clase 6 Trabajo y Energía Ciclo 2020

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UNIDAD 3 TRABAJO Y ENERGIA
Trabajo Mecánico:
-Definición
-Trabajo de una fuerza variable en una y dos 
dimensiones
-Integrales curvilíneas en el cálculo del trabajo
-Unidades
-Potencia
-Definición de Energía Cinética
-Teorema del Trabajo y la Energía
CAMINANTE
NO HAY CAMINO 
SE HACE CAMINO AL ANDAR
FISICA 1 Ing. RICARDO MOYANO 
Trabajo Mecánico 
Supongamos que una partícula P se mueve a lo largo de una trayectoria 
(RM), debido a las fuerzas actuantes, representadas por su resultante ത𝐹. En 
un intervalo de tiempo 𝑑𝑡 la partícula sufre un desplazamiento 𝑑 ҧ𝑟
z
M
ത𝐹
ҧ𝑟 𝜃
R 𝑑 ҧ𝑟
0 
y
x 
Definición: El Trabajo efectuado por la fuerza ഥ𝑭 en el intervalo de tiempo 𝒅𝒕 es 
igual: 𝒅𝑾 ≡ ഥ𝑭 . 𝒅ത𝒓 = ഥ𝑭 𝒅ത𝒓 𝐜𝐨𝐬𝜽
FISICA 1 Ing. RICARDO MOYANO 
Como el intervalo de tiempo es muy pequeño “𝑑𝑡”, entonces podemos decir que: 
𝑑 ҧ𝑟 = 𝑑S = Arco de la trayectoria
Siendo 𝜃 = ángulo entre la dirección de la fuerza ത𝐹 y el desplazamiento 𝑑 ҧ𝑟
por lo tanto se puede escribir 𝒅𝑾 ≡ F 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒅s
Donde la expresión F 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝐹𝑡 es la componente de la fuerza ത𝐹 proyectada 
en la dirección del movimiento 
𝒅𝑾 = 𝑭𝒕 𝒅s
“El trabajo es el producto de la proyección de la fuerza en la dirección del 
movimiento por el desplazamiento”
Si efectuamos la integral la ecuación de la definición del Trabajo entre R y M 
W𝑅𝑀 = 𝑅׬
𝑀 ഥ𝑭 𝒅ത𝒓 𝑅׬ =
𝑀
𝑭𝒕 𝒅s
Para poder evaluar la integral anterior se debe conocer, como varía la fuerza en 
función de los tres ejes coordenados ത𝐹 = f(x,y.z) 
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Se considera conveniente representar gráficamente la proyección de la fuerza en 
función del desplazamiento 𝑭𝒕 = 𝑓(s)
𝑭𝒕
𝑭𝒕 𝒅s = 𝒅𝑾
S 
Como puede verse el área bajo la curva 𝑭𝒕 = 𝑓(s) representa el trabajo 𝒅𝑾
efectuado para un pequeño desplazamiento 𝒅𝐒
Si proyectamos la fuerza ത𝐹 según la dirección de los tres ejes coordenados:
F= 𝑭𝒙 Ƹ𝑖 + 𝑭𝒚 Ƹ𝑗 + 𝑭𝒛 ෠𝑘
𝒅ത𝒓 = 𝒅𝒙 Ƹ𝑖 + 𝒅𝒚 Ƹ𝑗 + 𝒅𝒛 ෠𝑘
Reemplazamos ׬𝑑𝑊 𝑭𝒙)׬ = Ƹ𝑖 + 𝑭𝒚 Ƹ𝑗 + 𝑭𝒛 ෠𝑘)(𝒅𝒙 Ƹ𝑖 + 𝒅𝒚 Ƹ𝑗 + 𝒅𝒛 ෠𝑘 )
𝑊 +𝑭𝒙𝒅𝒙)׬ = 𝑭𝒚𝒅𝒚+ 𝑭𝒛𝒅𝒛) que resulta igual a la suma de 
los productos de las componentes de la fuerza en la dirección de los ejes y la 
proyección del desplazamiento e dichas direcciones 
FISICA 1 Ing. RICARDO MOYANO 
La ecuación el producto escalar de los vectores fuerza y desplazamiento nos 
da dW = ഥ𝑭 . dr el trabajo para un desplazamiento infinitesimal 
El trabajo total sobre a partícula cuando esta se desplace de R hasta M, es la suma de 
todos los trabajos infinitesimales efectuados en los sucesivos desplazamientos 
infinitesimales
W = 𝐹1 . dr1 + 𝐹2 . dr2 + 𝐹3 . dr3 + ….. 
 W = ׬𝑅
𝑀
𝐹 . 𝑑𝑟 𝑅׬ =
𝑀
𝐹𝑡 𝑑𝑠
Siendo la expresión final, la correspondiente al producto de la proyección de la fuerza 
en la dirección del movimiento por el desplazamiento.
En los siguientes gráficos se representa la proyección de la fuerza 𝑭𝒕 = 𝑓(s) 
Para resolver se debe conocer F en función de x, y, z
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La representación gráfica de 𝐹𝑡 en función de la distancia “s”
𝐹𝑡 𝐹𝑥
1 𝐹4
2 
𝐹𝑡 𝐹2 𝐹3
𝐹1
dW 𝐹𝑡׬ = 𝑑𝑠
0 ds s 
A B 
x
𝐹𝑡 0 A=x0 xf= B
fuerza
3 
෍
𝑖=1
𝑛
𝐹𝑖 ∆𝑥
0 x desplazamiento
A B 
∆𝑥
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los Gráficos precedentes muestran el procedimiento que se puede implementar 
para calcular el área bajo la curva de la fuerza variable 𝑭𝒕 vs s (desplazamiento)
El grafico 2 se comienza a trabajar con rectángulos para aproximar un valor de 
área, son rectángulos de igual base ∆𝑆 que para una sola dimensión podemos 
colocar ∆𝑥, cada rectángulo tiene una altura que corresponde a la intercepción 
con la curva, 
Entonces se puede decir que el trabajo es aproximadamente igual
W = 𝐹1 ∆𝑥 + 𝐹2 ∆𝑥 + 𝐹3 ∆𝑥 + 𝐹4 ∆𝑥
Pero se observa pequeñas zonas que no son consideradas en la suma de las áreas, se 
hace entonces las bases de los rectángulos mas pequeñas 
Entonces W = 𝐹1 ∆𝑥 + 𝐹2 ∆𝑥 + … + 𝐹𝑛 ∆𝑥
W = σ𝑖=1
𝑛 𝐹𝑖 ∆𝑥
Para completar toda el área bajo la curva se hacen las bases mas pequeñas, hasta que 
se toma un valor límite tendiendo a cero, entonces allí se tendrá el área total 
considerada, lo que se escribe: 
W = lim
∆𝑥→0
σ𝑖=1
𝑛 𝐹𝑖 ∆𝑥
Esta expresión del limite de la sumatoria para ∆𝑥 0 es la integral
W = ׬𝑥𝑜
𝑥𝑓 F(x) 𝒅x
Para lo cual es necesario conocer la variación de F= 𝑓(x) 
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Esta es la expresión que nos dá el trabajo efectuado por una fuerza 
variable:
W = ׬
𝐴
𝐵
𝐹𝑡 𝑑𝑠
En el caso particular cuando la fuerza es constante en magnitud y dirección y 
el cuerpo se mueve rectilíneamente en la dirección de la fuerza, el trabajo es: 
W = ׬
𝐴
𝐵
𝐹𝑡 𝑑𝑠 = F ׬𝐴
𝐵
𝑑𝑠 = F .s 
UNIDADES
La unidad de Trabajo esta relacionado con el trabajo hecho por una fuerza unida al 
desplazarse una de distancia en la dirección y sentido de la fuerza 
En el sistema internacional (SI) la unidad de fuerza NEWTON y distancia es el metro 
W = 𝑁𝑒𝑤𝑡𝑜𝑛 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 ≡JOULE ≡ J
En el sistema técnico, la unidad de fuerza es el kilogramo fuerza (Kgf) y distancia es el 
metro W = 𝐾𝑔𝑓 𝑚𝑒𝑡𝑟𝑜 ≡ Kgm (kilográmetro)
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De acuerdo con la expresión del trabajo: 
dW = F ds cos 𝜃
W = F s cos 𝜃
Que da el trabajo para fuerza constante y desplazamiento rectilíneo, siendo el 
ángulo 𝜃 comprendido entre la dirección de la fuerza y la dirección del 
desplazamiento 
Si asociamos para un movimiento unidimensional s es desplazamiento “x” 
W = F x cos 𝜃 W = F s cos 0°
W = F x 
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EJERCICIOS DE APLICACIÓN
Calcular el trabajo efectuado para las siguientes opciones
Donde F = 12N desplazamiento AB = 7m
F
F
F
F
F
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EJERCICIOS DE APLICACIÓN
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desplazamiento
𝐹𝑐
Peso = mg
ángulo 𝜃 = 90° ángulo 𝜃 = 90°
Trabajo de Fuerza Peso Trabajo fuerza centrípeda
W = F s cos 𝜃 W = F s cos 𝜃
W = 0 W = 0 
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Cuando sobre la partícula actúan “n” fuerzas 𝐹1 , 𝐹2, 𝐹3, …𝐹𝑛 los trabajos efectuados 
por cada una de ellas en un desplazamiento 𝐴𝐴′ = dr
son dW1= 𝐹1 . ഥdr dW2= 𝐹2 . ഥdr dW3= 𝐹3 . ഥdr
Como todas la fuerzas actúan sobre la misma partícula el 𝑑 ҧ𝑟 es el mismo para todas 
las fuerzas.
Considerando que el trabajo es el producto punto entre dos vectores, entonces es un 
escalar y el trabajo total hecho sobre la partícula se obtiene sumando los trabajos 
efectuados por cada fuerza:
W = 𝑭𝒕 𝒅s = F 𝒄𝒐𝒔𝜽 𝒅s si consideramos en una dimensión “ ejeX” s = x
W = 𝑭𝒙 𝒅𝐱 = F 𝒄𝒐𝒔 𝜽 ∆𝐱
Para las “n” fuerzas actuantes:
𝑤𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = 𝑤𝐹1 + 𝑤𝐹2 + 𝑤𝐹3 + … + 𝑤𝐹𝑛1
𝑤𝑇𝑜𝑡𝑎𝑙 = σ𝑖=1
𝑛 𝑤𝐹𝑖
Conclusión: el trabajo total resultante de la acción de las fuerzas sobre la 
partícula, es igual a la suma de los trabajos de las fuerzas componentes 
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POTENCIA
El concepto de potencia nos da la idea de, con qué rapidez se 
efectúa el trabajo, 
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DEFINIMOS la potencia como la rapidez con que se efectúa el trabajo
Se define la POTENCIA MEDIA, 𝑷𝒎𝒆𝒅 ; como el trabajo realizado en un 
intervalo de tiempo
𝑷𝒎𝒆𝒅 = 
∆W
∆𝒕
La potencia instantánea se define como el límite del cociente del 
trabajo y el intervalo de tiempo cuando este tiende a cero
P = lim
∆𝒕 𝟎
∆W
∆𝒕
= 
𝑑𝑊
𝑑𝑡
Las unidades en el SI de la Potencia es el watt(w) 
Un watt es un joule por segundo 1 W = 1( 
𝐽
𝑆
)
También 1 KW = 1000 W
1 MW = 106 W
Un caballo de fuerza o CV o hp es igual 1hp = 746 W
El trabajo expresado como KW-HORA = al trabajo efectuado durante una hora 
por una máquina cuya potencia es de un kilo wat
es decir 1 (kilowatt-hora) = 103 (W) . 3,6x103(s) = 3,6x106 (J)
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0tra forma de expresar la potencia es en términos de Fuerza y velocidad
Supongamos que una fuerza actúa sobre un cuerpo provocando un 
desplazamiento ∆𝑥 . 
Si la 𝐹𝑥 es la componente de la fuerza tangente a la trayectoria, 
paralela a ∆𝑥, entonces el trabajo realizado es ∆𝑊 = 𝐹𝑥 ∆𝑥
En consecuencia el cálculo de la potencia media se puede escribir:
𝑃𝑚𝑒𝑑𝑖𝑎 = 
𝐹𝑥 ∆𝑥
∆𝑡
= 𝐹𝑥 . 
∆𝑥
∆𝑡
= 𝐹𝑥 . 𝑣𝑚
La potencia instantánea P es el límite cuando ∆𝑡 0
P = F . 𝑣
Donde 𝑣 es la magnitud de la velocidad instantánea
Rapidez instantánea con que una fuerza realiza trabajo sobre la 
partícula
Ejercicio de aplicación
FISICA 1 Ing. RICARDO MOYANO
Trabajo efectuado por una fuerza variable:
En una dimensión la fuerza que el resorte
ejerce sobre el cuerpo es: F = -k x
se conoce como ley de HOOCKE, donde
k es la constante de fuerza del resorte 
el signo (-)menos es porque el sentido de la
fuerza es contrario al sentido del 
desplazamiento respecto a su posición de 
equilibrio x = 0
estirado x > 0 Fuerza negativa 
comprimido x < 0 Fuerza positiva 
El trabajo que la fuerza del resorte realiza es:
W = ׬
𝑥𝑖
𝑥𝑓 𝐹𝑥 𝑑𝑥 𝑥𝑖׬ =
𝑥𝑓(−𝑘𝑥) 𝑑𝑥 = -k ׬
𝑥𝑖
𝑥𝑓 𝑥 𝑑𝑥
W = -
1
2
k 𝑥2
𝑥𝑓
𝑥𝑖
= -
1
2
k 𝑥𝑓
2 + 
1
2
k 𝑥𝑖
2
W = 
1
2
k 𝑥𝑖
2 -
1
2
k 𝑥𝑓
2 = -
1
2
k (𝑥𝑓
2 - 𝑥𝑖
2 )
Casos:
Si Xf > Xi entonces W = (-)
Si comenzamos a estirar o comprimir desde la posición de equilibrio 𝑥𝑖 = 0 el 
trabajo es W = -
1
2
k 𝑥2
FISICA 1 Ing. RICARDO MOYANO
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TEOREMA DEL TRABAJO Y ENERGIA 
Este teorema demuestra la relación que existe entre trabajo total realizado por 
las fuerzas externas sobre un cuerpo y los cambios producidos en la rapidez del 
mismo.
Ese teorema también se lo conoce como Teorema de la variación de la energía 
cinética o Teorema de las Fuerzas vivas.
Supongamos que la componente de la fuerza resultante actúa sobre la 
partícula es la fuerza tangencial 𝐹𝑡 = m . a = m 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
Podemos escribir 𝐹𝑡. ds = m 
𝑑𝑣
𝑑𝑡
ds = m dv 
𝑑𝑠
𝑑𝑡
= m . v dv 
W = ׬𝐴
𝐵
𝐹𝑡 𝑑𝑠 𝐴׬ =
𝐵
𝑚𝑣 𝑑𝑣 = m ׬𝐴
𝐵
𝑣 𝑑𝑣 = m 
1
2
𝑣2
𝐵
𝐴
w = 
1
2
m 𝑣𝐵
2 -
1
2
m 𝑣𝐴
2 donde la expresión “
𝟏
𝟐
m 𝒗𝟐” se denomina 
energía cinética, que depende de rapidez de la velocidad al cuadrado
w = 𝐸𝑐𝐵 - 𝐸𝑐𝐴 es el cambio de la energía cinética
w = ∆ 𝐸𝑐 EL TRABAJO TOTAL SE EXPRESA COMO LA VARIACIÓN 
ENERGÍA CINÉTICA
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El resultado nos indica que cualquiera que sea la forma funcional de la
fuerza F y la trayectoria seguida por la partícula, el valor del trabajo W
efectuado por la fuerza es siempre igual a la diferencia entre las
magnitudes de
1
2
m 𝑣2 , evaluadas al final y al principio de la
trayectoria.
Esta magnitud se llama ENERGÍA CINÉTICA y se designa como 𝐸𝑐 o 𝐸𝑘
𝐸𝑐 = 𝐸𝑘 =
1
2
m 𝑣2
Entonces el trabajo total se puede expresar como
w = 𝐸𝑘𝐵 - 𝐸𝑘𝐴
La expresión dice:
El trabajo efectuado sobre una partícula es igual al cambio producido
en su energía cinética
Esta definición tiene una validez general, cualquiera sea la naturaleza
de la fuerza aplicada
FISICA 1 Ing. RICARDO MOYANO
TRABAJO de una FUERZA de DIRECCION Y MAGNITUD constante
Consideramos una partícula de masa “m” que se mueve bajo la 
acción de una fuerza “F” constante
A 
1 m dr
2 ∆𝑟 = 𝑟𝐴-𝑟𝐵 B
𝑟𝐴 𝑟𝐵
F
El trabajo de la fuerza F cuando la partícula se mueve de A a B, a lo largo de la trayectoria 1 es:
𝑊1 𝐴׬ =
𝐵
𝐹𝑡 𝑑𝑟 = F 𝐴׬
𝐵
𝑑𝑟 = F . (𝑟𝐴 - 𝑟𝐵) 
Si ahora la partícula se mueve por la trayectoria 2 , que también une los puntos A y B , como la 
diferencia vectorial es la misma el trabajo es 𝑊2 𝐴׬ =
𝐵
𝐹𝑡 𝑑𝑟 = F 𝐴׬
𝐵
𝑑𝑟 = F . (𝑟𝐴 - 𝑟𝐵) 
Como 𝑊1=𝑊2 se concluye: “El trabajo es independiente de la trayectoria que conecte A con B”
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Si consideramos la fuerza de la gravedad y aplicamos la ecuación anterior :
W = F 𝐴׬
𝐵
𝑑𝑟 = F . (𝑟𝐴 - 𝑟𝐵) = mg . (𝑟𝐴 - 𝑟𝐵)
la fuerza peso solo tiene componente en el eje “y” F = - mg Ƽ𝑗
Y el (𝑟𝐴 - 𝑟𝐵) = (𝑥𝐴 - 𝑥𝐵) Ƽ𝑖 + (𝑦𝐵 - 𝑦𝐴) Ƽ𝑗 Por lo que resulta W = - mg . (𝑦𝐵 - 𝑦𝐴) Ƽ𝑗
Entonces W = mg (𝑦𝐴 - 𝑦𝐵) 
W = - mg (𝑦𝐵 - 𝑦𝐴)
La expresión de la energía potencial debida a la gravedad es 𝑬𝑷 = mgy
y 𝑟𝐴-𝑟𝐵 B
A 𝑦𝐵-𝑦𝐴
𝑟𝐴
𝑟𝐵 mg
0 x
Entonces la expresión encontrada nos dice: el trabajo W depende solamente 
de la diferencia entre las alturas de los extremos 
FISICA 1 Ing. RICARDO MOYANO
Por lo tanto el trabajo puede ser expresado como la diferencia de la expresión 
𝑬𝑷 = mgy energía potencial , evaluada entre los puntos inicial y final , esta 
energía potencial es una función de las coordenadas de la partícula. Por lo 
tanto si la fuerza peso es conservativa: 
W = ׬
𝐴
𝐵
𝐹 𝑑𝑟 = 𝐸𝑃,𝐴 - 𝐸𝑃,𝐵 = - (𝐸𝑃,𝐵 - 𝐸𝑃,𝐴)
W = - ∆ 𝐸𝑃
Para una fuerza constante W = F R
Entonces podemos escribir ∆ 𝐸𝑃 = - F R  F = -
d𝐸𝑃
𝑑𝑟
El trabajo de fuerzas conservativas 𝑊𝐹𝐶 = - ∆𝐸𝑃
Conclución: la energía potencial es una función de las coordenadas, tal que, la 
diferencia entre sus valores en las posiciones inicial y final, es igual al trabajo 
efectuado sobre la partícula para moverla de su posición inicial a la final 
Se puede observar en los gráficos, que cualquiera sea la trayectoria que une los 
puntos A y B, la diferencia 𝐸𝑃,𝐴 - 𝐸𝑃,𝐵, es la misma porque depende solamente 
de las coordenadas de A y B
Por lo tanto: “ el trabajo efectuado por las fuerzas conservativas es 
independiente de la trayectoria”
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El caso particular cuando la trayectoria es cerrada, es decir el punto final coincide 
con el inicial (A y B representan el mismo punto) Entonces 
𝐸𝑃,𝐴 = 𝐸𝑃,𝐵 por lo tanto W = 𝐸𝑃,𝐴 - 𝐸𝑃,𝐵 = 0  W = 0
Esto significa que en una parte el trabajo es positivo y en otra parte negativo, pero 
tienen la misma magnitud dando un resultado neto nulo.
Cuando la trayectoria es cerrada la integral se escribe como ׯ
El circulo en el símbolo de integral indica trayectoria cerrada, por lo tanto: 
W = ׯ𝐹 𝑑𝑟 = 0
A=B
El trabajo de una fuerza conservativa a lo largo de 
una trayectoria cerrada es nulo
Gracias, hasta luego