección obtenida se exprese como un vector unitario: 
s 
1=iu
r
 
 
 
L se obtendrán pues resolviendo el sistem
fo
 
 
 
 
1coscoscos 222 =++ iii γβα
).17.1( a
1 1
2 2 2 2
3 3 3 3
para cos , cos , cos
para cos , cos , cos
i
i
).17.1( b
1 1para cos , cos , cosiρ ρ α β γ= →
ρ ρ α β γ
ρ ρ α β γ
= →
= →
Sección 1.4: Tensiones Principales 
11 
ASO PARTICULAR: TENSIONES PLANASC
 
Para el caso de tensiones planas: σz = 0, τxz = 0, τyz = 0, le ecuación (1.16) que da el 
álculo de las tensiones principales se verá reducida a la ecuación siguiente: 
 
 
ste determ ugar a una ecuación de segundo grado, se 
ndrán las Tensiones Principales : ρ1, ρ2
 
: 
 operand
or su parte las direcciones principales se obtendrán a partir de las ecuaciones (1.17.a) y 
.17.b) eliminando los términos representativos de la tercera dimensión y se verán 
as direcciones principales a de ecuaciones 
rmado por (1.20.a) y (1.20.b): 
c
 
 
0=
− ρστ yxy
− τρσ yxx
 
 
 
Resolviendo e inante, que da l
obte
y se cumplirá: ρ1 = σ1, ρ2 = σ2
 
Desarrollando el determinante: 
 
siendo las raíces de esta ecuación
)18.1(
0).().( 22 =−++− xyyxyx τσσσσρρ
 
 
2
)..(4) 22
1
xyyxy τσσσρ
−−
=
()( xyx σσσ +++ 
 
 
 
 
 
y o: 
2
)..(4)()(22
2
xyyxyxyx τσσσσσσρ
−−+−+
=
 
 
22
11 .4)(.
1
xyyx
yx τσσ 22
σσ
σρ +−+
+
==
22
22 .4)(.2
1
2 xyyx
yx τσσ
σσ
σρ +−−
+
==
 
 
 
 
 
 
P
(1
reducidas a las expresiones: 
 
 
)19.1(
0cos.
=+−+ 0cos).(cos.
cos).( =+− ix
iiyixy
iyxi
βρσατ
βταρσ
 
 
 
 
L se obtendrán pues resolviendo el sistem
1coscos 22 =+ ii βα
).20.1( a
20.1(
1 1
2para cos , cosi
).b
fo
 
 1para cos , cosiρ ρ α β= →
 
2 2ρ ρ α β= →
 
Tema 1: Tensiones 
12 
.5.- REPRESENTACIÓN DE MOHR1 
método de cálculo analítico para el cálculo de 
ensiones. En este apartado se verá un método gráfico. 
 
En los apartados anteriores se ha visto un 
T
 
CASO PARTICULAR: TENSIONES PLANAS
 
El método gráfico se va a desarrollar en primer lugar para el caso de Tensiones Planas, 
ues es el que mas se utilizará debido a su sencillez de aplicación y la gran ayuda de su 
das las tres componentes del estado de tensiones plano en un punto 
: σ , σ , τ (Fig.1.10 a). Al no existir tensiones en la tercera dimensión (z), se podrá 
espon
asa por O y definida por su vector normal unitario:u (cosα, cosβ, 0). 
ie S se obtendrán 
s valores de las tensiones σ y τ correspondientes. Así: 
 unos ejes coordenados, en los que en el 
je de abcisas llevásemos las tensiones normales y en el de ordenadas, las cortantes y 
p
aportación gráfica. 
 
Supongamos conoci
O x y xy
simplificar el dibujo y representar tan sólo la proyección del ele mento diferencial de 
volumen sobre el plano xy. (Fig.1.10 b) 
 
 
x 
y σ
z 
σx σx 
σy 
τxy
τxy
yx
τ
O
Fig.1.10.a
y 
σx σx 
σy 
σy 
τxy
τxy
τyx
τyx
x
y
Fig.1.10.b
 
τ 
S α 
 
 
 
 
 
 
 
Se desea conocer las tensiones corr dientes a una superficie S cualquiera, que 
p
 
Empleando las ecuaciones analíticas (1.13) y (1.12) para cada superfic
lo
 
 
 
 
 
 
 Si representásemos estos valores obtenidos en
e
uniésemos todos ellos, se demuestra, no lo haremos, que el lugar geométrico de los 
mismos es una circunferencia, a la que denominaremos “Circunferencia de Mohr” 
 
 
u
σ
τ
Oyx
1 1 1para superficie ,S 1
2 2 2 2para superficie ,
.............................................................................
para superficie ,n n n n
S
S
α α σ τ= → →
α α σ τ
α α σ τ
= → →
= → →
σ
τ 
O 
(σ1,τ1)
(σ2,τ2)
(σn,τn) Fig.1.11
 
 
 
 
Sección 1.5: Representación de Mohr 
13 
e demuestra, aunque no se hará, que la circunferencia de Mohr obtenida al unir todos 
los puntos: (σ1τ1), (σ2τ2),…… (σnτn), es una circunferencia que tiene por Centro y 
Radio los siguientes valores: 
 
 
(1.21) 
 
 
siendo: σx, σy, τxy, las tres componentes del estado de tensiones planas en el punto O. 
 
 
Criterios de signos para las tensiones, al utilizar el método gráfico de Mohr
S
 
 
• Tensiones normales (σ): se consideran positivas las tensiones normales cuyo 
sentido es saliente de la superficie, es decir en el sentido de la normal exterior a 
la superficie. Negativas en caso contrario 
 
 
 
 
 
 
 
 
• Tensiones cortantes (τ): se consideran positivas cuando su sentido deja a la 
derecha a la superficie. Dicho de otro modo, cuando su sentido de circulación 
(en sentido figurado), alrededor del elemento es horario. En la (Fig. 1.13.a) se 
representan las diferentes posiciones de τ > 0, con respecto a la superficie S. 
Las posiciones de τ < 0, caso contrario, se indican en la (Fig.1.13.b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observación: Los criterios de signos utilizados para las tensiones cortantes, en la 
representación gráfica de Mohr, no coinciden con los dados en 1.3. para la resolución 
analítica. Este hecho habrá de tenerse siempre en cuenta en la resolución de los 
problemas. 
 
 
σ > 0 S 
σ < 0 
S 
next next
Fig.1.12.a Fig.1.12.b
τ > 0 
τ 
τ
τ
τ
τ 
τ 
τ 
τ S 
S 
S 
S 
S 
S 
S 
S 
Fig.1.13.a
τ < 0
τ
τ 
τ 
τ 
τ
τ
τ
τ S
S 
S 
S 
S 
S 
S 
S 
Fig.1.13.b 
2
2Centro : ,0 Radio :
2 2
x y x y
xy
σ σ σ σ
τ
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
Tema 1: Tensiones 
14 
Construcción de la circunferencia de Mohr:
 
Supónganse conocidas las componentes del estado de tensiones plano en un punto O: 
σx, σy, τxy (Fig.1.14.a) y tracemos unos ejes coordenados en donde en el eje de abcisas 
llevaremos las tensiones normales (σ) y en el de ordenadas las tensiones cortantes (τ). 
(Fig.1.14.b). 
 
La construcción de la Circunferencia de Mohr relativa a dicho estado de tensiones se 
hará de la siguiente forma: 
 
La superficie SA ( σx>0, τxy<0, por criterios de signos de Mohr), vendrá representada en 
los ejes coordenados por el punto A. A su vez, la superficie SB ( σy>0, τyx>0, por 
criterios de signos de Mohr), vendrá representada en los ejes coordenados por el punto 
B. Si unimos, con una recta, los puntos A y B, la intersección de ésta con el eje de 
abcisas (punto C), será el centro de la circunferencia de Mohr. (Fig.1.14.b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Efectivamente con la construcción realizada, el centro será: 
 
 
y el radio será: 
 
 
 
expresiones que coinciden con las expresadas anteriormente en (1.21). 
 
 
 
 
 
 
SA SA 
SB 
SB 
O x
y
σxσx
σy
τxy
τxy
τyx
σy 
τyx
Fig.1.14.a
O C
A 
B
σ
τ
σx 
D 
σy
τxy
τyx
Fig.1.14.b
E
22
yxOEODOC
σσ +
=
+
=
( ) ( ) 2
2
22
2 xy
yxDACDCA τ
σσ
+⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −
=+=
Sección 1.5: Representación de Mohr 
Cálculo de las tensiones σ y τ en una superficie S cualquiera: 
 
A partir de las componentes del estado de tensiones plano en un punto O: σx, σy, τxy, se 
dibujará en un sistema de ejes coordenados: (σ, τ), la circunferencia de Mohr tal y como 
ente las tensiones σ y τ 
normal unitario: u (cosα, cosβ, 0).(Ver Fig.1.15.a) 
 
 
 
 
 
El proc
superfi
bien, p el estado de 
nsiones de la superficie SA), al punto S, (que representará el estado de tensiones de la 
perficie S ente en sent α (“ el 
oble del anterio ). (Ver Fig.1.15.b) 
ediante este procedimiento las tensiones en la superficie S serán pues: 
: .co
ensión cortante: 
O C CH OC CS
n
se ha indicado en el apartado anterior, obteniendo su centro y su radio 
Indiquemos a continuación cómo poder conocer gráficam
correspondientes a una superficie S cualquiera que pase por O, definida por su vector 
s
 
 
 
15 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
edimiento será el siguiente: Para pasar de la superficie SA (definida por uA), a la 
cie S (definida por uS), se deberá girar, en sentido antihorario, el ángulo α. Pues 
ara pasar en la circunferencia de Mohr, del punto A, (representativo d
te
su ), se tendrá que girar, igualm ido antihorario, el ángulo 2
d r ”
 
M
 
tensión normal s
t .S se
H O
SH C
σ β
τ β
= +
=
 
os valores de OC “centro” y CS “radio” se han obtenido anteriormente de la 
ircunferencia de Mohr) 
bservación:
= = +
=
(l
c
 
O 
omo consecuencia del procedimiento anterior resultará, que dos superficies 
 
C
perpendiculares que pasen por O, estarán representadas gráficamente en la 
circunferencia de Mohr por dos puntos diametralmente opuestos de dicha 
circunferencia. Véase por ejemplo el caso de las superficies SA y SB representadas en 
los puntos diametralmente opuestos A y B de la circunferencia de Mohr. (Fig.1.15.a y 
.15.b) 1
 
SA
SB 
O x
y
σx
σx
σy 
τxy
τ
y 
τyx
xy
τyx
σ
Fig.1.15.a
S
σ
β
O C σ τS u uA
α
A 
B
τ
σx 
D σy
τxy
τyx
S 
H 
σ
τ 
2αβ 
Fig.1.15.b
Tema 1: Tensiones 
Cálculo de las tensiones principales: 
 
Se sabe, por lo visto en (1.4) que las tensiones principales son las tensiones máxima y 
 
 
, se observa que los puntos M y N de dicha 
io s. Así pues las tensiones principales serán: 
 
 
 
 
 
 
 
on las mismas ecuaciones (1.19) obtenidas analíticamente) 
r
stado de tensiones 
max, hay que girar en sentido antihorario el ángulo 2ϕ1. Así pues para 
btener la superficie principal: SM, sobre la que se dará dicha tensión principal, se 
eberá girar la Superficie SA, en el mismo sentido (es decir antihorario), el ángulo ϕ1. 
ig.1.16.a). 
iendo: 
a otra dirección principal, la correspondiente al punto N, donde se dará la tensión 
rincipal mínima:σ2 = σmin, se obtendrá girando la anteriormente hallada otros 90º. (ver 
ig.1.16.a), es decir en la dirección: ϕ2 = ϕ1 ± 90º (los puntos M y N están a 180º en la 
circunferencia). 
mínima y que en las superficies donde aparecen, no hay tensiones cortantes. Es decir, se 
cumple: ρ =σ, τ = 0. 
SA 
O x
SB 
y
σx
σx
16 
 
De la circunferencia de Mohr, (Fig.1.16.b)
circunferencia cumplen dichas condic ne
 
 
(s
 
Las direcciones principales también se podrán obtener a pa
ohr. Se observa (Fig.1.16.b), para pasar del punto A del circulo (representativo del 
tir de la circunferencia de 
M
e de la superficie SA), al punto M, que es donde se dará la tensión 
principal: σ1 = σ
o
d
(F
 
s
 
 
L
p
F
σy 
τxyτxy
yxτ
τyx
Fi
σy
g.1.16.a
SM 
σ1=σmax
uM 
uA 
ϕ1SN 
σ2=σmin
90º 
O C
B
A 
σ
τ
σx 
D σy
τxy
τyx
Fig.1.16.b
2ϕ1
M 
N
σ2
σ1 
112 ϕ
2
σσ
τ
ϕ ⇒== xyADtag
− yxCA (1.23) 
2
2
1 1 max entro Radio 2 2
x y y
xyOC C
σ σ σxσOM M Cσ ρ σ τ
+ −⎛ ⎞
= = = = + = + = + +⎜ ⎟
⎝ ⎠
2
2
2 2 min Centro Radio 2 2
x y x y
xyON OC CN
σ σ σ σ
σ ρ σ τ
+ −⎛ ⎞
= = = = − = − = − +⎜ ⎟
⎠⎝
(1.22) 
Sección 1.5: Representación de Mohr 
Cálculo de la tensión cortante máxima:
 
Los puntos del círculo de Mohr donde la tensión cortante es máxima, son los puntos F y 
G, los de máxima ordenada. (Fig.1.17). 
 
O C
A
B 
σ
τ 
 
 
17 
 
σx
Dσy 
τxy
yx
Fi
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El val nsión corta e máxima será pu
 bien: 
or de la te nt es: 
 
 
 
 
 
o
 
 
 
 
Las superficies SF y SG, donde se darán las τmax, estarán a ± 45º de las superficies 
principales SM y SN, pues los puntos F y G de la circunferencia se encuentran a 90º de 
los puntos M y N. (Fig.1.17). 
 
 
ASO DE TENSIONES TRIAXIALESC
 
Se dice que un elemento de material se encuentra en un estado de tensiones triaxial 
cuando está sometido a tensiones en los tres ejes coordenados. 
 un paralelepípedo diferencial alrededor de él y sean los ejes 1, 
 y 3, los ejes principales 
 
Supongamos un punto O,
2
 
 
 
 
 
 
 
 
 
τ
g.1.17
2ϕ1
M
N 
σ2 
σ1
F
G
τmax
τmax
2
2
max Ra ( por ecuación 1.21) .24)2
x y
xyCF
σ σ
τ τ
−⎛ ⎞
= = = +⎜ ⎟
⎝ ⎠
dio (1=
1 2DiRadio (1.25)OM ONmax 2 2 2
ámetro σ στ −−= = = =
σ1 σ1 
σ2 
σ2 
σ3 
σ3 
1
2
3 Fi
O
g.1.18
Tema 1: Tensiones 
18 
a S, paralela al eje 3, las tensiones σ y τ sobre 
icha superficie las podremos obtener del círculo de Mohr (A), (ver fig. 1.20), 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
La m
2 (en este caso las tensiones σ y τ
círculo de Mohr (B), (ver fig.1.
estado de tensiones plano (pues las tensiones σ
cortásemos por una superficie S paralela iones 
álisis ante ens y τ sobre 
uperficies S paralelas a uno de los ejes principales. Si se quisieran calcular sobre otras 
Si se corta por una superficie inclinad
d
correspondiente a las tensiones σ1 y σ2, similar a un estado de tensiones plano (pues las 
tensiones σ3 no afectarían a dicha superficie). 
 
σ3 
σ
τ 
θ S 
nS 
σ1 
isma conclusión general es válida si cortásemos por una superficie S paralela al eje 
 sobre dicha superficie las podríamos obtener del 
20), correspondiente a las tensiones σ1 y σ3, similar a un 
2 no afectarían a dicha superficie) o si 
 al eje 1 (en este caso las tens σ y τ sobre 
dicha superficie las podríamos obtener del círculo de Mohr (C), (ver fig.1.20), 
correspondiente a las tensiones σ2 y σ3). 
 
Se ha supuesto en la construcción de los círculos que: σ1 > σ2 > σ3
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
En cada uno de los círculos podremos hallar la τmax correspondiente, siendo la τMAX 
absoluta la correspondiente al círculo de Mohr mayor (B) y valdría: 
 
 
 
n el anE rior hemos considerado el cálculo de las t iones σ
s
superficies S cualquiera, (no paralelas a ningún eje principal), el análisis sería algo más 
complejo y no se verá en este apartado, aunque se sabe que los valores correspondientes 
de σ y τ darán puntos situados sobre el área limitada por las tres circunferencias de 
Mohr 
σ2 
σ O 3 1 
2 
Fi
3 
g.1.19
τ 
σ1 σ2 σ3 σO
τMAX A
B
C
τ 
O
2
31
Fig.1.20
σστ =MAX
−
Sección 1.6: Formas de trabajo de una sección. Relaciones entre tensiones y solicitaciones 
19 
 SECCIÓN. RELACIONES ENTRE 1.6.- FORMAS DE TRABAJO DE UNA
TENSIONES Y SOLICITACIONES 
CCIÓN
 
FORMAS DE TRABAJO DE UNA SE 
onsideremos un sólido sometido a un sistema de fuerzas exteriores y que se encuentra 
n equilibrio estátic elástico. 
egún lo visto en el apartado 1.1, si se d Internas o Tensiones 
, seccionamos el sólido por dicha 
p
cía sobre él. Estas acciones son precisamente las Fuerzas 
ternas o Tensiones que aparecerían sobre los puntos de la superficie S seccionada. 
ues bien, para saber algo de ellas, hagamos lo siguiente: 
omemos un sistem (centro de gravedad de la 
cción S), siendo el eje X perpendic superficie S y con sentido positivo saliente 
e la misma y los ejes Y y Z los ejes principales de la
ositivos de tal forma que formen un triedro directo 
 
C
e o y
 F1 
F2 
F3 
Fn F4 F5 
Fig. 1.21.a
 
 
 S
 
 
 
 
 
 
S esea conocer las Fuerzas 
que aparecen en una superficie determinada S
su erficie y nos quedamos con una de las dos partes del mismo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El trozo de sólido seccionado no estará en equilibrio, a no ser que se restablezcan las 
acciones que el otro trozo ejer
In
P
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
T a de ejes coordenados con origen en G
se ular a la
d sección S, con sus sentidos 
p
 
∆F 
O
S 
F1 
2 F
F4 
∆S 
Fig. 1.21.b
G
F
S 
1 
F2 
Fig. 1.21.c
x 
y 
z 
F4 
Tema 1: Tensiones 
La acción de las Fuerzas Exteriores, actuando sobre este trozo del sólido, en el punto G, 
vendrán dadas por: Rext y Mext 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
G 
S 
F1 
F2 
F4 
Fig. 1.21
20 
 
 
 
 
 
 
or último, si proyectamos Rint y Mint sobre los tres ejes de referencia XYZ, nos darán 6 
omponentes: Rx, Ry, Rz, Mx, My, Mz, 
 
 
Para que este trozo de sólido seccionado esté en equilibrio, el sistema de Fuerzas 
Interiores extendido a lo largo de la superficie S, (fuerzas que las partículas del otro 
lado de la superficie S que hemos apartado, estaban actuando sobre las partículas de la 
superficie S del lado del sólido que nos hemos quedado), producirán una acción en G 
dada por: Rint y Mint y se tendrá que cumplir que: 
 
 
 
 
 
 
 
 
P
c
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
.d
x 
y 
z 
Rext Mext
ext = Resultante de las Fuerzas Exteriores 
M = Momento resultante de las Fuerzas 
Exteriores respecto de G 
R
ext
G 
S 
F1 
F2 
F4 
Fig. 1.21.e
x 
y 
z 
Rext Mext
RintMint
int ext 
Mint = - Mext 
R = - R
F1 
G
S 
F2 
F4 
Fig. 1.21.f
x 
y 
z 
RintMint
Ry 
M
Rx 
z 
Mz 
R
x 
My 
Sección 1.6: Formas de trabajo de una sección. Relaciones entre tensiones y solicitaciones 
21 
 de la 
 
 
jem
Cada una de esas componentes nos indica una Forma de Trabajo o de Solicitación
sección S: 
 
 
 
 
 
 
E plos: 
 
 
 
 
 
 
 
Rx (fuerza normal) → N (TRACCIÓN – COMPRESIÓN) 
DURA en eje Y) 
R (fuerza cortante) → Vz (CORTADURA en eje Z) 
M momento flector) → My (FLEXIÓN en plano XZ, alrededor del eje Y) 
Mz omento flector) → Mz (FLEXIÓN en plano XY, alrededor del eje Z) 
Ry (fuerza cortante) → Vy (CORTA
z
 
Mx (momento torsor) → T (TORSIÓN) 
y (
 (m
G 
S 
F1 
F2 
F4 x 
y
z N
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
G 
S 
F1 
F2 
F4 x 
y 
z 
Vy 
G 
S 
F1 
F2 
F4 x 
y 
z Vz 
G 
S 
F1 
F2 
F4 
x 
y
z 
T
G 
S 
F1 
F2 
F4 x 
y 
z 
My 
G
S 
F1 
F4 
F2 
x 
z Mz 
TRACCIÓN COMPRESIÓN 
F F F F
x x
CORTADURA en eje Y 
y 
x 
F 
M 
TORSIÓN 
x 
y
F
FLEXIÓN en el plano XY 
(alrededor eje Z)
x 
y
F 
x 
y 
z 
IÓN en plano XZ FLEX
(alrededor eje y) 
z
y
x 
F
CORTADURA en eje Z 
Fig.1.22
Tema 1: Tensiones 
RELACIONES ENTRE TENSIONES Y SOLICITACIONES 
 
Cada una de estas Solicitaciones así obtenidas serán resultado de las Tensiones (o 
 
 
 
 
 
 las Tensiones o Fuerzas internas en cada 
conocidas las Solicitaciones (Resultante y 
Mom : N, Vy, Vz, T, My, Mz) . 
 
 
 
Fuerzas Internas)distribuidas a lo largo de la sección S. Unas y otras estarán 
relacionadas de la siguiente manera: 
 
G
S 
F1 
F2 
F4 x 
y
z 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vy 
N
V
T
M
M
z 
z 
z 
z
y
y
Gσ 
ρ τ 
dS 
y τxz
ττxy
 
22 
 
 
 
 
Sección S 
Fig.1.23.b 
x
S
xy
S
xyxz dSy..σ
Fig. 1.23.a
( ) ∫∫
∫∫∫
=−=
===
S
xzz
S
xyy
S
x
dSzMdSzyT
dSVdSVdSN
.....
...
σττ
ττσ
Estas ecuaciones se utilizarán para calcular
uno de los puntos de una sección S, una vez 
ento resultante de las Fuerzas interiores
∫=zM
S
(1.26) 
Tema 2: Deformaciones 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tema 2 : DEFORMACIONES 
 
 
 
 
 
 
1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O
u1 
u2 u3 
ε1 ε2 
ε3 
δ1δ2
δ3
γ1/2 γ2/2 
γ3/2 
F1 F3 
F2 
Fn 
Tema 2: Deformaciones 
2.1.- INTRODUCCIÓN
 
Los cuerpos se deforman debido a la acción de las fuerzas aplicadas. Para conocer la 
deformación de un cuerpo es preciso conocer primero la deformación de uno cualquiera 
de los paralelepípedos elementales que lo forman. 
 
Veremos a continuación cómo la deformación de un paralelepípedo elemental se puede 
descomponer e cuatro partes: 
 
1º.- Una TRASLACIÓN que lleva el origen del paralelepípedo del punto O al punto O´ 
 
 
F3 F1 y
 
 xO Fn F5 F4 O´
 zF2 
 
 
Fig. 2.1 
 
 
2º.-Una ROTACIÓN del paralelepípedo alrededor de un eje que pasa por O´ 
 
 
 F3 
2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estas dos primeras partes van a originar el movimiento del paralelepípedo, pero sin 
deformarse 
 
 
 
 
 
 
 
 
F1 
F2 
Fn F4 F5 O´
Eje Rotación
Fig. 2.2 
Sección 2.1: Introducción 
3º.-Unas DEFORMACIONES LINEALES de las aristas del paralelepípedo 
 
F3 
F1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4º.- Unas DEFORMACIONES ANGULARES “SIMÉTRICAS” de los ángulos que 
forman las aristas del paralelepípedo, inicialmente a 90º. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estas dos últimas partes son las que originan la deformación propiamente dicha del 
paralelepípedo. 
 
Observación:
 
En la 4ª parte nos hemos referido a Deformaciones Angulares “Simétricas”. El por qué 
de ello lo veremos a continuación: 
 
Supongamos la cara del paralelepípedo contenida en el plano XOY y supongamos, por 
ejemplo, que la arista OA gira 4º en sentido antihorario y la arista OB gira 2º en sentido 
horario. Estas deformaciones angulares las podemos obtener como suma de dos 
acciones: en una primera acción hacemos girar las aristas el mismo ángulo, lo que 
denominaremos deformación angular simétrica, que sería la media aritmética de las dos, 
o sea: 3º y en la segunda acción completamos la deformación angular inicial, con lo cual 
la arista OA habría que girarla 1º mas en sentido antihorario y la arista OB restarla 1º, 
osea, girarla 1º en sentido horario. Ésta acción sería una rotación 
F2 
Fn F5 F4 O´
Fig. 2.3 
F3 
F1 
F2 
Fn F5 F4 O´
Fig. 2.4 
= 
O OA 
B B
1º2º 
deformación 
angular
4º 
3º
3 
+
OA A 
B deformación rotación 
angular simétrica
3º 1º
Tema 2: Deformaciones 
2.2.- CONCEPTO DE DEFORMACIÓN
 
Como consecuencia de la deformación propiamente dicha del paralelepípedo: 
deformaciones lineales y deformaciones angulares simétricas, el vértice D del 
paralelepípedo experimentará el desplazamiento DD´, con lo cual el elemento lineal 
OD, modifica su longitud y gira un ángulo transformándose en el elemento lineal OD´. 
 
4 
 y 
 
 
 D D´ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Definición: Se denomina DEFORMACIÓN UNITARIA (δ) del elemento lineal OD, al 
cociente entre el desplazamiento sufrido por su extremo: DD´ y la longitud del elemento 
lineal: OD, es decir: 
 
 
 
Si observamos la fig.2.5. se ve que δ es el desplazamiento que sufre el vector unitario 
ODo en la dirección del elemento lineal OD. En efecto, por semejanza de triángulos 
ODD´y ODoDo´ se obtiene: 
 
 
 
Descompondremos a continuación el vector δ en dos componentes: una sobre la propia 
dirección del elemento lineal OD, a la que denominaremos: DEFORMACIÓN 
LONGITUDINAL UNITARIA (ε) y otra en dirección perpendicular al elemento lineal 
OD, a la que denominaremos: DEFORMACIÓN ANGULAR UNITARIA (γ/2). Se 
cumplirá: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O x 
z 
Fig. 2.5 
1 
Do δ
Do´ 
OD
DD´
=δ
r (2.1) 
OD
DD
OD
DD ´´
1
=→= δδ
y 
D 
2
2
2
2
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛+=
+=
γεδ
γεδ
r
rrD´ 
γ/2 Do ε (2.2) 
Do´ 1 δ 
x O 
z 
Fig. 2.6 
Sección 2.2: Concepto de deformación 
2.3.- ESTADO DE DEFORMACIONES EN UN PUNTO
 
Como se verá a continuación, va a existir una analogía entre el Estado de Tensiones y el 
Estado de Deformaciones 
 
Tal y como se vió en 1.3 que……………..”a cada superficie S que pase por un punto O 
de un sólido le corresponde una tensión ρ, con componentes: σ (tensión normal) y τ 
(tensión cortante)”……………..y “al conjunto de todas las tensiones que pueda haber 
en un punto O se las denomina: Estado de Tensiones del punto O” 
 
En el caso de las deformaciones va a ocurrir algo similar: 
 
“A cada elemento lineal que pasa por un punto O de un sólido le corresponde una 
deformación unitaria δ, con componentes: ε (deformación longitudinal unitaria) y γ/2 
(deformación angular unitaria).” 
 
 
5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
“Al conjunto de todas las deformaciones que pueda haber en el punto O sw le 
denomina: Estado de Deformaciones del puno O” 
 
Siguiendo con dicha analogía, vimos en 1.3 que…………….”de las infinitas Tensiones 
que puede haber en un punto O correspondientes a las infinitas superficies que pasan 
por él, conocidas 6 de ellas: σx, σy, σz, τxy, τyz, τzx, denominadas componentes del 
estado de tensiones en el punto O, podremos conocer todas las demás a través de la 
ecuación (1.9): 
 
 
 
 
 
Pues bien, en el caso de las Deformaciones ocurrirá algo similar y así podremos decir: 
 
“De las infinitas Deformaciones que puede haber en un punto O, correspondientes a las 
infinitas direcciones de elementos lineales que puedan pasan por él, conocidas 6 de 
ellas: εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx, denominadas componentes del estado de deformaciones en el 
punto O, podremos conocer todas las demás, a través de una ecuación matricial, que 
como ahora se verá, será similar a la de las tensiones (1.9).” 
O
u1 
u2 u3 
ε1 ε2 
ε3 
δ1δ2
δ3
γ1/2 γ2/2 
γ3/2 
F1 F3 
F2 
Fn 
Fig. 2.7 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
γ
β
α
σττ
τστ
ττσ
ρ
ρ
ρ
cos
cos
cos
.
zyzxz
zyyxy
zxyxx
z
y
x
Tema 2: Deformaciones 
Sea un punto O del interior de un sólido en el que se suponen conocidas las 6 
componentes del estado de deformaciones: εx, εy, εz, γxy, γyz, γzx y sea OD un elemento 
lineal cuya deformación unitaria δ se desea conocer. 
 
La dirección del elemento lineal OD la definiremos por su vector unitario: u = ODo , 
dado por sus cosenos directores: u (cos α, cos β, cos γ). Construyamos ahora un 
paralelepípedo con diagonal entre vértices opuestos ODo = 1 (ver fig.2.8). El 
paralelepípedo así construido tendrá por aristas: cos α (en dirección del eje OX), cos β 
(en dirección del eje OY) y cos γ (en dirección del eje OZ). 
 
 
y 
D 
D´ 
6 
 
Do δ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para obtener el valor de la deformación unitaria δ calcularemos y sumaremos los 
correspondientes desplazamientos sufridos por el punto Do debidos a las deformaciones 
longitudinales y angulares unitarias dadas, correspondientes al punto O: εx, εy, εz, γxy, 
γyz, γzx. 
 
• Desplazamiento δ debido a las deformaciones longitudinales: εx, εy, εz, 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O x 
z 
Fig. 2.8 
1 Do´ 
cos β 
u 
cos α
cos γ 
y 
εy.cosβ
δ
cos β 
εx.cosαcos α
εz.cosγ 
cos γ 
O x 
z 
Fig. 2.9 
γεδβεδαεδ cos.cos.cos. zzyyxx ===
Sección 2.3: Estado de deformaciones en un punto 
7 
 
• Desplazamiento δ debido a las deformaciones angulares: γxy, γyz, γzx. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(γyx/2).cosβ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sumando finalmente todos los desplazamientos δ obtenidos quedaría: 
 
 
 
 
 
 
 
 
δ 
(γxy/2).cosα 
y 
cos α 
cos β 
O x 
γyx/2α
γ
δ
β
γ
δ
cos.
2
cos.
2
xy
y
yx
x
=
=
γxy/2 
cos α O 
δ 
(γxz/2).cosα 
(γzx/2).cosγ 
x γxz/2 
cos γ 
z 
γzx/2 α
γ
δ
γ
γ
δ
cos.
2
cos.
2
xz
z
zx
x
=
=
(γyz/2).cosβ 
δ 
(γzy/2).cosγ cos β
cos γ
O z 
γzy/2 
γyz/2 
y 
β
γ
δ
γ
γ
δ
cos.
2
cos.
2
yz
z
zy
y
=
=
Fig. 2.10.a), b), c) 
γεβ
γ
αγδ
γ
γ
βεα
γ
δ
γγβ
γ
αεδ
cos.cos.
2
cos.
2
cos.
2
cos.cos.
2
cos.
2
cos.
2
cos.
z
yzxz
z
zy
y
xy
y
zxyx
xx
++=
++=
++=
(2.3) 
Tema 2: Deformaciones 
Poniendo las ecuaciones (2.3) en forma matricial, sería: 
 
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
γ
β
α
ε
γγ
γ
ε
γ
γγε
δ
δ
δ
cos
cos
cos
.
22
22
22
z
yzxz
zy
y
xy
zxyx
x
z
y
x
 
 
 (2.4) 
 
 
 
 
 r
=δ uD r.y en forma abreviada: (2.5) 
 
siendo: 
""
22
22
22
nesDeformaciodeTensorD
z
yzxz
zy
y
xy
zxyx
x
ε
γγ
γ
ε
γ
γγ
ε
=
 
 
 
 
 
 
 
 Conclusión: 
 
Conocidas las componentes del Estado de Deformaciones en un punto O: εx, εy, εz, γxy, 
γyz, γzx y dada una dirección OD cualquiera, definida por su vector unitario: 
u (cosα, cosβ, cosγ ), se podrá conocer, por la ecuación obtenida (2.4), la deformación δ 
en dicha dirección. 
 
Una vez conocida la deformación δ, se podrá obtener ε y γ/2, (ver fig.2.6): 
 
22
22
..
εδγεδγ
εεδε
−=−=
==
rr
r
rrrr uu )6.2( 
 
 
 
 
CASO PARTICULAR: DEFORMACIONES PLANAS
 
Se considera un estado de deformaciones planas cuando se cumpla: 
 
0,0,0 === yzxzz γγε 
 
La ecuación matricial (2.4) se verá reducida a: 
 
 
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
β
α
ε
γ
γ
ε
δ
δ
cos
cos
.
2
2
y
xy
yx
x
y
x )7.2( 
 
 
 
 
8 
Sección 2.3: Estado de deformaciones en un punto 
9 
onvenios de signos para las deformacionesC
 
Para las deformaciones longitudinales: ε → se consideran positivas, (ε > 0), cuando 
 
ara las deformaciones angulares: γ → se consideran positivas, (γ > 0), cuando 
 
o mismo sería con γxz y γyz
bservaciones: Analogías entre el Estado de Tensiones y el Estado de 
expresen alargamientos (negativas en caso contrario) 
 
 
ε < 0 
O 
D 
Do
ε > 0 
O 
D 
Do 
1 Do´ 
 
 
 1D ´o
el vector unitario ODo, en la direcció el vector unitario ODo, en la dirección OD, 
 
n OD, 
 
P
indiquen una disminución del ángulo recto inicial que forman las aristas del 
paralelepípedo que están en los ejes coordenados (negativas en caso contrario) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
L
 
 
 
O
deformaciones
 
Vistas las analogías entre el Estado de Tensiones y el Estado de Deformaciones, se 
 obtendrán a 2 sobre 
n efecto: 
podrá concluir que si se en todas las ecuaciones obtenidas en el Tema 1 sobre 
Tensiones, se hacen los siguientes cambios: 
 
 
 
se las ecuaciones equivalentes correspondientes al Tem
Deformaciones. 
 
 
 
E
se alarga y pasa a ODo´ se acorta y pasa a ODo´ 
O A O
A
 
B 
A´ 
´ B
γyx/2 
γxy/2 
γxy > 0 
y 
 
γyx/2 
x
B
A
B´
´
γxy/2 
γxy < 0 
x 
y
Fig. 2.12 
2
γτεσδρ →→→ r
rrrr
Fig. 2.11 
Tema 2: Deformaciones 
 
 
10 
 
 
 
 
.4.- DEFORMACIONES PRINCIPALES
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
 
De las infinitas Deformaciones que puede haber en un punto O de un sólido, relativas a 
currirá pues igual que con las tensiones, que en las direcciones principales se cumplirá 
 
⎤⎡⎤⎡⎤⎡ αττσρ cos
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎢
⎣
=
⎥
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎢
⎣
⎡
γ
β
α
ε
γγ
γ
ε
γ
ε
δ
δ
δ
cos
cos
cos
.
22
22
22
z
yzxz
zy
y
xy
zxyx
x
z
y
x
⎤⎡ γγ
⎥
⎥
⎥
⎦⎢
⎢
⎢
⎣⎥
⎥
⎥
⎦⎢
⎢
⎢
⎣
=
⎥
⎥
⎥
⎦⎢
⎢
⎢
⎣ γ
β
σττ
τστ
ρ
ρ
cos
cos.
zyzxz
zyyxy
zxyxx
z
y
x
(1 9).
TENSIONES DEFORMACIONES 
(2.4) 
22
22
..
εδγεδγ
εεδε
−=−=
==
rr
r
rrrr uu
22
..
σρτσρτ
σσρσ
−=−=
==
rrr
rrrr uu
)6.2((1.12)
las infinitas direcciones OD que se puedan considerar, habrá unas que tengan los 
valores máximo y mínimo a las que se denominará: DEFORMACIONES 
PRINCIPALES. A las direcciones correspondientes en la que eso ocurre, se las 
denominará : DIRECCIONES PRINCIPALES. 
 
O
que: γ / 2 = 0 y por tanto: δ = ε. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O 
D 
Do
1 
x 
y 
z 
ε
δ
γ/2 
F1
F2
F3
Fn
OD: dirección 
O
D 
Do
1
x
y
z
ε = δ
γ/2 = 0 
F1
F2
F3
Fn
OD: dirección 
principal
Fig. 2.13 
cualquiera
Sección 2.4: Deformaciones Principales 
CÁLCULO DE LAS DEFORMACIONES PRINCIPALES
 
En el tema de Tensiones las ecuaciones 1.16, nos permitían calcular las tensiones 
principales: 
 
 
33
22
11
σρ
σρ
σρ
=
=
=
0=
−
−
−
ρσττ
τρστ
ττρσ
zyzxz
zyyxy
zxyxx 
→ 
 
 
 Las ecuaciones correspondientes para calcular las Deformaciones Principales, se 
obtendrán, por lo dicho antes, haciendo los cambios: 
 
2
γτεσδρ →→→ r
rrrr 
 
 
y quedarán las ecuaciones: 
 
 
0
22
22
22
=
−
−
−
δε
γγ
γ
δε
γ
γγδε
z
yzxz
zy
y
xy
zxyx
x 
 
(2.8) 
 
 
 
 
Resolviendo este determinante, que da lugar a una ecuación de tercer grado, se 
obtendrán las Deformaciones Principales : δ1, δ2, δ3
y se cumplirá: δ1 = ε1, δ2 = ε2, δ3 = ε3 
 
 
 
CÁLCULO DE LAS DIRECCIONES PRINCIPALES
 
En el tema 1 relativo a las tensiones, el cálculo de las Direcciones Principales venían 
dadas por las ecuaciones 1.17.a y b.: 
 
 
0cos).(cos.cos.
0cos.cos).(cos.
0cos.cos.cos).(
=−++
=+−+
=++−
iiziyzixz
izyiiyixy
izxiyxiix
γρσβτατ
γτβρσατ
γτβταρσ
 
 
 
 
 1coscoscos 222 =++ iii γβα 
 
Pues bien, haciendo nuevamente los cambios: 
 
2
γτεσδρ →→→ r
rrrr 
 
 
11 
Tema 2: Deformaciones 
obtendremos las Direcciones Principales correspondientes a las Deformaciones 
Principales y serán: 
 
 
0cos).(cos.
2
cos.
2
0cos.
2
cos).(cos.
2
0cos.
2
cos.
2
cos).(
=−++
=+−+
=++−
iizi
yz
i
xz
i
zy
iiyi
xy
i
zx
i
yx
iix
γδεβ
γ
α
γ
γ
γ
βδεα
γ
γ
γ
β
γ
αδε 
 
 (2.9.a) 
 
 
 
 
 
 (2.9.b) 1coscoscos 222 =++ iii γβα 
 
 
CASO PARTICULAR: DEFORMACIONES PLANAS
 
Para el caso particular de deformaciones planas: 
, 
0,0,0 === yzxzz γγε
La ecuación para el cálculo de las Deformaciones Principales (2.8) quedaría reducida a 
: 
 
 
0
2
2 =
−
−
δε
γ
γ
δε
y
xy
yx
x (2.10) 
 
 
 
Resolviendo este determinante, que da lugar a una ecuación de segundo grado se 
tendrán las Deformaciones Principales : δ1, δ2 
y se cumplirá: δ1 = ε1, δ2 = ε2
 
Si aplicamos la fórmula de resolución de la ecuación de 2º grado, se obtendrían: 
 
 
12 
 
 
 
 
 
Por 
su parte las Direcciones Principales se obtendrán de: 
( )
( )
2
2
22
2
2
11
2
.4.
2
1
2
2
.4.
2
1
2
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−−
+
==
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−+
+
==
xy
yx
yx
xy
yx
yx
γ
εε
εε
εδ
γ
εε
εε
εδ
(2.11) 
 
0cos).(cos.
2
0cos.
2
cos).(
=−+
=+−
iiyi
xy
i
yx
iix
βδεα
γ
β
γ
αδε (2.12.a) 
 
 
 
 (2.12.b) 1coscos 22 =+ ii βα
Sección 2.5: Representación de Mohr 
2.5.- REPRESENTACIÓN DE MOHR
 
Al igual que en el caso de las Tensiones, podremos desarrollar también un método 
gráfico para el cálculo de las deformaciones 
 
CASO PARTICULAR: DEFORMACIONES PLANAS
 
Supongamos conocidas las tres componentes del estado de deformaciones plano en un 
punto O: εx, εy, γxy, y se quieren calcular, gráficamente, las deformaciones: ε y γ/2 
correspondientes en una dirección cualquiera OD, definida por su vector unitario: 
u (cosα, cosβ) 
 
 
y D β = 90-α D´ 
13 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se sabe, por lo visto en 2.3., que para cada dirección OD se obtendrían por las 
ecuaciones analíticas (2.7) y (2.6), un par de valores: ε y γ/2. Así: 
 
 
 
 
 
 
 
 Si representásemos estos valores obtenidos en unos ejes coordenados, en los que en el 
eje de abcisas llevásemos las deformaciones longitudinales (ε) y en el de ordenadas, las 
deformaciones angulares (γ/2) y uniésemos todos ellos, se demuestra, no lo haremos, 
que el lugar geométrico de los mismos es una circunferencia, a la que denominaremos 
“Circunferencia de Mohr” 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Do 
ε γ/2
δu Do´ 
xO 
β
α
Fig. 2.14 
1 1
2 2
para dirección , / 2
para dirección , / 2
.............................................................................para dirección , / 2n n
OD
OD
OD
1 1
2 2
n n
α α ε
α α ε γ
α α ε γ
= → →
= → →
= → →
γ
(ε2,γ2/2γ/2 
ε O 
(ε1,γ1/2)
(εn,γn/2)
Fig. 2.15 
Tema 2: Deformaciones 
Criterios de signos para las deformaciones, al utilizar el método gráfico de Mohr 
 
• Deformaciones longitudinales (ε): se consideran positivas las deformaciones 
longitudinales cuando indican un alargamiento. Negativas en caso contrario. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
D D ε > 0 
ε < 0 
14 
• Deformaciones angulares (γ/2): se consideran positivas cuando impliquen un 
giro en sentido horario. Negativas en caso contrario. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observaciones: 
Como las tensiones cortantes (τ) son las que producen las deformaciones angulares 
(γ/2), se observa por lo visto en la sección 1.5 del tema de Tensiones, que hay 
coherencia con los criterios de signos dados para las tensiones cortantes y el dado ahora 
para las deformaciones angulares: τ > 0 → γ/2 > 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Los criterios de signos utilizados para las deformaciones angulares, en la representación 
gráfica de Mohr, no coinciden con los dados en 2.3. para la resolución analítica. Este 
hecho habrá de tenerse siempre en cuenta en la resolución de los problemas. 
 
 
O Do
1 Do´ 
Do
O 1Do´
Fig. 2.16 
γ/2 > 0 γ/2 < 0
D D´ 
O
D´ D 
O 
Fig. 2.17
τ
τ τ
τ τ > 0 → γ/2 > 0 τ 
ττ 
τ
Fig.2.18
Sección 2.5: Representación de Mohr 
15 
: 
onstrucción de la circunferencia de Mohr:
Ejemplo
 yy 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C
 
Supónganse conocidas las componentes del estado de deformaciones plano en un punto 
maciones 
as deformaciones relativas al eje X ( εx > 0, γxy/2 < 0, por criterios de signos de Mohr), 
O: εx, εy, γxy. (Fig.2.20.a) y tracemos unos ejes coordenados en donde en el eje de 
abcisas llevaremos las deformaciones longitudinales unitarias (ε) y en el de ordenadas 
las deformaciones angulares simétricas (γ/2). 
La construcción de la Circunferencia de Mohr relativa a dicho estado de Defor
se hará de una forma similar a como se construyó la Circunferencia de Mohr relativa a 
las Tensiones 
 
L
estarán representadas en los ejes coordenados por el punto X. A su vez, las 
deformaciones correspondientes al eje Y ( εy > 0, γyx/2 > 0, por criterios de signos de 
Mohr), estarán representadas en los ejes coordenados por el punto Y. Si unimos, con 
una recta, los puntos X e Y, la intersección de ésta con el eje de abcisas (punto C), será 
el centro de la circunferencia de Mohr. (Fig.2.20.b) 
 
 
 
 
 
 
 
 
O 
Y 
1 
εx 
εy 
X 1 
γxy/2 
γyx/2 
δx 
δy 
ux 
uy 
O A
B 
A´
B´ 
γyx/2 > 0 
γxy/2 > 0 
γxy > 0 
x
Criterio de signos para la 
resolución analítica 
O A 
B B´
γyx/2 > 0 
A´ 
γxy/2 < 0 
x 
Criterio de signos para la 
resolución gráfica (Mohr) 
Fig. 2.19 
O C 
X 
Y
ε 
γ/2 
εx εy 
γyx/2 
Fi
D E
γxy/2 
g.2.20.a Fig.2.20.b.
Tema 2: Deformaciones 
Por su construcción, se deduce fácilmente que la Circunferencia de Mohr tendrá por 
Centro y Radio los siguientes valores: 
 
 
16 
 
2
Centro :
2
Radio :
2 2
x y
x y xy
OC
CX
 
 2
ε ε
ε ε γ
+
=
−⎛ ⎞ ⎛
= +⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝
⎞
⎟
⎠
(2.13) 
 
 
 
 
 
Cálculo de las deformaciones ε y γ/2 en una dirección OD cualquiera: 
 
A partir de las componentes del estado de deformaciones plano en un punto O: εx, εy, 
γxy, se dibujará en un sistema de ejes coordenados: (ε, γ/2), la circunferencia de Mohr, 
tal y como se ha indicado en el apartado anterior, obteniendo su centro y su radio 
De lo que se trata ahora es de poder conocer gráficamente las deformaciones ε y γ/2 
correspondientes a una dirección OD, definida por su vector unitario: uD (cosα, senα). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El procedimiento será el siguiente: Para pasar de la dirección OX (definida por uX), a la 
dirección OD (definida por uD), se deberá girar, en sentido antihorario, el ángulo α. 
Pues bien, para pasar en la circunferencia de Mohr, del punto X, (representativo del 
estado de deformaciones de la direccion OX), al punto D, (que representará el estado de 
deformaciones de la dirección OD), se tendrá que girar, igualmente en sentido 
antihorario, el ángulo 2α.(o sea el doble del anterior). 
 
Mediante este procedimiento las deformaciones en la dirección OD serán pues: 
 
Deformación longitudinal: ε = OH = OC + CH = OC + CD.cos β 
Deformación angular: γ/2 = DH = CD.senβ 
 
(los valores de OC “centro” y CD “radio”, se obtendrán de la circunferencia de Mohr) 
 
O C
X 
Y
ε 
γ/2 
εx 
εy 
γxy/2 
γyx/2 
Y 
D
H
ε
γ/2 
2α β 
O X1 
1 
εx 
εy 
γxy/2 
γyx/2 
δx 
δy 
ux 
uy 
δ 
ε γ/2 
1 uD 
D 
α 
Fig.2.21
Sección 2.5: Representación de Mohr 
Cálculo de las deformaciones principales: 
 
Se sabe, por lo visto en (2.4) que las deformaciones principales son las deformaciones 
máxima y mínima y que en las direcciones donde aparecen, no hay deformaciones 
angulares. Es decir, se cumple: δ =ε, γ/2 = 0. 
γ/2 
Y Yγyx/2 
εy γyx/2 δy 
17 
 
 
Observando la Circunferencia de Mohr, se ve que los puntos M y N corresponden a las 
deformaciones máximas y mínimas y en ellos no hay deformaciones angulares, por 
tanto esos puntos estarán representando a las deformaciones principales. Sus valores 
serán: 
 
 
 
Las direcciones principales también se podrán obtener a partir de la circunferencia de 
Mohr. Se observa (Fig.2.22), que para pasar del punto X del circulo (representativo del 
estado de deformaciones de la dirección OX), al punto M, que es donde se dará la 
deformación principal: ε1 = εmax, hay que girar en sentido antihorario el ángulo 2ϕ1. Así 
pues para obtener la dirección principal OM, sobre la que se dará dicha deformación 
principal, se deberá girar la dirección OX, en el mismo sentido (es decir antihorario), el 
ángulo ϕ1. 
 
siendo: 
 
 
 
 
La otra dirección principal, la correspondiente al punto N, donde se dará la deformación 
principal mínima: ε2 = εmin, se obtendrá girando la anteriormente hallada otros 90º. (ver 
Fig.2.22), es decir en la dirección: ϕ2 = ϕ1 ± 90º (los puntos M y N están a 180º en la 
circunferencia). 
O C 
X 
ε
εx 
E εy 
γxy/2 
2ϕ1
M
N
ε2
ε1 
O X1 
1 
εx 
γxy/2 
δx ux 
uy 
1 
uM 
M
δ1 = ε1 
ϕ1 
Fig.2.22
2 2
1 1
2 2
2 2
Centro Radio MAX
2 2 2
Centro Radio MIN
2 2 2
x y x y xy
x y x y xy
OM OC CM
ON OC CN
ε ε ε ε γ
δ ε
ε ε ε ε γ
δ ε
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = + = + = + + →⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
+ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = = − = − = − + →⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
(2.14) 
11
2
22 ϕ
εε
γ
εε
γ
ϕ ⇒
−
=
−
==
yx
xy
yx
xy
CE
XEtag (2.15) 
Tema 3: Cuerpo Elástico 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tema 3 : CUERPO ELÁSTICO 
 
 
 
 
 σ LR 
 
 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
LP 
LE 
LFi LFf F 
ε O 
Tema 3: Cuerpo Elástico 
3.1.- INTRODUCCIÓN 
 
La experiencia nos enseña que todo cuerpo bajo la acción de las fuerzas aplicadas, se 
deforma y que al suprimir éstas, el cuerpo tiende a recuperar su forma inicial. Esta 
propiedad que poseen todos los cuerpos, en mayor o menor grado, se denomina 
ELASTICIDAD. 
 
Dependiendo del material del que estén hechos los cuerpos, se tendrá que unos cuerpos 
se comportarán más elásticos que otros y a su vez, para un cuerpo de un material 
determinado, dependiendo de la magnitud de las fuerzas aplicadas, se comportará total o 
parcialmente elástico. Se dirá que se comporta “totalmente elástico” si al retirar la 
fuerza a la que está sometido recupera totalmente su forma inicial y “parcialmente 
elástico” en caso contrario, es decir que al retirar la fuerza aplicada no recupera 
totalmente la forma inicial, dejando en él una deformación permanente. 
 
sí mismo, en nuestro análisis, admitiremos que los cuerpos son ISÓTROPOS, es 
.2.- RELACIONES ENTRE TENSIONES Y DEFORMACIONES. LEY DE 
L 
2 
 
 
 
A
decir, que sus propiedades elásticas son iguales en cualquier dirección. Esto no ocurre 
exactamente por ejemplo en materiales fibrosos comola madera, ni en materiales 
formados por laminación. En estos materiales habrá que hacer un estudio específico de 
los mismos, aunque en muchos casos, los resultados que se obtienen con esta hipótesis 
son satisfactorios. 
 
 
3
HOOKE GENERALIZADA
 
Se ha visto en los temas 1º y 2º que en un cuerpo sometido a fuerzas exteriores, a cada 
punto del mismo, le corresponde un “estado de tensiones” y un “estado de 
deformaciones”. Siendo unas, consecuencia de las otras, es evidente que ha de existir 
una relación entre ambos estados. Fue Hooke el que dedujo dichas relaciones. 
 
 
 
 
 
F 
L 
L+∆L 
F 
L
L´
L+∆L
deformación 
elástica 
deformación 
permanente 
L 
F 
L+∆L 
L 
deformación 
elástica 
Fig.3.1 
Sección 3.2.: Relaciones entre tensiones y deformaciones. Ley de Hooke generalizada 
 3 
LEY DE HOOKE
 
 
 
“Existe proporcionalidad entre las componentes del estado de tensiones y las 
componentes del estado de deformaciones”. 
 
Los coeficientes que regulan dicha proporcionalidad dependen de las constantes físicas 
del material y no de las particularidades geométricas del cuerpo. 
 
Para estudiar la deformación del paralelepípedo elemental debida a la acción de las 
tensiones, utilizaremos el Principio de Superposición. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Deformaciones debidas a σx: 
 
Experimentalmente se ha demostrado que las tensiones normales σ, actuando sobre las 
caras opuestas del paralelepípedo sólo originan deformaciones longitudinales ε según 
las aristas del paralelepípedo y no producen ninguna deformación angular. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Según la Ley de Hooke: las deformaciones longitudinales ε, son proporcionales a las 
tensiones normales σ que las producen: 
 
x
y
z 
σx σx 
σy 
σy 
τxy
τyx
O
Fig.3.2
σz 
τyz
τxzτzx
τzy
O
x
y
z 
σxσx
A BA´ B´
C 
D
C´ 
D´ 
Fig.3.3
´ ´
1
1 1. Cte proporcionalidadxx x
x
L A B AB
L AB E E
ε σ∆ −= = = → =
Tema 3: Cuerpo Elástico 
4 
Siendo E = MÓDULO DE ELASTICIDAD LONGITUDINAL. Es una constante física 
de cada material y se obtiene experimentalmente. Sus dimensiones son: N/mm2
Según se observa en la figura (3.3), el alargamiento longitudinal ε1x debido a la tensión 
normal σx, va acompañado de acortamientos longitudinales en dirección de los ejes y y 
z, que según la ley de Hooke vienen dados por: 
 
 
 
 
 
 
 
 
siendo υ = COEFICIENTE DE POISSON. Es también una constante física de cada 
material y es adimensional. 
 
De igual forma que hemos obtenidos las deformaciones debidas a la tensión normal σx, 
se obtendrían las deformaciones debidas a las tensiones normales σy y σz: 
 
Deformaciones debidas a σy: 
 
 
 
 
Deformaciones debidas a σz: 
 
 
 
 
 
y aplicando el Principio de Superposición, las deformaciones debidas a las tensiones 
normales: σx, σy y σz, serán: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ecuaciones que nos relacionan las deformaciones longitudinales ε, con las tensiones 
normales σ. 
 
 
 
 
 
 
EAD
ADDA
L
L
EAC
ACCA
L
L
x
x
z
z
z
x
x
y
y
y
σνενε
σνενε
..
..
1
´´
1
1
´´
1
−=−=
−
=
∆
=
−=−=
−
=
∆
=
EE
y
yzx
y
y
σ
νενεε
σ
ε .. 2222 −=−===
EE
z
zyx
z
z
σ
νενεε
σ
ε .. 3333 −=−===
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−=++=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−=++=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−=++=
EEE
EEE
EEE
yxz
zzzz
zxy
yyyy
zyx
xxxx
σσνσεεεε
σσν
σ
εεεε
σσνσεεεε
.
.
.
321
321
321
(3.1) 
Sección 3.2.: Relaciones entre tensiones y deformaciones. Ley de Hooke generalizada 
 
 5 
eformaciones debidas a τ
 
D xy: 
te que las tensiones cortantes τ, actuando 
bre las caras del paralelepípedo, originan deformaciones angulares γ. 
egún la ley de Hooke: las deformaciones angulares γ son proporcionales a las tensiones 
endo Es una constante física de 
ada material y se obtiene expe m ntalmente. Sus dimensiones son: N/mm2. 
e igual forma que formaciones debidas a la tensión cortante τxy, 
 obtendrían la maciones debidas a las tensiones co antes τyx y τzx: 
eformaciones debidas a τ
 
También se ha demostrado experimentalmen
so
 
 y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
S
cortantes τ: 
 
 
 
 
si G = MÓDULO DE ELASTICIDAD ANGULAR.
c ri e
 
D hemos obtenidos las de
eforse s d rt
 
D xy y a τzx : 
 aplicando el Prin o d uperposició las de aciones debidas a las tensiones 
ortantes: τxy, τyz y τ serán: 
 
 
 
y cipi e S n, form
c zx, 
 
 
 
 
 
Ecuaciones que nos relacionan las deformaciones angulares γ, con las tensiones 
cortantes τ. 
 
 
τyx
γyx/2 
B B´ 
τxy
O x 
τxy
τ
γxy/2 
yx
A 
A´ 
Fig.3.4
G
alidadproporcionCte
GOA
AAtag xyxyxy
1.1
´
=→==≅ τγγ
G
yz
yz
τ
γ =
G
zx
zx
τ
γ =
GGG zxyzxy
zxyzxy τγ
τ
γ
τ
γ === (3.2) 
Tema 3: Cuerpo Elástico 
 
 
6 
 
Así pues el resumen de ecuaciones que relacionan las tensiones y deformaciones 
obtenidas en (3.1) y (3.2), y dadas por la Ley de Hooke generalizada son: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Las relaciones inversas son: 
 
 
 
 
 
 
 
 siendo: 
 
 
 
 
Observación: Las constantes físicas: E, G y υ, están relacionadas entre ellas mediante la 
siguiente ecuación: 
 
 
 
 
 
Valores de E, G y υ, para diversos materiales: 
 
 
 MATERIAL E (N/mm2) G (N/mm2) υ 
acero 2,1.105 81000 0,3 
aluminio (aleacción) 0,73.105 28000 0,33 
Madera laminada 41,2.10 0,45 
cobre 1,2.105 47000 0,36 
 
 
 
 
 
⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−=
EEE
yxz
z
σ
ν
σ
ε .
⎠
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−=
EEE
EEE
zxy
y
zyx
x
σ
σσ
ν
σ
ε
σσ
ν
σ
ε
.
.
Gzx
γ
G
G
zx
yz
yz
xy
xy
τ
τ
τ
γ
γ
=
=
=
(3.3) 
GGe
GGe
G
zxzz
yzyzyy
xyxy
...2.
...2.
.
3
3
τελσ
τελσ
Ge xx ..2. 3 ελσ
zxγ
γ
γτ
=+=
=+=
=+=
(3.4) 
zyxe εεε ++=3 ( )( )νν
νλ
.21.1
.
−+
=
E
(3.5) (3.6) 
( )ν+= 1.2
EG (3.7) 
Sección 3.3.: Trabajo de las fuerzas externas 
 7 
.3.- TRABAJO DE LAS FUERZAS EXTERNAS
 
3
 
Sea un cuerpo elástico con los vínculos externos suficientes para que no pueda moverse 
 aplicación. 
ean: δ1, δ2,… δi,… δn, las componentes de dichos desplazamientos en la dirección de 
s fuerzas respect
 La aplicación lenta y gradual de las fuerzas hace que los desplazamientos de las 
uy pequeñas y por 
ucida (Téngase en 
icio desde que se 
• Se supone despreciable el rozamiento con los enlaces externos 
 realizan las 
e
s decir: 
las fuerzas exteriores depende únicamente de 
s valor ”. 
álculo de T
y apliquemos sobre él, de forma lenta y gradual, las fuerzas: F1, F2,.. Fi,…Fn, 
que originarán los desplazamientos: ∆1, ∆2,… ∆i,… ∆n, de sus puntos de
S
la ivas. 
 
 
F1 
F2 
Fi 
R1 R2 
Fig. 3.5
 
i
∆i 
 
 
 i´
δi 
i´´
∆1 
∆2 n 
δ1 
 
∆ 
 δn δ2 
 Fn 
 
 
 
 
Tengamos a continuación las siguientes consideraciones: 
 
•
partículas del cuerpo, los hagan con velocidades m
consiguiente puede despreciarse la energía cinética prod
cuenta, por ejemplo, que la carga que recibe un pilar de un edif
construye el pilar hasta que se termina el edificio, al cabo de varios meses, va a 
ir aumentando de forma muy lenta y gradual). 
 
Debido a estas consideraciones se podrá admitir que: “ todo el trabajo que
erzas externas: T , se invierte totalmente en deformar al cuerpo, transformándose en fu
Energía de Deformación:U”. 
 
E
 
y al no existir disipación de energía, estaremos en el caso de un sistema conservativo y 
n consecuencia: “ el trabajo que realizan e
su es iniciales y finales y no del orden en que son aplicadas
 
C e:
 
Al aplicarse las fuerzas externas de un modo gradual, sus valores en un estado 
intermedio, valdrán: 
1
2 n
1´
2´ n´
UTe = (3.8) 
10:.,.....,......,. 21 ≤≤αααα
 
 α siendoFFFF ni
 
Tema 3: Cuerpo Elástico 
8 
 según la leyde Hooke, en ese instante intermedio, las componentes δ de los 
esplazamientos de sus puntos de aplicación serán: 
 
on lo cual, el trabajo elemental que realizarán las fuerzas externas será: 
 
 
 
 
 
 
 
 queda finalm
y
d
 
 10:.,.....,......,. 21 ≤≤ αδαδαδαδα siendoni
C
y ente: 
 
 
 
bservación
∑
=
=
n
i
iie FT
1
..
2
1 δ(3.9) 
∫+++=
+++=
=+++=
1
0
2211
2211
2211
.)................(:
.).................(
).(.........).(.......).(..).(..
ααδδδδ
ααδδδδ
ααδααδααδαα
dFFFFTegrando
dFFFF
FdFdFdFdF
nniie
nnii
nniiedT
int
O : Si en lugar de las fuerzas Fi aplicadas, aplicásemos momentos Mi, que 
rodujeran giros θi en su misma dirección, la expresión del trabajo sería: 
.4.- ENE M N
p
 
 
 
 
 
 
3 ACIÓRGÍA DE DEFOR
 
La energía de deformación de un cuerpo elástico, la podremos obtener sumando las 
nergías de deformación de cada uno de los paralelepípedos elementales que lo forman. 
 cuerpo elástico, uno paralelepípedo elemental de lados: dx, dy, dz. 
l trabajo que realizarán las diferentes fuerzas elásticas que actúan sobre el 
aralelepípedo serán: 
∑
=
=
n
i
iie MT
1
..
2
1 θ (3.10) 
e
 
Aislemos pues, de un
 
 y 
z
σy 
σy 
τ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E
p
 
x
 
σx σx 
xy
τyx
3.6
O
Fig.
σz 
dy 
dz τyz
τxzτzx
τzy
dx
Sección 3.4: Energía de deformación 
 9 
obre las dos caras perpendiculares al eje X: 
 
 
 repitiendo lo mismo sobre las dos caras perpendiculares al eje Y y las dos caras 
rpendic
 
 
 
a energía de deform en será
 
 
 
i sustituimos las deformaciones en función de las tensiones, según las ecuaciones 3.3 
e la ley de Hooke generalizada 
 
 
 
 
 
 
 
uedará finalmente como expresión de la Energía de Deformación por unidad de 
 
bservación:
S
 
 
 
 
 
Y
pe ulares al eje Z, quedará: 
 
L ación por unidad de volum : 
 
 
S
d
 
 
 
q
volumen: 
 
 
 
La Energía de Deformación U del cuerpo elástico total será: 
 
 
 
O En las fórmulas obtenidas no hemos considerado el Trabajo debido a las 
º orden, que se despreciaría frente al Trabajo de las Fuerzas 
Fuerzas de Gravedad que actuarían sobre el paralelepípedo, debido a que obtendríamos 
un infinitésimo de 4
Elásticas que es de 3º orden, como se ha visto. 
 
 
dxdzdydxdzdydxdzdy xzxz
xy
xyxx .2
....
2
.
2
....
2
.....
2
=++ τ11 γ
γ1 τεσ
dzdydxxzxz
xy
xyxx ...2
.
2
...
2
1
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++=
γτ
γ
τεσ
dzdydxdUT yzyzxzxyzzyxxe ..).......(2
1 γτγτεσεσ ++++==d .ε yσ xyγ + xzτ
)......(
2
1
yzyzxzxzxyxyzyxxdVo
.zyl
dU γτγτσεσ +++++== (3.11) u ε σ ε γ τ
⎟⎟
⎞
⎜⎜
⎛
+−= zyxx
σσ
ν
σ
ε .
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ +−=
EEE
EEE
yxz
z
zxy
y
σσ
ν
σ
ε
σσ
ν
σ
ε
.
.
⎠⎝ EEE
G
G
zx
zx
yz
yz
τ
γ
τ
γ
Gxy
xyτγ =
=
=
[ ] ( )222222 1.(.2.
.2
1
zyx ..2
)... zxyzxyzyzxyx GE
u νσσσ −++= τττσσσσσσ +++++
∫=
vol
VolduU )(.
(3.12) 
(3.13) 
Tema 3: Cuerpo Elástico 
3.5.- DIAGRAMAS DE TENSIONES – DEFORMACIONES
 
Las propiedades mecánicas de los materiales, tales como: RESISTENCIA, RIGIDEZ, 
s Tensiones - Deformaciones 
rmalizadas del 
material a ensayar y sometiéndola a esfuerzos crecientes de Tracción (o en su caso de 
diendo en cada 
 y las correspondientes 
i en unos ejes coorde os las defor ε al eje de abcisas y las 
nsiones σ al de ordenadas se obtendrá un gráfico que es el Diagrama de tensiones – 
eformaciones. Cada material tendrá su propio Diagrama. 
para el caso de un acero estructural, conocido 
DUCTILIDAD, …………., se obtienen de los Diagrama
 
Estos diagramas se obtienen a partir de una probeta de dimensiones no
Compresión) hasta llegar a romperla. Durante el proceso se irán mi
instante los valores de la tensión a la que esté sometida: σ = F/Ao
deformaciones que se van produciendo: ε = ∆L/L. 
 
 
 
 
10 
 
 
 
 
 
 
 
 
S nados llevam maciones 
te
d
 
El Diagrama tensiones – deformaciones 
también como acero dulce de construcción, uno de los metales mas usados en edificios, 
puentes, grúas, etc…, es el siguiente: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observación: Este diagrama no está dibujado a escala, pero se representa así, para 
destacar con más claridad los puntos y partes mas significativas del mismo. 
nalicemos pues dicho Diagrama: A
LP 
LE 
ε O 
Fig.3.8
F LFi LFf 
LR σ 
L
Ao : área inicial de la 
sección transversal
F F
Fig.3.7
Sección 3.5: Diagramas de tensiones-deformaciones 
Tramo O – LP: 
 
Este tramo inicial es una recta y existirá 
deformaciones ε, se cumple pues la Ley de Hooke: 
por tanto proporcionalidad entre tensiones σ y 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a pendiente d ódulo de Elasticidad 
ngitudinal E del material. Y nos va a medir la RIGIDEZ de un material 
Rigidez de un material es la mayor o menor resistencia que opone dicho material a 
ejarse deformar” 
jemplo: Supongamos que tenemos los gráficos de dos materiales representados en la 
gura 3.10. 
 
 
 
 
 
 
e observa que la recta de proporcionalidad del material 1 tiene mayor pendiente que la 
el material 2: α > α → tag α > tag α → E > E → “el material 1 es más 
2: ε1 < ε2 
 11 
 
 
 
 
 
 
L e la recta de proporcionalidad nos proporciona el M
lo
 
“
d
 
E
fi
 
 
 
 
 
 
S
d 1 2 1 2 1 2
rígido que el material 2”. 
 
Efectivamente: se observa que sometidos los dos materiales a la misma tensión: σ1 = σ2, 
el material 1 se deforma menos que el material 
 
 
LP 
LE 
LFi LFf 
LR σ 
ε O 
α 
ε 
σ 
σP 
LP : Límite de Proporcionalidad 
 
σ : Tensión de proporcionalidad 
tag α = σ/ε = E (Módulo de Elasticidad 
 longitudinal) 
P
 
Fig.3.9
F 
ε
σσε =→= E
E
LP LP σ 
σ1 
σ
σ2 = σ1 
ε1 ε2 ε ε 
α1 α2 
Material 1 Material 2 
Fig.3.10
Tema 3: Cuerpo Elástico 
Tramo LP - LE: 
 
A partir de LP el diagrama deja de ser una recta y comienza a ser una curva. El punto 
LE “límite elástico”, representa la máxima tensión que puede alcanzar el material para 
omportarse elásticamente, es decir, sin que se produzcan en él deformaciones 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
c
permanentes 
 
 
 LR σ 
LP 
LE 
LFi LFf 
12 
 
 
ε O 
α 
σE 
LE : Límite Elástico 
 
σE : Tensión elástica 
Fig.3.11
 
Así pues, si una vez alcanzado el punto LE descargamos la probeta, la línea de descarga 
se hará recorriendo en sentido contrario la de carga y la probeta volvería a su estado 
inicial en el punto O. 
Campo Elástico 
F 
L
Fi LFf 
LR σ 
ε O 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
E 
L
α 
σE 
Fig.3.12
F 
Carga Descarga
 
 
 
Sección 3.5: Diagramas de tensiones-deformaciones 
Tramo LE – LFi – LFf : 
cada nor, hasta alcanzar el 
ede 
terial se dice que ha 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Una vez alcanzado el punto LE, si seguimos aumentando la carga sobre la probeta, el 
diagrama continua curvándose con una pendiente vez me
punto LFi. y a partir de dicho punto el material se deforma de forma apreciable (pu
observarse a simple vista) sin necesidad de un aumento de carga, con lo cual aparece 
una línea horizontal en el gráfico hasta llegar al punto LFf . El ma
entrado en fluencia y se vuelve perfectamente plástico 
 
 
 
LP 
LE 
LFi 
σ LR 
 
 13 
 LFf 
 σ
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Las deformaciones que sufre la probeta en este tramo son del orden de 10 a 15 veces la 
producida hasta el tramo anterior 
 
 
 
 
 
 
 
 
ε O 
α 
F 
LF : Límite Fluencia inicial 
 
σF : Tensión de fluencia 
i
 
F 
LFf : Límite Fluencia final 
Fig.3.13
Tema 3: Cuerpo Elástico 
Tramo LFf – LR - F: 
ntar la carga que actúa sobre ella. Y así hasta llegar al punto más alto del 
iagrama LR, que representará la máxima carga que es capaz de aguantar el material