Matemáticas Financieras: Cálculos e Fórmulas

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Capítulo 1: Matemáticas Financieras 
 
1. Guía Matemáticas Financieras Arellano. 
Calcule el valor futuro de $500 compuesto anualmente para: 
a. 10 años al 5% anual (R: $814,45) 
b. 10 años al 7% anual (R: $983,58) 
c. 20 años al 5% anual (R: $1326,65) 
d. ¿Por qué el interés ganado en c) no es el doble del interés ganado en a)? 
e. Como cambiaría su respuesta en a), b) y c) si el interés fuera simple. (R: $750; 
$850; $1000) 
 
2. ¿Cuál es el valor presente de un bono que paga $100 en 2 años más y $150 en 5 
años más? La tasa de interés es 8%. (R: $187,82) 
 
3. Si la tasa es 12%, calcule el valor presente de: 
a. 10 cuotas iguales de $300. La primera en un período más. (R:1695,07) 
b. Cuotas de $500 hasta el infinito. La primera en un período más. (4166,67) 
c. 8 cuotas que crecen a una tasa constante de 3%, siendo la primera en un período 
más e igual a $700 (R: 3798,46) 
d. 5 cuotas iguales de $100, la primera pagada hoy (R:403,73) 
e. Cuotas iguales de $500 entre los períodos 1 y 5 (inclusive), y una perpetuidad 
que crece a una tasa constante de 0,2% a partir del año 6, siendo la primera cuota 
(en el período 6) igual a $700 (R: 5.168,48) 
f. 10 cuotas que van creciendo a una tasa del 3%, siendo la primera igual a $10 en 
el primer período. Luego de la última cuota se paga durante 8 períodos más, 
cuotas iguales al pago en el período 10. (R: 84,53) 
g. Una perpetuidad de $300 a partir del año 4 más una perpetuidad que crece una 
tasa constante de 5% a partir del año 10, siendo la primera cuota (en el período 
10) igual a $100 (R:2.294,61) 
 
4. Calcule el valor presente de: 
a. 7 cuotas de $100 anuales (la primera el próximo año) si la tasa es: 
• 1% mensual (R: 446,67) 
• 4% trimestral (R:392,4) 
• 20% semestral (R: 209,57) 
• 44% anual (R: 209,57) 
b. 5 cuotas pagadas sólo los años pares (suponiendo este impar) de $20 si la 
tasa es 10% anual (R: 64,37) 
 
5. Si una persona deposita $100 mensuales a partir del próximo mes, ¿cuánto dinero 
tendrá en su cuenta el año 10 si la tasa de interés que ofrece el banco es 10% anual? 
(R:19.986,39) ¿Cómo cambia su respuesta si lo que ahorra crece a una tasa de 0,1% 
mensual? (R: 21.025) 
 
6. Tengo inversiones en 2 sociedades. Si una paga $100 todos los meses por 2 años y 
la otra paga $50 todos los semestres por 4 años, ¿cuál es el valor presente de todas 
mis inversiones? Suponga que la tasa es 9% anual (R: $2.527,75) 
 
7. Derive la fórmula de anualidad con crecimiento, usando sólo perpetuidades. 
 
8. Quiero depositar un monto fijo mensual durante 12 meses, empezando el próximo 
mes. ¿Cuánto debe ser la cuota para que un período después de la última cuota 
tenga $4000, si la tasa de interés es 6% mensual? (R:223,69) ¿Cuánto extra tendría 
que depositar hoy para juntar $5000 en vez de $4000? (R: $468,84) 
 
9. Ejercicio 6 capítulo 1 
Suponga que Ud. tiene los siguientes activos 
 
Activo Valor Presente de 
los flujos 
Flujo Período 1 Flujo Período 2 
A $1.946,33 $1.000 $1.200 
B $1.162,65 $800 $500 
 
Si Ud. sabe que las tasas de descuento para cada período son diferentes, y que el 
valor presente de cada activo está bien calculado, presente la tasa que se usó para 
descontar los flujos del período 1 y la que se usó para descontar los flujos del 
período 2. (R: 9% y 7%) 
 
10. Ejercicio 5 capítulo 1 
 
Suponga que la tasa de descuento es de 1% mensual compuesta y que se tienen los 
siguientes patrones de flujos mensuales (un flujo 0 significa que no hay flujo; un 
flujo 1 significa un flujo de 1 peso). Calcule el Valor Presente al mes 0 de los 
siguientes patrones de flujos (letras (a) hasta la (e)). Asuma que los flujos se 
reciben a fines de cada período. No existe inflación. 
 
Meses 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 ... infinito
a) 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 ... infinito
b) 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 0 (fin)
c) 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 ... infinito
d) Calcule el valor futuro de los flujos a) y b) al mes 10
e) Cómo cambia su respuesta en b) si Ud. supone que el patrón de flujos
continúa hasta infinito? 
(R: a) 33,33; b) 7,6147; c) 67; d) 80,4119) 
 
11. Tema 2 control 1 segundo semestre 2000 
Una persona tiene planeado ahorrar, en una libreta de ahorro bancaria, la cifra de UF 
1000 anuales durante 20 años, haciendo el primer depósito (de un total de 20) dentro 
de un año. Su objetivo es poder retirar del Banco, a contar del año 21, una suma 
igual a UF 2000 anuales a perpetuidad. ¿Cuál debiera ser la tasa de interés que la 
libreta de ahorro tendría que ofrecerle a esta persona para que lograra su objetivo? 
(R: r = 5,646%) 
 
12. Ejercicio 1 capítulo 1 
Recientemente, el grupo controlador de la empresa REVERSIS S.A. acordó la venta 
de sus acciones a la empresa española NILE S.A. en $1.000.000.00…. (mucha 
plata). Además de estas acciones adquiridas, NILE S.A. está interesada en comprar 
el resto de las acciones en circulación. 
NILE S.A. ha ofrecido comprar cada acción en $ 1.000 al contado o mediante 
cualquiera de las siguientes modalidades de pago: 
 
a. $500 al contado, el resto pagadero en 4 cuotas trimestrales de $60 (a partir de 
tres meses más) y tres cuotas anuales $100 (la primera de ellas en dos años a 
partir de hoy). 
 
b. A partir de fines del segundo año, se pagarán $200 cada dos años por 30 años. 
c. Primer año de gracia (donde no se recibe pago alguno). A partir de fines del 
segundo año, se recibirá un pago anual que crecerá a una tasa constante de 5% 
anual durante 15 años. El primer pago a recibir será de $100. 
d. Cuatro pagos semestrales de $200 (el primer pago se recibirá en exactamente 
dos años más) y cuatro pagos semestrales de $200 (donde el primer pago se 
recibirá en exactamente 6 años y medio más). 
e. Una perpetuidad que se recibirá con una periodicidad de 1,5 años y que crecerá a 
una tasa anual de 3%. El primer pago se recibirá en exactamente 18 meses más 
y alcanzará a $108. 
SE PIDE: Suponga que Ud. posee 1.000 acciones de REVERSIS S.A. y ha 
decidido vendérselas a NILE S.A. Si la tasa de interés es y permanecerá siempre a 
un nivel de 10% anual, ¿Vendería las acciones al contado o mediante alguna 
modalidad de pago en particular? Fundamente numéricamente su respuesta. 
 
13. Prueba 1, tema 1, segundo semestre 2003 
Suponga que Usted acaba de cumplir 25 años y comienza a trabajar de empleado en 
una compañía minera. Debido a esto Usted comienza a depositar obligatoriamente 
en la AFP (Administradora de Fondos de Pensión) un monto mensual, a fin de cada 
mes, equivalente a $30.000, monto que permanecerá fijo hasta el momento de su 
jubilación. Usted cree que jubilará a los 65 años y que vivirá 20 años más una vez 
jubilado. Para su jubilación Usted ha calculado que requeriría un salario mensual de 
$2.000.000 a fin de cada mes para poder tener una vida tranquila. 
Si la tasa de interés anual es de 10%. 
a. ¿Cuánto tendría que depositar adicionalmente en la AFP para poder alcanzar su 
meta de renta mensual una vez jubilado? 
b. ¿Cómo cambiaría su respuesta anterior si la AFP le garantiza una rentabilidad 
anual de 3%? (Explique brevemente sus resultados en cuanto al monto del 
depósito voluntario y de la pensión mensual una vez jubilado) 
c. Si Usted quisiera adquirir una casa de campo al momento de jubilar con el fin de 
descansar fuera de la ciudad. ¿Cuál es el monto máximo que puede destinar a 
esta compra si para financiarla decide pedirle a la AFP que le entregue una 
pensión mensual de $1.000.000 en vez de la de $2.000.000? (Nota: siga 
suponiendo que la AFP tiene una rentabilidad anual de 3%) 
d. Si con la renta de $1.000.000 Usted queda satisfecho una vez jubilado y por 
casualidad recibe de herencia justo la casa de campo que quería, exprese 
matemáticamente la ecuación que permitiría calcular con que anterioridad podría 
jubilarse. (Nota: siga suponiendo que la AFP tiene una rentabilidad anual de 3%) 
 
14. Ejercicio 7 capítulo 1 
Suponga que Ud. estáeligiendo qué AFP administrará su fondo de pensiones. Ud. 
sabe que mientras más alta la rentabilidad que le ofrezca la AFP más alta será la 
cantidad de dinero que tendrá disponible al momento de jubilar. Por otro lado, la 
AFP cobra comisiones por los servicios de administrar su dinero hasta que jubile. 
Estas comisiones están compuestas por una porción fija y otra variable. La porción 
variable depende del monto que Ud. cotice (es decir depende de la cantidad de 
dinero que Ud. le entregue mensualmente a la AFP). 
Ud. acaba de empezar a trabajar y su primer sueldo lo recibirá en exactamente un 
mes más y será de $100.000 brutos. El monto que Ud. entregará a la AFP es el 10% 
de su sueldo (es decir, a fines de mes recibirá líquido sólo $90.000, ya que el 10% 
de su sueldo bruto será entregado a la AFP que Ud. elija) 
Ud. está decidiendo qué AFP administrará su fondo de pensiones y debido a que 
independientemente de cuál AFP elija deberá entregarle el 10% de su sueldo, lo 
relevante es cuál va a ser el monto que va a disponer en el futuro para jubilar. 
Ud. sabe que va a jubilar en exactamente 30 años más y que su sueldo crecerá a una 
tasa de 0,2% mensual. Además dispone de la siguiente información respecto a las 
dos AFP que está analizando: 
 
AFP Dinero 
entregado a AFP 
(cotización) 
Comisión 
variable cobrada 
por AFP 
Comisión fija 
cobrada por 
AFP 
Rentabilidad 
ofrecida por 
AFP 
RESSTA 10% sueldo 2% de lo 
cotizado 
$300 mensuales 0,5% mensual 
CONTRAVIDA 10% sueldo 1% de lo 
cotizado 
No cobra 0,48% mensual 
 
¿Cuál AFP elegiría Ud.? Fundamente numéricamente su respuesta. Suponga que no 
existe inflación.