Clase 5 Dinámica Circular 2020

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Dinámica del movimiento circular
-Movimiento en un plano vertical
-Vehículos en curva
Fuerzas de rozamiento entre sólidos
Rozamiento estático y dinámico
Coeficiente de roce
Aplicaciones de la Dinámica 
Movimiento de cuerpos vinculados
Máquina de Atwood
 Fuerzas inerciales 
 Fuerzas de Coriolis
CAMINANTE
NO HAY CAMINO 
SE HACE CAMINO AL ANDAR
Considerando el caso de un cuerpo animado con un 
movimiento curvilíneo.
Para producir el movimiento curvilíneo la fuerza resultante 
debe estar haciendo un ángulo con respecto a la velocidad, 
de modo que la aceleración tenga una componente 
perpendicular a la velocidad que proporcionará el cambio en 
la dirección del movimiento. Además la fuerza aplicada es 
paralela a la aceleración. Relación de los vectores:
v 
𝐅𝐭
𝑎𝑡
𝒂 F
𝐚𝐍
𝐅𝐍
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Como todos los movimientos de una partícula se rige por la 
segunda ley de Newton ഥ𝑭𝒊 = m.ഥ𝒂
Por lo tanto la componente de la fuerza tangente a la 
trayectoria o fuerza tangencial es:
ത𝐹𝑡 = m . ഥ𝒂𝒕 ó 𝐹𝑡 = m . 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
La componente de la fuerza perpendicular a la trayectoria, es 
decir la fuerza normal o centrípeta es
ത𝐹𝑁 = m .ത𝑎𝑁 ó 𝐹𝑁 = m . 
𝑣2
𝑅
Donde R es el radio de la trayectoria circular
La fuerza centrípeta está siempre dirigida al centro de la 
curvatura
Si la fuerza tangencial es cero, no hay aceleración tangencial 
en consecuencia el movimiento es circular uniforme.
Si la fuerza normal es 𝐹𝑁 =0 no se tiene 𝐚𝑵 = 0 
en consecuencia el movimiento es rectilíneo
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
En un movimiento circular, la velocidad lineal y la velocidad 
angular se relacionan con la siguiente ecuación: 
𝑣𝑡 =  R 
de modo que la fuerza también se puede expresarse:
𝐹𝑁 = m 𝑎𝑁 = m . 𝜔
2.R
Y considerando el caso de movimiento circular uniforme la única 
aceleración es la normal o centrípeta que se puede escribir:
𝑎𝑁 = 𝜔
2.R =   R =  x 𝑣𝑡 𝑎𝑁 =  x 𝑣𝑡
Por consiguiente 
𝐹 = m .  x v =  x m 𝑣𝑡 =  x p
ത𝐹 = ഥx ഥp
Esta es una relación importante entre la fuerza, la velocidad 
angular y el momento lineal de una partícula en movimiento 
circular uniforme
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Movimiento en una circunferencia vertical
La figura representa un cuerpo pequeño atado a una cuerda de longitud “R”, 
dando vueltas en una circunferencia vertical alrededor de un punto fijo “O”
𝒗𝟏
P 
𝐓1 R 
T O T
𝜃
P T P
𝑻2
P cos 𝜃
𝐯2 P
P
El cuerpo aumenta su velocidad cuando desciende y 
disminuye su velocidad cuando asciende.
Se representa por: 𝒗𝟏 la velocidad del cuerpo en el “punto mas alto”
𝒗𝟐 la velocidad del cuerpo en el “punto mas bajo”
Las fuerzas actuantes: su peso mg y la tensión T
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
La fuerza resultante en el punto mas alto es 𝑭𝒊 = 𝑻1 + mg 
Aplicando en ese punto la expresión ഥ𝑭𝒊 = m. 𝐚𝑵
𝑻1 + mg = m . 
𝒗𝟏
𝟐
𝐑
 𝑻1= m . 
𝒗𝟏
𝟐
𝐑
- mg 
La fuerza resultante es la fuerza centrípeta que actúa hacia el centro 
cuando el cuerpo efectúa un movimiento circular 
En forma análoga, en el punto mas bajo de la circunferencia:
𝑻𝟐 - mg = m . 
𝒗𝟐
𝟐
𝐑
 𝑻𝟐 = m . 
𝒗𝟐
𝟐
𝐑
+ mg
Se observa que la tensión en la parte mas baja es mayor 𝑻𝟐 > 𝑻1
Se toma como positivo el sentido hacia el centro de la circunferencia
Para el punto mas alto es un hecho conocido que existe cierta 
velocidad crítica por debajo de la cual la cuerda deja de estar tensa. 
Para encontrar esa velocidad mínima se considera el punto límite 
cuando 𝑻1 = 0
Reemplazamos en la ecuación y queda  0 = m . 
𝒗𝟏
𝟐
𝐑
- mg 
Despejamos la velocidad mínima  𝑣𝟏𝒎𝒊𝒏 = g.R
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Péndulo Cónico
ഥ𝑭𝒙 = m. 𝐚𝑵 ഥ𝑭𝒚 = 0
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
VEHÍCULOS EN CURVAS
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Consideramos 1º caso: el coche describe una curva sin peralte
Suponemos que el vehículo circula con velocidad constante y actúa 
sobre el mismo una fuerza de rozamiento en la dirección 
perpendicular su vector velocidad tangencial
Las fuerzas que actúan son tres:
el peso, la reacción del plano
y la fuerza de rozamiento
Aplicando la 2º Ley de Newton
al movimiento se tiene:
En la dirección vertical o eje “Y” se 
tiene equilibrio y el cuerpo no se mueve en ese sentido vertical 
𝑭𝒊 = 0  N – mg = 0  N = mg
En la dirección horizontal o eje “X” es también la dirección de la 
aceleración radial o centrípeta: F𝑟 = m a𝑐  F𝑟 = m. 
𝑣2
R
Teniendo en cuenta la definición de fuerza de roce F𝑟 =  . N =  .mg
Reemplazamos  .mg = m. 
𝑣2
R
 v =  g.R
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Consideramos caso de curva peraltada con rozamiento
Consideremos ahora el caso de que la curva tiene un peralte de ángulo θ.
Analicemos el problema desde el punto de vista del observador inercial
Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son las mismas que en el caso de la curva sin 
peralte, pero con distinta orientación salvo el peso.
• El peso mg
• La fuerza de rozamiento Fr
• La reacción del plano inclinado N
x
y
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
En el eje vertical no hay aceleración, tenemos una situación de equilibrio
Σ 𝐹𝑌 = 0  N cosθ = Fr senθ + mg
En el eje horizontal, aplicamos la segunda ley de Newton para el movimiento 
circular uniforme: Σ F = m.𝒂𝒄
N senθ + Fr cosθ = mv
2/R
El vehículo comienza a deslizar en la dirección radial, cuando lleva una 
velocidad tal que Fr = μN En el sistema de dos ecuaciones
N (cosθ – μ senθ) = mg ecuación 1 
N (senθ + μ cosθ) = mv2/R ecuación 2
Dividiendo m.a m. la ecuación 2 con la 1 se obtiene:
mv2/R
mg
= 
N (senθ + μ cosθ)
N (cosθ – μ senθ)
simplificando queda 
v2
R g = 
(senθ + μ cosθ)
(cosθ – μ senθ)
despejamos la velocidad máxima v que puede llevar el vehículo para que 
describa la curva con seguridad
v = Rg .
(senθ + μ cosθ)
cosθ – μ senθ
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
En el caso de que no se considere el rozamiento entonces μ = 0
Y la expresión resulta:
v = Rg . tan 𝜃
El ángulo θ es el peralte de la curva 
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
FUERZA DE ROZAMIENTO
Para entender este concepto vamos a suponer que tenemos un 
bloque de masa “m” sobre una superficie 
Por lo tanto actúan la fuerza peso y la 
reacción de la superficie fuerza Normal N
Suponemos que actúa una fuerza ത𝐹que a
hace mover al bloque hacia la derecha ҧ𝑓𝑟 F
generando una aceleración ത𝑎
A nivel de la superficie si podríamos ver el w=mg
el contacto entre las dos superficies se 
apreciaría lo siguiente:
Una serie de rugosidades o imperfecciones 
Que hace que cuando el bloque se mueva 
sobre la superficie estas imperfecciones y 
rugosidades provocan una dificultad al 
movimiento, una resistencia al libre deslizamiento, esas dificultades es 
lo que se convierten en la fuerza de rozamiento o fricción, que actúa 
en sentido opuesto al sentido del deslizamiento
La vamos a escribir como ത𝒇𝒓
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Se puede decir que aún las superficies mas pulidas no son tan planas, el 
perfil ampliado de la figura muestra una serie de imperfecciones que 
provocan el fenómeno denominado “adhesión de superficie”. Esta 
adhesión entre las superficies de contacto provoca una fuerza que se 
opone al deslizamiento, y esaresistencia podemos decir que es la 
fuerza de rozamiento o roce. 
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Entonces cuando mayor sean las rugosidades y dificultades, por lo
tanto mayor será la fuerza que se opondrá al desplazamiento mutuo
entre las superficies.
Estas rugosidades o dificultades que se presentan entre las
superficies, se cuantifican con el coeficiente de rozamiento o
fricción, que denotaremos con la letra griega μ, por lo tanto cuanto
más rugosas sean las superficies μ el coeficiente será mayor y valdrá
menos cuanto más lisas y pulidas sean.
El coeficiente de rozamiento es adimensional, es decir que no tiene
unidades, por ejemplo un valor puede ser μ = 0,4
Existen dos clases de coeficientes de rozamiento:
𝜇𝑒 = 𝜇𝑠 = coeficiente de rozamiento estático
𝜇𝑘 = 𝜇𝑑 = coeficiente de rozamiento cinético o dinámico
En consecuencia se definen dos fuerzas de roce
Fuerza de roce estática ത𝐹𝑟𝑒 = 𝜇𝑒 .N
Fuerza de roce cinética ത𝐹𝑟𝑘 = 𝜇𝑘 .N
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
EXPERIENCIA: Determinación del coeficiente de rozamiento estático
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Para el cálculo del coeficiente de rozamiento se plantea:
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Relación fuerza de roce vs fuerza externa aplicada
𝐹𝑟
𝐹𝑟𝑒𝑚
𝐹𝑟𝑑 = 𝜇𝑘 . N
𝐹𝐸𝑥𝑡.𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎 (N)
0 𝐹𝑟𝑒𝑚 = 𝐹𝐸𝑥𝑡.𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑎
Fuerza de roce estática máxima = 𝐹𝑟𝑒𝑚 = 𝜇𝑒 . N
Es la fuerza que debe aplicarse para que el cuerpo inicie el movimiento
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Fuerza de roce al caminar 
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Cuerpos vinculados
Maquina de Atwood
Figura 3
Figura 2
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Diagrama de cuerpo libre de Máquina de Atwood
Para P2 Para P1
T T
𝑃2 𝑃1
ECUACIONES: considerando que el 𝑷𝟏 > 𝑷𝟐
T - 𝑃2 = 𝑚2 a
𝑃1 - T = 𝑚1 a
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Diagramas de cuerpo libre Figura 2
Para m2 Para m1
𝑁2 𝑁1
F 𝑓𝑟12 T 𝑓𝑟21 T
𝑃1 𝑃1
𝑃2
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Figura 3
Diagrama de cuerpo libre
Para M para m
y
𝑇2 𝑁𝑚
x
𝑇1 𝑓𝑚𝑟 𝑃𝑚𝑥 𝑇2
v P= Mg 
𝑃𝑚𝑦
Para 2m
y
𝑁2𝑚
𝑓2𝑚𝑟 𝑃2𝑚𝑥 𝑇1 x
𝑃2𝑚𝑦
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Ejercicio de aplicación 
Dos cuerpos apoyados sobre una plataforma giran con MCU. Se conocen 
las siguientes relaciones : 𝑚𝐴 = 
𝑚𝐵
2
y 𝑅𝐵 = 2 𝑅𝐴 siendo los coeficientes 
de rozamiento con la plataforma iguales para ambos cuerpos.
Calcular: a) la relación entre sus fuerzas de rozamiento
b) la relación entre sus aceleraciones centrípetas 
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
El movimiento es MCU, las fuerzas actuantes sobre los cuerpos son: Peso, 
reacción de plataforma o fuerza Normal y la fuerza de rozamiento
El diagrama de cuerpo libre:
cuerpo A cuerpo B
𝑁𝐴 𝑁𝐵
𝐹𝑅𝐴 𝐹𝑅𝐵
𝑃𝐴 𝑃𝐵
Aplicamos la 2°Ley de Newton
σ𝐹𝑖 = m. 𝒂𝒄
cuerpo A cuerpo B
𝐹𝑅𝐴 = 𝑚𝐴. 𝒂𝒄𝑨 𝐹𝑅𝐵 = 𝑚𝐵. 𝒂𝒄𝑩
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
La expresión de la aceleración centrípeta en función de la velocidad 
angular es:
𝒂𝒄 = 𝝎
𝟐 R
Y teniendo en cuenta que ambos cuerpos tienen la misma velocidad 
angular, la expresiones de la fuerzas de roce son:
𝐹𝐑𝐀 = 𝑚𝐴 . 𝝎
𝟐 𝑹𝑨 𝐹𝐑𝑩 = 𝑚𝐵 . 𝝎
𝟐 𝑹𝑩
Teniendo en cuenta los datos del problema 𝒎𝑨 = 
𝒎𝑩
𝟐
y 𝑹𝑩 = 2 𝑹𝑨
y las reemplazo en la ecuación del cuerpo B
𝐹𝐑𝐀 = 𝑚𝐴 . 𝝎
𝟐 𝑹𝑨
𝐹𝐑𝑩 = 2 𝑚𝐴 . 𝝎
𝟐 2 𝑹𝑨
Dividiendo m.a.m se obtiene lo solicitado
𝐹𝐑𝑩
𝐹𝐑𝐀
= 
4𝒎𝑨 . 𝝎𝟐 𝑹𝑨
𝑚𝐴 . 𝝎𝟐 𝑹𝑨
Simplificando queda: 𝐹𝐑𝑩 = 4 𝐹𝐑𝐀
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
La expresión de la aceleración centrípeta en función de la velocidad 
angular es:
𝒂𝒄 = 𝝎
𝟐 R
Y teniendo en cuenta que ambos cuerpos tienen la misma velocidad 
angular, la expresiones de la aceleración son: 
𝑎𝑐𝐴 = 𝝎
𝟐 𝑹𝑨 𝑎𝑐𝐵 = 𝝎
𝟐 𝑹𝑩
Teniendo en cuenta los datos del problema donde 𝑹𝑩 = 2 𝑹𝑨
𝑎𝑐𝐴 = 𝝎
𝟐 𝑹𝑨 𝑎𝑐𝐵 = 𝝎
𝟐 2𝑹𝑨
Dividiendo miembro a miembro nos queda:
𝑎𝑐𝐵
𝑎𝑐𝐴
= 
𝝎𝟐 2𝑹𝑨
𝝎𝟐 𝑹𝑨
simplificando queda 
𝒂𝒄𝑩 = 2 𝒂𝒄𝑨
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Fuerzas inerciales
Un sistema de referencia es no inercial cuando en el mismo no se
cumplen las leyes de Newton, cuando dicho sistema de referencia
está acelerado, por ejemplo sistema S’ :
f ≠ m.a
Se puede salvar la validez de la segunda Ley de Newton, si se
postula que sobre el cuerpo actúa otra fuerza:
f’ = - m.a
De tal manera, que si el cuerpo se encuentra en reposo respecto de
un sistema no inercial S’, se cumple f + f’ = 0
A f’ la llamamos fuerza inercial de arrastre en el caso de que la terna
móvil tenga solamente movimiento de traslación.
En el caso de general con movimiento de traslación-rotación, para la
terna móvil: ҧ𝐟 + f’𝑎𝑟𝑟 + f𝐶𝑜𝑟 = m 𝑎𝑟𝑒𝑙
Donde: ҧ𝐟: Resultante de las fuerzas de interacción
f’𝑎𝑟𝑟 : Fuerza inercial de arrastre
f𝐶𝑜𝑟 : Fuerza inercial de Coriolis f𝐶𝑜𝑟 = m . 𝑎𝐶
𝑎𝑟𝑒𝑙 : aceleración del cuerpo respecto al sistema no inercial
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Fuerza de Coriolis
Este experimento requiere de un pizarrón 
circular montado sobre un rulemán, que 
le permita girar, con una manija para girarlo
En la superficie del pizarrón o el papel, 
dibujamos dos cruces, una en el centro y otra 
en el borde. Estos puntos representarán 
nuestros puntos de partida (despegue) y
llegada (aterrizaje). El camino más corto 
entre ambos puntos es la recta que los une.
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Fuerza de Coriolis
Ahora veamos que pasa si intentamos ir del punto central al del 
borde siguiendo una línea recta, mientras giramos el pizarrón o el 
papel.
Vemos que mientras el pizarrón o el papel gira y nosotros intentamos 
unir los dos puntos con una recta, vamos dibujando una espiral y no 
una línea recta. Difícilmente terminemos en el punto de llegada 
propuesto.
El movimiento que hiciste con la tiza fue
recto visto desde afuera del pizarrón (sis-
tema NO rotante)pero para un observador
en el pizarrón (sistema rotante) fue 
perfectamente curvo. Así un observador
en el sistema rotante tiene la sensación 
de que hay una fuerza actuando sobre la 
tiza que desvía su movimiento. Pero dicha
fuerza no existe como tal, sino que es 
sólo un efecto de observar desde un sistema que rota.
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Fuerza de Coriolis