clase 11 Cantidad de movimiento angular 2020

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 Cantidad de movimiento angular de una 
partícula y de un sistema de partículas
 Momento de rotación 
 Expresión del trabajo y la energía para la 
rotación 
 Expresiones del centro de masa 
 Conservación de la cantidad de movimiento 
angular
CAMINANTE
NO HAY CAMINO 
SE HACE CAMINO AL ANDAR
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
MOMENTO DE ROTACIÓN
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
La puerta gira cuando se aplica una fuerza 
sobre ella; es una fuerza de torque o 
momento.
Cuando se aplica una fuerza en algún punto de un cuerpo rígido,
dicho cuerpo tiende a realizar un movimiento de rotación en torno a
algún eje.
Ahora bien, la propiedad de la fuerza aplicada para hacer girar al
cuerpo se mide con una magnitud física que llamamos torque o
momento de la fuerza.
Entonces, se llama torque o momento de una fuerza a la capacidad de dicha fuerza 
para producir un giro o rotación alrededor de un punto.
DINAMICA ROTACIONAL
DINAMICA ROTACIONAL
B A  F
b r
O 
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
MOMENTO DE ROTACION: 
La fuerza F actúa sobre una partícula situada en un punto A , cuya 
posición con respecto al origen O del marco referencial inercial 
está dado por el desplazamiento r por lo tanto el momento de 
rotación M o  que obra sobre la partícula 
se define como ഥ𝑀 = ത𝐹 . b (1) (fuerza por brazo de palanca)
Como b = r sen  M = F . r .sen (2) que es el módulo 
del vector producto vectorial de F y r 
 ഥ𝑀 = ത𝐹 x ҧ𝑟 o ത = ത𝐹 x ҧ𝑟
La magnitud o módulo del MOMENTO de ROTACIÓN esta dado por 
la ecuación [2] siendo la dirección perpendicular al plano definido 
por r y ഥ𝑭 el sentido lo determina la aplicación de la mano 
derecha
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
DINAMICA ROTACIONAL
Utilizando coordenadas cartesianas
Vector ҧ𝑟 = x Ƽ𝑖 + y Ƽ𝑗 + z ෘ𝑘
Vector F = Fx Ƽ𝑖 + Fy Ƽ𝑗 + Fz ෘ𝑘
M ഥ𝑀 = ҧ𝑟 x ത𝐹
O
r F
b 

A
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
APLICACIONES DINAMICA ROTACIONAL
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
APLICACIONES DINAMICA ROTACIONAL
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
En la experiencia se observa que si se
Usa solo el tipo destornillador, el vector po-
sición es pequeño por lo que debo aplicar
Una fuerza mayor 
F 
ഥ𝑀 = ҧ𝑟 x ത𝐹
r producto vectorial
Si se coloca el adaptador para formar un 
radio mayor entonces efectúo un mayor 
Momento. Aplicando menos fuerza
F
r ഥ𝑀 = ҧ𝑟 x ത𝐹
producto 
vectorial
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Momento de Rotación en coordenadas Cartesianas
Definidos el vector posición y la fuerza como
r = x Ƽ𝑖 + y Ƽ𝑗 + z ෘ𝑘 F = ഥ𝐹𝑥 Ƽ𝑖 + ഥ𝐹𝑦 Ƽ𝑗 + ഥ𝐹𝑧 ෘ𝑘
  = r x F = 
Ƽ𝑖 Ƽ𝑗 ෘ𝑘
𝑥 𝑦 𝑧
ഥ𝐹𝑥 ഥ𝐹𝑦 ഥ𝐹𝑧
 = Ƽ𝑖 (y Fz – z Fy) + Ƽ𝑗 (z Fx – x Fz) + ෘ𝑘 (x Fy – y Fx) 
x y z
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Cantidad de Movimiento Angular o Momento Cinético o Momentum
Angular
Definición de Momento Angular ( o Cinético) para una partícula:
El momento angular con respecto a un sistema inercial de referencia O, de una 
partícula de masa “m” que se mueve con velocidad 𝑣 ( y por consiguiente 
momento lineal “p= m𝑣 ) esta definido por el producto vectorial:
ത𝐿 = ҧ𝑟 x ҧ𝑝 Módulo :  L  = r p sen
Dirección: perpendicular al plano de r y p
Sentido: regla mano derecha
Componentes cartesianas:
ത𝐿 = ҧ𝑟 x ҧ𝑝 = 
Ƽ𝑖 Ƽ𝑗 ෘ𝑘
𝑥 𝑦 𝑧
𝑝𝑥 𝑝𝑦 𝑝𝑧
= Lx + Ly + Lz
= Ƹ𝑖 (y 𝑃𝑧  z 𝑃𝑌) + መ𝐽 (z 𝑃𝑥  x 𝑃𝑧) + ෠𝑘 (x 𝑃𝑦 y 𝑃𝑋)
Para el plano x-y es z=0 y Pz = 0
 Lz = ෠𝑘 (x Py  y Px )
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Cantidad de Movimiento Angular o Momento Cinético o Impulso 
Angular “ ഥ𝑳 “
L
o r p = mv
𝜋 
m
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Teorema de Conservación del impulso Angular
A partir de la ecuación ത𝐿 = ҧ𝑟 x ҧ𝑝 derivo respecto del tiempo
𝑑ത𝐿
𝑑𝑡
= 
𝑑 ҧ𝑟
𝑑𝑡
x ҧ𝑝 + ҧ𝑟 x 
𝑑 ҧ𝑝
𝑑𝑡
ҧ𝑣 m ҧ𝑣 ത𝐹
vectores paralelos  producto vectorial nulo
Entonces 
𝑑ത𝐿
𝑑𝑡
= ҧ𝑟 x ത𝐹 pero ҧ𝑟 x ത𝐹 = ഥ𝑀
𝑑ത𝐿
𝑑𝑡
= ഥ𝑀 ó
𝑑ത𝐿
𝑑𝑡
= 𝜏 ̅ Si L y M se evalúan respecto al mismo punto 
Si M = 0 
𝑑ത𝐿
𝑑𝑡
= 0  L = CONSTANTE
SI EL MOMENTO DE ROTACIÓN (TORQUE) SOBRE UNA PARTÍCULA ES NULO 
, EL IMPULSO ANGULAR DE LA MISMA ES CONSTANTE
El torque es nulo si: 1) F = 0 ENTONCES ES PARTÍCULA LIBRE
2) F ‖ 𝑟 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑐𝑖𝑟 𝐹 𝑝𝑎𝑠𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑐𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑟𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖ó𝑛
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Forma vectorial del momento Angular
En el caso de movimiento circular, cuando O es el centro del círculo, los 
vectores ҧ𝑟 y ҧ𝑣 son perpendiculares y entonces v =  r de modo que 
ത𝐿 = ҧ𝑟 x ҧ𝑝 L = m r v = m r  r
L = m r2  entonces la dirección de L es la 
misma que 
Puede escribirse en FORMA VECTORIAL ഥ𝑳 = m r2 ഥ
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
ECUACION FUNDAMENTAL DE LA DINAMICA ROTACIONAL 
para una partícula
Partimos de la ecuación L = m r2  (recordar que es una ecuación 
vectorial)
Definimos Momento de Inercia o Inercia Rotacional, como I = m r2 
Si remplazamos L = I  ( es correcta si los vectores L y  son paralelos) 
Entonces como 
M= 
𝑑𝐿
𝑑𝑡
= 
𝑑(𝐼 .𝜔)
𝑑𝑡
= I . 
𝑑 𝜔
𝑑𝑡
= I . 
ത = I .  ó M = I .  Forma rotacional de la segunda ley de Newton 
Relaciona el momento externo neto o Torca, alrededor de un eje fijo con la 
aceleración angular alrededor de él.
La analogía formal con la segunda ley de Newton aplicada al movimiento 
traslacional F = m .a donde el momento de inercia ( I ) es análogo 
a la masa m
EXPRESION DE TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERGÍA en la ROTACIÓN
El trabajo elemental es dw = Ft . ds
dW= F ds cos por Ft = F cos 𝝋
dW= F ds sen por cos = sen
Ft F considerando Ft = F sen 𝜶
ds = r d𝜑
d  M= r.Ft
ds  dW = M d𝜑
r 
el trabajo y energía cinetica
dW = dEc dEc= d(1/2 m𝑣2)= m 𝑣 𝑑𝑣
dw = m 𝑣 𝑑𝑣
dW = m . ( .r) (r d) = m . 𝑟2  d
𝑑𝑊׬ = I ׬
𝝎𝒐
𝝎𝒇
 d
INTEGRANDO W = 
𝐼2
2

𝐼0
2
2

Momento angular de un conjunto de partículas puntuales
El momento angular de un conjunto de partículas es la suma de los momentos 
angulares de cada una: L = σ ҧ𝑟𝐾 𝑥 ҧ𝑝𝑘 = σ ത𝐿𝐾
La variación temporal es: 
𝑑𝐿
𝑑𝑡
= σ
𝐿𝑖
𝑑𝑡
= σ𝑀𝑖
El término de derecha es la suma de todos los momentos producidos por 
todas las fuerzas que actúan sobre las partículas. Una parte de esas fuerzas 
puede ser de origen externo al conjunto de partículas. Otra parte puede ser 
fuerzas entre partículas. Pero cada fuerza entre partículas tiene su reacción 
que es igual pero de sentido opuesta y colineal. Eso quiere decir que los 
momentos producidos por cada una de las fuerzas de un par acción-
reacción son iguales y de signo contrario y que su suma se anula. Es decir, la 
suma de todos los momentos de origen interno es cero y no puede hacer 
cambiar el valor del momento angular del conjunto. Solo quedan los 
momentos externos: 
𝑑𝐿
𝑑𝑡
= σ
𝐿𝑖
𝑑𝑡
= 𝑀𝑒𝑥𝑡
El momento angular de un sistema de partículas se conserva en ausencia de 
momentos externos. Esta afirmación es válida para cualquier conjunto de 
partículas: desde núcleos atómicos hasta grupos de galaxias
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
L para un sistema de partículas
de acuerdo a la ecuación Momento Mext =  ext
y si  ext =0 entonces dL/dt = 0  L = CONSTANTE
“El impulso Angular de un sistema aislado (ത ext = 0) es constante 
en magnitud, dirección y sentido”Que puede generalizarse para cualquier número de partículas
𝐹1 z 𝐹2
𝑚2
𝐹12 𝑟21 𝐹21
𝑚1
𝑟1 𝑟2
y
𝐹1 y 𝐹2 fuerzas externas
x
Física 1 Ing. Ricardo Moyano
Física 1 Ing. Ricardo Moyano